Svaka nauka koja se razvija opšta teorija bilo koji niz pojava sadrži niz osnovnih koncepata na kojima se zasniva. Takvi su, na primjer, u geometriji pojmovi tačke, prave linije, linije; u mehanici - pojmovi sile, mase, brzine, ubrzanja itd. Naravno, ne mogu se svi osnovni pojmovi striktno definirati, jer definirati koncept znači svesti ga na druge, poznatije. Očigledno, proces definiranja jednih pojmova kroz druge mora negdje završiti, doći do samih primarnih pojmova na koje se svi ostali svode i koji sami nisu striktno definirani, već samo objašnjeni.
Takvi osnovni koncepti postoje iu teoriji vjerovatnoće. Kao prvi od njih uvodimo pojam događaja.
U teoriji vjerovatnoće, "događaj" označava svaku činjenicu koja se, kao rezultat eksperimenta, može, ali i ne mora dogoditi.
Evo nekoliko primjera događaja:
A - izgled grba kada se baca novčić;
B - izgled tri grba kada se novčić baci tri puta;
C - pogađanje mete pri ispaljivanju;
D - pojava asa prilikom vađenja karte iz špila;
E - detekcija objekta tokom jednog ciklusa snimanja radarske stanice;
F - lomljenje konca tokom jednog sata rada razboja.
Uzimajući u obzir gore navedene događaje, vidimo da svaki od njih ima određeni stepen mogućnosti: neki - više, drugi - manje, a za neke od ovih događaja možemo odmah odlučiti koji je od njih više, a koji manje moguć. Na primjer, odmah je jasno da je događaj A mogućiji od događaja B i D. Što se tiče događaja C, E i F, slični zaključci se ne mogu odmah izvući; za ovo bi bilo neophodno razjasniti uslove eksperimenta. Na ovaj ili onaj način, jasno je da svaki od ovih događaja ima jedan ili drugi stepen mogućnosti. Da bi se događaji kvantitativno uporedili jedni s drugima prema stepenu njihove mogućnosti, očigledno je potrebno povezati određeni broj, što je veće, to je događaj mogući. Ovaj broj ćemo nazvati vjerovatnoćom nekog događaja.
Tako smo uveli u razmatranje drugi osnovni koncept teorije vjerovatnoće – pojam vjerovatnoće događaja. Vjerovatnoća događaja je numerička mjera stepena objektivne mogućnosti ovog događaja.
Imajte na umu da već pri samom uvođenju pojma vjerovatnoće nekog događaja ovom konceptu vezujemo određeno praktično značenje, naime: na osnovu iskustva smatramo vjerovatnijim one događaje koji se češće dešavaju; malo vjerovatne - one koje se gotovo nikad ne javljaju. Dakle, koncept vjerovatnoće događaja je u osnovi povezan sa eksperimentalnim, praktičnim konceptom učestalosti događaja.
Upoređujući različite događaje među sobom prema stepenu njihove mogućnosti, moramo uspostaviti neku vrstu mjerne jedinice. Kao takvu mjernu jedinicu prirodno je uzeti vjerovatnoću pouzdanog događaja, tj. takav događaj koji se, kao rezultat iskustva, svakako mora dogoditi. Primjer pouzdanog događaja - pri bacanju se ne ispušta više od 6 poena kockice.
Ako pripišemo vjerovatnoću pouzdanom događaju, jednako jedan, tada će svi ostali događaji - mogući, ali ne i pouzdani - biti okarakterisani vjerovatnoćama koje su manje od jedan, čineći dio od jedan.
Suprotnost određenom događaju je nemoguć događaj, tj. događaj koji se ne može dogoditi u datom iskustvu. Primjer nemogućeg događaja je pojava 12 poena na bacanju jedne kocke. Prirodno je nemogućem događaju pripisati vjerovatnoću jednaku nuli.
Tako se uspostavlja jedinica mjere vjerovatnoće - vjerovatnoća pouzdanog događaja - i raspon promjene vjerovatnoća bilo kojeg događaja - brojevi od 0 do 1.
1. Slučajni događaji
Teorija vjerovatnoće- Ovo je grana matematike koja proučava obrasce masovnih slučajnih događaja.
Događaj se naziva slučajnim događajem, čija se pojava ne može garantovati. Slučajnost događaja određena je mnogim razlozima koji objektivno postoje, ali je nemoguće uzeti u obzir sve njih, kao ni stepen njihovog uticaja na događaj koji se proučava. Takvi slučajni događaji uključuju: ispadanje jednog ili drugog broja prilikom bacanja kocke, dobitak na lutriji, broj pacijenata koji su zakazali pregled kod doktora itd.
I iako je u svakom konkretnom slučaju teško predvidjeti ishod testa, uz dovoljno veliki broj zapažanja moguće je utvrditi prisustvo nekog obrasca. Prilikom bacanja novčića možete vidjeti da je broj glava i repa koji ispadaju približno isti, a pri bacanju kocke pojavljuju se i različita lica, približno ista. To sugerira da slučajni fenomeni imaju svoje zakone, ali se pojavljuju samo uz veliki broj testova. Ispravnost ovoga potvrđuje zakon velikih brojeva, koji je u osnovi teorije vjerovatnoće.
Razmotrimo osnovne pojmove i koncepte teorije vjerovatnoće.
Test se naziva skup uslova pod kojima se dati slučajni događaj može dogoditi.
Događaj - to je činjenica koja se, pod određenim uslovima, može, ali i ne mora dogoditi. Događaji označavaju velikim slovima latinica A, B, C ...
Na primjer, događaj A- rođenje dječaka, događaj V - dobitak na lutriji, događaj C - ispadanje iz broja 4 pri bacanju kocke.
Događaji su pouzdani, nemogući i slučajni.
Vjerodostojan događaj- ovo je događaj koji se mora dogoditi kao rezultat testa.
Na primjer, ako je na kocki na svih šest strana . stavite broj 1, tada je ispadanje broja 1 pri bacanju kocke pouzdan događaj.
Nemoguć događaj - to je događaj koji se ne može dogoditi kao rezultat testa.
Na primjer, u prethodno razmatranom primjeru, ovo je ispuštanje bilo koje cifre osim 1.
Slučajni događaj je događaj koji se može ili ne mora dogoditi tokom testiranja. Određeni događaji se realizuju sa različite mogućnosti.
Na primjer, kiša se očekuje sutra popodne. U ovom primjeru, dolazak dana je izazov, a kiša je slučajan događaj.
Događaji se zovu nedosledno ako, kao rezultat ovog testa, pojava jednog od njih isključuje pojavu drugog.
Na primjer, kada je novčić bačen, pojava glave i repa u isto vreme su nedosledni događaji.
Događaji se zovu zglob, ako, kao rezultat ovog testa, pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog.
Na primjer, pri kartanju, pojava džaka i boje pikova su zajednički događaji.
Događaji se zovu jednako moguće, ako nema razloga vjerovati da se jedan od njih javlja češće od drugog!
Na primjer, Padanje bilo koje strane kocke je jednako moguć događaj.
