Koncept niza brojeva podrazumijeva da svaki prirodni broj odgovara nekoj realnoj vrijednosti. Takav niz brojeva može biti ili proizvoljan ili imati određena svojstva - progresiju. U potonjem slučaju, svaki sljedeći element (član) niza može se izračunati korištenjem prethodnog.

Aritmetička progresija– niz brojčanih vrijednosti po kojima se njegovi susjedni članovi međusobno razlikuju isti broj(svi elementi serije, počevši od 2., imaju slično svojstvo). Ovaj broj - razlika između prethodnog i narednog pojma - je konstantan i naziva se razlika progresije.

Razlika u progresiji: definicija

Razmotrimo niz koji se sastoji od j vrijednosti A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j pripada skupu prirodni brojevi N. Aritmetička progresija, prema svojoj definiciji, je niz u kojem je a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j ) – a(j-1) = d. Vrijednost d je željena razlika ove progresije.

d = a(j) – a(j-1).

Istaknite:

• Rastuća progresija, u kom slučaju je d > 0. Primjer: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Smanjenje progresije, zatim d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresija razlike i njeni proizvoljni elementi

Ako su poznata 2 proizvoljna člana progresije (i-ti, k-ti), onda se razlika za dati niz može odrediti na osnovu odnosa:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, što znači d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Razlika u progresiji i njenom prvom terminu

Ovaj izraz će pomoći u određivanju nepoznate vrijednosti samo u slučajevima kada je poznat broj elementa niza.

Razlika progresije i njen zbir

Zbir progresije je zbir njegovih članova. Da biste izračunali ukupnu vrijednost njegovih prvih j elemenata, koristite odgovarajuću formulu:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ali pošto a(j) = a(1) + d(j – 1), tada je S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Prije nego počnemo odlučivati problemi aritmetičke progresije, hajde da pogledamo šta je to numerički niz, budući da je aritmetička progresija poseban slučaj numerički niz.

Brojčani niz je skup brojeva čiji svaki element ima svoj vlastiti serijski broj . Elementi ovog skupa nazivaju se članovima niza. Serijski broj elementa sekvence označen je indeksom:

Prvi element niza;

Peti element niza;

- "n-ti" element niza, tj. element "stoji u redu" na broju n.

Postoji odnos između vrijednosti elementa sekvence i njegovog redni broj. Stoga, sekvencu možemo smatrati funkcijom čiji je argument redni broj elementa niza. Drugim riječima, možemo to reći niz je funkcija prirodnog argumenta:

Redoslijed se može postaviti na tri načina:

1 . Redoslijed se može odrediti pomoću tabele. U ovom slučaju, jednostavno postavljamo vrijednost svakog člana niza.

Na primjer, Neko je odlučio da se bavi osobnim upravljanjem vremenom i za početak računa koliko vremena provodi na VKontakteu tokom sedmice. Upisivanjem vremena u tabelu, on će dobiti niz koji se sastoji od sedam elemenata:

Prvi red tabele označava broj dana u sedmici, drugi - vrijeme u minutama. Vidimo da je u ponedeljak Neko proveo 125 minuta na VKontakteu, odnosno u četvrtak - 248 minuta, a to je u petak samo 15.

2 . Redoslijed se može specificirati korištenjem formule n-tog pojma.

U ovom slučaju, ovisnost vrijednosti elementa niza o njegovom broju izražava se direktno u obliku formule.

Na primjer, ako , onda

Da bismo pronašli vrijednost elementa niza sa datim brojem, zamjenjujemo broj elementa u formulu n-tog člana.

Istu stvar radimo ako trebamo pronaći vrijednost funkcije ako je vrijednost argumenta poznata. Zamjenjujemo vrijednost argumenta u jednadžbu funkcije:

ako npr. , To

Dozvolite mi da još jednom primijetim da u nizu, za razliku od proizvoljne numeričke funkcije, argument može biti samo prirodan broj.

3 . Niz se može specificirati pomoću formule koja izražava ovisnost vrijednosti broja člana niza n o vrijednostima prethodnih članova. U ovom slučaju, nije nam dovoljno znati samo broj člana niza da bismo pronašli njegovu vrijednost. Moramo navesti prvog člana ili prvih nekoliko članova niza.

