Zlatni rez je jednostavan, kao i sve genijalno. Zamislite segment AB podijeljen točkom C. Vi samo trebate postaviti tačku C tako da možete stvoriti jednakost CB/AC = AC/AB = 0,618. To jest, broj koji se dobije dijeljenjem najmanjeg segmenta CB sa dužinom srednjeg segmenta AC mora se podudarati sa brojem dobijenim dijeljenjem srednjeg segmenta AC dužinom velikog segmenta AB. Ovaj broj će biti 0,618. Ovo je zlatna, ili, kako su govorili u davna vremena, božanska proporcija - f(grčki "phi") Indeks izvrsnosti.
Teško je reći kada i ko je tačno primijetio da praćenje ove proporcije daje osjećaj harmonije. Ali čim su ljudi počeli nešto stvarati vlastitim rukama, tada smo intuitivno pokušali održati ovaj omjer. Zgrade izgrađene uzimajući u obzir f, uvijek su izgledale skladnije u odnosu na one u kojima su narušene proporcije zlatnog presjeka. To je više puta potvrđeno svim vrstama testova.
U geometriji postoje dva objekta koja su neraskidivo povezana f: pravilni pentagon (pentagram) i logaritamska spirala. U pentagramu, svaka linija, koja se siječe sa susjednom, dijeli je u zlatnoj proporciji, a u logaritamskoj spirali, prečnici susjednih zavoja povezani su jedan s drugim na isti način kao segmenti AC i CB na našoj pravoj liniji AB . Ali f radi ne samo u geometriji. Vjeruje se da dijelovi bilo kojeg sistema (na primjer, protoni i neutroni u jezgri atoma) mogu biti među sobom u omjeru koji odgovara zlatnom broju. U ovom slučaju, smatraju naučnici, sistem se ispostavlja kao optimalan. Istina, za naučnu potvrdu hipoteze potrebno je više od desetak godina istraživanja. Gdje f ne može se izmjeriti instrumentalna metoda, koristite tzv. Fibonačijev niz brojeva, u kojem je svaki naredni broj zbir prethodna dva: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, itd. Posebnost ovog serija je da kada se bilo koji od njegovih brojeva podijeli sa sljedećim, rezultat je što je moguće bliži 0,618. Na primjer, uzmimo brojeve 2,3 i 5. 2/3 = 0,666, a 3/5 = 0,6. U suštini, ovdje je prisutan isti odnos kao između komponenti našeg segmenta AB. Dakle, ako se mjerne karakteristike nekog objekta ili pojave mogu uneti u Fibonačijev niz brojeva, to znači da se u njihovoj strukturi uočava zlatna proporcija. A takvih objekata i sistema je bezbroj, a moderna nauka otkriva sve više novih. Dakle, pitanje je da li f zaista božanska proporcija na kojoj počiva naš svijet nije nimalo retorička.
Zlatni omjer u prirodi
Zlatna proporcija se također opaža u prirodi, i to već na najjednostavnijim nivoima. Uzmimo, na primjer, molekule proteina koji čine tkiva svih živih organizama. Molekule se međusobno razlikuju po masi, koja zavisi od broja aminokiselina koje sadrže. Nedavno je otkriveno da su najčešći proteini sa masama od 31; 81.2; 140.6; 231; 319 hiljada jedinica. Naučnici primjećuju da ova serija skoro odgovara Fibonačijevom nizu - 3, 8,13, 21, 34 (ovdje naučnici ne uzimaju u obzir decimalnu razliku ovih serija).
Sigurno će se daljnjim istraživanjem pronaći protein čija će masa korelirati sa 5. Čak i struktura najjednostavnijih daje ovu sigurnost - mnogi virusi imaju peterokutnu strukturu. Nastojati f i proporcije hemijskih elemenata. Plutonijum mu je najbliži: odnos broja protona u njegovom jezgru i neutrona je 0,627. Najdalje je vodonik. Zauzvrat, broj atoma u hemijskim jedinjenjima je iznenađujuće često višestruki od brojeva Fibonačijevog niza. Ovo se posebno odnosi na okside urana i jedinjenja metala.
Ako odrežete neotvoreni pupoljak drveta, tamo ćete pronaći dvije spirale, usmjerene u različitim smjerovima. Ovo su počeci listova. Omjer broja zavoja između ove dvije spirale uvijek će biti 2/3, ili 3/5, ili 5/8, itd. Odnosno, opet prema Fibonačiju. Inače, isti obrazac vidimo u rasporedu suncokretovih sjemenki i u strukturi čunjeva četinarsko drveće. Ali vratimo se lišću. Kada se otvore, neće izgubiti vezu sa f, budući da će se nalaziti na stabljici ili grani u logaritamskoj spirali. Ali to nije sve. Postoji koncept "ugla divergencije listova" - to je ugao pod kojim su listovi jedni prema drugima. Izračunavanje ovog ugla nije teško. Zamislite da je prizma sa peterokutnom bazom upisana u stablo. Sada povucite spiralu duž stabljike. Tačke u kojima će spirala dodirnuti lica prizme odgovaraju tačkama iz kojih rastu listovi. Sada nacrtajte ravnu liniju od prvog lista i pogledajte koliko će listova ležati na ovoj pravoj liniji. Njihov broj u biologiji označava se slovom n (u našem slučaju to su dva lista). Sada izbrojite broj zavoja koje spirala opisuje oko stabljike. Rezultirajući broj naziva se ciklus lista i označava se slovom p (u našem slučaju to je 5). Sada pomnožimo maksimalni ugao - 360 stepeni sa 2 (n) i podelimo sa 5 (p). Dobijamo željeni ugao divergencije listova - 144 stepena. Odnos n i p prema svakoj biljci ili stablu je različit, ali svi ne potpadaju izvan Fibonačijevog niza: 1/2; 2/5; 3/8; 5/13, itd. Biolozi su otkrili da uglovi formirani prema ovim proporcijama teže beskonačnosti do 137 stepeni - optimalni ugao divergencije pod kojim se sunčeva svetlost ravnomerno raspoređuje po granama i listovima. I u samim listovima možemo primijetiti poštivanje zlatne proporcije, kao i kod cvijeća - najlakše ga je primijetiti kod onih koji imaju oblik pentagrama.
f nije išao okolo životinjski svijet. Prema naučnicima, prisustvo zlatne proporcije u strukturi skeleta živih organizama rešava veoma važan problem. Time se postiže maksimalna moguća čvrstoća okvira uz minimalnu moguća težina, što zauzvrat omogućava racionalnu raspodjelu materije među dijelovima tijela. To se odnosi na gotovo sve predstavnike faune. Dakle, morske zvijezde su savršeni peterokuti, a školjke mnogih mekušaca su logaritamske spirale. Omjer dužine repa vretenca i njegovog tijela je također jednak f. A komarac nije jednostavan: ima tri para nogu, trbuh mu je podijeljen na osam segmenata, a na glavi ima pet antena - isti Fibonačijev niz. Broj pršljenova kod mnogih životinja, poput kita ili konja, je 55. Broj rebara je 13, a broj kostiju u udovima je 89. I sami udovi imaju trodijelnu strukturu. Ukupan broj kostiju ovih životinja, računajući zube (kojih ima 21 par) i kosti slušnog aparata, je 233 (Fibonačijev broj). Zašto se čuditi kada se čak i jaje, iz kojeg je, kako mnogi veruju, sve proizašlo, može upisati u pravougaonik zlatnog preseka - dužina takvog pravougaonika je 1.618 puta veća od njegove širine.