Forma događaja kompletna grupa događaja, ako će se, kao rezultat testa, barem jedan od njih nužno pojaviti i bilo koja dva od njih su nekompatibilna.
Na primjer, sa 10 hitaca u metu moguće je od 0 do 10 pogodaka. Prilikom bacanja kocke može ispasti broj od 1 do 6. Ovi događaji čine kompletnu grupu.
Pozivaju se događaji koji su uključeni u kompletnu grupu parno nekompatibilnih i jednako mogućih događaja ishodi, ili elementarni događaji. Prema definiciji pouzdanog događaja, može se smatrati da je događaj koji se sastoji u pojavljivanju jednog, bez obzira koji od događaja kompletne grupe, pouzdan događaj.
Na primjer, pri bacanju jedne kocke ispada broj manji od sedam. Ovo je primjer vjerodostojnog događaja.
Suprotni događaji su poseban slučaj događaja koji čine kompletnu grupu.
Dva nespojiva događaja A i (čitaj "ne A") se pozivaju suprotno, ako se, kao rezultat testa, jedan od njih nužno mora pojaviti.
Na primjer, ako se stipendija dodjeljuje samo po dobijanju dobrih i odličnih ocjena na ispitu, onda su događaji "stipendija" i "nezadovoljavajuća ili zadovoljavajuća ocjena" suprotni.
Događaj A pozvao povoljno događaj V, ako je nastupio događaj A podrazumeva nastanak događaja V.
Na primjer, pri bacanju kocke, pojavu neparnog broja pogoduju događaji povezani s ispadanjem brojeva 1,3 i 5.
2. Operacije na događajima
Operacije nad događajima su slične operacijama nad skupovima.
Suma nekoliko događaja naziva se događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od njih kao rezultat testa.
Zbir događaja može se označiti znakovima "+", "È", "ili".
Slika 1 prikazuje geometrijsku interpretaciju koristeći Euler-Venn dijagrame. Zbir događaja A + B cijelo zasjenjeno područje će se podudarati.
sl. 1
Područje ukrštanja događaja A i V odgovara zajedničkim događajima koji se mogu dogoditi istovremeno. Isto tako i za događaje A, B i WITH postoje zajednički događaji A i V; A i WITH; V i C; A i V i SA, koji se mogu pojaviti istovremeno.
Na primjer, urna sadrži bijele, crvene i plave kuglice. Mogući su sljedeći događaji: A- bijela lopta je izvađena; V- crvena lopta je izvučena; C - plava lopta se vadi. Događaj B + C znači da se dogodio događaj - vađena je obojena ili nebela lopta.
Po proizvodu nekoliko događaja naziva se događaj koji se sastoji u zajedničkoj pojavi svih ovih događaja kao rezultat testa.
Proizvod događaja može se označiti znakovima "x", "∩", "and".
Geometrijska interpretacija proizvoda događaja prikazana je na Sl. 2.
sl. 2
Produkcijom događaja A i V postojat će zasjenjeno područje sjecišta područja A i V. I to za tri događaja A i V i SA - ukupne površine, istovremeno ulazeći u sva tri događaja.
Na primjer, Neka se karta nasumično izvuče iz špila karata. Događaj A- izvučena je karta pikova; V - dizalica je izvađena. Onda događaj A × B znači događaj - pik se vadi.
Razlika dva događaja A-B naziva se događaj koji se sastoji od ishoda uključenih u A, ali nije uključeno V.
Na sl. 3 je ilustracija razlike događaja koristeći Euler-Venn dijagrame.
sl. 3
Razlikom dva događaja A-B je zasjenjeno područje A bez dijela koji ulazi u događaj V. Razlika između proizvoda događaja A i V i događaj WITHće zajedničko područje događaji A i događaje V bez zajedničkog prostora za događaje WITH.
Na primjer, pustite prilikom bacanja kocke događaj A - pojavu parnih brojeva (2,4,6) i događaj V - višestruki od 3, tj. (3, 6). Onda događaj A-B izgled brojeva (2,4).
3. Određivanje vjerovatnoće događaja
Slučajni događaji se implementiraju sa različitim mogućnostima. Neki se dešavaju češće, drugi rjeđe. Da bi se kvantificirale mogućnosti događaja, uvodi se koncept vjerovatnoća događaja.
Vjerovatnoća događaja je broj koji karakteriše stepen mogućnosti nastanka događaja sa višestrukim ponavljanjem testova.
Vjerovatnoća je označena slovom R(sa engleskog. vjerovatnoća - vjerovatnoća). Vjerovatnoća je jedan od osnovnih pojmova teorije vjerovatnoće. Postoji nekoliko definicija ovog koncepta.
Classic definicija vjerovatnoće je sljedeća. Ako su poznati svi mogući ishodi suđenja i nema razloga vjerovati da bi se jedan slučajni događaj pojavljivao češće od drugih, tj. događaji su podjednako mogući i nekonzistentni, tada je moguće analitički odrediti vjerovatnoću događaja.
Vjerovatnoća P (A) događaji A naziva se odnos broja povoljnih ishoda T na ukupan broj jednako mogućih nekonzistentnih ishoda P:
Svojstva vjerovatnoće:
1. Vjerovatnoća slučajnog događaja A je između 0 i 1.
2. Vjerovatnoća određenog događaja je 1.
.
3. Vjerovatnoća nemogućeg događaja je 0.
.
Ako vas zanima pitanje iz naslova, vjerovatno ste student ili školarac koji se suočava sa novim predmetom za sebe. Teorijske probleme sada rješavaju učenici petih razreda viših škola, srednjoškolci prije Jedinstvenog državnog ispita i studenti bukvalno svih specijalnosti - od geografa do matematičara. Kakav je ovo objekat i kako mu pristupiti?
Vjerovatnoća. Šta je ovo?
Teorija vjerovatnoće, kao što ime govori, bavi se vjerovatnoćama. Okruženi smo mnogim stvarima i pojavama o kojima, koliko god da je nauka razvijena, nemoguće je dati tačna predviđanja. Ne znamo koju ćemo kartu nasumično izvući iz špila ili koliko dana će padati kiša u maju, ali imamo nešto Dodatne informacije, možemo napraviti prognoze i izračunati vjerovatnoće ovih slučajnih događaja.
Dakle, suočeni smo sa osnovnim konceptom slučajni događaj- pojava čije se ponašanje ne može predvidjeti, eksperiment čiji se rezultat ne može unaprijed izračunati itd. To su vjerovatnoće događaja koje su izračunate u tipični zadaci Oh. Vjerojatnost je određena, strogo govoreći, funkcija koja uzima vrijednosti od 0 do 1 i karakterizira dati slučajni događaj. 0 - događaj je praktično nemoguć, 1 - događaj je praktično siguran, 0,5 (ili "50 prema 50") - događaj će se dogoditi sa jednakom vjerovatnoćom ili ne.
Algoritam za rješavanje tipičnih problema za pronalaženje vjerovatnoće
Više informacija o osnovama teorije vjerovatnoće možete pronaći, na primjer, u online vodiču. Hajde sada da ne lupamo okolo, i da formulišemo primjer sheme, prema kojem treba rješavati standardne obrazovne zadatke za izračunavanje vjerovatnoće slučajnog događaja, a zatim ćemo u nastavku primjerima ilustrovati njegovu primjenu.