Na primjer, razmotrite slijed ,

Možemo pronaći vrijednosti članova niza u nizu, počevši od trećeg:

To jest, svaki put, da bismo pronašli vrijednost n-tog člana niza, vraćamo se na prethodna dva. Ova metoda specificiranja niza se zove ponavljajuća, od latinske riječi recurro- vrati se.

Sada možemo definirati aritmetičku progresiju. Aritmetička progresija je jednostavan poseban slučaj niza brojeva.

Aritmetička progresija je numerički niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom dodanom istom broju.

Broj je pozvan razlika aritmetičke progresije. Razlika aritmetičke progresije može biti pozitivna, negativna ili jednaka nuli.

Ako title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} povećanje.

Na primjer, 2; 5; 8; jedanaest;...

Ako je , tada je svaki član aritmetičke progresije manji od prethodnog, a progresija je opadajući.

Na primjer, 2; -1; -4; -7;...

Ako , tada su svi članovi progresije jednaki istom broju, a progresija je stacionarno.

Na primjer, 2;2;2;2;...

Glavno svojstvo aritmetičke progresije:

Pogledajmo sliku.

Vidimo to

, i istovremeno

Sabiranjem ove dvije jednakosti dobijamo:

.

Podijelimo obje strane jednakosti sa 2:

Dakle, svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini dva susjedna:

Štaviše, pošto

, i istovremeno

, To

, i zbog toga

Svaki član aritmetičke progresije, koji počinje sa title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formula th člana.

Vidimo da termini aritmetičke progresije zadovoljavaju sljedeće odnose:

i na kraju

Imamo formula n-tog člana.

BITAN! Bilo koji član aritmetičke progresije može se izraziti kroz i. Znajući prvi član i razliku aritmetičke progresije, možete pronaći bilo koji od njegovih pojmova.

Zbir n članova aritmetičke progresije.

U proizvoljnoj aritmetičkoj progresiji, sumi članova jednako udaljeni od ekstremnih jednaki su jedan drugom:

Razmotrimo aritmetičku progresiju sa n članova. Neka je zbir n članova ove progresije jednak .

Rasporedimo pojmove progresije prvo rastućim redoslijedom brojeva, a zatim opadajućim redoslijedom:

Dodajmo u parovima:

Zbir u svakoj zagradi je , broj parova je n.

Dobijamo:

dakle, zbir n članova aritmetičke progresije može se naći pomoću formula:

Hajde da razmotrimo rješavanje problema aritmetičke progresije.

1 . Niz je dat formulom n-tog člana: . Dokažite da je ovaj niz aritmetička progresija.

Dokažimo da je razlika između dva susjedna člana niza jednaka istom broju.

Otkrili smo da razlika između dva susjedna člana niza ne ovisi o njihovom broju i da je konstanta. Stoga je po definiciji ovaj niz aritmetička progresija.

2 . S obzirom na aritmetičku progresiju -31; -27;...

a) Pronađite 31 termin progresije.

b) Odredite da li je broj 41 uključen u ovu progresiju.

A) Vidimo to;

Zapišimo formulu za n-ti član za našu progresiju.

Uglavnom

U našem slučaju , Zbog toga

Aritmetička progresija imenovati niz brojeva (uslovi progresije)

U kojoj se svaki sljedeći pojam razlikuje od prethodnog po novom pojmu koji se također naziva razlika koraka ili progresije.

Stoga, specificiranjem koraka progresije i njegovog prvog člana, možete pronaći bilo koji njegov element koristeći formulu

Svojstva aritmetičke progresije

1) Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog broja, je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana progresije

I obrnuto je tačno. Ako je aritmetička sredina susjednih neparnih (parnih) članova progresije jednaka terminu koji stoji između njih, onda je ovaj niz brojeva aritmetička progresija. Koristeći ovu izjavu, vrlo je lako provjeriti bilo koji niz.

Također, svojstvom aritmetičke progresije gornja formula se može generalizirati na sljedeće

Ovo je lako provjeriti ako napišete pojmove desno od znaka jednakosti

Često se koristi u praksi za pojednostavljenje proračuna u problemima.

2) Zbir prvih n članova aritmetičke progresije izračunava se pomoću formule

Dobro zapamtite formulu za zbir aritmetičke progresije; ona je neophodna u proračunima i često se nalazi u jednostavnim životnim situacijama.

