Kako se razlomci sabiraju sa cijelim brojevima? Sabiranje i oduzimanje običnih razlomaka

Vaše dijete je dovelo domaći zadatak iz škole i ne znaš kako to riješiti? Onda je ova mini lekcija za vas!

Kako sabrati decimale

Pogodnije je dodati decimalne razlomke u kolonu. Za obavljanje sabiranja decimale, morate se pridržavati jednog jednostavnog pravila:

• Mjesto mora biti ispod mjesta, zarez ispod zareza.

Kao što možete vidjeti u primjeru, cijele jedinice se nalaze jedna ispod druge, desetinke i stotinke su smještene jedna ispod druge. Sada dodajemo brojeve, zanemarujući zarez. Šta učiniti sa zarezom? Zarez se pomera na mesto gde je stajao u celobrojnoj kategoriji.

Sabiranje razlomaka sa jednakim nazivnicima

Da biste izvršili sabiranje sa zajedničkim nazivnikom, trebate zadržati imenilac nepromijenjenim, pronaći zbir brojilaca i dobiti razlomak koji će biti ukupan zbir.

Sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima korištenjem metode zajedničkog višestruka

Prva stvar na koju treba da obratite pažnju su imenioci. Imenioci su različiti, zar nisu djeljivi jedni s drugima, zar ne prosti brojevi. Prvo morate to dovesti do jednog zajedničkog nazivnika, postoji nekoliko načina da to učinite:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, da bismo riješili ovaj primjer trebamo pronaći najmanji zajednički višekratnik (LCM) koji će biti djeljiv sa 2 nazivnika. Za označavanje najmanjeg višekratnika a i b – LCM (a;b). U ovom primjeru LCM (3;4)=12. Provjeravamo: 12:3=4; 12:4=3.
• Pomnožimo faktore i dodamo rezultirajuće brojeve, dobijemo 13/12 - nepravilan razlomak.

• Da bismo nepravilan razlomak pretvorili u pravi, podijelimo brojilac sa nazivnikom, dobićemo cijeli broj 1, ostatak 1 je brojilac, a 12 je imenilac.

Zbrajanje razlomaka metodom unakrsnog množenja

Za sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima, postoji još jedna metoda koja koristi formulu „križ na križ“. Ovo je zagarantovan način za izjednačavanje nazivnika, da biste to učinili, morate pomnožiti brojioce sa nazivnikom jednog razlomka i obrnuto. Ako ste samo uključeni početna faza proučavajući razlomke, onda je ova metoda najjednostavniji i najprecizniji način da se dobije tačan rezultat pri zbrajanju razlomaka s različitim nazivnicima.

Pravila za sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima su vrlo jednostavna.

Pogledajmo pravila za sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima korak po korak:

1. Pronađite LCM (najmanji zajednički višekratnik) nazivnika. Rezultirajući LCM će biti zajednički nazivnik razlomaka;

2. Svesti razlomke na zajednički imenilac;

3. Dodajte razlomke svedene na zajednički nazivnik.

On jednostavan primjer Naučimo kako primijeniti pravila za sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima.

Primjer

Primjer sabiranja razlomaka s različitim nazivnicima.

Dodajte razlomke s različitim nazivnicima:

1	+	5
6		12

Mi ćemo odlučiti korak po korak.

1. Pronađite LCM (najmanji zajednički višekratnik) nazivnika.

Broj 12 je djeljiv sa 6.

Iz ovoga zaključujemo da je 12 najmanji zajednički višekratnik brojeva 6 i 12.

Odgovor: broj brojeva 6 i 12 je 12:

LCM(6, 12) = 12

Dobijeni LCM će biti zajednički nazivnik dvaju razlomaka 1/6 i 5/12.

2. Svesti razlomke na zajednički imenilac.

U našem primjeru samo prvi razlomak treba svesti na zajednički imenilac 12, jer drugi razlomak već ima imenilac 12.

Podijelite zajednički imenilac broja 12 sa imeniocem prvog razlomka:

2 ima dodatni množitelj.

Pomnožite brojilac i imenilac prvog razlomka (1/6) dodatnim faktorom 2.

