gde svi
Zamjenom dobijamo:
Za kontinuiranu distribuciju, isto vrijedi: 
gdje V- područje prostora u kojem se nalaze naboji (nenula gustina naboja), ili cijeli prostor, - vektor radijusa tačke za koju računamo, - radijus vektor izvora, koji prolazi kroz sve tačke regije ^ V prilikom integracije, dV- element zapremine.
Zove se električno polje u kojem je jačina jednaka po veličini i smjeru u bilo kojoj tački prostora jednolično električno polje .
Približno je homogena električno polje između dvije suprotno nabijene ravne metalne ploče. Linije jačine u jednoličnom električnom polju paralelne su jedna s drugom
Sa ravnomjernom distribucijom električnog naboja q na površini trga S površinska gustina naelektrisanja je konstantna i jednaka
4. Potencijal. elektrostat. polja. Equipotential. površine Ur-e oprema. površine
Elektrostatičko polje je električno polje naelektrisanja stacionarno u odabranom referentnom okviru. Glavne karakteristike elektrostatičko polje su napetost i potencijal. Potencijal u bilo kom trenutku u statistici e-pošte. polje je fizička veličina određena potencijalnom energijom pozitivnog naboja postavljenog u ovoj tački.
Razlika potencijala između dvije tačke jednaka je radu pri pomicanju jednog pozitivnog naboja od tačke 1 do tačke 2.
Često je zgodno uzeti potencijal beskonačno udaljene tačke u prostoru kao nulti potencijal. Potencijal- energetska karakteristika elektrostatičkog polja. Ako je nulti nivo potencijalne energije sistema naelektrisanja konvencionalno odabran u beskonačnosti, onda izraz predstavlja rad vanjske sile da pomjeri jedan pozitivan naboj iz beskonačnosti u razmatranu tačku B: 
;
Površina u svim tačkama koje ima potencijal električnog polja iste vrijednosti, naziva se ekvipotencijalna površina.
Između bilo koje dvije točke na ekvipotencijalnoj površini, razlika potencijala je nula, stoga je rad sila električnog polja za bilo koje kretanje naboja duž ekvipotencijalne površine jednak nuli. To znači da je vektor sile Fe u bilo kojoj tački putanje naelektrisanja duž ekvipotencijalne površine okomit na vektor brzine. Posljedično, linije intenziteta elektrostatičkog polja su okomite na ekvipotencijalnu površinu.
Ako je potencijal zadan kao funkcija koordinata (x, y, z), tada jednadžba ekvipotencijalne površine ima oblik:
φ (x, y, z) = konst
Ekvipotencijalne površine polja tačkastog električnog naboja su sfere u čijem se središtu nalazi naboj. Ekvipotencijalne površine jednolikog električnog polja su ravni okomite na linije intenziteta.
5. Odnos između napona i potencijala. Potencijali polja tačkastog naboja i ard. naplatiti tijelo. Potenz. uniformno polje.
Nađimo odnos između jačine elektrostatičkog polja, koja je njegova snaga, i potencijala, koji je energetska karakteristika polja.
Rad pomeranja pozitivnog naboja jedne tačke iz jedne tačke u drugu duž x ose, pod uslovom da su tačke beskonačno blizu jedna drugoj, jednak je A = Exdxq0. Isti rad je jednak A = (1-2) q0 = -d Izjednačavajući oba izraza, možemo napisati
Primjer = -d / dx. Slično Ey = -d / dy, Ez = -d / z. Otuda E = Exi + Eyj + Ezk, gdje su i, j, k jedinični vektori koordinatnih osa x, y, z. Onda 
tj. jačina polja E jednaka je potencijalnom gradijentu sa predznakom minus. Predznak minus je određen činjenicom da je vektor jačine polja E usmjeren u smjeru opadanja potencijala.
Za grafički prikaz raspodjele potencijala elektrostatičkog polja, kao u slučaju nulte gravitacije, koristite ekvipotencijalne površine – površine u svim tačkama čiji potencijal ima istu vrijednost. 