©Za djelomičnu ili potpunu upotrebu ovog članka - aktivna hiperveza na web stranicu obrazovnog časopisa je OBAVEZNA
Geometrija je egzaktna i prilično složena nauka, koja je u isto vrijeme i vrsta umjetnosti. Linije, ravni, proporcije - sve to pomaže u stvaranju mnogih zaista lijepih stvari. I što je čudno, ovo se zasniva na geometriji u njenim najrazličitijim oblicima. U ovom članku ćemo pogledati jednu vrlo neobičnu stvar koja je direktno povezana s ovim. Zlatni omjer je upravo geometrijski pristup o kojem će biti riječi.
Oblik predmeta i njegova percepcija
Ljudi se najčešće oslanjaju na oblik objekta kako bi ga prepoznali među milionima drugih. Po njegovom obliku određujemo kakva stvar leži ispred nas ili stoji u daljini. Ljude prvo prepoznajemo po obliku tijela i lica. Stoga sa sigurnošću možemo reći da je sam oblik, njegova veličina i izgled jedna od najvažnijih stvari u ljudskoj percepciji.
Za ljude je forma bilo čega zanimljiva iz dva glavna razloga: ili je diktira vitalna nužnost, ili je uzrokovana estetskim užitkom od ljepote. Najbolja vizualna percepcija i osjećaj harmonije i ljepote najčešće dolazi kada čovjek posmatra formu u čijoj je konstrukciji korištena simetrija i poseban omjer, a koji se naziva zlatni rez.
Koncept zlatnog preseka
Dakle, zlatni presek je zlatni presek, koji je takođe harmonijska podela. Da bismo ovo jasnije objasnili, pogledajmo neke karakteristike obrasca. Naime: forma je nešto cjelina, a cjelina se, pak, uvijek sastoji od nekih dijelova. Ovi dijelovi najvjerovatnije imaju različite karakteristike, barem različite veličine. Pa takve dimenzije su uvijek u određenom odnosu, kako među sobom tako i u odnosu na cjelinu.
To znači, drugim riječima, možemo reći da je zlatni rez omjer dvije veličine, koji ima svoju formulu. Korištenje ovog omjera pri kreiranju forme pomaže da se učini što ljepšim i skladnijim za ljudsko oko.
Iz davne istorije zlatnog preseka
Zlatni omjer se danas često koristi u mnogim različitim područjima života. Ali istorija ovog koncepta seže u davna vremena, kada su nauke poput matematike i filozofije tek nastajale. Kao naučni koncept, zlatni presek je ušao u upotrebu u doba Pitagore, odnosno u 6. veku pre nove ere. Ali čak i prije toga, znanje o takvom omjeru korišteno je u praksi u Starom Egiptu i Babilonu. Jasan pokazatelj toga su piramide, za čiju je izgradnju upotrijebljena upravo ova zlatna proporcija.
Novi period
Renesansa je donela novi dah harmoničkoj podeli, posebno zahvaljujući Leonardu da Vinčiju. Ovaj odnos je sve više počeo da se koristi i u geometriji i u umetnosti. Naučnici i umjetnici počeli su dublje proučavati zlatni rez i stvarati knjige koje istražuju ovo pitanje.
Jedno od najvažnijih istorijskih djela vezanih za zlatni rez je knjiga Luce Pancholija pod nazivom Božanska proporcija. Istoričari sumnjaju da je ilustracije ove knjige uradio sam Leonardo prije Vinčija.
zlatni omjer
Matematika daje vrlo jasnu definiciju proporcije, koja kaže da je to jednakost dva omjera. Matematički, ovo se može izraziti sljedećom jednakošću: a: b = c: d, gdje su a, b, c, d neke specifične vrijednosti.
Ako uzmemo u obzir udio segmenta podijeljenog na dva dijela, možemo naići na samo nekoliko situacija:
- Segment je podeljen na dva apsolutno parna dela, što znači AB:AC = AB:BC, ako je AB tačan početak i kraj segmenta, a C tačka koja deli segment na dva jednaka dela.
- Segment je podijeljen na dva nejednaka dijela, koji mogu biti u samom različiti omjeri među sobom, što znači da su ovdje potpuno nesrazmjerni.
- Segment je podijeljen tako da je AB:AC = AC:BC.
Što se tiče zlatnog preseka, to je proporcionalna podela segmenta na nejednake delove, kada se ceo segment odnosi na veći deo, kao što se i sam veći deo odnosi na manji. Postoji još jedna formulacija: manji segment je vezan za veći, kao što je veći za cijeli segment. U matematičkom smislu, to izgleda ovako: a:b = b:c ili c:b = b:a. Upravo ovako izgleda formula zlatnog omjera.
Zlatni omjer u prirodi
Zlatni rez, čije ćemo primjere sada razmotriti, odnosi se na nevjerovatne pojave u prirodi. Ovo su jako lijepi primjeri činjenice da matematika nisu samo brojevi i formule, već nauka koja ima više od stvarnog odraza u prirodi i našem životu općenito.
Za žive organizme, jedan od glavnih zadataka u životu je rast. Ta želja da se zauzme svoje mjesto u prostoru, zapravo se javlja u nekoliko oblika - raste prema gore, gotovo horizontalno se širi po tlu, ili se spiralno uvija na nekoj vrsti oslonca. I koliko god to bilo nevjerovatno, mnoge biljke rastu prema zlatnom omjeru.
Još jedna gotovo nevjerovatna činjenica su odnosi u tijelu guštera. Njihovo tijelo izgleda prilično ugodno ljudskom oku, a to je moguće zahvaljujući istom zlatnom rezu. Da budemo precizniji, dužina njihovog repa se odnosi na dužinu cijelog tijela kao 62:38.