U petom veku pre nove ere, starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulisao je svoje čuvene aporije, od kojih je najpoznatija aporija „Ahilej i kornjača“. Evo kako to zvuči:

Recimo Ahilej trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči ovu udaljenost, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača puzi još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti do beskonačnosti, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni na ovaj ili onaj način smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ...rasprave se nastavljaju i dan-danas naučna zajednica još uvijek nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa... bili uključeni u proučavanje ovog pitanja; matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi; nijedan od njih nije postao opšteprihvaćeno rešenje problema..."[Vikipedija, "Zenonova aporija". Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu se sastoji ta obmana.

Sa matematičke tačke gledišta, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa kvantiteta na . Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto stalnih. Koliko sam shvatio, matematički aparat za korištenje promjenjivih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, zbog inercije mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročnu vrijednost. Sa fizičke tačke gledišta, ovo izgleda kao da se vrijeme usporava dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može pobjeći od kornjače.

Ako okrenemo svoju uobičajenu logiku, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept „beskonačnosti“, tada bi bilo ispravno reći „Ahilej će beskonačno brzo sustići kornjaču“.

Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne jedinice. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahil osam stotina koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o neodoljivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji „Ahilej i kornjača“. Ostaje nam da proučimo, preispitamo i riješimo ovaj problem. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.

U ovoj aporiji logički paradoks je prevaziđen vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama prostora, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Da biste utvrdili da li se automobil kreće, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali ne možete odrediti udaljenost od njih. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih tačaka u prostoru u jednom trenutku, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, trigonometrija će vam pomoći ). Ono što želim da istaknem posebnu pažnju, je da su dvije tačke u vremenu i dvije tačke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

Srijeda, 04.07.2018

Razlike između skupa i multiseta su vrlo dobro opisane na Wikipediji. da vidimo.

Kao što vidite, "ne mogu postojati dva identična elementa u skupu", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće razumjeti takvu apsurdnu logiku. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, koji nemaju inteligenciju od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Nekada su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta dok su testirali most. Ako bi se most srušio, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.

Bez obzira na to koliko se matematičari kriju iza fraze „pamet, ja sam u kući“, odnosno „matematika proučava apstraktne pojmove“, postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.

Matematiku smo učili odlično i sada sjedimo na kasi i izdajemo plate. Dakle, matematičar dolazi kod nas po svoj novac. Odbrojavamo mu cijeli iznos i slažemo ga na našem stolu u različite hrpe, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim uzimamo po jedan račun sa svake gomile i dajemo matematičaru njegov „matematički skup plaće“. Objasnimo matematičaru da će preostale račune dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.

Prije svega, funkcionirat će logika poslanika: „Ovo se može primijeniti na druge, ali ne i na mene!“ Tada će nas početi uvjeravati da novčanice istog apoena imaju različite brojeve novčanica, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Dobro, računajmo plate u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar početi mahnito prisjećati fizike: postoji na različitim novčićima različite količine prljavština, kristalna struktura i atomski raspored svakog novčića je jedinstven...

A sada imam najviše zanimljivo pitanje: gdje je linija iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka ovdje nije ni blizu da leži.

Pogledaj ovdje. Odabiremo fudbalske stadione sa istom površinom terena. Površine polja su iste - što znači da imamo višestruki skup. Ali ako pogledamo imena tih istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup. Šta je tačno? I ovdje matematičar-šaman-oštrica izvlači keca aduta iz rukava i počinje nam pričati ili o setu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazaću vam, bez ikakvog "zamislivog kao nijedna celina" ili "nezamislivog kao jedinstvene celine".

Nedjelja, 18.03.2018

Zbir cifara broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na časovima matematike nas uče da pronađemo zbir cifara broja i da ga koristimo, ali zato su oni šamani, da svoje potomke uče svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

Treba li vam dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj cifara broja." Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula koja se može koristiti za pronalaženje zbira cifara bilo kojeg broja. Na kraju krajeva, brojevi jesu grafičkih simbola, uz pomoć kojih pišemo brojeve, a na jeziku matematike zadatak zvuči ovako: “Nađi zbir grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj.” Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu lako.

Hajde da shvatimo šta i kako radimo da bismo pronašli zbir cifara datog broja. I tako, neka nam je broj 12345. Šta treba uraditi da bi se našao zbir cifara ovog broja? Pogledajmo redom sve korake.

1. Zapišite broj na komad papira. Šta smo uradili? Broj smo pretvorili u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.