3) Ako trebate pronaći ne cijeli zbir, već dio niza počevši od njegovog k-tog člana, tada će vam biti korisna sljedeća formula sume

4) Od praktičnog interesa je pronalaženje zbira n članova aritmetičke progresije počevši od k-tog broja. Da biste to učinili, koristite formulu

Na ovom teorijski materijal završava i prelazimo na rješavanje uobičajenih problema u praksi.

Primjer 1. Pronađite četrdeseti član aritmetičke progresije 4;7;...

Rješenje:

Prema stanju koje imamo

Odredimo korak napredovanja

Koristeći dobro poznatu formulu, nalazimo četrdeseti član progresije

Primjer 2. Aritmetička progresija data je trećim i sedmim članom. Pronađite prvi član progresije i zbir deset.

Rješenje:

Zapišimo date elemente progresije koristeći formule

Od druge jednačine oduzimamo prvu, kao rezultat nalazimo korak progresije

Pronađenu vrijednost zamjenjujemo u bilo koju od jednadžbi kako bismo pronašli prvi član aritmetičke progresije

Izračunavamo zbir prvih deset članova progresije

Bez složenih proračuna, pronašli smo sve potrebne količine.

Primjer 3. Aritmetička progresija data je imeniocem i jednim od njegovih članova. Pronađite prvi član progresije, zbir njegovih 50 članova počevši od 50 i zbir prvih 100.

Rješenje:

Zapišimo formulu za stoti element progresije

i pronađite prvu

Na osnovu prvog nalazimo 50. član progresije

Pronalaženje zbroja dijela progresije

i zbir prvih 100

Iznos progresije je 250.

Primjer 4.

Pronađite broj članova aritmetičke progresije ako:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Rješenje:

Napišimo jednačine u terminima prvog člana i koraka progresije i odredimo ih

Dobijene vrijednosti zamjenjujemo u formulu sume kako bismo odredili broj članova u zbroju

Vršimo pojednostavljenja

i riješi kvadratnu jednačinu

Od dvije pronađene vrijednosti, samo broj 8 odgovara uslovima problema. Dakle, zbir prvih osam članova progresije je 111.

Primjer 5.

Riješite jednačinu

1+3+5+...+x=307.

Rješenje: Ova jednačina je zbir aritmetičke progresije. Hajde da napišemo njegov prvi član i pronađemo razliku u progresiji

Na primjer, niz \(2\); \(5\); \(8\); \(jedanaest\); \(14\)... je aritmetička progresija, jer se svaki sljedeći element razlikuje od prethodnog za tri (može se dobiti od prethodnog dodavanjem tri):

U ovoj progresiji, razlika \(d\) je pozitivna (jednaka \(3\)), i stoga je svaki sljedeći član veći od prethodnog. Takve progresije se nazivaju povećanje.

Međutim, \(d\) također može biti negativan broj. Na primjer, u aritmetičkoj progresiji \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... razlika u progresiji \(d\) jednaka je minus šest.

I u ovom slučaju, svaki sljedeći element bit će manji od prethodnog. Ove progresije se nazivaju opadajući.

Zapis aritmetičke progresije

Napredak je označen malim latiničnim slovom.

Zovu se brojevi koji formiraju progresiju članovi(ili elemenata).

Označavaju se istim slovom kao aritmetička progresija, ali s numeričkim indeksom jednakim broju elementa po redu.

Na primjer, aritmetička progresija \(a_n = \lijevo\( 2; 5; 8; 11; 14...\desno\)\) se sastoji od elemenata \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) i tako dalje.

Drugim riječima, za progresiju \(a_n = \lijevo\(2; 5; 8; 11; 14…\desno\)\)

Rješavanje problema aritmetičke progresije

U principu, gore predstavljene informacije su već dovoljne za rješavanje gotovo svakog problema aritmetičke progresije (uključujući one koje se nude na OGE).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija je određena uslovima \(b_1=7; d=4\). Pronađite \(b_5\).
Rješenje:

odgovor: \(b_5=23\)

Primjer (OGE). Prva tri člana aritmetičke progresije su data: \(62; 49; 36…\) Pronađite vrijednost prvog negativnog člana ove progresije..
Rješenje:

	Dati su nam prvi elementi niza i znamo da je to aritmetička progresija. To jest, svaki element se razlikuje od svog susjeda za isti broj. Hajde da saznamo koji oduzimanjem prethodnog od sljedećeg elementa: \(d=49-62=-13\).
	Sada možemo vratiti naš napredak do (prvog negativnog) elementa koji nam je potreban.
	Spreman. Možete napisati odgovor.

