§ 87. Sabiranje razlomaka.
Sabiranje razlomaka ima mnogo sličnosti sa sabiranjem cijelih brojeva. Zbrajanje razlomaka je radnja koja se sastoji u činjenici da se nekoliko datih brojeva (članova) spoji u jedan broj (zbir), koji sadrži sve jedinice i razlomke jedinica članova.
Razmotrićemo tri slučaja uzastopno:
1. Zbrajanje razlomaka sa isti imenioci.
2. Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima.
3. Sabiranje mješovitih brojeva.
1. Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima.
Razmotrimo primjer: 1/5 + 2/5.
Uzmimo segment AB (slika 17), uzmimo ga kao jedan i podijelimo ga na 5 jednakih dijelova, tada će dio AC ovog odsječka biti jednak 1/5 segmenta AB, a dio istog segmenta CD će biti jednak 2/5 AB.
Iz crteža je jasno da ako uzmemo segment AD, on će biti jednak 3/5 AB; ali segment AD je upravo zbir segmenata AC i CD. Tako da možemo napisati:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Uzimajući u obzir ove članove i rezultujući zbir, vidimo da je brojnik zbira dobijen sabiranjem brojilaca članova, a imenilac je ostao nepromenjen.
Odavde dobijamo sledeće pravilo: Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, morate sabrati njihove brojnike i ostaviti isti nazivnik.
Pogledajmo primjer:
2. Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima.
Dodajmo razlomke: 3 / 4 + 3 / 8 Prvo ih treba svesti na najmanji zajednički nazivnik:
Međulink 6/8 + 3/8 nije mogao biti napisan; napisali smo to ovdje radi jasnoće.
Dakle, da biste sabrali razlomke sa različitim nazivnicima, prvo ih morate svesti na najmanji zajednički imenilac, dodati njihove brojioce i označiti zajednički imenilac.
Razmotrimo primjer (dodatne faktore ćemo napisati iznad odgovarajućih razlomaka):
3. Sabiranje mješovitih brojeva.
Dodajmo brojeve: 2 3/8 + 3 5/6.
Hajde da prvo dovedemo razlomke naših brojeva u zajednički nazivnik i prepišemo ih ponovo:
Sada dodajemo cijeli broj i razlomak redom:
§ 88. Oduzimanje razlomaka.
Oduzimanje razlomaka definirano je na isti način kao i oduzimanje cijelih brojeva. Ovo je radnja uz pomoć koje se, s obzirom na zbir dva člana i jednog od njih, pronalazi drugi pojam. Razmotrimo tri slučaja za redom:
1. Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima.
2. Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.
3. Oduzimanje mješovitih brojeva.
1. Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima.
Pogledajmo primjer:
13 / 15 - 4 / 15
Uzmimo segment AB (slika 18), uzmemo ga kao jedinicu i podijelimo na 15 jednakih dijelova; tada će dio AC ovog segmenta predstavljati 1/15 AB, a dio AD istog segmenta će odgovarati 13/15 AB. Odvojimo još jedan segment ED jednak 4/15 AB.
Od 13/15 trebamo oduzeti razlomak 4/15. Na crtežu to znači da se segment ED mora oduzeti od segmenta AD. Kao rezultat toga, segment AE će ostati, što je 9/15 segmenta AB. Tako da možemo napisati:
Primer koji smo napravili pokazuje da je brojnik razlike dobijen oduzimanjem brojilaca, ali je imenilac ostao isti.
Stoga, da biste oduzeli razlomke sa sličnim nazivnicima, potrebno je da oduzmete brojnik oduzetog od brojnika minusa i ostavite isti nazivnik.
2. Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.
Primjer. 3/4 - 5/8
Prvo, smanjimo ove razlomke na najmanji zajednički nazivnik:
Intermedijer 6 / 8 - 5 / 8 je napisan ovdje radi jasnoće, ali se može preskočiti kasnije.
Dakle, da biste od razlomka oduzeli razlomak, prvo ih morate svesti na najmanji zajednički imenilac, zatim od brojnika minusa oduzeti brojnik minusa i potpisati zajednički nazivnik ispod njihove razlike.
Pogledajmo primjer:
3. Oduzimanje mješovitih brojeva.
Primjer. 10 3/4 - 7 2/3.
Smanjimo razlomke minuenda i oduzmimo na najmanji zajednički nazivnik:
Od cjeline smo oduzeli cjelinu, a od razlomka razlomak. Ali postoje slučajevi kada je razlomački dio oduzetog dijela veći od razlomnog dijela minuenda. U takvim slučajevima potrebno je od cijelog dijela minuenda uzeti jednu jedinicu, podijeliti je na dijelove u kojima je izražen razlomak i dodati je razlomkom minuenda. A onda će se oduzimanje izvršiti na isti način kao u prethodnom primjeru:
§ 89. Množenje razlomaka.
Prilikom proučavanja množenja razlomaka razmotrit ćemo sledeća pitanja:
1. Množenje razlomka cijelim brojem.
2. Pronalaženje razlomka datog broja.
3. Množenje cijelog broja razlomkom.
4. Množenje razlomka sa razlomkom.
5. Množenje mješovitih brojeva.
6. Koncept interesa.
7. Pronalaženje procenta datog broja. Razmotrimo ih redom.
1. Množenje razlomka cijelim brojem.
Množenje razlomka cijelim brojem ima isto značenje kao i množenje cijelog broja cijelim brojem. Pomnožiti razlomak (množenik) cijelim brojem (faktorom) znači stvoriti zbir identičnih članova, u kojem je svaki član jednak množenju, a broj članova jednak množitelju.
To znači da ako trebate pomnožiti 1/9 sa 7, to se može učiniti ovako:
Lako smo dobili rezultat, jer se radnja svela na sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima. dakle,
Razmatranje ove radnje pokazuje da je množenje razlomka cijelim brojem jednako povećanju ovog razlomka onoliko puta koliko je broj jedinica sadržanih u cijelom broju. A budući da se povećanje razlomka postiže ili povećanjem brojača
ili smanjenjem njegovog nazivnika 
, tada možemo ili pomnožiti brojilac cijelim brojem ili podijeliti nazivnik s njim, ako je takvo dijeljenje moguće.
Odavde dobijamo pravilo:
Da biste razlomak pomnožili cijelim brojem, pomnožite brojilac s tim cijelim brojem i ostavite imenilac isti, ili, ako je moguće, podijelite imenilac s tim brojem, a brojilac ostane nepromijenjen.
Prilikom množenja moguće su skraćenice, na primjer:
2. Pronalaženje razlomka datog broja. Postoji mnogo zadataka u kojima morate pronaći ili izračunati dio datog broja. Razlika između ovih problema i drugih je u tome što oni daju broj nekih objekata ili mjernih jedinica i potrebno je pronaći dio tog broja, koji je ovdje također označen određenim razlomkom. Da bismo olakšali razumijevanje, prvo ćemo dati primjere takvih problema, a zatim predstaviti metodu za njihovo rješavanje.
Zadatak 1. Imao sam 60 rubalja; Potrošio sam 1/3 ovog novca na kupovinu knjiga. Koliko su knjige koštale?
Zadatak 2. Vlak mora prijeći udaljenost između gradova A i B jednaku 300 km. Već je prešao 2/3 ove udaljenosti. Koliko je ovo kilometara?
Zadatak 3. U selu ima 400 kuća, 3/4 su zidane, ostale su drvene. Koliko ukupno kuće od cigle?