Zanimljive činjenice o pravilima zlatnog preseka
Zlatni rez je zaista nevjerovatan koncept, što znači da kroz povijest možemo naići na mnoge zaista zanimljive činjenice o ovoj proporciji. Predstavljamo vam neke od njih:
Zlatni omjer u ljudskom tijelu
U ovom dijelu potrebno je spomenuti vrlo značajnu ličnost, a to je S. Zeizinga. Riječ je o njemačkom istraživaču koji je uradio ogroman posao na polju proučavanja zlatnog preseka. Objavio je rad pod naslovom Estetske studije. U svom radu predstavio je zlatni rez kao apsolutni koncept, koja je univerzalna za sve pojave kako u prirodi tako i u umjetnosti. Ovdje se možemo prisjetiti zlatnog omjera piramide zajedno sa harmoničnim proporcijama ljudskog tijela i tako dalje.
Zeising je bio taj koji je uspio dokazati da je zlatni rez, u stvari, prosječan statistički zakon za ljudsko tijelo. To se pokazalo u praksi, jer je tokom svog rada morao da izmeri mnogo ljudskih tela. Povjesničari vjeruju da je u ovom eksperimentu učestvovalo više od dvije hiljade ljudi. Prema Zeisingovom istraživanju, glavni indikator Zlatni presek je podela tela tačkom pupka. Tako je muško tijelo sa prosječnim omjerom 13:8 nešto bliže zlatnom u odnosu na žensko tijelo, gdje je zlatni omjer 8:5. Zlatni rez se može uočiti i na drugim dijelovima tijela, kao što je šaka.
O izgradnji zlatnog preseka
U stvari, izgradnja zlatnog omjera je jednostavna stvar. Kao što vidimo, čak su se i drevni ljudi nosili s tim prilično lako. Šta tek reći o savremenim znanjima i tehnologijama čovečanstva. U ovom članku nećemo pokazati kako se to može učiniti jednostavno na komadu papira i s olovkom u ruci, ali ćemo pouzdano izjaviti da je to, zapravo, moguće. Štaviše, to se može učiniti na više načina.
Budući da je ovo prilično jednostavna geometrija, zlatni rez je prilično jednostavan za konstruiranje čak i u školi. Stoga se informacije o tome mogu lako pronaći u specijalizovanim knjigama. Proučavajući zlatni rez, učenici 6. razreda u potpunosti mogu razumjeti principe njegove konstrukcije, što znači da su čak i djeca dovoljno pametna da savladaju takav zadatak.
Zlatni presek u matematici
Prvo upoznavanje sa zlatnim rezom u praksi počinje jednostavnom podjelom pravocrtnog segmenta u istim omjerima. Najčešće se to radi uz pomoć ravnala, kompasa i, naravno, olovke.
Segmenti zlatne proporcije se izražavaju kao beskonačan iracionalni razlomak AE = 0,618..., ako se AB uzme kao jedan, BE = 0,382... Da bi ovi proračuni bili praktičniji, vrlo često koriste ne tačne, već približne vrijednosti, i to - 0 .62 i .38. Ako se segment AB uzme kao 100 dijelova, tada će njegov veći dio biti jednak 62, a manji dio će biti jednak 38 dijelova, respektivno.
Glavno svojstvo zlatnog preseka može se izraziti jednačinom: x 2 -x-1=0. Prilikom rješavanja dobijamo sljedeće korijene: x 1,2 =. Iako je matematika egzaktna i rigorozna nauka, kao i njen dio - geometrija, svojstva poput zakona zlatnog presjeka bacaju misteriju na ovu temu.
Harmonija u umjetnosti kroz zlatni rez
Da bismo rezimirali, ukratko razmotrimo ono o čemu je već bilo riječi.
U osnovi, mnoga umjetnička djela potpadaju pod pravilo zlatnog omjera, gdje se opaža omjer blizu 3/8 i 5/8. Ovo je gruba formula zlatnog omjera. U članku je već spomenuto dosta primjera korištenja odjeljka, ali ćemo ga ponovo pogledati kroz prizmu antičke i moderne umjetnosti. Dakle, najupečatljiviji primjeri iz antičkih vremena:
Što se tiče vjerovatno svjesne upotrebe proporcija, počevši od vremena Leonarda da Vinčija, ona je ušla u upotrebu u gotovo svim oblastima života – od nauke do umjetnosti. Čak su i biologija i medicina dokazale da zlatni omjer djeluje čak iu živim sistemima i organizmima.
Airbrushing se zasniva na istim "stubovima" kao i drugi oblici umjetnosti.
Cijeli naš svijet može se opisati brojevima. Mnogi brojevi igraju tako značajnu ulogu u ovom opisu da imaju svoja imena: Pi, eksponent (e) itd. Među ovim „nominalnim“ brojevima postoji nešto sasvim značajno. U različito vrijeme matematičari, umjetnici i arhitekti nazivali su ga “zlatnim brojem”, “božanskim brojem” i “božanskim dijelom”. Termin "zlatni rez" skovao je Klaudije Ptolomej, a postao je popularan zahvaljujući Leonardu da Vinčiju, koji ga je intenzivno koristio u svojim radovima. Umjetnici su primijetili da su proporcije formi koje su posebno ugodne oku za percepciju zasnovane na „zlatnom omjeru“.
Dakle, koji je ovo broj? Zlatni rez je broj Phi (Phi) jednak 1,61803. Broj je dobio ime po velikom starogrčkom vajaru Fidiji, koji ga je koristio u svojim skulpturama. Kako jasno demonstrirati princip „zlatnog omjera“? Dajemo jednostavan primjer. Ako napravite pravougaonik, čija je jedna strana 1,618 puta duža od druge, onda je rezultujući omjer stranica „zlatni omjer“. Najčešći "zlatni pravokutnici" u savremeni svet- ovo su kreditne kartice. Ljudsko tijelo se smatra lijepim, a njegove proporcije idealnim, ako je odnos između manjeg i većeg dijela tijela jednak omjeru između većeg dijela i cjeline, odnosno jednak broju Phi.
***
Najpoznatije matematičko delo antičke nauke su Euklidovi elementi. Iz “Principa” nam je došao geometrijski problem “o podjeli segmenta u ekstremnom i srednjem omjeru”. Što je sam „Zlatni omjer“.
Suština zadatka je sledeća:
Podijelimo segment AB tačkom C u takvom omjeru da je veći dio odsječka CB povezan sa manjim dijelom odsječka AC kao što je segment AB sa svojim većim dijelom CB, tj.