2. Jednu rezultirajuću sliku izrežemo na nekoliko slika koje sadrže pojedinačne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

3. Pretvorite pojedinačne grafičke simbole u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

4. Dodajte dobijene brojeve. Ovo je matematika.

Zbir cifara broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" od šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.

Sa matematičke tačke gledišta, nije bitno u kom sistemu brojeva zapisujemo broj. Dakle, unutra različiti sistemi U računanju, zbir cifara istog broja će biti različit. U matematici, sistem brojeva je označen kao indeks desno od broja. Sa velikim brojem 12345, ne želim da se zavaravam, razmislimo o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sistemu. Nećemo svaki korak posmatrati pod mikroskopom, već smo to uradili. Pogledajmo rezultat.

Kao što vidite, u različitim brojevnim sistemima zbir cifara istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze sa matematikom. To je isto kao da odredite površinu pravokutnika u metrima i centimetrima, dobili biste potpuno drugačije rezultate.

Nula izgleda isto u svim brojevnim sistemima i nema zbir cifara. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da. Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava nešto što nije broj? Šta, za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Mogu to dozvoliti za šamane, ali ne i za naučnike. Realnost nije samo u brojevima.

Dobijeni rezultat treba smatrati dokazom da su sistemi brojeva mjerne jedinice za brojeve. Na kraju krajeva, ne možemo porediti brojeve sa različitim mernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različitih rezultata nakon poređenja, onda to nema nikakve veze s matematikom.

Šta je prava matematika? To je kada rezultat matematičke operacije ne ovisi o veličini broja, korištenoj mjernoj jedinici i o tome ko izvodi ovu radnju.

Potpis na vratima On otvara vrata i kaže:

Oh! Nije li ovo ženski toalet?
- Mlada ženo! Ovo je laboratorija za proučavanje nedefilske svetosti duša tokom njihovog uspona na nebo! Halo na vrhu i strelica gore. Koji drugi toalet?

Žensko... Oreol na vrhu i strelica dole su muški.

Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

Lično se trudim da vidim minus četiri stepena kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stepena). I ne mislim da je ova devojka budala koja ne zna fiziku. Ona samo ima jak stereotip o percepciji grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

1A nije "minus četiri stepena" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset i šest" u heksadecimalnom zapisu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sistemu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.

Razlomci su obični brojevi i mogu se sabirati i oduzimati. Ali zbog činjenice da sadrže nazivnik, više složena pravila nego za cijele brojeve.

Razmotrimo najjednostavniji slučaj, kada postoje dva razlomka sa istim nazivnicima. onda:

Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, potrebno je da saberete njihove brojioce i ostavite nazivnik nepromenjen.

Da biste oduzeli razlomke s istim nazivnicima, potrebno je da oduzmete brojnik drugog od brojnika prvog razlomka, a nazivnik opet ostavite nepromijenjen.

Unutar svakog izraza imenioci razlomaka su jednaki. Po definiciji sabiranja i oduzimanja razlomaka dobijamo:

Kao što vidite, nije ništa komplikovano: samo zbrojimo ili oduzmemo brojioce i to je to.

Ali čak i u takvim jednostavnim radnjama ljudi uspijevaju pogriješiti. Ono što se najčešće zaboravlja jeste da se imenilac ne menja. Na primjer, kada ih se dodaju, oni također počinju da se zbrajaju, a to je u osnovi pogrešno.

Osloboditi se loše navike sabiranja nazivnika je prilično jednostavno. Pokušajte istu stvar prilikom oduzimanja. Kao rezultat toga, nazivnik će biti nula, a razlomak će (odjednom!) izgubiti svoje značenje.

Zato zapamtite jednom za svagda: pri sabiranju i oduzimanju imenilac se ne menja!

Mnogi ljudi također griješe kada zbrajaju nekoliko negativnih razlomaka. Postoji zabuna sa znakovima: gdje staviti minus, a gdje staviti plus.

I ovaj problem je vrlo lako riješiti. Dovoljno je zapamtiti da se minus ispred znaka razlomka uvijek može prenijeti na brojilac - i obrnuto. I naravno, ne zaboravite dva jednostavna pravila:

1. Plus po minus daje minus;
2. Dva negativa čine potvrdno.

Pogledajmo sve ovo na konkretnim primjerima:

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

U prvom slučaju, sve je jednostavno, ali u drugom, dodajmo minuse brojiocima razlomaka:

Šta učiniti ako su imenioci različiti

Ne možete direktno sabirati razlomke s različitim nazivnicima. Barem mi je ovaj metod nepoznat. Međutim, originalni razlomci se uvijek mogu prepisati tako da imenioci postanu isti.