odgovor: \(-3\)

Primjer (OGE). Dato je nekoliko uzastopnih elemenata aritmetičke progresije: \(…5; x; 10; 12,5...\) Pronađite vrijednost elementa označenog slovom \(x\).
Rješenje:

	Da bismo pronašli \(x\), moramo znati koliko se sljedeći element razlikuje od prethodnog, drugim riječima, razlika u progresiji. Nađimo ga iz dva poznata susjedna elementa: \(d=12,5-10=2,5\).
	I sada lako možemo pronaći ono što tražimo: \(x=5+2.5=7.5\).
	Spreman. Možete napisati odgovor.

odgovor: \(7,5\).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija je definisana sledećim uslovima: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Pronađite zbir prvih šest članova ove progresije.
Rješenje:

	Moramo pronaći zbir prvih šest članova progresije. Ali ne znamo njihova značenja; dat nam je samo prvi element. Stoga prvo izračunavamo vrijednosti ​​jednu po jednu, koristeći ono što nam je dato: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) I nakon što smo izračunali šest elemenata koji su nam potrebni, nalazimo njihov zbir.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Traženi iznos je pronađen.

odgovor: \(S_6=9\).

Primjer (OGE). U aritmetičkoj progresiji \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Pronađite razliku ove progresije.
Rješenje:

odgovor: \(d=7\).

Važne formule za aritmetičku progresiju

Kao što vidite, mnogi problemi s aritmetičkom progresijom mogu se riješiti jednostavnim razumijevanjem glavne stvari - da je aritmetička progresija lanac brojeva, a svaki sljedeći element u ovom lancu se dobija dodavanjem istog broja prethodnom ( razlika u progresiji).

Međutim, ponekad se dešavaju situacije kada je odlučivanje o "čelnom" vrlo nezgodno. Na primjer, zamislite da u prvom primjeru ne trebamo pronaći peti element \(b_5\), već trista osamdeset šesti \(b_(386)\). Trebamo li sabrati četiri \(385\) puta? Ili zamislite da u pretposljednjem primjeru trebate pronaći zbir prva sedamdeset tri elementa. Bićete umorni od brojanja...

Stoga, u takvim slučajevima ne rješavaju stvari „iz glave“, već koriste posebne formule izvedene za aritmetičku progresiju. A glavne su formula za n-ti član progresije i formula za zbir \(n\) prvih članova.

Formula \(n\)-tog člana: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdje je \(a_1\) prvi član progresije;
\(n\) – broj potrebnog elementa;
\(a_n\) – termin progresije sa brojem \(n\).

Ova formula nam omogućava da brzo pronađemo čak i tristoti ili milioniti element, znajući samo prvi i razliku progresije.

Primjer. Aritmetička progresija je određena uslovima: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Pronađite \(b_(246)\).
Rješenje:

odgovor: \(b_(246)=1850\).

Formula za zbir prvih n članova: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), gdje je

\(a_n\) – posljednji zbrojeni član;

Primjer (OGE). Aritmetička progresija je određena uslovima \(a_n=3.4n-0.6\). Pronađite zbroj prvih \(25\) članova ove progresije.
Rješenje:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Da bismo izračunali zbir prvih dvadeset pet članova, moramo znati vrijednost prvog i dvadeset petog člana. Naša progresija je data formulom n-tog člana u zavisnosti od njegovog broja (za više detalja vidi). Izračunajmo prvi element zamjenom jednog za \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Sada pronađimo dvadeset peti član zamjenom dvadeset pet umjesto \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Pa, sada možemo lako izračunati potrebnu količinu.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odgovor je spreman.

odgovor: \(S_(25)=1090\).

Za zbir \(n\) prvih članova možete dobiti drugu formulu: samo trebate \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) umjesto \(a_n\) zamijenite formulu za to \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dobijamo:

Formula za zbir prvih n članova: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), gdje je

\(S_n\) – traženi zbir \(n\) prvih elemenata;
\(a_1\) – prvi zbrojeni član;
\(d\) – razlika u progresiji;
\(n\) – ukupan broj elemenata.

Primjer. Pronađite zbir prvih \(33\)-ex članova aritmetičke progresije: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Rješenje:

odgovor: \(S_(33)=-231\).