Evo nekih od njih brojni zadaci da pronađemo dijelove datog broja na koje nailazimo. Obično se nazivaju problemima za pronalaženje razlomka datog broja.
Rješenje problema 1. Od 60 rub. Potrošio sam 1/3 na knjige; To znači da da biste pronašli cijenu knjiga trebate podijeliti broj 60 sa 3:
Rješavanje problema 2. Poenta problema je da morate pronaći 2/3 od 300 km. Prvo izračunajmo 1/3 od 300; ovo se postiže dijeljenjem 300 km sa 3:
300: 3 = 100 (to je 1/3 od 300).
Da biste pronašli dvije trećine od 300, trebate udvostručiti rezultirajući količnik, tj. pomnožiti sa 2:
100 x 2 = 200 (to je 2/3 od 300).
Rješavanje problema 3. Ovdje morate odrediti broj kuća od cigle koje čine 3/4 od 400. Hajde da prvo pronađemo 1/4 od 400,
400: 4 = 100 (to je 1/4 od 400).
Da biste izračunali tri četvrtine od 400, rezultujući količnik se mora utrostručiti, tj. pomnožiti sa 3:
100 x 3 = 300 (to je 3/4 od 400).
Na osnovu rješenja ovih problema možemo izvesti sljedeće pravilo:
Da biste pronašli vrijednost razlomka iz datog broja, trebate ovaj broj podijeliti sa nazivnikom razlomka i pomnožiti rezultujući količnik sa njegovim brojiteljem.
3. Množenje cijelog broja razlomkom.
Ranije (§ 26) je utvrđeno da množenje cijelih brojeva treba shvatiti kao sabiranje identičnih članova (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). U ovom stavu (tačka 1) utvrđeno je da množenje razlomka cijelim brojem znači pronalaženje sume identičnih članova jednakog ovom razlomku.
U oba slučaja množenje se sastojalo od pronalaženja zbira identičnih članova.
Sada prelazimo na množenje cijelog broja sa razlomkom. Ovdje ćemo se susresti, na primjer, sa množenjem: 9 2 / 3. Jasno je da se prethodna definicija množenja ne odnosi na ovaj slučaj. To je vidljivo iz činjenice da takvo množenje ne možemo zamijeniti sabiranjem jednakih brojeva.
Zbog toga ćemo morati dati novu definiciju množenja, odnosno, drugim riječima, odgovoriti na pitanje šta treba shvatiti pod množenjem razlomkom, kako treba shvatiti ovu radnju.
Značenje množenja cijelog broja razlomkom jasno je iz sljedeće definicije: množenje cijelog broja (množenika) s razlomkom (množenika) znači pronalaženje ovog razlomka množenika.
Naime, množenje 9 sa 2/3 znači pronalaženje 2/3 od devet jedinica. U prethodnom pasusu takvi problemi su riješeni; tako da je lako zaključiti da ćemo završiti sa 6.
Ali sada se postavlja zanimljivo i važno pitanje: zašto su takvi razne akcije Kako je pronalaženje zbira jednakih brojeva i nalaženje razlomka broja koji se u aritmetici naziva istom riječju "množenje"?
To se događa zato što prethodna radnja (ponavljanje broja sa terminima nekoliko puta) i nova radnja (pronalaženje razlomka broja) daju odgovore na homogena pitanja. To znači da ovdje polazimo od razmatranja da se homogena pitanja ili zadaci rješavaju istom radnjom.
Da biste to razumjeli, razmotrite sljedeći problem: „1 m tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 4 m takvog platna?
Ovaj problem se rješava množenjem broja rubalja (50) sa brojem metara (4), odnosno 50 x 4 = 200 (rubalji).
Uzmimo isti problem, ali u njemu će količina tkanine biti izražena kao razlomak: „1 m tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 3/4 m takve tkanine?”
Ovaj problem također treba riješiti množenjem broja rubalja (50) sa brojem metara (3/4).
Brojeve u njemu možete promijeniti još nekoliko puta, bez promjene značenja problema, na primjer, uzmite 9/10 m ili 2 3/10 m, itd.
Kako ovi zadaci imaju isti sadržaj i razlikuju se samo po brojevima, radnje koje se koriste u njihovom rješavanju nazivamo istom riječju - množenje.
Kako pomnožite cijeli broj sa razlomkom?
Uzmimo brojeve na koje smo naišli u zadnjem zadatku:
Prema definiciji, moramo pronaći 3/4 od 50. Nađimo prvo 1/4 od 50, a zatim 3/4.
1/4 od 50 je 50/4;
3/4 broja 50 je .
Dakle.
Razmotrimo još jedan primjer: 12 5 / 8 =?
1/8 broja 12 je 12/8,
5/8 od broja 12 je .
dakle,
Odavde dobijamo pravilo:
Da biste cijeli broj pomnožili razlomkom, trebate cijeli broj pomnožiti sa brojnikom razlomka i ovaj proizvod učiniti brojnikom, a nazivnik ovog razlomka potpisati kao nazivnik.
Napišimo ovo pravilo koristeći slova:
Da bi ovo pravilo bilo potpuno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati količnikom. Stoga je korisno uporediti pronađeno pravilo sa pravilom za množenje broja sa količnikom, koje je navedeno u § 38.
Važno je zapamtiti da prije množenja trebate učiniti (ako je moguće) smanjenja, Na primjer:
4. Množenje razlomka sa razlomkom. Množenje razlomka razlomkom ima isto značenje kao i množenje cijelog broja razlomkom, odnosno kada množite razlomak razlomkom, morate pronaći razlomak koji je u faktoru iz prvog razlomka (množenik).
Naime, množenje 3/4 sa 1/2 (pola) znači pronaći polovinu od 3/4.
Kako množite razlomak sa razlomkom?
Uzmimo primjer: 3/4 pomnoženo sa 5/7. To znači da morate pronaći 5/7 od 3/4. Nađimo prvo 1/7 od 3/4, a zatim 5/7
1/7 od broja 3/4 će se izraziti na sljedeći način:
5/7 brojevi 3/4 će biti izraženi na sljedeći način:
dakle,
Drugi primjer: 5/8 pomnoženo sa 4/9.
1/9 od 5/8 je ,
4/9 od broja 5/8 je .
dakle, 
Iz ovih primjera može se zaključiti sljedeće pravilo:
Da biste pomnožili razlomak razlomkom, potrebno je da pomnožite brojilac sa brojicom, a nazivnik sa nazivnikom, i da prvi proizvod bude brojilac, a drugi proizvod nazivnik proizvoda.
Ovo je pravilo u opšti pogled može se napisati ovako:
Prilikom množenja potrebno je izvršiti (ako je moguće) redukcije. Pogledajmo primjere:
5. Množenje mješovitih brojeva. Budući da se mješoviti brojevi lako mogu zamijeniti nepravilnim razlomcima, ova se okolnost obično koristi kada se množe mješoviti brojevi. To znači da u slučajevima kada su množenik, ili množitelj, ili oba faktora izraženi kao mješoviti brojevi, oni se zamjenjuju nepravilnim razlomcima. Pomnožimo, na primjer, mješovite brojeve: 2 1/2 i 3 1/5. Pretvorimo svaki od njih u nepravilan razlomak, a zatim pomnožimo rezultirajuće razlomke prema pravilu za množenje razlomka s razlomkom:
Pravilo. Da biste pomnožili mješovite brojeve, prvo ih morate pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim ih pomnožiti prema pravilu za množenje razlomaka s razlomcima.