Postoji mnogo načina za pretvaranje razlomaka. O tri od njih se govori u lekciji „Svođenje razlomaka na zajednički imenilac“, tako da se ovde nećemo zadržavati na njima. Pogledajmo neke primjere:

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

U prvom slučaju razlomke svodimo na zajednički nazivnik metodom “križ-križ”. U drugom ćemo tražiti NOC. Imajte na umu da je 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Poslednji faktori u ovim proširenjima su jednaki, a prvi su relativno prosti. Dakle, LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Šta učiniti ako razlomak ima cijeli broj

mogu ti ugoditi: različiti imenioci za razlomke, ovo još nije najveće zlo. Mnogo više grešaka se javlja kada je cijeli dio istaknut u sabirnim razlomcima.

Naravno, za takve frakcije postoje vlasnički algoritmi sabiranje i oduzimanje, ali su prilično složeni i zahtijevaju dosta učenja. Bolje koristiti jednostavan dijagram, dato u nastavku:

1. Pretvorite sve razlomke koji sadrže cijeli broj u nepravilne. Dobijamo normalne članove (čak i sa različitim nazivnicima), koji su izračunati prema pravilima o kojima smo gore govorili;
2. Zapravo, izračunajte zbir ili razliku rezultujućih razlomaka. Kao rezultat toga, praktično ćemo pronaći odgovor;
3. Ako je ovo sve što je bilo potrebno u zadatku, izvršavamo inverzna konverzija, tj. Riješimo se nepravilnog razlomka tako što ćemo istaći cijeli dio.

Pravila za prelazak na nepravilne razlomke i isticanje cijelog dijela detaljno su opisana u lekciji „Šta je brojčani razlomak“. Ako se ne sjećate, svakako ponovite. primjeri:

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Ovdje je sve jednostavno. Imenioci unutar svakog izraza su jednaki, tako da ostaje samo da prevedete sve razlomke u nepravilne i prebrojite. imamo:

Da bih pojednostavio proračune, preskočio sam neke očigledne korake u posljednjim primjerima.

Mala napomena o dvoje najnoviji primjeri, gdje se oduzimaju razlomci s istaknutim cijelim dijelom. Minus ispred drugog razlomka znači da se oduzima cijeli razlomak, a ne samo njegov cijeli dio.

Ponovo pročitajte ovu rečenicu, pogledajte primjere - i razmislite o tome. Ovdje početnici prave veliki broj grešaka. Oni vole davati takve zadatke testovi. Također ćete ih nekoliko puta susresti u testovima za ovu lekciju, koji će uskoro biti objavljeni.

Sažetak: opća shema proračuna

U zaključku, dat ću opći algoritam koji će vam pomoći da pronađete zbir ili razliku dva ili više razlomaka:

1. Ako jedan ili više razlomaka imaju cijeli broj, pretvorite te razlomke u nepravilne;
2. Dovedite sve razlomke u zajednički imenilac na bilo koji način koji vam odgovara (osim, naravno, ako to nisu uradili pisci problema);
3. Dobivene brojeve sabirati ili oduzimati prema pravilima za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima;
4. Ako je moguće, skratite rezultat. Ako je razlomak netačan, odaberite cijeli dio.

Zapamtite da je bolje istaknuti cijeli dio na samom kraju zadatka, neposredno prije nego što zapišete odgovor.

Sadržaj lekcije

Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima

Postoje dvije vrste sabiranja razlomaka:

1. Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima
2. Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima

Prvo, naučimo sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, potrebno je da saberete njihove brojioce i ostavite nazivnik nepromenjen. Na primjer, dodajmo razlomke i . Dodajte brojioce i ostavite imenilac nepromijenjen:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate picu:

Primjer 2. Dodajte razlomke i .

Ispostavilo se da je odgovor nepravilan razlomak. Kada dođe kraj zadatka, uobičajeno je da se riješite nepravilnih razlomaka. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli njegov dio. U našem slučaju, cijeli dio se lako izoluje - dva podijeljena sa dva jednako je jedan:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na dva dijela. Ako pizzi dodate još pizze, dobijate jednu celu picu:

Primjer 3. Dodajte razlomke i .