Ako je polje stvoreno tačkastim nabojem, onda njegov potencijal, prema, = (1 / 40) Q / r. Na ovaj način, ekvipotencijalne površine v u ovom slučaju - koncentrične sfere.
S druge strane, linije napetosti u slučaju tačkastog naboja su radijalne prave. Posljedično, linije napetosti u slučaju točkastog naboja su okomite na ekvipotencijalne površine.
^ Potencijal polja tačkastog naboja Q u homogenom izotropnom mediju sa dielektričnom konstantom :
Homogeni potencijal polja:
φ = W p / q = -E x x + C
Vrijednost potencijala u datoj tački ovisi o izboru nulti nivo za čitanje potencijala. Ovaj nivo se bira proizvoljno.
6. radne snage elektrostat. polje o prijenosu točkastog naboja. Cirkulacioni i rotorski elektrostat. Polja
Elementarni rad koji vrši sila F pri premeštanju tačkastog električnog naboja qpr iz jedne tačke elektrostatičkog polja u drugu na segmentu puta dl je po definiciji jednak 
gdje je ugao između vektora sile F i smjera kretanja dl. Ako rad obavljaju vanjske sile, tada je dA = 0. Integracijom poslednjeg izraza dobijamo da će rad protiv sila polja pri pomeranju ispitnog naboja qpr iz tačke "a" u tačku "b" biti jednak ... 
gdje je Kulonova sila koja djeluje na ispitni naboj qpr u svakoj tački polja jačine E. Tada rad ... 
Neka se naelektrisanje kreće u polju naelektrisanja q od tačke "a", udaljene od q na udaljenosti do tačke "b", udaljene od q na udaljenosti (slika 1.12).
Kao što vidite sa slike, onda dobijamo 
Kao što je gore spomenuto, rad sila elektrostatičkog polja, izveden protiv spoljne sile, je jednaka po veličini i suprotnog predznaka radu vanjskih sila, dakle 
Rad elektrostatičkih sila u bilo kojem zatvorena petlja jednaka je nuli. one. cirkulacija elektrostatičkog polja duž bilo kojeg kola je nula. Uzmite bilo koju površinu S na osnovu konture G.
Po Stokesovom teoremu: budući da je ovo za bilo koju površinu
Postoji identitet:. one. linije sile elektrostatička polja ne kruže u prostoru.
7.t-ma gaus za polje vektora E (r). Diverg. Electrostat. Polja. Ur-e Poisson za potencijale. Electrostat. Polja
^ Gaussova teorema- glavni teorem elektrodinamike, koji se koristi za izračunavanje električnih polja. Izražava odnos između toka jakosti električnog polja kroz zatvorenu površinu i naboja u zapremini ograničenom ovom površinom.
Tok vektora jakosti električnog polja kroz bilo koju proizvoljno odabranu zatvorenu površinu proporcionalan je električnom naboju sadržanom u ovoj površini. , gdje Za Gaussov teorem vrijedi princip superpozicije, odnosno tok vektora intenziteta kroz površinu ne ovisi o raspodjeli naboja unutar površine.
Gaussova teorema za vektor jačine elektrostatičkog polja također se može formulirati u diferencijalnom obliku. Zaista, razmotrite polje tačkastog električnog naboja koje se nalazi na početku: 
Iz relacije proizilazi 
Lako je provjeriti da je za, odnosno za tačku posmatranja u kojoj nema električnog naboja, tačan sljedeća relacija: 
(1.55)
Matematička operacija na lijevoj strani relacije (1.55) ima poseban naziv "divergencija vektorskog polja i posebnu notaciju 
Poissonova jednadžba- elliptic doo u parcijalnim derivatima, koji između ostalog opisuje elektrostatičko polje. Ova jednadžba je:
gdje je Δ Laplasov operator ili Laplasov, i f- važeći ili složena funkcija na nekoj mnogostrukosti.