Bilješka. Ako je jedan od faktora cijeli broj, tada se množenje može izvršiti na osnovu zakona distribucije na sljedeći način:
6. Koncept interesa. Prilikom rješavanja problema i izvođenja raznih praktičnim proračunima Koristimo sve vrste razlomaka. Ali treba imati na umu da mnoge količine dopuštaju ne bilo kakve, već prirodne podjele za njih. Na primjer, možete uzeti stoti dio (1/100) rublje, to će biti kopejka, dvije stotinke su 2 kopejke, tri stote su 3 kopejke. Možete uzeti 1/10 rublje, to će biti "10 kopejki, ili komad od deset kopejki. Možete uzeti četvrtinu rublje, tj. 25 kopejki, pola rublje, odnosno 50 kopejki (pedeset kopejki). Ali praktično ne uzimaju npr. 2/7 rublje jer se rublja ne dijeli na sedmine.
Jedinica težine, odnosno kilogram, prvenstveno dozvoljava decimalne podjele, na primjer 1/10 kg, ili 100 g. A takvi razlomci kilograma kao što su 1/6, 1/11, 1/13 nisu uobičajeni.
Općenito, naše (metričke) mjere su decimalne i dozvoljavaju decimalne podjele.
Međutim, treba napomenuti da je izuzetno korisno i zgodno u velikom broju slučajeva koristiti isti (jednoliki) metod podjele veličina. Dugogodišnje iskustvo je pokazalo da je tako opravdana podjela „stota“ podjela. Razmotrimo nekoliko primjera koji se odnose na najrazličitija područja ljudske prakse.
1. Cijena knjiga je smanjena za 12/100 od prethodne cijene.
Primjer. Prethodna cijena knjige bila je 10 rubalja. Smanjen je za 1 rublju. 20 kopejki
2. Štedionice isplaćuju štedišama 2/100 iznosa položenog za štednju u toku godine.
Primjer. 500 rubalja se polaže u kasu, prihod od ovog iznosa za godinu je 10 rubalja.
3. Broj maturanata jedne škole iznosio je 5/100 od ukupnog broja učenika.
PRIMJER U školi je bilo samo 1.200 učenika, od kojih je 60 diplomiralo.
Stoti dio broja naziva se postotak.
Riječ "posto" je posuđena iz latinskog i njen korijen "cent" znači sto. Zajedno s prijedlogom (procentum), ova riječ znači „za stotinu“. Značenje takvog izraza proizilazi iz činjenice da je u početku u stari Rim Kamata je bila novac koji je dužnik plaćao zajmodavcu „za svakih sto“. Riječ "cent" čuje se u takvim poznatim riječima: centner (sto kilograma), centimetar (recimo centimetar).
Na primjer, umjesto da kažemo da je u proteklih mjesec dana fabrika proizvela 1/100 svih proizvoda koje je proizvodila bila neispravna, reći ćemo ovo: u proteklom mjesecu fabrika je proizvela jedan posto nedostataka. Umjesto da kažemo: fabrika je proizvela 4/100 proizvoda više od utvrđenog plana, reći ćemo: fabrika je premašila plan za 4 posto.
Gore navedeni primjeri mogu se drugačije izraziti:
1. Cijena knjiga je niža za 12 posto od prethodne cijene.
2. Štedionice plaćaju štedišama 2 posto godišnje na iznos položene štednje.
3. Broj diplomaca jedne škole iznosio je 5 posto svih učenika škole.
Da biste skratili slovo, uobičajeno je pisati simbol % umjesto riječi "postotak".
Međutim, morate imati na umu da se u proračunima znak % obično ne piše, već se može napisati u iskazu problema i u konačnom rezultatu. Kada izvodite proračune, trebate napisati razlomak sa nazivnikom 100 umjesto cijelog broja sa ovim simbolom.
Morate biti u mogućnosti zamijeniti cijeli broj označenom ikonom s razlomkom sa nazivnikom 100:
Suprotno tome, morate se naviknuti da pišete cijeli broj sa naznačenim simbolom umjesto razlomka sa nazivnikom 100:
7. Pronalaženje procenta datog broja.
Zadatak 1.Škola je dobila 200 kubnih metara. m ogrevnog drveta, od čega 30% otpada na breza. Koliko je bilo brezovog ogreva?
Smisao ovog problema je da su breza ogrjevna drva činila samo dio ogrevnog drva koje je dostavljeno školi, a taj dio je izražen u razlomku 30/100. To znači da imamo zadatak da pronađemo razlomak broja. Da bismo ga riješili, moramo 200 pomnožiti sa 30/100 (problemi nalaženja razlomka broja rješavaju se množenjem broja sa razlomkom.).
To znači da je 30% od 200 jednako 60.
Razlomak 30/100 koji se susreće u ovom problemu može se smanjiti za 10. Ovo smanjenje bi bilo moguće uraditi od samog početka; rješenje problema se ne bi promijenilo.
Zadatak 2. U kampu je bilo 300 djece različitih uzrasta. Djeca od 11 godina su činila 21%, djeca od 12 godina su činila 61% i na kraju djeca od 13 godina su činila 18%. Koliko je djece svakog uzrasta bilo u kampu?
U ovom zadatku potrebno je izvršiti tri proračuna, tj. uzastopno pronaći broj djece od 11 godina, zatim od 12 godina i na kraju od 13 godina.
To znači da ćete ovdje morati pronaći razlomak broja tri puta. uradimo to:
1) Koliko je bilo djece od 11 godina?
2) Koliko je bilo djece od 12 godina?
3) Koliko je bilo djece od 13 godina?
Nakon rješavanja zadatka, korisno je dodati pronađene brojeve; njihov zbir bi trebao biti 300:
63 + 183 + 54 = 300
Također treba napomenuti da je zbir postotaka datih u iskazu problema 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Ovo sugerira da ukupan broj djeca u kampu su uzeta kao 100%.
3 a d a h a 3. Radnik je primao 1.200 rubalja mjesečno. Od toga je 65% potrošio na hranu, 6% na stanove i grijanje, 4% na plin, struju i radio, 10% na kulturne potrebe i 15% ušteđenih. Koliko je novca potrošeno na potrebe navedene u problemu?
Da biste riješili ovaj problem, morate pronaći razlomak od 1200 5 puta. Uradimo ovo.
1) Koliko je novca potrošeno na hranu? Problem kaže da je ovaj trošak 65% ukupne zarade, odnosno 65/100 od broja 1200. Uradimo računicu:
2) Koliko ste platili za stan sa grijanjem? Rezonujući slično prethodnom, dolazimo do sljedeće računice:
3) Koliko novca ste platili za plin, struju i radio?
4) Koliko je novca potrošeno na kulturne potrebe?
5) Koliko je novca radnik uštedio?
Da biste provjerili, korisno je zbrojiti brojeve koji se nalaze u ovih 5 pitanja. Iznos bi trebao biti 1.200 rubalja. Sva zarada se uzima kao 100%, što je lako provjeriti sabiranjem procentualnih brojeva navedenih u opisu problema.
Riješili smo tri problema. I pored toga što su se ti problemi bavili različitim stvarima (isporuka drva za školu, broj djece različitog uzrasta, troškovi radnika), rješavani su na isti način. To se dogodilo jer je u svim zadacima bilo potrebno pronaći nekoliko posto datih brojeva.
§ 90. Podjela razlomaka.