- Pažljivo pročitajte zadatak i shvatite šta se tačno dešava (šta se vadi iz koje kutije, šta je bilo gde je bilo, koliko uređaja radi itd.)
- Pronađite glavno pitanje problema kao što je "izračunajte vjerovatnoću da ..." i zapišite ovu elipsu u obliku događaja čija vjerovatnoća se mora pronaći.
- Događaj je snimljen. Sada treba da shvatimo kojoj „šemi“ teorije verovatnoće problem pripada da bismo izabrali prave formule za rešenje.
Vjerovatnoća
Odgovorite na test pitanja kao što su:
- postoji jedan test (na primjer, bacanje dvije kosti) ili nekoliko (na primjer, provjera 10 uređaja);
- ako postoji više testova, da li rezultati jednog zavise od drugih (zavisnost ili nezavisnost događaja);
- događaj se događa u jednoj situaciji ili zadatak govori o nekoliko mogućih hipoteza (na primjer, iz bilo koje kutije od tri ili iz određene kutije izvadi se lopta).
Što više iskustva imate s rješavanjem problema, lakše ćete odrediti koje su formule prikladne.
- Odabrana formula (ili nekoliko) za rješenje. Zapisujemo sve ove zadatke i zamjenjujemo ih u ovu formulu.
- Voila, vjerovatnoća je pronađena.
Gotova rješenja problema na bilo koji dio teorije vjerovatnoće, više od 10.000 primjera! Pronađite svoj problem:
Kako riješiti probleme: klasična vjerovatnoća
Primjer 1.U grupi od 30 učenika testni rad 6 učenika je dobilo "5", 10 učenika - "4", 9 učenika - "3", ostali - "2". Pronađite vjerovatnoću da 3 učenika, pozvana na tablu, dobiju "2" na testu.
Započinjemo rješavanje prema gore opisanim točkama.
- Problem je u izboru 3 učenika iz grupe koji ispunjavaju određene uslove.
- Predstavljamo glavni događaj $ X $ = (Sva 3 učenika, pozvana na ploču, dobila su "2" na testu).
- Pošto se u zadatku javlja samo jedan test i on je povezan sa selekcijom/selekcijom prema određenom uslovu, govorimo o klasičnoj definiciji verovatnoće. Napišimo formulu: $ P = m / n $, gdje je $ m $ broj ishoda koji pogoduju implementaciji događaja $ X $, a $ n $ je broj svih jednako mogućih elementarnih ishoda.
- Sada moramo pronaći vrijednosti $ m $ i $ n $ za ovaj zadatak. Prvo, nalazimo broj svih mogućih ishoda – broj načina da izaberemo 3 učenika od 30. Pošto redosled odabira nije bitan, ovo je broj kombinacija od 30 do 3: $$ n = C_ (30 ) ^ 3 = \ frac (30{3!27!}=\frac{28\cdot 29 \cdot 30}{1\cdot 2 \cdot 3}=4060.$$ Найдем число способов вызвать только студентов, получивших «2». Всего таких студентов было $30-6-10-9=5$ человек, поэтому $$m=C_{5}^3=\frac{5!}{3!2!}=\frac{4 \cdot 5}{1\cdot 2}=10.$$!}
- Dobijamo vjerovatnoću: $$ P (X) = \ frac (m) (n) = \ frac (10) (4060) = 0,002 $$ Problem riješen.
Više primjera: Riješeni problemi na klasičnoj definiciji vjerovatnoće.
Kako riješiti probleme: Bernulijeva formula
Primjer 2.Kolika je vjerovatnoća da će se sa 8 bacanja novčića grb pojaviti 5 puta?
Opet, prema šemi za rješavanje problema vjerovatnoće, razmatramo ovaj problem:
- Problem je u nizu identičnih testova - bacanja novčića.
- Unesite glavni događaj $ X $ = (Sa 8 bacanja novčića, amblem će se pojaviti 5 puta).
- Kako u zadatku postoji nekoliko testova, a vjerovatnoća nastanka događaja (grba) je ista u svakom testu, govorimo o Bernoullijevoj šemi. Napišimo Bernoullijevu formulu, koja opisuje vjerovatnoću da će grb ispasti iz $ n $ bacanja novčića tačno $ k $ puta: $$ P_ (n) (k) = C_n ^ k \ cdot p ^ k \ cdot (1-p) ^ (nk). $$
- Zapisujemo podatke iz uslova zadatka: $ n = 8, p = 0,5 $ (vjerovatnoća dobijanja grba pri svakom bacanju je 0,5) i $ k = 5 $
- Zamenite i dobijete verovatnoću: $$ P (X) = P_ (8) (5) = C_8 ^ 5 \ cdot 0,5 ^ 5 \ cdot (1-0,5) ^ (8-5) = \ frac (8{5!3!}\cdot 0,5^8=\frac{6\cdot 7 \cdot 8}{1\cdot 2 \cdot 3} \cdot 0,5^8= 0,219.$$ Задача решена.!}
Više primjera: Rešeni problemi na Bernoullijevoj formuli, rešavač problema na teoriji verovatnoće.
I to je sve? Naravno da ne.
Iznad smo spomenuli samo mali dio tema i formula teorije vjerovatnoće, za detaljnije proučavanje možete pogledati udžbenik online na ovoj stranici (ili preuzeti klasične udžbenike na TV-u), pročitati članke o rješavanju probabilističkih problema, besplatne primjere, koristiti online kalkulatori... Sretno!
Hvala na čitanju i dijeljenju s drugima.
Ostalo korisnih članaka o teoriji vjerovatnoće
Članci o rješavanju matematičkih zadataka
Posmatranje fenomena, iskustvo, eksperiment, koji se može izvoditi više puta, u teoriji vjerovatnoće obično se nazivaju test ... Rezultat, ishod testa se zove događaj .
Primjer 1 ... Polaganje ispita je test; dobijanje određene ocene je događaj. Snimak je test; pogoditi određeno ciljno područje je događaj. Bacanje kocke je test; pojavljivanje jednog ili drugog broja poena na bačenoj kocki je događaj.
Vrste slučajnih događaja
Događaji se zovu nedosledno ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugih događaja u istom ispitivanju.
Primjer 2 :
- nedosledni događaji : dan i noć, čovjek čita i čovjek spava, broj je neracionalan i paran;
- zajedničkih događaja : pada kiša i pada snijeg, čovjek jede i čovjek čita, broj je cijeli i paran.
Formira se nekoliko događaja puna grupa (prostor ishoda) ako se barem jedan od njih pojavi kao rezultat testa. Drugim riječima, pojava barem jednog od događaja cijele grupe je pouzdan događaj.
Primjer 3 .
Lekcija algebre »Slučajni događaji. Vjerovatnoća slučajnog događaja."
Prilikom polaganja testa mogući su sljedeći ishodi: "položio", "nije priznao", "nije se pojavio"; pri bacanju novčića - "glave", "repove".