U trodimenzionalnom Kartezijanski sistem koordinate, jednadžba ima oblik:
U Dekartovom koordinatnom sistemu, Laplaceov operator je zapisan u obliku, a Poissonova jednačina ima oblik: Ako f teži nuli, tada se Poissonova jednačina pretvara u Laplaceov ur-e: 
gdje je F elektrostatički potencijal, zapreminska gustina naboja i dielektrična konstanta vakuuma.
U području prostora u kojem nema neuparene gustine naboja imamo: = 0 i jednačina za potencijal se pretvara u Laplaceovu jednačinu:
Elektrostatičko polje je polje koje stvaraju električni naboji koji su nepomični u prostoru i konstantni u vremenu (u odsustvu električnih struja).
Ako u prostoru postoji sistem naelektrisanih tela, onda u svakoj tački ovog prostora postoji sila električnog polja. Određuje se kroz silu koja djeluje na ispitni naboj postavljen u ovo polje. Ispitno punjenje mora biti malo kako ne bi uticalo na karakteristike elektrostatičkog polja.
Na osnovu principa superpozicije, potencijal čitavog skupa naboja jednak je zbiru potencijala stvorenih u datoj tački polja svakim od naboja posebno: 
*
Vrijednost se naziva električni dipolni moment sistema naelektrisanja.
^ Električni. dipolni moment ili jednostavno dipolni moment sistem naelektrisanja q i naziva se zbir proizvoda veličina naelektrisanja po njihovim vektorima radijusa.
Dipolni moment se obično označava latiničnim slovom d ili latiničnim slovom p.
Dipolni moment je od izuzetnog značaja u fizici kada se proučavaju neutralni sistemi. Djelovanje električnog polja na neutralni sistem naelektrisanja i električno polje koje stvara neutralni sistem prvenstveno je određeno dipolnim momentom. Ovo se posebno odnosi na atome i molekule.
Neutralni sistemi naelektrisanja sa nenultim dipolnim momentom se nazivaju dipoli.
Svojstva: Ukupni dipolni moment definiran gore ovisi o referentnom okviru. Međutim, za neutralni sistem, zbir svih naelektrisanja je nula, pa ovisnost o referentnom okviru nestaje.
Sam dipol se sastoji od dva identična apsolutna vrijednost, ali naboji + q i -q suprotni u smjeru, koji su na određenoj udaljenosti r jedan od drugog. Dipolni moment je tada po apsolutnoj vrijednosti jednak qr i usmjeren je od pozitivnog ka negativnom naboju. U slučaju kontinuirane raspodjele naboja s gustinom, dipolni moment se određuje integracijom 
9. Dipol u vanjskom elektrostatu. Polje. Moment sila koje djeluju na dipol, potencijal. Dipolna energija u uniformnom polju.
Električni dipol je sistem od dva identična po veličini za razliku od tačkastih naboja i, razmak između kojih je mnogo manji od udaljenosti do onih tačaka u kojima je polje sistema određeno. Prava linija koja prolazi kroz oba naboja naziva se osa dipola. U skladu sa principom superpozicije, potencijal polja u nekoj tački A je jednak:.
| Neka je tačka A odabrana tako da je dužina velika manje udaljenosti i . U ovom slučaju, možemo pretpostaviti da; a formula za dipolni potencijal se može prepisati:
| gdje je ugao između ose dipola i smjera prema tački A, povučen iz dipola. Rad se zove električni moment dipola ili dipolni moment. Vektor je usmjeren duž ose dipola od negativnog do pozitivnog naboja. Dakle, proizvod u formuli za je dipolni moment i, prema tome: |
Moment sila koje djeluju na dipol u vanjskom električnom polju.