Dok proučavamo dijeljenje razlomaka, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:
1. Podijelite cijeli broj cijelim brojem.
2. Deljenje razlomka celim brojem
3. Dijeljenje cijelog broja razlomkom.
4. Deljenje razlomka sa razlomkom.
5. Podjela mješovitih brojeva.
6. Pronalaženje broja iz njegovog zadanog razlomka.
7. Pronalaženje broja po procentu.
Razmotrimo ih redom.
1. Podijelite cijeli broj cijelim brojem.
Kao što je naznačeno u odjeljenju za cijele brojeve, dijeljenje je radnja koja se sastoji u tome da se, s obzirom na proizvod dva faktora (dividenda) i jednog od ovih faktora (djelitelj), pronađe drugi faktor.
Pogledali smo dijeljenje cijelog broja cijelim brojem u odjeljku o cijelim brojevima. Tamo smo naišli na dva slučaja dijeljenja: dijeljenje bez ostatka, ili “u potpunosti” (150: 10 = 15), i dijeljenje s ostatkom (100: 9 = 11 i 1 ostatak). Stoga možemo reći da u polju cijelih brojeva nije uvijek moguće točno dijeljenje, jer dividenda nije uvijek proizvod djelitelja na cijeli broj. Nakon uvođenja množenja razlomkom, možemo smatrati mogućim svaki slučaj dijeljenja cijelih brojeva (isključuje se samo dijeljenje nulom).
Na primjer, dijeljenje 7 sa 12 znači pronalaženje broja čiji bi proizvod sa 12 bio jednak 7. Takav broj je razlomak 7 / 12 jer je 7 / 12 12 = 7. Drugi primjer: 14: 25 = 14 / 25, jer je 14 / 25 25 = 14.
Dakle, da biste podijelili cijeli broj cijelim brojem, trebate stvoriti razlomak čiji je brojnik jednak dividendi, a nazivnik jednak djelitelju.
2. Deljenje razlomka celim brojem.
Podijelite razlomak 6/7 sa 3. Prema gore datoj definiciji dijeljenja, ovdje imamo proizvod (6/7) i jedan od faktora (3); potrebno je pronaći drugi faktor koji bi, kada se pomnoži sa 3, dao dati proizvod 6/7. Očigledno, trebao bi biti tri puta manji od ovog proizvoda. To znači da je zadatak koji je pred nas bio da smanjimo razlomak 6/7 za 3 puta.
Već znamo da se smanjenje razlomka može izvršiti ili smanjenjem brojioca ili povećanjem nazivnika. Stoga možete napisati:
IN u ovom slučaju Brojilac od 6 je djeljiv sa 3, pa brojnik treba prepoloviti.
Uzmimo još jedan primjer: 5 / 8 podijeljeno sa 2. Ovdje brojnik 5 nije djeljiv sa 2, što znači da će se imenilac morati pomnožiti sa ovim brojem:
Na osnovu toga može se donijeti pravilo: Da biste razlomak podijelili cijelim brojem, trebate podijeliti brojilac razlomka s tim cijelim brojem.(ako je moguće), ostavljajući isti imenilac, ili pomnožite imenilac razlomka sa ovim brojem, ostavljajući isti brojnik.
3. Dijeljenje cijelog broja razlomkom.
Neka je potrebno podijeliti 5 sa 1/2, tj. pronaći broj koji će, nakon množenja sa 1/2, dati proizvod 5. Očigledno, ovaj broj mora biti veći od 5, jer je 1/2 pravi razlomak , a pri množenju broja proizvod pravilnog razlomka mora biti manji od proizvoda koji se množi. Da bi ovo bilo jasnije, napišimo naše akcije na sljedeći način: 5: 1 / 2 = X , što znači x 1 / 2 = 5.
Moramo pronaći takav broj X , što bi, ako bi se pomnožilo sa 1/2, dalo 5. Pošto množenje određenog broja sa 1/2 znači pronalaženje 1/2 ovog broja, onda je, dakle, 1/2 nepoznat datum X je jednako 5, i cijeli broj X duplo više, tj. 5 2 = 10.
Dakle 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
provjerimo: 
Pogledajmo još jedan primjer. Recimo da želite podijeliti 6 sa 2/3. Pokušajmo prvo pomoću crteža pronaći željeni rezultat (slika 19).
Fig.19
Nacrtajmo segment AB jednak 6 jedinica i svaku jedinicu podijelimo na 3 jednaka dijela. U svakoj jedinici tri trećine (3/3) cijelog segmenta AB je 6 puta veće, tj. e. 18/3. Koristeći male zagrade, povezujemo 18 rezultirajućih segmenata od 2; Biće samo 9 segmenata. To znači da je razlomak 2/3 sadržan u 6 jedinica 9 puta, ili, drugim riječima, razlomak 2/3 je 9 puta manji od 6 cijelih jedinica. dakle,
Kako dobiti ovaj rezultat bez crteža koristeći samo proračune? Razmotrimo ovako: trebamo podijeliti 6 sa 2/3, tj. trebamo odgovoriti na pitanje koliko puta je 2/3 sadržano u 6. Hajde da prvo saznamo: koliko puta je 1/3 sadržano u 6? U cijeloj jedinici ima 3 trećine, a u 6 jedinica 6 puta više, odnosno 18 trećina; da bismo pronašli ovaj broj moramo 6 pomnožiti sa 3. To znači da je 1/3 sadržano u b jedinicama 18 puta, a 2/3 sadržano u b jedinicama ne 18 puta, već upola manje, tj. 18: 2 = 9 Dakle, prilikom deljenja 6 sa 2/3 uradili smo sledeće:
Odavde dobijamo pravilo za deljenje celog broja razlomkom. Da biste cijeli broj podijelili razlomkom, trebate pomnožiti ovaj cijeli broj sa nazivnikom datog razlomka i, čineći ovaj proizvod brojicom, podijeliti ga brojnikom datog razlomka.
Napišimo pravilo koristeći slova:
Da bi ovo pravilo bilo potpuno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati količnikom. Stoga je korisno uporediti pronađeno pravilo sa pravilom za dijeljenje broja količnikom, koje je navedeno u § 38. Imajte na umu da je ista formula dobijena tamo.
Prilikom podjele moguće su skraćenice, na primjer:
4. Deljenje razlomka sa razlomkom.
Recimo da trebamo podijeliti 3/4 sa 3/8. Šta će značiti broj koji je rezultat dijeljenja? Odgovorit će na pitanje koliko puta je razlomak 3/8 sadržan u razlomku 3/4. Da bismo razumeli ovo pitanje, napravimo crtež (slika 20).
Uzmimo segment AB, uzmimo ga kao jedan, podijelimo ga na 4 jednaka dijela i označimo 3 takva dijela. Segment AC će biti jednak 3/4 segmenta AB. Podijelimo sada svaki od četiri originalna segmenta na pola, tada će se segment AB podijeliti na 8 jednakih dijelova i svaki takav dio će biti jednak 1/8 segmenta AB. Povežimo 3 takva segmenta sa lukovima, tada će svaki od segmenata AD i DC biti jednak 3/8 segmenta AB. Crtež pokazuje da se segment jednak 3/8 nalazi u segmentu jednakom 3/4 tačno 2 puta; To znači da se rezultat dijeljenja može zapisati na sljedeći način:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Pogledajmo još jedan primjer. Recimo da trebamo podijeliti 15/16 sa 3/32:
Možemo zaključiti ovako: trebamo pronaći broj koji će, nakon množenja sa 3/32, dati proizvod jednak 15/16. Zapišimo proračune ovako:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 nepoznati broj X su 15/16
1/32 nepoznatog broja X je ,
32 / 32 brojeva X šminka .
dakle,
Dakle, da biste podijelili razlomak razlomkom, trebate pomnožiti brojilac prvog razlomka sa nazivnikom drugog, i pomnožiti nazivnik prvog razlomka s brojnikom drugog, a prvi proizvod učiniti brojicom, a drugi imenilac.