Označimo proporciju (1.1) sa x. Zatim, uzimajući u obzir da je AB = AC + CB, proporcija (1.1) se može zapisati u sljedećem obliku:
Ovo nam daje sljedeću algebarsku jednadžbu za izračunavanje tražene proporcije x:
X*
= x + 1. (1.2)
x* - na kvadrat
Iz “fizičkog značenja” proporcije (1.1) proizlazi da željeno rješenje jednačine (1.2) mora biti pozitivan broj, iz čega slijedi da je rješenje zadatka dijeljenja segmenta u ekstremnom i srednjem omjeru pozitivan broj korijen jednadžbe (1.2), koji označavamo sa , tj
Približna vrijednost zlatnog omjera je:
= 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203…
ZLATNE GEOMETRIJSKE FIGURE
Na osnovu navedenih proporcija u geometriji, definisani su sljedeći koncepti zlatnih geometrijskih figura:
- zlatni pravougaonik (u kojem je omjer veće i manje strane jednak zlatnom rezu);
- zlatni pravougaoni trougao;
- zlatna elipsa;
- zlatni jednakokraki trougao.
Pravougli trougao sa stranicama 3:4:5 naziva se "savršen", "sveti" ili "egipatski".
Kreatori egipatskih piramida odabrali su kao „glavnu geometrijska ideja"za Keopsovu piramidu - zlatni pravougaoni trougao, a za Hafreovu piramidu - "sveti" trougao.
Pentagon (“pentagon” - grčki), pravilan pentagon. Ako nacrtamo sve dijagonale u pentagonu, rezultat je petougaona zvijezda koja se zove pentagram ("pentagrammon" - grčki: "pente" - pet i "grammon" - linija) ili pentakl.
Pentagram, koji se u narodnom vjerovanju naziva "vještičja noga", igrao je veliku ulogu u svim magijskim naukama i smatran je sredstvom zaštite od zlih duhova.
Svakih osam godina, planeta Venera opisuje apsolutno pravilan pentakl duž velikog kruga nebeske sfere.
Zgrada Pentagona, američkog vojnog odjela, oblikovana je kao Pentagon.
Pentagon i Pentakul uključuju brojne izvanredne figure koje su se široko koristile u umjetničkim djelima. Takozvani zakon o zlatnoj čaši, koji su koristili antički kipari i zlatari, nadaleko je poznat u antičkoj umjetnosti. Zasjenjeni dio pentagona daje šematski prikaz zlatne čaše.
Nekada davno u Sovjetskom Savezu postojala je Državna oznaka kvaliteta na kojoj su jasno vidljivi motivi zlatnog pehara.
U živoj prirodi rasprostranjeni su oblici zasnovani na peterokutnoj simetriji - morske zvijezde, morski ježevi, cveće..
HARMONIJA ZLATNOG PRESJECA
(kratka recenzija istorija umetnosti)
Velika djela grčkih kipara: Phidias, Polyctetus, Myron, Praxiteles dugo su se s pravom smatrala standardom ljepote ljudskog tijela, primjerom skladnog tijela. U svojim kreacijama grčki majstori koristili su princip zlatne proporcije. Jedno od najvećih dostignuća klasične grčke umetnosti je kip Dorifora, koji je izvajao Poliktet u 5. veku pre nove ere. e. Ova statua se smatra najboljim primjerom za analizu proporcija idealnog ljudskog tijela, koju su ustanovili starogrčki kipari, a direktno je povezana sa zlatnim omjerom. M=0,618…
Miloska Venera, statua boginje Afrodite i standard ženske lepote, jedan je od najboljih spomenika grčke skulpturalne umetnosti.
Leonardo Da Vinci koristio je proporcije zlatnog omjera u mnogim svojim najpoznatijim djelima, a posebno u Posljednjoj večeri i čuvenoj La Gioconda.
Istraživači slike “La Gioconda” otkrili su da se kompoziciona struktura slike zasniva na dva zlatna trougla, čije su osnove okrenute jedna prema drugoj. Harmonična analiza slike pokazuje da se zenica levog oka, kroz koju prolazi vertikalna os platna, nalazi na preseku dve simetrale gornjeg zlatnog trougla, koje, s jedne strane, dele uglove na pola. osnovi zlatnog trokuta, a sa druge strane, na tačkama preseka sa bokovima zlatnog trougla trouglovi ih dele proporcionalno zlatnim rezom. Tako je Leonardo Da Vinci u svom slikarstvu koristio ne samo princip simetrije, već i zlatni omjer.
Slika Mikelanđela „Sveta porodica“ prepoznata je kao jedno od remek-dela zapadnoevropske umetnosti renesanse. Harmonička analiza je pokazala da je kompozicija slike zasnovana na pentaklu.
Proporcije Davidove statue (Mikelanđela) zasnovane su na zlatnom omjeru.
Upečatljiv primjer barokne arhitekture, Smolni katedrala u Sankt Peterburgu ostavlja neizbrisiv utisak. Zlatni omjer se također vidi u svojim osnovnim proporcijama.
Na čuvenoj slici Ivana Šiškina „Brodski gaj“ vidljivi su motivi zlatnog preseka. Jarko suncem obasjan bor (koji stoji u prvom planu) dijeli sliku horizontalno sa zlatnim omjerom. Desno od bora je brdo obasjano suncem. On dijeli sliku vertikalno sa zlatnim rezom. Lijevo od glavnog bora nalazi se mnogo borova - možete nastaviti dijeliti Zlatni omjer horizontalno na lijevoj strani slike. Prisustvo na slici svetlih vertikala i horizontala, koje je dele u odnosu na zlatni presek, daje joj karakter ravnoteže i smirenosti.
Izgradnja sjedišta UN-a u New Yorku završena je 1943. godine. Zgrada je tada privukla pažnju svih ne samo kao javna zgrada stvorena najnovijim arhitektonskim sredstvima, već i kao prvi primjer upotrebe kontinuiranog solarnog modulirajućeg ekrana na jednoj od fasada. Ova zgrada takođe prikazuje motive zlatnog omjera. U kompoziciji objekta jasno se ističu tri zlatna pravougaonika postavljena jedan na drugi, koji su njegova glavna arhitektonska ideja.
Svako muzičko djelo ima vremenski produžetak i podijeljeno je određenim „estetskim prekretnicama“ u zasebne dijelove koji privlače pažnju i olakšavaju percepciju u cjelini. Ove prekretnice mogu biti dinamički i intonacijski vrhunci muzičkog djela. Odvojeni vremenski intervali muzičkog djela, povezani „vrhunskim događajem“, po pravilu su u zlatnom omjeru. U muzičkim delima raznih kompozitora obično se ne navodi samo jedan zlatni presek, već čitav niz sličnih delova. Najveća količina djela u kojima je zlatni rez prisutan kod Arenskog (95%), Beethovena (97%), Haydna (97%), Mocarta (91%), Skrjabina (90%), Chopena (92%), Schuberta (91%) .