Opet, zbrajamo brojioce i ostavljamo imenilac nepromijenjen:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako pizzi dodate još pizze, dobijate pizzu:

Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Brojioci se moraju dodati, a nazivnik ostaviti nepromijenjen:

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako pizzi dodate pizzu i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.

Kao što vidite, nema ništa komplikovano u zbrajanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnikom, potrebno je da saberete njihove brojioce i ostavite imenilac nepromenjen;

Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima

Sada ćemo naučiti kako sabirati razlomke s različitim nazivnicima. Prilikom sabiranja razlomaka, nazivnici razlomaka moraju biti isti. Ali oni nisu uvijek isti.

Na primjer, razlomci se mogu dodati jer imaju isti imenioci.

Ali razlomci se ne mogu odmah zbrajati, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Postoji nekoliko načina da se razlomci svedu na isti nazivnik. Danas ćemo se osvrnuti na samo jednu od njih, budući da se ostale metode za početnika mogu činiti komplikovanim.

Suština ove metode je da se prvo traži LCM nazivnika oba razlomka. LCM se zatim dijeli sa nazivnikom prvog razlomka kako bi se dobio prvi dodatni faktor. Isto rade i sa drugim razlomkom - LCM se podijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.

Brojioci i imenioci razlomaka se zatim množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji imaju različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I mi već znamo kako sabrati takve razlomke.

Primjer 1. Dodajmo razlomke i

Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6

LCM (2 i 3) = 6

Sada se vratimo na razlomke i . Prvo, LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka i dobijete prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobićemo 2.

Rezultirajući broj 2 je prvi dodatni množitelj. Zapisujemo ga do prvog razlomka. Da biste to učinili, napravite malu kosu liniju iznad razlomka i zapišite dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:

Isto radimo sa drugim razlomkom. LCM podijelimo sa nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobićemo 3.

Rezultirajući broj 3 je drugi dodatni množitelj. Zapisujemo ga na drugi razlomak. Opet, pravimo malu kosu liniju preko drugog razlomka i zapisujemo dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:

Sada imamo sve spremno za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima:

Pogledajte pažljivo do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste nazivnike. I mi već znamo kako sabrati takve razlomke. Uzmimo ovaj primjer do kraja:

Ovim je primjer završen. Ispada da dodam.

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate jednu celu picu i drugu šestinu pizze:

Svođenje razlomaka na isti (zajednički) nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Smanjenje razlomaka i na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i . Ove dvije frakcije će biti predstavljene istim komadima pizze. Jedina razlika će biti u tome što će se ovoga puta podijeliti na jednake dijelove (svedene na isti imenilac).

Prvi crtež predstavlja razlomak (četiri od šest), a drugi crtež predstavlja razlomak (tri od šest komada). Zbrajanjem ovih komada dobijamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je nepravilan, pa smo izdvojili cijeli njegov dio. Kao rezultat, dobili smo (jednu cijelu picu i drugu šestu pizzu).

Imajte na umu da smo opisali ovaj primjer previše detaljan. IN obrazovne institucije Nije uobičajeno pisati tako detaljno. Morate biti u mogućnosti da brzo pronađete LCM oba imenioca i dodatne faktore uz njih, kao i brzo pomnožite pronađene dodatne faktore vašim brojiocima i nazivnicima. Da smo u školi, morali bismo ovaj primjer napisati na sljedeći način:

Ali postoji također poleđina medalje. Ako ne vodite detaljne bilješke u prvim fazama proučavanja matematike, tada počinju da se pojavljuju pitanja te vrste. “Odakle taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u potpuno različite razlomke? «.

Da biste olakšali sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima, možete koristiti sljedeće upute korak po korak:

1. Naći LCM nazivnika razlomaka;
2. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak;
3. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima;
4. Dodajte razlomke koji imaju iste nazivnike;
5. Ako se pokaže da je odgovor nepravilan razlomak, tada odaberite cijeli njegov dio;

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza .

Koristimo gore navedene upute.