Primjer 4 ... Neka urna sadrži 6 identične lopte, i 2 od njih - crveni, 3 - plava i 1 - Bijelo. Koja je prilika da nasumce izvadite obojenu kuglu iz urne? Može li se ova prilika okarakterizirati brojem?
Ispostavilo se da možeš. Ovaj broj se naziva vjerovatnoća događaja. A (izgled kuglice u boji). Na ovaj način, verovatnoća je broj koji karakteriše stepen mogućnosti da se događaj desi .
Svaki od mogućih rezultata testa (u primjeru 4, test se sastoji od vađenja lopte iz urne) naziva se elementarni ishod .
Zovu se oni elementarni ishodi u kojima se događa događaj koji nas zanima povoljno ovaj događaj. Primjer 4 favorizira događaj A (izgled obojene lopte) 5 ishoda.
Događaji se zovu podjednako moguće ako postoji razlog za vjerovanje da nijedna od njih nije moguća od druge.
Primjer 5 ... Pojava ovog ili onog broja bodova na bačenim kockama jednako su mogući događaji.
Vjerovatnoća P (A) događaji A nazovite omjer broja povoljnih ishoda za ovaj događaj prema ukupnom broju svih jednako mogućih nedosljednih elementarnih ishoda koji čine kompletnu grupu.
Vjerovatnoća P (A) događaji A određuje se formulom
gdje m - broj povoljnih elementarnih ishoda A ; n - broj svih mogućih ishoda osnovnog testa.
U primjeru su ukupno 4 elementarna ishoda 6 ; Od njih 5 favorizovati događaj A ... Dakle, vjerovatnoća da se uzeta lopta pokaže obojenom je P (A) = 5/6 .
Primjer 6 ... Odredite vjerovatnoću da dobijete neparan broj bodova na kocki.
Rješenje. Prilikom bacanja kocke, događaj A - „ispao je neparan broj bodova“ može se napisati kao podskup (1, 3, 5) prostora ishoda (1, 2, 3, 4, 5, 6) (Sl. 1).
Broj svih jednako mogućih ishoda n = 6 i broj povoljan događaj A – m = 3. Dakle,
Primjer 7 ... Urna sadrži 7 lopte: 2 bijela, 4 crna i 1 crvena. Jedna lopta se vadi nasumično. Kolika je vjerovatnoća da će izvađena lopta biti crna?
Rješenje. Hajde da numerišemo kuglice. Neka, na primjer, kuglice s brojevima 1 i 2 - bijeli, sa brojevima 3, 4, 5 i 6 - crna, i dodijelite broj crvenoj lopti 7 .
Pošto možemo izvaditi samo jednu od sedam loptica ukupan broj jednakih ishoda je sedam ( n = 7 ). Od njih 4 ishod - pojava loptica sa brojevima 3, 4, 5 i 6 - će uzrokovati da uklonjena lopta bude crna ( m = 4 ). Dakle, vjerovatnoća događaja A , koji se sastoji u izgledu crne lopte, jednak je
Izračunajte vjerovatnoću da će izvađena lopta biti bijela.
Primjer 8 .
Izračunajte vjerovatnoću ispadanja u zbiru 10 bodova kada se baci par kockica.
Rješenje. Uzmite u obzir sve jednako moguće ishode kao rezultat bacanja dvije kocke (njihov broj je 36
- preporučujemo da to zapišete u obliku tabele). Pad ukupno 10
bodova (događaj A
) moguće u tri slučaja – 4
tačke na prvoj kosti i 6
na drugom, 5
bodova na prvom i 5
na drugom, 6
bodova na prvom i 4
Na drugom. Dakle, vjerovatnoća događaja A (ispadanje u zbiru 10
bodova) je jednako 
Nekretnina 1... Vjerovatnoća pouzdan događaji A je jednako jedan: P (A) = 1 .
Nekretnina 2... Vjerovatnoća nemoguće događaji A je jednako nuli: P (A) = 0 .
Nekretnina 3... Vjerovatnoća slučajnog događaja je pozitivan broj zaključeno između nula i jedinica :
0 £ P (A) 1 £.
Primjer 9 ... Pošto je verovatnoća ispadanja 13 bodova pri bacanju kockice - nemoguć događaj, njegova vjerovatnoća je nula .
Klasična definicija vjerovatnoće pretpostavlja da je broj elementarnih ishoda ispitivanja konačan. U praksi, međutim, često postoje suđenja čiji je broj mogućih ishoda beskonačan. Osim toga, često je nemoguće prikazati rezultat testa kao skup elementarnih događaja. Još je teže ukazati na osnove da se elementarni događaji smatraju podjednako mogućim. Iz tog razloga, uz klasičnu definiciju vjerovatnoće, koriste se posebno druge definicije statistička definicija .
Statističko određivanje vjerovatnoće
Relativna frekvencija zajedno sa verovatnoćom pripada osnovnim konceptima teorije verovatnoće.
Relativna frekvencija događaji A odnosi se na omjer broja testova u kojima se događaj dogodio i ukupnog broja testova koji su stvarno obavljeni:
gdje m - broj pojavljivanja događaja A , n - ukupan broj testova.
Klasična vjerovatnoća se izračunava prije eksperimenta, a relativna frekvencija se izračunava nakon eksperimenta. .
Dugoročna zapažanja su pokazala da ako se eksperimenti izvode pod istim uslovima, u svakom od kojih je broj testova veliki, onda relativna frekvencija pokazuje svojstvo stabilnosti .
Ovo svojstvo sastoji se u činjenici da se u različitim eksperimentima relativna frekvencija malo mijenja (što manje, to se više testova izvodi), fluktuirajući oko određenog konstantnog broja. Ovo je konstantan broj i postoji vjerovatnoća da će se neki događaj dogoditi.
Dakle, uz dovoljno veliki broj testova kao statistička vjerovatnoća događaja prihvatiti relativna frekvencija ili broj blizu njega.
Primjer 10
... Prirodnjak K. Pearson strpljivo je bacao novčić i nakon svakog bacanja nije bio lijen da zapiše rezultat. Izvodeći ovu operaciju 24.000 puta, utvrdio je da je grb ispao u 12.012 slučajeva. Izračunavajući relativnu frekvenciju grba, dobio je 
, što je praktično jednako 1/2.
Mnoge ljude zanima pitanje: da li je moguće utjecati na slučajne događaje, otkriti bilo koji obrazac događaja, dobiti rezultat koji je poželjan. Svi fenomeni koji nas okružuju javljaju se i mijenjaju s određenim stepenom nasumice i neizvjesnosti.
Susrećemo se sa slučajnim događajima češće nego što se obično vjeruje. Slučajni faktori su u osnovi okruženje, ekonomiju, politiku, društvenu i javni život, oni određuju tok svakog procesa queuing- trgovina, telefonske veze, usluge transporta i medicinska pomoć. Zadatak upravljanja raznim vrstama procesa, s kojim se najoštrije suočava modernog društva, sastoji se u učenju navigacije u svijetu nesreća i aktivnog djelovanja, oslanjajući se na skrivene specifične obrasce.