Ako je muzika harmonijski poredak zvukova, onda je poezija harmonijski poredak govora. Jasan ritam, prirodno izmjenjivanje naglašenih i nenaglašenih slogova, uređeni metar pjesama i njihovo emocionalno bogatstvo čine poeziju sestrom muzičkih djela. Zlatni rez u poeziji se prvenstveno manifestuje kao prisustvo određenog trenutka u pesmi (kulminacija, semantička prekretnica, glavna ideja proizvod) u liniji u tački podjele ukupan broj stihovi pesme u zlatnoj proporciji. Dakle, ako pjesma sadrži 100 redova, onda prva tačka zlatnog omjera pada na 62. red (62%), druga na 38. (38%), itd. Djela Aleksandra Sergejeviča Puškina, uključujući „Eugene Onegin " - najbolja korespondencija sa zlatnom proporcijom! Radovi Šote Rustavelija i M.Yu. Lermontov su takođe građeni po principu zlatnog preseka.
Jedan od modernih oblika umjetnosti je bioskop, koji uključuje dramaturgiju akcije, slikarstva i muzike. Ispravno je tražiti manifestacije zlatnog omjera u izvanrednim kinematografskim djelima. Prvi koji je to učinio bio je kreator remek-djela svjetskog filma "Bojni brod Potemkin", filmski režiser Sergej Ajzenštajn. U konstruisanju ove slike uspeo je da otelotvori osnovni princip harmonije - zlatni presek. Kako sam Ajzenštajn primećuje, crvena zastava na jarbolu pobunjenog bojnog broda (vrhunac filma) vijori se na tački zlatnog preseka, računajući od kraja filma.
Zlatni rez je dugi niz milenijuma bio predmet divljenja i obožavanja izuzetnih naučnika i mislilaca: Pitagore, Platona, Euklida, Luke Paciolija, Johana Keplera, Pavla Florenskog...
Trenutno je Zlatni omjer izvor novih plodnih ideja u matematici i teorijskoj fizici, biologiji i botanici, ekonomiji i informatici...
Materijal je zasnovan na knjizi „Da Vinčijev kod i Fibonačijev niz” A. Stahova, A. Slučenkove, I. Ščerbakova, objavljenoj 2007. godine, izdavačka kuća „Peter”.
Geometrija ima dva blaga: jedno od njih je Pitagorina teorema, a drugo je podjela segmenta u srednjem i ekstremnom omjeru. Prvi se može uporediti sa merom zlata; drugi više liči na dragi kamen.
I. Kepler
Da li ste znali da kada idemo u školu ili na posao, slušamo muziku, obavljamo kućne poslove, opuštamo se na odmoru na moru ili potpisujemo poslovne ugovore, stalno nailazimo na primjere zlatnog omjera. Biljke, životinje, jela, pa čak i neka slova građeni su po principu zlatnog preseka. Zlatni omjer je čak pronađen i u molekulu DNK.
Želio bih da vas bliže upoznam sa ovim nevjerovatnim, po mom mišljenju, fenomenu i da vam kažem konkretno gdje i kako ga susrećemo i kako ga koristimo.
Općenito je prihvaćeno da je koncept zlatne podjele u naučnu upotrebu uveo Pitagora, starogrčki filozof i matematičar (VI vijek prije nove ere). Postoji pretpostavka da je Pitagora svoje znanje o zlatnoj podjeli posudio od Egipćana i Babilonaca. Zaista, proporcije Keopsove piramide, hramova, bareljefa, predmeta za domaćinstvo i nakita iz Tutankamonove grobnice ukazuju na to da su egipatski majstori koristili omjere zlatnog podjela kada su ih stvarali. Francuski arhitekta Le Corbusier otkrio je da na reljefu iz hrama faraona Setija I u Abydosu i na reljefu koji prikazuje faraona Ramzesa, proporcije figura odgovaraju vrijednostima zlatnog podjela. Arhitekta Khesira, prikazan na reljefu drvene ploče iz grobnice nazvane po njemu, u rukama drži mjerne instrumente u kojima su zabilježene proporcije zlatnog podjela. Grci su bili vješti geometri. Svoju djecu su čak učili aritmetiku koristeći geometrijske figure. Pitagorin kvadrat i dijagonala ovog kvadrata bili su osnova za konstrukciju dinamičkih pravougaonika.
Šta je zlatni rez, primena zlatnog preseka u matematici.
Zlatni rez je takva proporcionalna podjela segmenta na nejednake dijelove, pri čemu je cijeli segment povezan s većim dijelom kao što je sam veći dio povezan s manjim; ili drugim riječima, manji segment je prema većem kao što je veći prema cjelini a: b = b: c ili c: b = b: a.
Ovaj omjer se može konstruirati na sljedeći način:
Iz tačke B vraćamo okomicu jednaku polovini AB. Rezultirajuća tačka C je povezana linijom sa tačkom A. Na rezultujućoj liniji odlažemo segment BC koji završava u tački D. Segment AD se prenosi na pravu AB. Rezultirajuća tačka E dijeli segment AB u zlatnoj proporciji.
Svojstva zlatnog preseka su opisana jednačinom: x*x – x – 1 = 0.
Rješenje ove jednačine:
U prirodi je otkriven i drugi zlatni omjer, koji slijedi iz glavnog dijela i daje drugi omjer 44:56. Ova proporcija je otkrivena u arhitekturi, a javlja se i pri konstruiranju kompozicija slika izduženog horizontalnog formata.
Ovaj segment AB dijelimo u proporciji zlatnog presjeka. Iz tačke C vraćamo okomiti CD. Koristeći radijus AB nalazimo tačku D, a zatim je povezujemo linijom sa tačkom A. Pravi ugao ACD podijelimo na pola. Iz tačke C povlačimo pravu do raskrsnice sa AD. Nazovimo rezultujuću tačku slovom E, koje dijeli segment AD u omjeru 44:56.
Na slici je prikazan položaj linije drugog zlatnog preseka. Nalazi se na sredini između linije zlatnog preseka i srednje linije pravougaonika.