Postavimo dipol u električno polje. Neka smjer dipola čini određeni ugao sa smjerom vektora intenziteta. Na negativno naelektrisanje djeluje sila usmjerena prema polju, na pozitivno naelektrisanje djeluje sila usmjerena duž polja. Ove sile se formiraju par sila sa momentom: u vektorskom obliku:
^ Dipol u jednoličnom spoljašnjem polju rotira pod dejstvom obrtnog momenta tako da se sila koja djeluje na pozitivni naboj dipola poklapa u smjeru s vektorom i osom dipola. Odgovara ovoj odredbi i
10. Dielektrici u elektrostatu. Polje. Vektori polarizacije i el. Offsets. Diel. Percept. I perceptivan. srijeda. Veza između njih.
Dielektrici su tvari koje praktički nemaju slobodnih nosača naboja. Stoga ne provode struju, naboji se ne prenose, već polariziraju. dielektrici su tvari molekularne strukture, sile vezivanja njihovih naboja iznutra su veće od sila vanjskog polja i oni su povezani, zatvoreni unutar molekula i vanjsko polje je samo djelomično pomaknuto, uzrokujući polarizaciju.
U prisustvu vanjskog elektrostatičkog polja jačine, dielektrični molekuli se deformišu. Pozitivni naboj se pomiče u smjeru vanjskog polja, a negativni - u suprotnom smjeru, formirajući dipol - vezani naboj. U dielektricima s dipolnim molekulima, njihovi električni momenti pod utjecajem vanjskog polja su djelomično orijentirani u smjeru polja. Za većinu dielektrika, smjer vektora polarizacije poklapa se sa smjerom vektora jakosti vanjskog polja, a smjer vektora intenziteta polariziranih naboja je suprotan smjeru vektora vanjskog polja (od + Q Za - Q). 
Vektor polarizacije određena geometrijskim zbirom električnih momenata dipola po jedinici zapremine. Za većinu dielektrika gdje je k relativna dielektrična osjetljivost.
U električnim proračunima se također koristi vektor električnog pomaka (indukcije):, gdje Vektor zavisi i od slobodnih i od vezanih naboja.
Dielektrična konstanta medij ε pokazuje koliko je puta sila interakcije dva električna naboja u mediju manja nego u vakuumu. Dielektrična osjetljivost (polarizabilnost) supstanca - fizička veličina, mjera sposobnosti supstance da se polarizira pod utjecajem električnog polja. Polarizabilnost je povezana sa omjerom dielektrične konstante ε: 
, ili.
11. Gauss t-ma za polja vektora P (r) i D (r) u integr. I def. Forms 
Gaussov teorem za vektor: fluks vektora polarizacije kroz zatvorenu površinu jednak je višku vezanog naboja dielektrika uzetog sa suprotnim predznakom u zapremini zatvorenoj površinom. 
Diferencijalni oblik: divergencija vektora polarizacije jednaka je zapreminskoj gustini viška vezanog naboja uzetog sa suprotnim predznakom u istoj tački.
Tačke, gdje su izvori polja (od kojih se linije polja odvajaju), i obrnuto, tačke, gdje su odvodi polja.
gustina; , kada:
1) - dielektrik je nehomogen; 2) - polje je nehomogeno.
Kada je homogeni izotropni dielektrik polariziran, pojavljuju se samo površinski vezani naboji, dok se naelektrisanja ne pojavljuju.
^ Gaussova teorema za vektor D
Tok vektora električnog pomaka D kroz zatvorenu površinu S jednak je algebarskom zbiru slobodnih naboja koji se nalaze u zapremini ograničenoj ovom površinom, tj. (1)
Ako ne zavisi od koordinata (izotropni medij), onda
Iz ur-I (1) slijedi da kada se naboj nalazi izvan volumena ograničenog zatvorenom površinom S, tok vektora D kroz površinu S jednak je nuli.