Složeniji problemi aritmetičke progresije

Sada imate sve potrebne informacije za rješavanje gotovo bilo kojeg problema aritmetičke progresije. Hajde da završimo temu razmatranjem problema u kojima ne samo da treba da primenite formule, već i malo razmislite (u matematici to može biti korisno ☺)

Primjer (OGE). Pronađite zbir svih negativnih članova progresije: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Rješenje:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Zadatak je vrlo sličan prethodnom. Počinjemo rješavati istu stvar: prvo pronađemo \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Sada bih htio zamijeniti \(d\) u formulu za zbir... i evo ga mala nijansa– ne znamo \(n\). Drugim riječima, ne znamo koliko termina treba dodati. Kako to saznati? Hajde da razmislimo. Prestat ćemo sa dodavanjem elemenata kada dođemo do prvog pozitivnog elementa. Odnosno, morate saznati broj ovog elementa. Kako? Zapišimo formulu za izračunavanje bilo kojeg elementa aritmetičke progresije: \(a_n=a_1+(n-1)d\) za naš slučaj.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Trebamo \(a_n\) da postanemo Iznad nule. Hajde da saznamo u čemu će se to \(n\) dogoditi.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obje strane nejednakosti dijelimo sa \(0.3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Prenosimo minus jedan, ne zaboravljajući promijeniti znakove
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Hajde da izračunamo...
\(n>65,333…\)		...i ispostavilo se da će prvi pozitivni element imati broj \(66\). Prema tome, zadnja negativna ima \(n=65\). Za svaki slučaj, hajde da proverimo ovo.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Dakle, moramo dodati prve \(65\) elemente.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odgovor je spreman.

odgovor: \(S_(65)=-630,5\).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija je određena uslovima: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Pronađite zbroj od \(26\)-og do \(42\) elementa uključujući.
Rješenje:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	U ovom zadatku također morate pronaći zbir elemenata, ali ne počevši od prvog, već od \(26\)-og. Za takav slučaj nemamo formulu. Kako odlučiti? Lako je - da biste dobili zbir od \(26\)-og do \(42\)-og, prvo morate pronaći zbir od \(1\)-og do \(42\)-og, a zatim oduzeti od toga zbir od prvog do \(25\)-og (vidi sliku).
	Za našu progresiju \(a_1=-33\), i razliku \(d=4\) (na kraju krajeva, dodajemo četiri prethodnom elementu da pronađemo sljedeći). Znajući ovo, nalazimo zbir prvih \(42\)-y elemenata.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Sada zbir prvih \(25\) elemenata.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	I konačno, izračunavamo odgovor.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

odgovor: \(S=1683\).

Za aritmetičku progresiju postoji još nekoliko formula koje nismo razmatrali u ovom članku zbog njihove niske praktične korisnosti. Međutim, lako ih možete pronaći.

Online kalkulator.
Rješavanje aritmetičke progresije.
Dato: a n , d, n
Pronađite: a 1

Ovo matematički program pronalazi \(a_1\) aritmetičke progresije na osnovu korisničkih brojeva \(a_n, d\) i \(n\).
Brojevi \(a_n\) i \(d\) mogu se specificirati ne samo kao cijeli brojevi, već i kao razlomci. Štaviše, razlomak se može uneti u obliku decimalnog razlomka (\(2,5\)) iu obliku običan razlomak(\(-5\frac(2)(7)\)).

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje proces pronalaženja rješenja.

Ovaj online kalkulator može biti koristan za srednjoškolce srednje škole u pripremi za testovi i ispiti, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, za roditelje za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da to završite što je brže moguće? zadaća iz matematike ili algebre? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima.

Na taj način možete sami voditi svoju obuku i/ili obuku. mlađa braća ili sestre, dok se nivo obrazovanja iz oblasti problema koji se rješavaju povećava.

Ukoliko niste upoznati sa pravilima za unos brojeva, preporučujemo da se upoznate s njima.

Pravila za unos brojeva

Brojevi \(a_n\) i \(d\) mogu se specificirati ne samo kao cijeli brojevi, već i kao razlomci.
Broj \(n\) može biti samo pozitivan cijeli broj.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
Cjelobrojni i razlomak u decimalnim razlomcima mogu se odvojiti tačkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimale tako 2,5 ili tako 2,5

Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.

Imenilac ne može biti negativan.