Ako se kvadrat AEFD izoluje od zlatnog pravougaonika ABCD, tada se preostali dio EBCF ispostavlja kao novi zlatni pravougaonik, koji se opet može podijeliti na kvadrat GHCF i manji zlatni pravougaonik EBHG. Ponavljajući ovaj postupak mnogo puta, dobićemo beskonačan niz kvadrata i zlatnih pravougaonika, koji na kraju konvergiraju u tačku O. Imajte na umu da nam takvo beskonačno ponavljanje istih geometrijskih figura, odnosno kvadrata i zlatnog pravougaonika, daje nesvesni estetski osećaj za ritam i harmoniju. Smatra se da je upravo ta okolnost razlog da mnogi predmeti pravougaonog oblika kojima se čovjek bavi (kutije šibica, upaljači, knjige, koferi) često imaju oblik zlatnog pravokutnika. Na primjer, mi u velikoj mjeri koristimo kreditne kartice Svakodnevni život, ali ne obraćamo pažnju na činjenicu da u mnogim slučajevima kreditne kartice imaju oblik zlatnog pravokutnika.
Zlatni pravougaonik i kreditna kartica
Pentagram i Pentagon
Ako nacrtamo sve dijagonale u pentagramu, rezultat će biti dobro poznata petougaona zvijezda. Dokazano je da su tačke preseka dijagonala u pentagramu uvek tačke zlatnog preseka dijagonala. U ovom slučaju, ove tačke formiraju novi pentagram FGHKL. U novom pentagramu mogu se nacrtati dijagonale, čiji presek formira drugi pentagram, a ovaj proces se može nastaviti unedogled. Dakle, izgleda da se pentagram ABCDE sastoji od beskonačnog broja pentagrama, koji se svaki put formiraju od tačaka preseka dijagonala. Ovo beskrajno ponavljanje iste geometrijske figure stvara osjećaj ritma i harmonije koji se nesvjesno bilježi našim umovima. Pentagramu su se posebno divili Pitagorejci i smatrao se njihovim glavnim identifikacionim znakom. Zgrada američkog vojnog odjela je u obliku pentagrama i zove se “Pentagon”, što znači pravilan pentagon.
Dakle, rekao sam vam šta je zlatni presek, a sada, pošto je moj izveštaj posvećen primeni zlatnog preseka, sada ću govoriti o tome.
Problem zeca. Fibonačijevi brojevi.
PROBLEM ZECA
Neko je postavio par zečeva na određeno mesto, sa svih strana ograđeno zidom, da bi saznao koliko bi se parova zečeva rodilo tokom godine, ako je priroda zečeva takva da posle mesec dana par zečeva daje rađaju drugi par, a kunići rađaju od drugog mjeseca nakon njegovog rođenja.
Jasno je da ako smatramo da su prvi par zečeva novorođenčad, onda ćemo u drugom mjesecu i dalje imati jedan par; za 3. mjesec - 1+1=2; u 4. mjesecu - 2 + 1 = 3 para (zbog dva postojeća para samo jedan par daje potomstvo); u 5. mjesecu - 3+2=5 parova (samo 2 para rođena u 3. mjesecu će roditi potomke u 5. mjesecu); u 6. mjesecu - 5 + 3 = 8 parova (jer će samo oni parovi rođeni u 4. mjesecu dati potomstvo) itd.
Iz ovog problema je slijedilo otkriće određene serije niza prirodnih brojeva čiji je svaki član, počevši od trećeg, jednak zbroju dva prethodna člana: Uk = 1,1,2,3,5,8 ,13,21,34,55,89,144,233,377,. Ovaj niz se zove Fibonačijev niz, a njegovi članovi se nazivaju Fibonačijevi brojevi. Omjer sljedećeg člana serije prema prethodnom teži zlatnom omjeru
U algebri se obično označava grčkim slovom phi.
Zlatni rez nije zaobišao ni ljude.
Zlatni rez je osnova za građenje skladnih formi, jer je apsolutni zakon formiranja oblika u prirodi, čiji smo i mi dio. Zakoni harmonije su numerički zakoni.
Prilikom modeliranja obične osobe, najvjerovatnije ne uzimamo ravnalo i kalkulator za izračunavanje zlatnih proporcija. Te forme jednostavno intuitivno osjećamo, jer nam forme ljudskog bića nailaze na oči češće nego bilo što drugo, ali pri stvaranju modela neobičnog bića, biljke, strukture treba koristiti znanje geometrije i zlatnog preseka kako bismo na rezultat rada se može gledati bez gađenja, mada ako je to osjećaj gađenja koji tražite, onda znate šta morate učiniti.
U svakom slučaju, poznavanje zakona prirode (numeričkih zakona) pomaže nam da što brže postignemo željeni rezultat.
Njemački profesor Zeising sredinom 18. stoljeća obavio je sjajan posao: izmjerio je više od 2000 tijela i sugerirao da zlatni rez izražava prosječni statistički zakon: dijeljenje tijela s tačkom pupka jedan je od glavnih pokazatelja zlatnog preseka. . Proporcije muškog tijela fluktuiraju unutar prosječnog omjera 13:8 = 1,625 i nešto su bliže zlatnom rezu od proporcija ženskog tijela, u odnosu na koji je prosječna vrijednost proporcije izražena u omjeru 8: 5 = 1,6. Kod novorođenčeta je proporcija 1:1, do 13. godine je 1,6, a do 21. godine jednaka je onoj kod muškarca. Proporcije zlatnog preseka pojavljuju se i u odnosu na druge delove tela - dužinu ramena, podlaktice i šake, šake i prstiju itd.
kod male djece (oko godinu dana) proporcija je 1:1.
Nedavno je naš savremenik, američki hirurg Stephen Marquart, kreirao, koristeći princip „zlatnog omjera“, geometrijsku masku koja može poslužiti kao standard za lijepo lice. Da biste saznali odgovara li lice idealnom, samo kopirajte masku na prozirni film i preložite je na fotografiju odgovarajuće veličine.
Dakle, dijeleći segment između krune i Adamove jabuke u odnosu na „zlatni presjek“, dobijamo tačku koja leži na liniji obrva (B). Daljnjom zlatnom podjelom rezultirajućih dijelova dobivamo redom vrh nosa (C), kraj brade (D).
Zlatni presek u ljudskom uhu.
U ljudskom unutrašnjem uhu nalazi se organ koji se zove Cochlea ("Puž"), koji obavlja funkciju prenošenja zvučne vibracije. Ova koštana struktura ispunjena je tekućinom i također je u obliku puža, koji sadrži stabilan logaritamski spiralni oblik = 73º 43'.
Pošto je zlatni rez dotakao osobu, reći ću da je prisutan čak iu strukturi molekula DNK.