Napišimo pravilo koristeći slova:
Prilikom podjele moguće su skraćenice, na primjer:
5. Podjela mješovitih brojeva.
Prilikom dijeljenja mješovitih brojeva, oni se prvo moraju pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim se dobiveni razlomci moraju podijeliti prema pravilima za dijeljenje razlomaka. Pogledajmo primjer:
Pretvorimo mješovite brojeve u nepravilne razlomke:
Sada podijelimo:
Dakle, da biste podijelili mješovite brojeve, morate ih pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim podijeliti koristeći pravilo za dijeljenje razlomaka.
6. Pronalaženje broja iz njegovog zadanog razlomka.
Među raznim problemima s razlomcima, ponekad postoje i oni u kojima je data vrijednost nekog razlomka nepoznatog broja i potrebno je pronaći taj broj. Ovaj tip problema će biti inverzan problemu pronalaženja razlomka datog broja; tamo je dat broj i trebalo je pronaći neki dio tog broja, ovdje je dat djelić broja i trebalo je pronaći sam ovaj broj. Ova ideja će postati još jasnija ako se okrenemo rješavanju ove vrste problema.
Zadatak 1. Prvog dana staklari su zastaklili 50 prozora, što je 1/3 svih prozora izgrađene kuće. Koliko prozora ima u ovoj kući?
Rješenje. Problem kaže da 50 zastakljenih prozora čini 1/3 svih prozora kuće, što znači da je ukupno 3 puta više prozora, tj.
Kuća je imala 150 prozora.
Zadatak 2. U prodavnici je prodato 1.500 kg brašna, što je 3/8 ukupne zalihe brašna koju je trgovina imala. Koja je bila početna zaliha brašna u prodavnici?
Rješenje. Iz uslova problema je jasno da 1.500 kg prodatog brašna čini 3/8 ukupne zalihe; To znači da će 1/8 ove rezerve biti 3 puta manje, odnosno da biste je izračunali morate smanjiti 1500 za 3 puta:
1.500: 3 = 500 (ovo je 1/8 rezerve).
Očigledno je da će cjelokupna ponuda biti 8 puta veća. dakle,
500 8 = 4.000 (kg).
Početna zaliha brašna u prodavnici bila je 4.000 kg.
Iz razmatranja ovog problema može se izvesti sljedeće pravilo.
Da biste pronašli broj iz date vrijednosti njegovog razlomka, dovoljno je ovu vrijednost podijeliti s brojnikom razlomka i rezultat pomnožiti sa nazivnikom razlomka.
Rješili smo dva zadatka o pronalaženju broja prema njegovom razlomku. Ovakvi problemi, kao što se posebno jasno vidi iz posljednjeg, rješavaju se s dvije radnje: dijeljenjem (kada se pronađe jedan dio) i množenjem (kada se pronađe cijeli broj).
Međutim, nakon što smo naučili dijeljenje razlomaka, gornji problemi se mogu riješiti jednom radnjom, a to je: dijeljenje razlomkom.
Na primjer, posljednji zadatak se može riješiti u jednoj radnji ovako:
U budućnosti ćemo rješavati probleme pronalaženja broja iz njegovog razlomka jednom radnjom - dijeljenjem.
7. Pronalaženje broja po procentu.
U ovim zadacima morat ćete pronaći broj koji zna nekoliko posto tog broja.
Zadatak 1. Kao prvo tekuće godine Dobio sam 60 rubalja od štedionice. prihod od iznosa koji sam stavio na štednju prije godinu dana. Koliko sam novca stavio u štedionicu? (Blagajne daju štedišama prinos od 2% godišnje.)
Poenta problema je u tome što sam određenu sumu novca stavio u štedionicu i tu ostao godinu dana. Nakon godinu dana od nje sam dobio 60 rubalja. prihod, što je 2/100 novca koji sam položio. Koliko sam novca uložio?
Prema tome, znajući dio ovog novca, izražen na dva načina (u rubljama i razlomcima), moramo pronaći cijeli, još nepoznat, iznos. Ovo je običan problem pronalaženja broja s obzirom na njegov razlomak. Sljedeći problemi se rješavaju dijeljenjem:
To znači da je u štedionici položeno 3.000 rubalja.
Zadatak 2. Ribari su za dvije sedmice ispunili mjesečni plan za 64 posto, ulovivši 512 tona ribe. Kakav je bio njihov plan?
Iz uslova problema poznato je da su ribari završili dio plana. Ovaj dio iznosi 512 tona, što je 64% od plana. Ne znamo koliko tona ribe treba pripremiti prema planu. Pronalaženje ovog broja bit će rješenje problema.
Takvi problemi se rješavaju podjelom:
To znači da je prema planu potrebno pripremiti 800 tona ribe.
Zadatak 3. Voz je išao iz Rige za Moskvu. Kada je prošao 276. kilometar, jedan od putnika je pitao konduktera u prolazu koliki su dio puta već prešli. Na to je kondukter odgovorio: "Već smo prešli 30% cijelog putovanja." Kolika je udaljenost od Rige do Moskve?
Iz problematičnih uslova jasno je da 30% rute od Rige do Moskve iznosi 276 km. Moramo pronaći cijelu udaljenost između ovih gradova, tj. za ovaj dio pronaći cjelinu:
§ 91. Recipročni brojevi. Zamjena dijeljenja množenjem.
Uzmimo razlomak 2/3 i zamijenimo brojilac umjesto nazivnika, dobićemo 3/2. Dobili smo inverz ovog razlomka.
Da biste dobili inverz od datog razlomka, potrebno je da stavite njegov brojilac na mjesto imenioca, a imenilac na mjesto brojnika. Na ovaj način možemo dobiti recipročnu vrijednost bilo kojeg razlomka. Na primjer:
3/4, revers 4/3; 5/6, revers 6/5
Dva razlomka koji imaju svojstvo da je brojnik prvog imenilac drugog, a imenilac prvog brojnik drugog, nazivaju se međusobno inverzno.
Sada razmislimo o tome koji će razlomak biti recipročan od 1/2. Očigledno, to će biti 2/1, ili samo 2. Tražeći inverzni razlomak datog, dobili smo cijeli broj. I ovaj slučaj nije izolovan; naprotiv, za sve razlomke sa brojiocem 1 (jedan), recipročni će biti cijeli brojevi, na primjer:
1/3, revers 3; 1/5, revers 5
Kako smo pri pronalaženju recipročnih razlomaka naišli i na cijele brojeve, u nastavku nećemo govoriti o recipročnim razlomcima, već o recipročni brojevi X.