Svi fenomeni stvarnosti oko nas mogu se posmatrati sa stanovišta vjerovatnoće njihovog nastanka. Kada student ide na ispit, vjerovatnoća da dobije dobru ocjenu zavisi od nekoliko razloga: spremnosti studenta, dobro odabrane karte, dobrobiti, raspoloženja.
Ekonomista može zanimati vjerovatnoća da cijene proizvoda neće rasti osim ako se proizvodnja ne smanji, ili vjerovatnoća da osigurani automobil neće biti uključen u nesreću.
Svi ovi događaji su nasumični i mogu se, ali i ne moraju dogoditi sa određenim stepenom neizvjesnosti. Kvantitativna mjera takve neizvjesnosti je vjerovatnoća da će se desiti slučajni događaj, što se podrazumijeva kao broj koji izražava stepen povjerenja u nastanak određenog slučajnog događaja.
Slučajni događaji su mogući ishodi jedne operacije ili testa.
Testiranje treba shvatiti kao proces koji uključuje određenim uslovima i dovodi do jednog od nekoliko mogućih ishoda.
Na primjer: test - bacanje novčića, slučajni događaj - ispadanje grba. Test - rođenje djeteta, slučajni događaj - pol djeteta - muško.
Ishod iskustva može biti rezultat posmatranja, mjerenja, evaluacije.
Slučajni događaj se može sastojati od nekoliko elementarnih događaja .
Pojedinačni, odvojeni ishod suđenja naziva se elementarni događaj.
Događaj se naziva slučajnim ako se, kao rezultat testa (eksperimenta), može dogoditi ili ne mora.
Na primjer, strijelac koji puca može, ali ne mora pogoditi metu. U ovom slučaju, test je hitac, a mogući elementarni ishodi su pogodak ili promašaj mete. Fudbalski tim može učestvovati u utakmici - ovo je test, kao rezultat kojeg se mogu pojaviti ishodi, ili elementarni događaji: pobjeda, poraz ili remi.
Procjena studenta na ispitu je slučajni događaj koji se sastoji od elementarnih događaja: dobijanja ocjene „odličan“, dobivanja ocjene „dobar“, dobivanja ocjene „zadovoljavajući“ i „nezadovoljavajuće“.
Elementarni događaji se prema njihovoj neizvjesnosti mogu klasificirati kao izvjesni, nemogući i slučajni.
Pouzdan događaj je događaj koji će se nužno dogoditi pod određenim skupom uslova.
Na primjer, ako postoje samo standardni dijelovi u kutiji, tada je izdvajanje standardnog dijela iz njega valjan događaj. Također je pouzdano da je u pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak zbiru kvadrata kateta.
Događaj koji se ne može dogoditi kao rezultat ovog testa naziva se nemogućim.
Ako su svi dijelovi standardni u kutiji, onda je izvlačenje nestandardnog dijela iz nje nemoguć događaj. Kvadrat realnog broja ne može biti negativan. Općenito, vjerodostojni i nemogući događaji nisu slučajni.
Slučajni događaji. Vjerovatnoća (str. 1)
Osnova za naučni pristup potraga za odgovorima na pitanja ove vrste je teorija vjerovatnoće.
Rođenje teorije vjerovatnoće i formiranje prvih koncepata ove grane matematike dogodilo se sredinom 17. stoljeća, kada su Pascal, Fermat, Bernoulli pokušali analizirati probleme vezane za kockanje nove metode. Ubrzo je postalo jasno da će nova teorija naći širok spektar primjena za rješavanje mnogih problema koji se pojavljuju u različitim oblastima ljudske aktivnosti.
Proizvodnjom dovoljno veliki broj eksperimentima ili testovima, možete odrediti koliko često se događaj događa i izračunati vjerovatnoću njegovog pojavljivanja. Ovako određena vjerovatnoća naziva se statistička ili posteksperimentalna. U nekim slučajevima možete odrediti preteksperimentalnu vjerovatnoću, koja se naziva klasičnom.
Vjerovatnoća nastanka događaja A je omjer broja ishoda koji su povoljni za nastanak ovog događaja i ukupnog broja svih jedinih mogućih i nekonzistentnih elementarnih ishoda. Označimo broj ishoda povoljnih za događaj A sa M, a broj svih mogućih ishoda N. Zatim, da bismo odredili vjerovatnoću, možemo koristiti formulu P (A) = M / N.
Proveo sam eksperiment: pokušao sam da izvučem iz 15 loptica, od kojih su 2 crvene, ostale zelene, na proizvoljan način 2 kuglice. Pokušao je utvrditi vjerovatnoću da će obje lopte ispasti crvene; obe lopte će biti zelene; jedna lopta će biti crvena, druga zelena.
Rezultat pretpostavljen prije eksperimenta je opravdan: najveći mogući ishod je izvlačenje 2 zelene kuglice, najmanji mogući ishod je izvlačenje 2 crvene kuglice.
Upoređujući praktične i teorijske vjerovatnoće, utvrđeno je prilično veliko odstupanje, a razlog tome je mali broj provedenih testova.
Da bi se dobio točniji rezultat, poželjno je provesti što više ispitivanja, razmotriti sve moguće ishode ispitivanja i povoljne ishode. Ne zaboravite da to uvijek možete provjeriti teoretski. U ovom slučaju, vjerovatnoće prije eksperimenta i nakon eksperimenta moraju se podudarati.
Nakon provedenog istraživanja o ovom pitanju, došao sam do zaključka: teorija vjerovatnoće ne utječe na slučajne događaje, ona vam samo omogućava da saznate stupanj njegovog pojavljivanja, a vjerovatnoća izračunata tokom eksperimenta, što je tačnija to je više testova se sprovode.
književnost:
- Kibzun A.I. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika. Osnovni kurs s primjerima i zadacima / A. I. Kibzun. - M.: Fizmatlit, 2002.-- 224 str.
- Kochetkov E.S., Smerchinskaya S.O., Sokolov V.V. Teorija vjerovatnoće i matematička statistika. - M.: FORUM: INFRA-M, 2006.-- 240 str.
- Pisani D.T. Bilješke s predavanja o teoriji vjerovatnoće, matematičkoj statistici i slučajni procesi... - M.: Ayris-press, 2007.-- 288 str.
Hvala na čitanju i dijeljenju s drugima.
Osnovni koncept teorije vjerovatnoće je koncept slučajnog događaja. Slučajnim događajem je događaj koji se, pod određenim uslovima, može, ali i ne mora dogoditi. Na primjer, pogoditi predmet ili promašiti kada pucate na ovaj objekt iz ovo oružje je slučajan događaj.
Događaj se zove pouzdan ako se, kao rezultat testa, nužno dogodi. Nemoguće naziva se događaj koji se ne može dogoditi kao rezultat testa.
Pozivaju se slučajni događaji nedosledno u datom suđenju ako se nijedna dvojica ne mogu pojaviti zajedno.
Forma slučajnih događaja puna grupa ako se na svakom suđenju može pojaviti bilo koji od njih i ne može se pojaviti nijedan drugi događaj koji nije u skladu s njima.