Sve informacije o fiziološkim karakteristikama živih bića pohranjene su u mikroskopskom molekulu DNK, čija struktura sadrži i zakon zlatnog omjera. Molekul DNK se sastoji od dvije vertikalno isprepletene spirale. Dužina svake od ovih spirala je 34 angstrema, a širina 21 angstroma. (1 angstrom je stomilioniti dio centimetra). Dakle, 21 i 34 su brojevi koji slijede jedan za drugim u nizu Fibonačijevih brojeva, odnosno odnos dužine i širine logaritamske spirale molekula DNK nosi formulu zlatnog omjera 1:1,618.
Svako od nas, barem jednom u životu, bio je na moru i u rukama je držao školjku u obliku spirale. Pa, evo ga: takva školjka je uvijena u spiralu. Ako je rasklopite, dobit ćete dužinu nešto kraću od dužine zmije. Mala školjka od deset centimetara ima spiralu dužine 35 cm.Spirale su vrlo česte u prirodi. Ideja o zlatnom omjeru bit će nepotpuna bez govora o spirali.
Arhimedova spirala
Oblik spiralno uvijene školjke privukao je pažnju Arhimeda. Proučavao ju je i došao do jednačine za spiralu. Spirala nacrtana prema ovoj jednadžbi naziva se njegovim imenom. Povećanje njenog koraka je uvek ujednačeno. Trenutno se Arhimedova spirala široko koristi u tehnologiji.
Zlatni rez u slikarstvu i fotografiji.
U fotografiji
Kada želimo da snimimo prelepu fotografiju, često primetimo da ne znamo mentalno rasporediti objekte tako da kasnije izgledaju na gotovoj fotografiji u na najbolji mogući način. U tome nam može pomoći pravilo zlatnog omjera. Koristeći horizontalne i vertikalne linije, mi mentalno dijelimo tražilo na devet identičnih sektora. Četiri centralne tačke preseka horizontalnih i vertikalnih linija biće za nas ključne.
Praktična upotreba pravila zlatnog omjera pri komponiranju okvira.
Ispod su različite opcije za mreže kreirane na osnovu pravila „Zloty section“, za različite kompozicione opcije. Da biste razumjeli principe, morate sami eksperimentirati, pokušati kombinirati mreže sa svojim fotografijama. Osnovne mreže izgledaju ovako:
Evo fotografije mačke, koja se nalazi na slučajnom mjestu u okviru.
Sada uvjetno podijelimo okvir na segmente, u omjeru od 1,62 ukupne dužine sa svake strane okvira. Na raskrižju segmenata bit će glavni "vizualni centri" u koje vrijedi postaviti potrebne ključne elemente slike.
Pomerimo našu mačku do tačaka "vizuelnih centara".
Ovako sada izgleda kompozicija. Zar nije mnogo bolje?
Da biste shvatili suštinu zlatnog preseka, pokušajte sami snimiti nekoliko fotografija osobe koja sjedi na baštenska klupa. Pobrinite se da najskladnija fotografija bude ona na kojoj osoba ne sjedi u sredini ili na rubu, već u tački koja odgovara zlatnom omjeru (dijeleći klupu u omjeru približno 2:3).
U slikarstvu
Masters Ancient Greece, koji je znao svjesno koristiti zlatnu proporciju, koja je, u suštini, vrlo jednostavna, vješto je primjenjivao njene harmonične vrijednosti u svim vrstama umjetnosti i postigao takvo savršenstvo u strukturi oblika izražavajući svoje društvene ideale, što se rijetko sreće u praksi svetske umetnosti. Sve antičke kulture prošao pod znakom zlatne proporcije. Ovu proporciju su poznavali u starom Egiptu. To ću pokazati na primjeru slikara kao što su: Raphael, Leonardo da Vinci, Botticelli, Shishkin.
U Rafaelovoj pripremnoj skici povučene su crvene linije koje idu od semantičkog centra kompozicije - tačke na kojoj su se prsti ratnika sklopili oko djetetovog gležnja - duž figura djeteta, žene koja ga drži blizu, ratnika s podignutim mačem, a zatim duž figura iste grupe na desnoj strani skice. Ako prirodno povežete ove dijelove sa zakrivljenom isprekidanom linijom, tada ćete dobiti vrlo precizne rezultate. zlatna spirala! To se može provjeriti mjerenjem omjera dužina segmenata isječenih spiralom na ravnim linijama koje prolaze kroz početak krive. "Masakr nevinih" Raphael
Na čuvenoj fresci „Atinska škola“, gde se u hramu nauke nalazi društvo velikih filozofa antike, pažnju nam skreće grupa Euklida, najvećeg starogrčkog matematičara, koji analizira složeni crtež. Genijalna kombinacija dva trougla je takođe konstruisana u skladu sa proporcijom zlatnog preseka: može se upisati u pravougaonik sa odnosom širine i visine 5/8. Ovaj crtež je iznenađujuće lako umetnuti u gornji dio arhitekture. Gornji ugao trokuta leži na ključnom kamenu luka u području najbližem posmatraču, donji ugao dodiruje tačku nestajanja perspektive, a bočni dio označava proporcije prostornog jaza između dva dijela lukova. .
LEONARDO da VINCI
Portret Mona Lize (La Gioconda) Leonarda da Vinčija je atraktivan jer je kompozicija slike izgrađena na „zlatnim trouglovima“, tačnije na trouglovima koji su delovi pravilnog petougla u obliku zvezde.
“Posljednja večera” je Leonardovo najzrelije i najpotpunije djelo. Na ovoj slici majstor izbjegava sve što bi moglo zamagliti glavni tok radnje koju prikazuje, postiže rijetku uvjerljivost kompozicionog rješenja. U centar postavlja lik Hrista, ističući ga otvaranjem vrata. On namjerno udaljava apostole od Krista kako bi dodatno naglasio svoje mjesto u kompoziciji. Konačno, u istu svrhu, on prisiljava sve perspektivne linije da se konvergiraju u tački direktno iznad Kristove glave. Leonardo svoje učenike dijeli u četiri simetrične grupe, pune života i pokreta. On čini sto mali, a trpezariju - strogim i jednostavnim. To mu daje priliku da usmjeri pažnju gledatelja na figure sa ogromnom plastičnom snagom. Sve ove tehnike odražavaju duboku svrhovitost kreativnog plana, u kojem se sve vaga i uzima u obzir. "
Botticelli - "Rođenje Venere"
Slika ne prikazuje samo rođenje boginje, već trenutak koji je uslijedio, kada ona, vođena dahom genija zraka, stiže do obale, gdje je susreće jedna od milosti. Prema drevnom grčkom pjesniku Hesiodu (Teogonija, 188-200), Venera je rođena iz mora - iz pjene koju proizvode genitalije kastriranog Urana (SATURN), koju je Kron bacio u vodu. Ona pluta do obale u otvorenoj školjki, vođena blagim povjetarcem, i na kraju slijeće u Pafos (Kipar) - jedno od glavnih mjesta štovanja i kulta u antici. Ona Grčko ime Afrodita vjerovatno dolazi od afrosa, što znači "pjena".