Hajde da shvatimo kako napisati inverz od celog broja. Za razlomke, ovo se može jednostavno riješiti: trebate staviti imenilac na mjesto brojnika. Na isti način, možete dobiti inverz od cijelog broja, jer svaki cijeli broj može imati imenilac 1. To znači da će inverz od 7 biti 1/7, jer je 7 = 7/1; za broj 10 inverzno će biti 1/10, pošto je 10 = 10/1
Ova ideja se može izraziti drugačije: recipročna vrednost datog broja se dobija dijeljenjem jedan sa datim brojem. Ova izjava vrijedi ne samo za cijele brojeve, već i za razlomke. U stvari, ako trebamo napisati inverz od razlomka 5/9, onda možemo uzeti 1 i podijeliti ga sa 5/9, tj.
Istaknimo sada jednu stvar imovine recipročni brojevi, koji će nam biti korisni: proizvod recipročnih brojeva jednak je jedan. Zaista:
Koristeći ovo svojstvo, recipročne brojeve možemo pronaći na sljedeći način. Recimo da trebamo pronaći inverz od 8.
Označimo ga slovom X , zatim 8 X = 1, dakle X = 1/8. Nađimo drugi broj koji je inverzan od 7/12 i označimo ga slovom X , zatim 7/12 X = 1, dakle X = 1: 7 / 12 ili X = 12 / 7 .
Ovdje smo uveli koncept recipročnih brojeva kako bismo malo dopunili informacije o dijeljenju razlomaka.
Kada broj 6 podijelimo sa 3/5, radimo sljedeće:
Molimo platite Posebna pažnja na izraz i uporedi ga sa datim: .
Ako izraz uzmemo odvojeno, bez veze s prethodnim, onda je nemoguće riješiti pitanje odakle je došao: od dijeljenja 6 sa 3/5 ili od množenja 6 sa 5/3. U oba slučaja dešava se ista stvar. Stoga možemo reći da se dijeljenje jednog broja drugim može zamijeniti množenjem dividende inverzom djelitelja.
Primjeri koje dajemo u nastavku u potpunosti potvrđuju ovaj zaključak.
Množenje i dijeljenje razlomaka.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Ova operacija je mnogo ljepša od sabiranja-oduzimanja! Jer je lakše. Podsjećamo, da biste pomnožili razlomak razlomkom, morate pomnožiti brojioce (ovo će biti brojilac rezultata) i nazivnike (ovo će biti imenilac). To je:
Na primjer:
Sve je krajnje jednostavno. I molim vas ne tražite zajednički imenitelj! Nema potrebe za njim ovde...
Da biste podijelili razlomak s razlomkom, trebate obrnuti sekunda(ovo je važno!) razlomite i pomnožite ih, tj.:
Na primjer:
Ako naiđete na množenje ili dijeljenje s cijelim brojevima i razlomcima, u redu je. Kao i kod sabiranja, pravimo razlomak od cijelog broja sa jedan u nazivniku - i samo naprijed! Na primjer:
U srednjoj školi često morate da imate posla sa trospratnim (ili čak četvorospratnim!) razlomcima. Na primjer:
Kako mogu učiniti da ovaj razlomak izgleda pristojno? Da, vrlo jednostavno! Koristite podjelu na dvije tačke:
Ali ne zaboravite na redoslijed podjele! Za razliku od množenja, ovo je ovdje vrlo važno! Naravno, nećemo brkati 4:2 ili 2:4. Ali lako je pogriješiti u trospratnom razlomku. Imajte na umu na primjer:
U prvom slučaju (izraz s lijeve strane):
U drugom (izraz desno):
Osjećate li razliku? 4 i 1/9!
Šta određuje redoslijed podjele? Ili sa zagradama, ili (kao ovde) sa dužinom horizontalnih linija. Razvijte svoje oko. A ako nema zagrada ili crtica, kao:
zatim podijeli i pomnoži redom, s lijeva na desno!
I takođe vrlo jednostavno i važna tehnika. U akcijama sa diplomama, to će vam biti od velike koristi! Podijelimo jedan bilo kojim razlomkom, na primjer, sa 13/15:
Šut se preokrenuo! I to se uvijek dešava. Kada se 1 podijeli bilo kojim razlomkom, rezultat je isti razlomak, samo naopako.
To je to za operacije sa razlomcima. Stvar je prilično jednostavna, ali daje više nego dovoljno grešaka. Bilješka praktični saveti, i biće ih manje (greške)!
Praktični savjeti:
1. Najvažnija stvar pri radu sa frakcijskim izrazima je tačnost i pažnja! Ovo nisu opšte reči, nisu dobre želje! Ovo strašna potreba! Uradite sve proračune na Jedinstvenom državnom ispitu kao potpuni zadatak, fokusiran i jasan. Bolje je da napišete dva dodatna reda u nacrtu nego da zabrljate dok radite mentalne proračune.
2. U primjerima sa različite vrste razlomci - idite na obične razlomke.
3. Smanjujemo sve razlomke dok se ne zaustave.
4. Višespratnica frakcioni izrazi svesti na obične koristeći dijeljenje na dvije točke (pazite na redoslijed dijeljenja!).
5. Podijelite jedinicu s razlomkom u svojoj glavi, jednostavno okrećući razlomak.
Evo zadataka koje svakako morate obaviti. Odgovori se daju nakon svih zadataka. Koristite materijale na ovu temu i praktične savjete. Procijenite koliko ste primjera uspjeli točno riješiti. Prvi put! Bez kalkulatora! I izvući prave zaključke...
Zapamtite - tačan odgovor je primljeno od drugog (naročito trećeg) puta se ne računa! Takav je surov život.
dakle, rješavati u ispitnom načinu ! Ovo je, inače, već priprema za Jedinstveni državni ispit. Rešavamo primer, proveravamo ga, rešavamo sledeći. Odlučili smo sve - ponovo provjerili od prvog do posljednjeg. Ali samo Onda pogledajte odgovore.
Izračunati:
Jeste li odlučili?
Tražimo odgovore koji odgovaraju vašima. Namerno sam ih zapisivao u neredu, daleko od iskušenja, da tako kažem... Evo ih, odgovora, ispisanih tačkom i zarezom.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo, drago mi je zbog tebe! Osnovni proračuni sa razlomcima nisu vaš problem! Možete raditi ozbiljnije stvari. Ako ne...
Dakle, imate jedan od dva problema. Ili oboje odjednom.) Nedostatak znanja i (ili) nepažnja. Ali ovo rješiv Problemi.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Množenje cijelog broja razlomkom nije težak zadatak. Ali postoje suptilnosti koje ste vjerovatno razumjeli u školi, ali ste ih od tada zaboravili.
Kako pomnožiti cijeli broj sa razlomkom - nekoliko članova
Ako se sjećate šta su brojilac i imenilac i kako se pravi razlomak razlikuje od nepravilnog, preskočite ovaj pasus. Za one koji su potpuno zaboravili teoriju.
Brojilac je gornji dio razlomka - ono što dijelimo. Imenilac je manji. Ovo je ono po čemu dijelimo.
Pravi razlomak je onaj čiji je brojilac manji od imenioca. Nepravilan razlomak je onaj čiji je brojilac veći ili jednak nazivniku.
Kako pomnožiti cijeli broj sa razlomkom
Pravilo za množenje cijelog broja razlomkom je vrlo jednostavno - brojilac množimo cijelim brojem, ali ne dodirujemo nazivnik. Na primjer: dva pomnožena sa jednom petinom - dobijamo dvije petine. Četiri pomnoženo sa tri šesnaestine jednako je dvanaest šesnaestih.
Redukcija
U drugom primjeru, rezultujuća frakcija se može smanjiti.
Šta to znači? Imajte na umu da su i brojnik i imenilac ovog razlomka djeljivi sa četiri. Podijelite oba broja sa zajednički djelitelj i zove se smanjenje razlomka. Dobijamo tri četvrtine.