Razmotrimo kompletnu grupu jednako mogućih nekompatibilnih slučajnih događaja. Takvi događaji će se zvati ishodi. Egzodus se zove povoljno pojavu $A $ događaja, ako pojava ovog događaja povlači pojavu $A $ događaja.
Primjer. Urna sadrži 8 numerisanih kuglica (svaka lopta ima jedan broj od 1 do 8).
Kuglice sa brojevima 1, 2, 3 su crvene, ostale su crne. Pojava lopte sa brojem 1 (ili brojem 2 ili brojem 3) je događaj povoljan za pojavu crvene lopte. Pojava lopte sa brojem 4 (ili brojem 5, 6, 7, 8) je događaj povoljan za pojavu crne lopte.
Vjerovatnoća događaja$ A $ je omjer broja $ m $ ishoda povoljnih za ovaj događaj prema ukupnom broju $ n $ svih jednako mogućih nekonzistentnih elementarnih ishoda koji čine punu grupu $$ P (A) = \ frac (m) ( n). \ quad (1) $$
Nekretnina 1. Vjerovatnoća pouzdanog događaja jednaka je jedan
Nekretnina 2. Vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula.
Nekretnina 3. Vjerovatnoća slučajnog događaja je pozitivan broj između nule i jedan.
Dakle, vjerovatnoća bilo kojeg događaja zadovoljava dvostruku nejednakost $ 0 \ le P (A) \ le 1 $.
Online kalkulatori
Veliki stratum problema koji se rješava primjenom formule (1) odnosi se na temu hipergeometrijske vjerovatnoće. Ispod linkova možete pronaći opise popularnih problema i online kalkulatora za njihova rješenja:
- Problem oko loptica (urna sadrži $ k $ bijelih i $ n $ crnih loptica, izvadite $ m $ loptica...)
- Problem oko delova (kutija sadrži $ k $ standardnih i $ n $ neispravnih delova, izvadite $ m $ delova...)
- Problem oko lutrijskih tiketa ($ k $ dobitnih i $ n $ ne dobitnih listića učestvuju u lutriji, $ m $ kupljenih tiketa...)
Primjeri rješavanja problema za klasičnu vjerovatnoću
Primjer. Urna sadrži 10 numerisanih kuglica brojevima od 1 do 10. Jedna lopta je izvađena. Kolika je vjerovatnoća da broj izvađene loptice ne bude veći od 10?
Rješenje. Neka događaj A= (Broj uklonjene lopte ne prelazi 10). Broj slučajeva pogodnih za nastanak događaja A jednak je broju svih mogućih slučajeva m=n= 10. dakle, R(A) = 1. Događaj Pouzdan.. Broj elementarnih ishoda (broj karata)
Traženje vjerovatnoće 
.
Formule vjerovatnoće online
U ovom odeljku ćete pronaći formule o teoriji verovatnoće u onlajn verziji (možete je preuzeti na stranici Tabele i formule o teoriji verovatnoće). Ako je riječ podvučena, klik na link vodi vas do Detaljan opis termin, primjeri ili izračun na online kalkulatoru. Iskoristite ove mogućnosti!
I takođe za proučavanje tervera imamo:
Hvala na čitanju i dijeljenju s drugima.
I. Slučajni događaji. Osnovne formule na mreži
1. Osnovne formule kombinatorike
Broj permutacija $$ P_n = n!
Vodič za vjerovatnoću
1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot ... \ cdot (n-1) \ cdot n $$
Položaji $$ A_m ^ n = n \ cdot (n-1) \ cdot… \ cdot (n-m + 1) $$
Broj kombinacija $$ C_n ^ m = \ frac (A_n ^ m) (P_m) = \ frac (n{m! \cdot (n-m)!}$$!}
2. Klasična definicija vjerovatnoće
$$ P (A) = \ frac (m) (n), $$ gdje je $ m $ broj ishoda povoljnih za događaj $ A $, $ n $ je broj svih elementarnih jednako mogućih ishoda.
Za više informacija o klasičnoj vjerovatnoći, pogledajte online vodič i kalkulatore odluka.
3. Vjerovatnoća zbira događaja
Teorema sabiranja za vjerovatnoće nekonzistentnih događaja:
$$ P (A + B) = P (A) + P (B) $$
Teorema sabiranja za vjerovatnoće zajedničkih događaja:
$$ P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB) $$
Primjeri rješenja i teorije o algebri događaja su ovdje.
4. Vjerovatnoća nastanka događaja
Teorema za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja:
$$ P (A \ cdot B) = P (A) \ cdot P (B) $$
Teorema za množenje vjerovatnoća zavisnih događaja:
$$ P (A \ cdot B) = P (A) \ cdot P (B | A), \\ P (A \ cdot B) = P (B) \ cdot P (A | B). $$
$ P (A | B) $ - uslovna verovatnoća događaja $ A $, pod uslovom da se dogodio događaj $ B $,
$ P (B | A) $ - uslovna verovatnoća $ B $ događaja, pod uslovom da se dogodio $ A $ događaj.
Saznajte više o uslovnoj vjerovatnoći.
5. Formula ukupne vjerovatnoće
$$ P (A) = \ sum_ (k = 1) ^ (n) P (H_k) \ cdot P (A | H_k), $$
6. Formula Bayes (Bayes). Izračunavanje posteriornih vjerovatnoća hipoteza
$$ P (H_m | A) = \ frac (P (H_m) \ cdot P (A | H_m)) (P (A)) = \ frac (P (H_m) \ cdot P (A | H_m)) (\ suma \ limits_ (k = 1) ^ (n) P (H_k) \ cdot P (A | H_k)), $$
gdje je $ H_1, H_2,..., H_n $ puna grupa hipoteza.
Primjeri i teorija na ovu temu.
7. Bernulijeva formula
$$ P_n (k) = C_n ^ k \ cdot p ^ k \ cdot (1-p) ^ (n-k) = \ frac (n{k! \cdot (n-k)!}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} $$ вероятность появления события ровно $k$ раз в $n$ независимых испытаниях, $p$ — вероятность появления события при одном испытании.!}
Još korisnija teorija i primjeri Bernoullijeve formule, online kalkulatori.
8. Najvjerovatniji broj nastanka događaja
Najvjerovatniji broj $ k_0 $ pojave događaja u $ n $ nezavisnim testovima (gdje je $ p $ vjerovatnoća pojave događaja u jednom testu):
$$ np- (1-p) \ le k_0 \ le np + p. $$
Izračunajte najvjerovatniju vrijednost na mreži.
9. Lokalna Laplaceova formula
$$ P_n (k) = \ frac (1) (\ sqrt (npq)) \ varphi \ lijevo (\ frac (k-np) (\ sqrt (npq)) \ desno) $$
vjerovatnoća da se događaj dogodi tačno $ k $ puta u $ n $ nezavisnim testovima, $ p $ je vjerovatnoća da se događaj dogodi u jednom testu, $ q = 1-p $.
Vrijednosti funkcije $\varphi (x)$ preuzete su iz tabele.