Prilikom ulaska numerički razlomak Brojilac je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
Unos:
Rezultat: \(-\frac(2)(3)\)

Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom ampersanda: &
Unos:
Rezultat: \(-1\frac(2)(3)\)

Unesite brojeve a n , d, n

Pronađite 1

Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Pričekajte sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Redoslijed brojeva

IN svakodnevnu praksučesto se koristi numeracija razne predmete da naznačite redosled kojim se pojavljuju. Na primjer, kuće u svakoj ulici su numerisane. U biblioteci se čitalačke pretplate numerišu, a zatim raspoređuju prema dodijeljenim brojevima u posebne kartoteke.

U štedionici, koristeći broj ličnog računa deponenta, možete lako pronaći ovaj račun i vidjeti koji je depozit na njemu. Neka račun br. 1 sadrži depozit od a1 rubalja, račun br. 2 sadrži depozit od a2 rublje, itd. numerički niz
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
gdje je N broj svih računa. Ovdje je svaki prirodni broj n od 1 do N povezan sa brojem a n.

Studirao je i matematiku beskonačni nizovi brojeva:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Broj a 1 se zove prvi član niza, broj a 2 - drugi član niza, broj a 3 - treći član niza itd.
Poziva se broj a n n-ti (n-ti) član niza, a prirodni broj n je njegov broj.

Na primjer, u nizu kvadrata prirodnih brojeva 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... i 1 = 1 je prvi član niza; i n = n 2 je n-ti termin sekvence; a n+1 = (n + 1) 2 je (n + 1)-ti (n plus prvi) član niza. Često se niz može specificirati formulom njegovog n-tog člana. Na primjer, formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) definira niz \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Aritmetička progresija

Dužina godine je otprilike 365 dana. Više tačna vrijednost je jednako \(365\frac(1)(4)\) dana, tako da se svake četiri godine nakuplja greška od jednog dana.

Da bi se objasnila ova greška, svakoj četvrtoj godini dodaje se dan, a produžena godina se naziva prijestupnom.

Na primjer, u trećem milenijumu prijestupne godine su godine 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

U ovom nizu, svaki član, počevši od drugog, jednak je prethodnom, dodanom istom broju 4. Takvi nizovi se nazivaju aritmetičke progresije.

Definicija.
Zove se niz brojeva a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... aritmetička progresija, ako je za sve prirodne n jednakost
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
gdje je d neki broj.

Iz ove formule slijedi da je a n+1 - a n = d. Broj d naziva se razlika aritmetička progresija.

Po definiciji aritmetičke progresije imamo:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
gdje
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), gdje je \(n>1 \)

Dakle, svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini njegova dva susjedna člana. Ovo objašnjava naziv "aritmetička" progresija.

Imajte na umu da ako su dati a 1 i d, onda se preostali članovi aritmetičke progresije mogu izračunati korištenjem rekurentne formule a n+1 = a n + d. Na ovaj način nije teško izračunati prvih nekoliko članova progresije, međutim, na primjer, 100 će već zahtijevati mnogo proračuna. Obično se za to koristi formula n-tog pojma. Po definiciji aritmetičke progresije
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
itd.
Uopšte,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
jer n-ti termin aritmetičke progresije se dobija iz prvog člana dodavanjem (n-1) puta broja d.
Ova formula se zove formula za n-ti član aritmetičke progresije.

Zbir prvih n članova aritmetičke progresije

Pronađite zbroj svih prirodnih brojeva od 1 do 100.
Zapišimo ovaj iznos na dva načina:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Dodajmo ove jednakosti pojam po član:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Ova suma ima 100 pojmova
Dakle, 2S = 101 * 100, dakle S = 101 * 50 = 5050.

Razmotrimo sada proizvoljnu aritmetičku progresiju
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Neka je S n zbir prvih n članova ove progresije:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Onda zbir prvih n članova aritmetičke progresije jednak je
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Budući da \(a_n=a_1+(n-1)d\), onda zamjenom a n u ovoj formuli dobijamo drugu formulu za pronalaženje zbir prvih n članova aritmetičke progresije:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Knjige (udžbenici) Sažeci Jedinstvenog državnog ispita i Jedinstvenog državnog ispita online Igre, zagonetke Iscrtavanje grafova funkcija Pravopisni rječnik ruskog jezika Rječnik omladinskog slenga Katalog ruskih škola Katalog srednjih obrazovnih institucija Rusije Katalog ruskih univerziteta Lista zadataka

Povratak