U blizini ostrva Cythera, Afrodita, ćerka Urana, rođena je iz snežnobele pene morskih talasa. Lagani, milujući povjetarac doveo ju je na ostrvo Kipar. Tamo je mladi Oras okružio boginju ljubavi koja je izronila iz morskih talasa. Obukli su je u zlatotkanu odeću i ovenčali je vencem od mirisnog cveća. Gdje god je Afrodita kročila, cvijeće je raslo veličanstveno. Ceo vazduh je bio pun mirisa. Eros i Himerot odveli su čudesnu boginju na Olimp. Bogovi su je pozdravili glasno. Od tada je zlatna Afrodita, zauvek mlada, najlepša među boginjama, uvek živela među bogovima Olimpa.
Na ovoj čuvenoj slici I. I. Šiškina jasno su vidljivi motivi zlatnog preseka. Jarko osunčani bor (koji stoji u prvom planu) dijeli dužinu slike prema zlatnom omjeru. Desno od bora je suncem obasjan brežuljak. Desnu stranu slike dijeli horizontalno prema zlatnom rezu. Lijevo od glavnog bora nalazi se mnogo borova - ako želite, možete uspješno nastaviti dijeliti sliku prema zlatnom omjeru dalje.
Prisustvo na slici svetlih vertikala i horizontala, koje je dele u odnosu na zlatni presek, daje joj karakter ravnoteže i smirenosti, u skladu sa namerom umetnika. Kada je umjetnikova namjera drugačija, ako, recimo, stvara sliku s brzim razvojem akcije, takva geometrijska shema kompozicije (s dominacijom vertikala i horizontala) postaje neprihvatljiva.
Zlatni presek u arhitekturi
Arhitektura je sposobnost naše svijesti da konsolidira osjećaj epohe u materijalnim oblicima. Le Corbusier
Jedno od najlepših dela starogrčke arhitekture je Partenon (5. vek pre nove ere).
Na slici je prikazan niz uzoraka povezanih sa zlatnim rezom.
Na tlocrtu Partenona možete vidjeti i "zlatne pravokutnike":
U proporcijama zgrade katedrale Notre Dame u Parizu vidimo i zlatnu proporciju.
M. Kazakov je prilično široko koristio „zlatni presek“ u svom radu.
Njegov talenat bio je višestruk, ali se u većoj mjeri otkrivao u brojnim završenim projektima stambenih zgrada i imanja. Na primjer, „zlatni omjer“ se može naći u arhitekturi zgrade Senata u Kremlju.
Mnogi antički kipari koristili su se pravilom zlatne proporcije prilikom izgradnje svojih djela.
Razmotrite ovo na primjeru statue Apolona Belvederea: pupčana linija dijeli visinu prikazane osobe u odnosu na zlatni rez.
I još nekoliko primjera koji dokazuju da u skulpturi promatramo zlatni rez.
Dorifor iz Polikleita i njegova harmonijska analiza
Miloska Venera i njena harmonijska analiza
Mikelanđelov David
6. Zlatni rez u živoj prirodi
Sve na svijetu je povezano sa jednim početkom:
U kretanju talasa - Šekspirov sonet,
U simetriji cvijeta su temelji svemira,
A u pjevanju ptica postoji simfonija planeta.
Živa priroda je u svom razvoju težila najskladnijoj organizaciji, čiji je kriterij zlatna proporcija, manifestirajući se na različitim razinama - od atomskih kombinacija do strukture tijela viših životinja.
Cvijeće i sjemenke suncokreta, kamilice, ljuske u plodovima ananasa, šišarke četinara“upakovane” u logaritamske spirale, koje se uvijaju jedna prema drugoj. Štaviše, brojevi "desne" i "lijeve" spirale uvijek su međusobno povezani, kao susjedni Fibonačijevi brojevi.
U formulama za raspored listova (filotaksija) mnogih biljaka postoje Fibonačijevi brojevi raspoređeni strogo redovno - kroz jedan, na primjer, lješnjak -1/3, hrast, trešnja - 2/5, morska krkavina -5/13
Zamislite izdanak cikorije. Iz glavne stabljike se formira izdanak. Prvi list se nalazio upravo tu. Izdanak vrši snažno izbacivanje u prostor, zaustavlja se, pušta list, ali ovaj put je kraći od prvog, ponovo vrši izbacivanje u prostor, ali sa manjom snagom, oslobađa list još manje veličine i ponovo se izbacuje .
Ako se prva emisija uzme kao 100 jedinica, onda je druga jednaka 62 jedinice, treća – 38, četvrta – 24, itd. Dužina latica također podliježe zlatnoj proporciji. U uzgoju i osvajanju prostora, biljka je zadržala određene proporcije. Impulsi njegovog rasta postepeno su se smanjivali proporcionalno zlatnom rezu.
Mnogi leptiri i drugi insekti nisu izbegli sudare sa ovim izuzetnim, po mom mišljenju, fenomenom zlatnog preseka. Omjer veličina torakalnog i trbušnog dijela tijela odgovara zlatnoj proporciji. Sklapajući svoja krila, moljac formira pravilan jednakostranični trougao. Ali čim ona raširi krila, vidjet ćete isti princip dijeljenja tijela sa 2,3,5,8. Vilin konjic je također stvoren prema zakonima zlatne proporcije: omjer dužina repa i tijela jednak je omjeru ukupne dužine i dužine repa.
Snježne pahulje su kristali vode koji su vidljivi našim golim okom. Nevjerovatno su lijepi i različitog oblika, ali sve njihove komponente su geometrijski oblici, a također, bez izuzetka, izgrađeni na principu zlatne proporcije.
Zlatni rez je uticao čak i na poeziju i muziku.
U poeziji
U strukturi svake pjesme ne možemo a da ne primijetimo određene obrasce, a samim tim i zlatna proporcija i Fibonačijevi brojevi. Svaka druga pjesma A. S. Puškina sadrži primjer (uzorak) zlatnog preseka. A uzorak (uzorak) zrcalne simetrije je u svakom trećem. Jedan od ta dva uzorka nalazi se u dvije od tri pjesme (524 ili 66%), a oba uzorka se nalaze u svakoj petoj pjesmi (150 ili 19%).
Glavne funkcije zlatnog presjeka u Puškinovim djelima su:
}