10. Integralna Laplaceova formula
$$ P_n (m_1, m_2) = \ Phi \ lijevo (\ frac (m_2-np) (\ sqrt (npq)) \ desno) - \ Phi \ lijevo (\ frac (m_1-np) (\ sqrt (npq) ) \ desno) $$
vjerovatnoća pojave događaja najmanje $ m_1 $ i ne više od $ m_2 $ puta u $ n $ nezavisnim testovima, $ p $ - vjerovatnoća pojave događaja u jednom testu, $ q = 1-p $.
Vrijednosti funkcije $ \ Phi (x) $ preuzete su iz tabele.
Teorija i primjeri Moivre-Laplaceovih formula.
11. Procjena odstupanja relativne frekvencije od konstantne vjerovatnoće $ p $
$$ P \ lijevo (\ lijevo | \ frac (m) (n) -p \ desno | \ le \ varepsilon \ desno) = 2 \ Phi \ lijevo (\ varepsilon \ cdot \ frac (n) (\ sqrt (p) (1-p))) \ desno) $$
$ \ varepsilon $ - vrijednost odstupanja, $ p $ - vjerovatnoća pojave događaja.
Riješeni problemi iz teorije vjerovatnoće
Need završen zadatak by terver? Pronađite na web-stranici-reshebnik:
Online katalog formula iz teorije vjerovatnoće
Kompletna lista stranica sa formulama:
Hvala na čitanju i dijeljenju s drugima.
Slučajni događaj -
Dva događaja nekompatibilno
Teorija vjerovatnoće
Algebra slučajnih događaja, Vienne-Eulerovi dijagrami.
Zbir događaja A i B naziva se događaj koji se događa kada se dogode ili A ili B, ili oba događaja.
Po proizvodu A i B naziva se događaj koji se događa ako se iskustvo dogodi oboje događaji.
Događaj Ā, suprotno događaju A naziva se događaj koji se javlja kad god se događaj A ne dogodi.
A \ B (komplement A do B)- dešava se A, ali se ne dešava B
Klasična definicija vjerovatnoće. Kombinatorika.
- klasična definicija vjerovatnoće.
m- ukupan broj ishoda
n Da li je broj ishoda povoljan za nastanak događaja A.
Kombinatorika- grana matematike koja proučava raspored objekata u skladu sa posebnim pravilima i broji broj načina takvog rasporeda. Kombinatorika se pojavila u 18. veku. Smatra se granom teorije skupova.
Aksiomatska konstrukcija teorije vjerovatnoće.
Aksiom 1."Aksiom nenegativnosti" P (A) ≥0
Aksiom 2."Aksiom normalizacije" P (Ω) = 1
Aksiom 3."Aksiom aditivnosti" Ako su događaji A i B nekonzistentni (AB = Ø), onda je P (A + B) = P (A) + P (B)
Teorema o vjerovatnoći zbira događaja.
Za bilo koje događaje P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) (dok na predavanju)
Uslovna vjerovatnoća. Zavisni i nezavisni događaji. Teoreme o vjerovatnoći proizvoda događaja.
P (A | B) - vjerovatnoća događaja A, ako se događaj B već dogodio - uslovna verovatnoća.
Događaj A se zove nezavisni, od događaja B, ako se vjerovatnoća događaja A ne mijenja ovisno o tome da li se događaj B dogodi ili ne.
Teorema množenja vjerovatnoće: P (AB) = P (A | B) P (B) = P (B | A) P (A)
Teorema za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja: P (AB) = P (A) P (B)
Po definiciji uslovne vjerovatnoće,
Formula ukupne vjerovatnoće.
Postoje događaji H 1, H 2,…., H n po paru nekompatibilni i čine kompletnu grupu. Takvi događaji se nazivaju hipoteze... Neka postoji neki događaj A. A = AH 1 + AH 2 +… + AH n (članovi ove sume su parno nedosljedni).
Bayesova formula.
H 1, H 2, ...., H n A
Bernoullijeva šema. Bernulijeva formula. Najvjerovatniji broj uspjeha.
Neka se izvede konačan broj n uzastopnih testova, u svakom od kojih neki događaj A može ili biti "uspješan" ili ne biti "neuspješan", a ti testovi zadovoljavaju sljedeće uvjete:
· Svaki test je nasumičan u odnosu na AT događaj. prije testa, ne može se reći da li će se A pojaviti ili ne;
· Testovi se izvode pod istim uslovima sa vjerovatnoće, tj. vjerovatnoća uspjeha u svakom pojedinačnom testu jednaka je p i ne mijenja se od testa do testa;
· Testovi su nezavisni, tj. ishod bilo kojeg od njih ni na koji način ne utiče na ishode drugih suđenja.
Ovaj niz testova naziva se Bernoullijevo kolo ili binomno kolo, a sami testovi se nazivaju Bernulijevi testovi.
Za izračunavanje vjerovatnoće P n (k) da će u seriji od n Bernulijevih testova biti tačno k uspješnih, koristi se Bernoullijeva formula: (k = 0,1,2, ... n).
10. Koncept slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla, metode njenog dodjeljivanja: distribucijski redovi.
Nasumična vrijednost naziva se količina koja u svakom testu (za svako opažanje) uzima jednu od svojih mnogih moguće vrijednosti, ne zna se unaprijed koji.
Discrete r.v.- r.v., čiji je skup mogućih vrijednosti konačan ili prebrojiv.
Red raspodjele r.v.(serija distribucije vjerovatnoće). Graf serije distribucije je određen poligonom distribucije - isprekidanom linijom koja povezuje tačke sa koordinatama (x i, p i)
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x k | … |
| P | p 1 | p 2 | p 3 | … | p k | … |
RV zakon o distribuciji: p k = P ((X = x k))
Slučajni događaji, njihova klasifikacija. Koncept vjerovatnoće.
Slučajni događaj - događaj koji se u uslovima iskustva može dogoditi ili ne mora. Štaviše, unaprijed se ne zna hoće li se to dogoditi ili ne.
Dva događaja nekompatibilno ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugog u istom iskustvu.
Teorija vjerovatnoće proučava obrasce svojstvene masovnim slučajnim pojavama. Osnovni koncepti teorije vjerovatnoće postavljeni su u prepisci Paskala i Fermata. Ovi koncepti su proizašli iz pokušaja da se matematički opiše kockanje.
Poglavlje 1. Osnovni pojmovi i formule teorije vjerovatnoće………………………………………….. 5
§ 1. Predmet teorije vjerovatnoće. Slučajno
događaji ………………………………………. 5
§ 2. Vjerovatnoća slučajnog događaja ... ... ... ... ... 8
§ 3 Algebra događaja …………………………… .. 12
§ 4 Formula sabiranja vjerovatnoća …………… 17
§ 5 Aksiomatski pristup teoriji
vjerovatnoće …………………………………………… 19
Odjeljak 6 Klasična shema teorija vjerovatnoće... 24
§ 7 Geometrijske vjerovatnoće ……………… .. 26
§ 8 Uslovna verovatnoća. Nezavisnost
slučajni događaji …………………………. 29
§ 9 Formula ukupne vjerovatnoće. Formule
Bajesov ……………………………………… .... 39
§ 10 Kombinatorika ………………………………. 42
§ 11 Bernulijeva šema …………………………… 49
§ 12 Vjerovatnoće pri velikim vrijednostima n.