Nepravilni razlomci
Ali pretpostavimo da pomnožimo četiri sa dvije petine. Ispostavilo se da je to osam petina. Ovo je nepravilan razlomak.
Nju svakako treba dovesti pravu vrstu. Da biste to učinili, morate odabrati cijeli dio iz njega.
Ovdje trebate koristiti dijeljenje s ostatkom. Dobijamo jedan i tri kao ostatak.
Jedna cjelina i tri petine su naš pravi razlomak.
Dovesti trideset pet osminki u ispravan oblik je malo teže. Najbliži broj trideset sedam koji je djeljiv sa osam je trideset dva. Kada se podijeli, dobijemo četiri. Oduzmite trideset dva od trideset pet i dobijemo tri. Rezultat: četiri cijele i tri osmine.
Jednakost brojnika i nazivnika. A ovdje je sve vrlo jednostavno i lijepo. Ako su brojnik i nazivnik jednaki, rezultat je jednostavno jedan.
Druga operacija koja se može izvesti s običnim razlomcima je množenje. Pokušat ćemo objasniti njegova osnovna pravila pri rješavanju zadataka, pokazati kako se običan razlomak množi prirodnim brojem i kako pravilno pomnožiti tri obične frakcije i više.
Zapišimo prvo osnovno pravilo:
Definicija 1
Ako pomnožimo jedan obični razlomak, tada će brojilac rezultirajućeg razlomka biti jednak umnošku brojnika originalnih razlomaka, a nazivnik će biti jednak umnošku njihovih nazivnika. U doslovnom obliku, za dva razlomka a / b i c / d, ovo se može izraziti kao a b · c d = a · c b · d.
Pogledajmo primjer kako pravilno primijeniti ovo pravilo. Recimo da imamo kvadrat čija je stranica jednaka jednoj brojevnoj jedinici. Tada će površina figure biti 1 kvadrat. jedinica. Ako kvadrat podijelimo na jednake pravokutnike sa stranicama jednakim 1 4 i 1 8 brojevnim jedinicama, dobićemo da se sada sastoji od 32 pravokutnika (jer je 8 4 = 32). Prema tome, površina svakog od njih bit će jednaka 1 32 površine cijele figure, tj. 1 32 sq. jedinice.
Imamo osenčeni fragment sa stranicama jednakim 5 8 numeričkih jedinica i 3 4 numeričkim jedinicama. U skladu s tim, da biste izračunali njegovu površinu, morate prvi razlomak pomnožiti s drugim. To će biti jednako 5 8 · 3 4 sq. jedinice. Ali možemo jednostavno izbrojati koliko je pravokutnika uključeno u fragment: ima ih 15, što znači ukupna površina je 15 32 kvadratne jedinice.
Kako je 5 3 = 15 i 8 4 = 32, možemo napisati sljedeću jednakost:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
To potvrđuje pravilo koje smo formulirali za množenje običnih razlomaka, a koje se izražava kao a b · c d = a · c b · d. Radi isto i za pravilne i za nepravilne razlomke; Može se koristiti za množenje razlomaka sa različitim i identičnim nazivnicima.
Pogledajmo rješenja nekoliko problema koji uključuju množenje običnih razlomaka.
Primjer 1
Pomnožite 7 11 sa 9 8.
Rješenje
Prvo, izračunajmo proizvod brojila navedenih razlomaka množenjem 7 sa 9. Imamo 63. Zatim izračunamo proizvod nazivnika i dobijemo: 11 · 8 = 88. Sastavimo dva broja i odgovor je: 63 88.
Cijelo rješenje se može napisati ovako:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
odgovor: 7 11 · 9 8 = 63 88.
Ako u odgovoru dobijemo razlomak koji se može smanjiti, moramo završiti proračun i izvršiti njegovo smanjenje. Ako dobijemo nepravilan razlomak, moramo iz njega izdvojiti cijeli dio.
Primjer 2
Izračunaj proizvod razlomaka 4 15 i 55 6 .
Rješenje
Prema gore proučenom pravilu, trebamo pomnožiti brojilac sa brojicom, a imenilac sa imeniocem. Zapis rješenja će izgledati ovako:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Dobili smo svodljivi razlomak, tj. onaj koji je deljiv sa 10.
Smanjimo razlomak: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Kao rezultat, dobili smo nepravilan razlomak, iz kojeg odabiremo cijeli dio i dobijemo mješoviti broj: 22 9 = 2 4 9.
odgovor: 4 15 55 6 = 2 4 9.
Radi lakšeg izračunavanja, također možemo smanjiti originalne razlomke prije izvođenja operacije množenja, za koju trebamo svesti razlomak na oblik a · c b · d. Razložimo vrijednosti varijabli na jednostavne faktore i smanjimo iste.
Hajde da objasnimo kako ovo izgleda koristeći podatke iz određenog zadatka.
Primjer 3
Izračunaj proizvod 4 15 55 6.
Rješenje
Zapišimo proračune na osnovu pravila množenja. dobićemo:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Kako je 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 i 6 = 2 3, onda je 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Odgovori: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .
Numerički izraz u kojem se množe obični razlomci ima komutativno svojstvo, odnosno, ako je potrebno, možemo promijeniti redoslijed faktora:
a b · c d = c d · a b = a · c b · d
Kako pomnožiti razlomak prirodnim brojem
Hajdemo odmah da zapišemo osnovno pravilo, a zatim ga pokušajmo objasniti u praksi.
Definicija 2
Da biste običan razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je pomnožiti brojilac tog razlomka s tim brojem. U ovom slučaju, nazivnik konačnog razlomka će biti jednak nazivniku originalnog običnog razlomka. Množenje određenog razlomka a b prirodnim brojem n može se zapisati kao formula a b · n = a · n b.
Lako je razumjeti ovu formulu ako se sjetite da se bilo koji prirodni broj može predstaviti kao običan razlomak s nazivnikom jednako jedan, to je:
a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b
Objasnimo našu ideju konkretnim primjerima.
Primjer 4
Izračunaj proizvod 2 27 puta 5.
Rješenje
Kao rezultat množenja brojnika originalnog razlomka sa drugim faktorom, dobijamo 10. Na osnovu gore navedenog pravila, dobićemo 10 27 kao rezultat. Cijelo rješenje je dato u ovom postu:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
odgovor: 2 27 5 = 10 27
Kada prirodni broj množimo razlomkom, često moramo skratiti rezultat ili ga predstaviti kao mješoviti broj.
Primjer 5
Uslov: izračunaj proizvod 8 sa 5 12.
Rješenje
Prema gornjem pravilu, prirodni broj množimo brojicom. Kao rezultat, dobijamo da je 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Konačni razlomak ima znakove djeljivosti sa 2, pa ga moramo smanjiti:
LCM (40, 12) = 4, dakle 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3
Sada sve što treba da uradimo je da odaberemo ceo deo i zapišemo spreman odgovor: 10 3 = 3 1 3.
U ovom unosu možete vidjeti cjelokupno rješenje: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.
Također bismo mogli smanjiti razlomak tako što ćemo brojilac i imenilac razložiti na proste faktore, a rezultat bi bio potpuno isti.
odgovor: 5 12 8 = 3 1 3.