Korak 1. Pronađite LCM nazivnika razlomaka

Naći LCM nazivnika oba razlomka. Imenioci razlomaka su brojevi 2, 3 i 4

Korak 2. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak

LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 sa 2, dobićemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Pišemo ga iznad prvog razlomka:

Sada dijelimo LCM sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Dobijamo drugi dodatni faktor 4. Pišemo ga iznad drugog razlomka:

Sada dijelimo LCM sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Dobijamo treći dodatni faktor 3. Pišemo ga iznad trećeg razlomka:

Korak 3. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima

Množimo brojioce i nazivnike njihovim dodatnim faktorima:

Korak 4. Dodajte razlomke sa istim nazivnicima

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. Sve što ostaje je sabirati ove razlomke. Dodaj to:

Dodatak nije stao u jedan red, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći red. Ovo je dozvoljeno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan red, pomiče se u sljedeći red, a potrebno je staviti znak jednakosti (=) na kraj prvog reda i na početak novog reda. Znak jednakosti u drugom redu ukazuje da je ovo nastavak izraza koji je bio u prvom redu.

Korak 5. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, onda označite cijeli njegov dio

Naš odgovor se pokazao kao nepravilan razlomak. Moramo istaći cijeli dio toga. Ističemo:

Dobili smo odgovor

Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima

Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:

1. Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima
2. Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke sa sličnim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, ali ostavite imenilac isti.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza . Da biste riješili ovaj primjer, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostane nepromijenjen. Uradimo ovo:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Ako od pizze izrežete pice, dobijate pizze:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza.

Ponovo, od brojioca prvog razlomka, oduzmite brojilac drugog razlomka i ostavite imenilac nepromijenjen:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako od pizze izrežete pice, dobijate pizze:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojioca prvog razlomka morate oduzeti brojioce preostalih razlomaka:

Kao što vidite, nema ništa komplikovano u oduzimanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a imenilac ostane nepromijenjen;
2. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, tada morate istaknuti cijeli njegov dio.

Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Na primjer, možete oduzeti razlomak od razlomka jer razlomci imaju iste nazivnike. Ali ne možete oduzeti razlomak od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Zajednički nazivnik se nalazi po istom principu koji smo koristili kada smo sabirali razlomke s različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli sa nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji je napisan iznad prvog razlomka. Slično, LCM se dijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor, koji je napisan iznad drugog razlomka.

Razlomci se zatim množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke.

Primjer 1. Pronađite značenje izraza:

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih morate svesti na isti (zajednički) imenilac.

Prvo nalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12

LCM (3 i 4) = 12

Sada se vratimo na razlomke i

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Napiši četvorku iznad prvog razlomka:

Isto radimo sa drugim razlomkom. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Napiši trojku preko drugog razlomka:

Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Uzmimo ovaj primjer do kraja:

Dobili smo odgovor

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako od pizze isečete picu, dobijate picu

Ovo detaljna verzija rješenja. Da smo u školi, morali bismo kraće rješavati ovaj primjer. Takvo rješenje bi izgledalo ovako:

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Smanjenje ovih razlomaka na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i . Ovi razlomci će biti predstavljeni istim kriškama pice, ali ovaj put će biti podijeljeni na jednake dijelove (svedene na isti nazivnik):

Prva slika prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od dvanaest). Rezanjem tri komada od osam komada, dobijamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet komada.

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih prvo morate svesti na isti (zajednički) imenilac.

Nađimo LCM nazivnika ovih razlomaka.

Imenioci razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka.

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 sa 10, dobićemo prvi dodatni faktor 3. Pišemo ga iznad prvog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 sa 3, dobićemo drugi dodatni faktor 10. Pišemo ga iznad drugog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 sa 5, dobićemo treći dodatni faktor 6. Pišemo ga iznad trećeg razlomka:

Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Završimo ovaj primjer.

Nastavak primjera neće stati u jedan red, pa ćemo nastavak premjestiti na sljedeći red. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) na novom redu:

Ispostavilo se da je odgovor pravilan razlomak, i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazno i ​​ružno. Trebali bismo to učiniti jednostavnijim. Šta se može učiniti? Možete skratiti ovaj razlomak.

Da biste smanjili razlomak, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik sa (GCD) brojeva 20 i 30.

Dakle, nalazimo gcd brojeva 20 i 30:

Sada se vraćamo na naš primjer i dijelimo brojnik i nazivnik razlomka sa pronađenim gcd, odnosno sa 10

Dobili smo odgovor

Množenje razlomka brojem

Da biste pomnožili razlomak brojem, potrebno je pomnožiti brojilac datog razlomka s tim brojem, a imenilac ostaviti isti.

Primjer 1. Pomnožite razlomak brojem 1.