Poglavlje 2. Slučajne varijable i njihove karakteristike 62
§ 1 Slučajna varijabla i njena funkcija
distribucija ................................................ .62
§ 2 Diskretne slučajne varijable ................... 67
§ 3 Neprekidne slučajne varijable ............... 70
§ 4 Funkcije slučajne varijable ................... 78
§ 5 Sistemi slučajnih varijabli ………………. 81
§ 6 Nezavisne slučajne varijable ... ... ... ... 89
Odjeljak 7 Očekivana vrijednost nasumično
količine ……………………………………………… .. 94
§ 8 Disperzija slučajne varijable ………… .... 109
§ 9. Korelacioni momenat i korelacija
slučajne varijable ……………………………. 113
Poglavlje 3. Zakon velikih brojeva i centralni
granična teorema……………………… 119
§ 1 Čebiševljeva nejednakost ................................................. 119
§ 2 Zakon velikih brojeva ………………………………… ... 123
§ 3 Ljapunovljeva centralna granična teorema i
njegove posljedice …………………………………………… 129
Problemi teorije vjerovatnoće …………………… 138
Individualni zadaci Broj 1 u teoriji
vjerovatnoće …………………………………………… 153
Individualni zadaci broj 2 u teoriji
vjerovatnoće ………………………………………… ... 166
Tablica vrijednosti funkcije 
…….. 183
Tabela vrijednosti za funkciju
................................................... 185
Moći broja e....................................................... 188
Tablica vrijednosti funkcije ……………… ..... 189
Poglavlje I. Osnovni pojmovi i formule teorije vjerovatnoće.
Predmet teorije vjerovatnoće. Slučajni događaji.
Predmet teorije vjerovatnoće su modeli eksperimenata (eksperimenata, opservacija, testova), koji se izvode čim se stvore određeni skupovi uslova.
Primjeri eksperimenata:
1) bacanje novčića 20 puta,
2) kupovina lutrije,
3) dolazak u jutarnjim časovima (između 8 i 9 sati) na stanicu metroa Novogireevo,
U praksi se često susreću situacije kada se ishod našeg eksperimenta ne može unaprijed sa potpunom sigurnošću predvidjeti. Na primjer (pogledajte primjere eksperimenata iznad)
1) nemoguće je predvidjeti da će grb ispasti tačno 9 puta, odnosno da će grb ispasti od 7 do 15 puta
2) da li će dobitak pasti na srećku sa takvim i takvim brojem?
3) cekacemo elektricni voz od 20 do 80 sekundi
U svim takvim situacijama primorani smo da rezultat iskustva razmatramo u zavisnosti od slučaja, da ga smatramo kao slučajni događaj.
Definicija. Neki događaj se naziva slučajnim u odnosu na dato iskustvo ako se u toku implementacije ovog iskustva može desiti, ali i ne mora.
Primer slučajnog događaja je ispadanje amblema tačno 9 puta u eksperimentu sa bacanjem novčića 20 puta, dobitak prodate srećke, čekaćemo na voz od 20 do 80 sekundi, podudarnost datuma rođenja (u iskustvo) dva nasumično odabrana studenta na predavanju o teoriji vjerovatnoće, iu ovoj publici.
Slučajni događaji su naznačeni u nastavku. A, V, WITH itd.
Komentar. Prema gore datoj definiciji, događaj se smatra slučajnim ako njegovo pojavljivanje kao rezultat iskustva predstavlja samo jednu od dvije mogućnosti - doći će ili neće.
Događaji koji se uvijek događaju kao rezultat ovog iskustva nazivaju se kredibilan(oznaka I) koji nikada ne dolaze - nemoguće događaji (oznaka Ø).
Teorija vjerovatnoće razmatra modele takvih eksperimenata koji se mogu ponoviti pod istim uslovima (dovoljno) neograničen broj puta, tj. pretpostavićemo da je, u principu, moguće stvarati iste uslove iznova i iznova za sprovođenje datog iskustva.
Slučajni događaji, čija je pojava moguća u takvim eksperimentima, nazivaju se masivni slučajni događaji.
Masovne slučajne događaje treba razlikovati od izolovanih, koji imaju osobinu da je iskustvo s kojim su ti događaji povezani u osnovi neponovljivo. Na primjer, događaj „Padao je snijeg 1. januara 2010. godine u Moskvi“ je u tom smislu jedan (izuzetan) događaj, jer je nemoguće više puta reproducirati početak navedenog dana. Istovremeno, događaj „U Moskvi je padao snijeg 1. januara“ (bez pominjanja godine) je nesumnjivo masivan: uostalom, vrijeme u Moskvi 1. januara možete promatrati mnogo puta (tokom mnogo godina).
U najopštijim terminima, predmet teorije verovatnoće može se definisati na sledeći način:
Teorija vjerovatnoće bavi se proučavanjem obrazaca svojstvenih masovnim slučajnim događajima.
Ispada da se slučajni događaji povinuju nekim (vjerovatnim) zakonima. Ishod svakog eksperimenta u odnosu na dati događaj je slučajan, neodređen. ali prosječan rezultat veliki broj eksperimenti gube svoj nasumični karakter, postaju prirodni.
Na primjer, razmislite o iskustvu bacanja datog novčića. Pretpostavimo da se bacanje vrši mnogo puta za redom. Ispostavilo se da se "udio" (prosječni rezultat) onih bacanja u kojima amblem ispadne (tj. omjer broja takvih bacanja i broja svih bacanja) približava (ili drugi broj - zavisi od stanja). novčića) sa povećanjem broja bacanja.
Uzmimo još jedan primjer. Posuda sadrži plin. Budući da su u neprekidnom kretanju, molekuli plina se međusobno udaraju i, kao rezultat, stalno mijenjaju veličinu i smjer svoje brzine. Čini se da to implicira da bi se pritisak gasa na zidovima posude, usled uticaja pojedinih molekula na zidove, trebao menjati na nasumičan, nekontrolisan način. Međutim, to nije tako: pritisak plina je podložan strogom zakonu (Boyle-Mariotteov zakon). Razlog za ovaj obrazac leži u činjenici da je pritisak plina na stijenke posude prosječan rezultat djelovanja velikog broja molekula. Nasumične karakteristike svojstvene kretanju pojedinačnih molekula u masi (pošto postoji mnogo molekula) se međusobno poništavaju, izravnavaju i javlja se neka prosječna pravilnost.
Upravo ta stabilnost prosječnog rezultata, njegova nezavisnost od fluktuacija pojedinačnih termina (individualnih ishoda eksperimenta) određuje širinu primjene teorije vjerovatnoće. Fizika, biologija, medicina, lingvistika itd. – sve ove oblasti nauke koriste (neke u većoj, druge u manjoj meri) koncepte i zaključke teorije verovatnoće i srodnih disciplina – matematičke statistike, teorije informacija itd.
Okrenimo se sada najjednostavnijoj, najvažnijoj pravilnosti u slučajnim događajima, koja u konačnici čini osnovu svih primjena teorije vjerovatnoće u praksi.
Slične informacije.