Numerički izraz u kojem se prirodni broj množi razlomkom također ima svojstvo pomaka, odnosno redoslijed faktora ne utječe na rezultat:
a b · n = n · a b = a · n b
Kako pomnožiti tri ili više uobičajenih razlomaka
Na radnju množenja običnih razlomaka možemo proširiti ista svojstva koja su karakteristična za množenje prirodnih brojeva. To proizilazi iz same definicije ovih pojmova.
Zahvaljujući poznavanju svojstava kombinovanja i komutacije, možete pomnožiti tri ili više običnih razlomaka. Prihvatljivo je preurediti faktore radi veće udobnosti ili rasporediti zagrade na način koji olakšava brojanje.
Pokažimo na primjeru kako se to radi.
Primjer 6
Pomnožite četiri obična razlomka 1 20, 12 5, 3 7 i 5 8.
Rješenje: Prvo, snimimo rad. Dobijamo 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Moramo zajedno pomnožiti sve brojioce i nazivnike: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .
Prije nego što počnemo s množenjem, možemo malo olakšati sebi stvari i faktorizirati neke brojeve u proste faktore za daljnje smanjenje. To će biti lakše nego smanjiti rezultujuću frakciju koja je već spremna.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9.280
odgovor: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9.280.
Primjer 7
Pomnožite 5 brojeva 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .
Rješenje
Radi praktičnosti, možemo grupirati razlomak 7 8 sa brojem 8, a broj 12 sa razlomkom 5 36, jer će nam buduće skraćenice biti očigledne. Kao rezultat, dobićemo:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 7 5 10 6 2 3
odgovor: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Da biste ispravno pomnožili razlomak razlomkom ili razlomak brojem, morate znati jednostavna pravila. Sada ćemo detaljno analizirati ova pravila.
Množenje običnog razlomka s razlomkom.
Da biste razlomak pomnožili razlomkom, morate izračunati proizvod brojilaca i umnožaka nazivnika ovih razlomaka.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \puts c)(b \puts d)\\\)
Pogledajmo primjer:
Množimo brojilac prvog razlomka sa brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka množimo i imeniocem drugog razlomka.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ puta 3)(7 \puta 3) = \frac(4)(7)\\\)
Razlomak \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \puts 3) = \frac(4)(7)\\\) smanjen je za 3.
Množenje razlomka brojem.
Prvo, zapamtimo pravilo, bilo koji broj se može predstaviti kao razlomak \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Koristimo ovo pravilo prilikom množenja.
\(5 \ puta \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Nepravilan razlomak \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) pretvoreno u mješovita frakcija.
Drugim riječima, Kada broj množimo razlomkom, množimo broj sa brojnikom i imenilac ostavljamo nepromijenjen. primjer:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Množenje mješovitih razlomaka.
Da biste pomnožili mješovite razlomke, prvo morate svaki mješoviti razlomak predstaviti kao nepravilan razlomak, a zatim koristiti pravilo množenja. Množimo brojilac sa brojicom, a nazivnik množimo sa imeniocem.
primjer:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \ puta 6) = \frac(3 \puta \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Množenje recipročnih razlomaka i brojeva.
Razlomak \(\bf \frac(a)(b)\) je inverzan razlomku \(\bf \frac(b)(a)\), pod uvjetom da je a≠0,b≠0.
Razlomci \(\bf \frac(a)(b)\) i \(\bf \frac(b)(a)\) nazivaju se recipročni razlomci. Proizvod recipročnih razlomaka jednak je 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
primjer:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Povezana pitanja:
Kako pomnožiti razlomak sa razlomkom?
Odgovor: Proizvod običnih razlomaka je množenje brojnika sa brojicom, nazivnika sa nazivnikom. Da biste dobili proizvod miješanih razlomaka, trebate ih pretvoriti u nepravilan razlomak i pomnožiti prema pravilima.
Kako pomnožiti razlomke sa različitim nazivnicima?
Odgovor: nije bitno da li su isti ili različiti imenioci Za razlomke, množenje se događa prema pravilu pronalaženja proizvoda brojnika sa brojiocem, nazivnika sa nazivnikom.
Kako pomnožiti miješane razlomke?
Odgovor: prije svega, trebate pretvoriti mješoviti razlomak u nepravilan razlomak, a zatim pronaći proizvod koristeći pravila množenja.
Kako pomnožiti broj sa razlomkom?
Odgovor: množimo broj sa brojicom, ali imenilac ostavljamo isti.
Primjer #1:
Izračunajte proizvod: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Rješenje:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \puts 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( crvena) (5))(3 \puta \color(crvena) (5) \puta 13) = \frac(4)(39)\)
Primjer #2:
Izračunaj umnožak broja i razlomka: a) \(3 \puta \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \puta 11\)
Rješenje:
a) \(3 \puta \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Primjer #3:
Napisati recipročnu vrijednost razlomka \(\frac(1)(3)\)?
Odgovor: \(\frac(3)(1) = 3\)
Primjer #4:
Izračunajte umnožak dva recipročna razlomka: a) \(\frac(104)(215) \puta \frac(215)(104)\)
Rješenje:
a) \(\frac(104)(215) \puta \frac(215)(104) = 1\)
Primjer #5:
Mogu li recipročni razlomci biti:
a) istovremeno sa pravim razlomcima;
b) istovremeno nepravilni razlomci;
c) istovremeno prirodni brojevi?
Rješenje:
a) da bismo odgovorili na prvo pitanje, dajmo primjer. Razlomak \(\frac(2)(3)\) je pravilan, njegov inverzni razlomak će biti jednak \(\frac(3)(2)\) - nepravilan razlomak. Odgovor: ne.
b) u skoro svim nabrajanjima razlomaka ovaj uslov nije ispunjen, ali postoje neki brojevi koji ispunjavaju uslov da su istovremeno nepravilni razlomak. Na primjer, nepravilan razlomak je \(\frac(3)(3)\), njegov inverzni razlomak je jednak \(\frac(3)(3)\). Dobijamo dva nepravilna razlomka. Odgovor: ne uvek određenim uslovima kada su brojnik i imenilac jednaki.
c) prirodni brojevi su brojevi koje koristimo prilikom brojanja, na primjer, 1, 2, 3, …. Ako uzmemo broj \(3 = \frac(3)(1)\), tada će njegov inverzni razlomak biti \(\frac(1)(3)\). Razlomak \(\frac(1)(3)\) nije prirodan broj. Ako prođemo kroz sve brojeve, recipročna vrijednost broja je uvijek razlomak, osim 1. Ako uzmemo broj 1, onda će njegov recipročni razlomak biti \(\frac(1)(1) = \frac(1) )(1) = 1\). Broj 1 je prirodan broj. Odgovor: oni mogu istovremeno biti prirodni brojevi samo u jednom slučaju, ako je to broj 1.
Primjer #6:
Uradite umnožak mješovitih razlomaka: a) \(4 \puta 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \puta 3\frac(2)(7)\ )
Rješenje:
a) \(4 \puta 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Primjer #7:
Mogu li dva recipročna broja biti mješoviti brojevi u isto vrijeme?
Pogledajmo primjer. Uzmimo mješoviti razlomak \(1\frac(1)(2)\), pronađemo njegov inverzni razlomak, da bismo to učinili pretvaramo ga u nepravilan razlomak \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2) \) . Njegov inverzni razlomak će biti jednak \(\frac(2)(3)\) . Razlomak \(\frac(2)(3)\) je pravi razlomak. Odgovor: Dva razlomka koja su međusobno inverzna ne mogu biti mješoviti brojevi u isto vrijeme.