Pomnožite brojilac razlomka brojem 1

Snimak se može shvatiti kao da traje pola puta. Na primjer, ako uzmete pizze 1 put, dobićete pizze

Iz zakona množenja znamo da ako se množenik i faktor zamijene, proizvod se neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao , tada će proizvod i dalje biti jednak . Opet radi pravilo za množenje cijelog broja i razlomka:

Ova notacija se može shvatiti kao uzimanje polovine jednog. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i uzmemo polovinu, onda ćemo imati pizzu:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojilac razlomka sa 4

Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete 4 pice, dobit ćete dvije cijele pizze

A ako zamijenimo množitelj i množitelj, dobićemo izraz . Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pice od četiri cijele pice:

Množenje razlomaka

Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojioce i nazivnike. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, morate istaknuti cijeli njegov dio.

Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza.

Dobili smo odgovor. Preporučljivo je smanjiti ovu frakciju. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje poprimiti sljedeći oblik:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje pice od pola pice. Recimo da imamo pola pice:

Kako uzeti dvije trećine iz ove polovine? Prvo morate ovu polovinu podijeliti na tri jednaka dijela:

I uzmi dva od ova tri komada:

Napravićemo picu. Zapamtite kako pizza izgleda kada je podijeljena na tri dijela:

Jedan komad ove pizze i dva koja smo uzeli imaće iste dimenzije:

Drugim riječima, govorimo o pizzi iste veličine. Stoga je vrijednost izraza

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnoži brojilac prvog razlomka brojinikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka imeniocem drugog razlomka:

Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Pomnoži brojilac prvog razlomka brojinikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka imeniocem drugog razlomka:

Ispostavilo se da je odgovor pravilan razlomak, ali bi bilo dobro da se skrati. Da biste smanjili ovaj razlomak, trebate podijeliti brojilac i nazivnik ovog razlomka najvećim zajednički djelitelj(GCD) brojevi 105 i 450.

Dakle, pronađimo gcd brojeva 105 i 450:

Sada dijelimo brojilac i nazivnik našeg odgovora s gcd koji smo sada pronašli, odnosno sa 15

Predstavljanje cijelog broja kao razlomak

Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može biti predstavljen kao . Ovo neće promijeniti značenje petice, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jednim", a ovo je, kao što znamo, jednako pet:

Recipročni brojevi

Sada ćemo se upoznati sa vrlo zanimljiva tema u matematici. To se zove "obrnuti brojevi".

Definicija. Obrnuto na broja je broj koji, kada se pomnoži saa daje jedan.

Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:

Obrnuto na broj 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedan.

Da li je moguće pronaći broj koji, kada se pomnoži sa 5, daje jedan? Ispostavilo se da je moguće. Zamislimo pet kao razlomak:

Zatim pomnožite ovaj razlomak sam po sebi, samo zamijenite brojilac i imenilac. Drugim riječima, pomnožimo razlomak sam po sebi, samo naopako:

Šta će se dogoditi kao rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobićemo jedan:

To znači da je inverz od broja 5 broj, jer kada pomnožite 5 sa dobijete jedan.

Recipročna vrijednost broja također se može naći za bilo koji drugi cijeli broj.

Također možete pronaći recipročnu vrijednost bilo kojeg drugog razlomka. Da biste to učinili, samo ga okrenite.

Deljenje razlomka brojem

Recimo da imamo pola pice:

Podijelimo ga podjednako na dvoje. Koliko će pizze dobiti svaka osoba?

Vidi se da su nakon podjele polovice pice dobijena dva jednaka komada od kojih svaki čini pizzu. Tako da svi dobiju pizzu.

Podjela razlomaka se vrši korištenjem recipročnih vrijednosti. Recipročni brojevi omogućavaju vam da zamijenite dijeljenje množenjem.

Da biste razlomak podijelili brojem, trebate taj razlomak pomnožiti s inverzom djelitelja.

Koristeći ovo pravilo, zapisaćemo podjelu naše polovice pizze na dva dijela.

Dakle, trebate podijeliti razlomak brojem 2. Ovdje je dividenda razlomak, a djelitelj je broj 2.

Da biste razlomak podijelili brojem 2, trebate ovaj razlomak pomnožiti recipročnom vrijednosti djelitelja 2. Recipročna vrijednost djelitelja 2 je razlomak. Dakle, morate pomnožiti sa

Povratak