Primjena Gauss-Ostrogradskog teoreme na lijevu stranu (1) i izražavanje q kroz volumetrijsku gustinu naboja p dobijamo:
Pošto je zapremina izabrana proizvoljno, integrandi su jednaki:
Diferencijalni oblik Gauss - Ostrogradsky teorem (2-78) kaže da su izvori vektora električnog pomaka električni naboji. U onim područjima prostora gdje je p = 0, nema izvora vektora električnog pomaka i, prema tome, linije sile nemaju diskontinuitete, jer je div D = 0. Za medije s apsolutnom dielektričnom konstantom koja ne ovisi o koordinatama, možete napisati:
U metalnim provodnicima postoje slobodni nosioci naboja - elektroni provodljivosti (slobodni elektroni), koji se mogu kretati pod dejstvom spoljašnjeg električnog polja kroz provodnik. U nedostatku vanjskog polja električna polja elektroni provodljivosti i pozitivni metalni joni se međusobno poništavaju. Ako se metalni provodnik unese u vanjsko elektrostatičko polje, tada se pod djelovanjem ovog polja elektroni provodljivosti redistribuiraju u vodiču na način da u bilo kojoj tački unutar vodiča električno polje provodnih elektrona i pozitivnih iona kompenzira spoljašnje polje.
^ Fenomen elektrostatička indukcija naziva se preraspodjela naelektrisanja u provodniku pod utjecajem vanjskog elektrostatičkog polja. U ovom slučaju na provodniku se pojavljuju naelektrisanja koja su brojčano jednaka jedan drugom, ali suprotna po predznaku - indukovana (indukovana) naelektrisanja, koja nestaju čim se provodnik ukloni iz električnog polja.
Pošto je unutar provodnika E = -grad phi = 0, potencijal će biti konstantan. Nekompenzirani naboji se nalaze u vodiču samo na njegovoj površini.
kada se neutralni provodnik postavi u vanjsko polje, slobodni naboji će se početi kretati: pozitivni - duž polja, a negativni - prema polju. Na jednom kraju provodnika će biti višak pozitivnih naelektrisanja, a na drugom negativnih naelektrisanja. Konačno, unutar vodiča, jačina polja će postati nula, a linije napetosti izvan vodiča - okomite na njegovu površinu.
^ Električni kapacitet usamljenog provodnika.
za loptu radijus R 
Kondenzatori.
Za paralelno povezane kon-tačke, razlika potencijala je ista, za serijski spojene kon-tačke, naelektrisanja svih ploča su jednaka po veličini.
14.Energija napunjenog kondenzatora. Energija i gustina energije elektrostatičkog polja.
Kao i svaki nabijeni provodnik, kondenzator ima energiju jednaku
W = C () 2/2 = Q / 2 = Q2 / (2C), (1) gdje je Q napunjenost kondenzatora, C je njegov kapacitet, je razlika potencijala između ploča.
Koristeći izraz (1), može se pronaći mehanička sila kojom se ploče kondenzatora međusobno privlače. Da biste to učinili, pretpostavite da se udaljenost x između ploča mijenja, na primjer, za vrijednost Ax. Tada djelujuća sila vrši rad dA = Fdx, zbog smanjenja potencijalne energije sistema
Fdx = -dW, odakle je F = dW / dx. (2) 
Praveći diferencijaciju na određenoj energetskoj vrijednosti, nalazimo potrebnu silu: 
gdje znak minus označava da je sila F sila gravitacije.
^ Energija elektrostatičkog polja.
Formulu (1) izražavamo energiju ravnog kondenzatora pomoću naboja i potencijala, koristeći izraz za kapacitivnost ravnog kondenzatora (C = 0 / d) i potencijalnu razliku između njegovih ploča ( = Ed). Onda dobijamo 
gdje je V = Sd zapremina kondenzatora. Ovaj f-la pokazuje da je energija kondenzatora izražena kroz vrijednost koja karakterizira elektrostatičko polje - intenzitet E.
Gustoća energije elektrostatičkog polja(energija po jedinici zapremine)
w = W / V = 0E2 / 2 = ED / 2. (95.8)
Izraz (95.8) vrijedi samo za izotropni dielektrik, za koji
važi relacija P = 0E.
Formule (1) i (95.7), respektivno, povezuju energiju kondenzatora sa naelektrisanjem na njegovim pločama i sa jačinom polja.
Elektromagnetno polje - tenzor elektro magnetsko polje.
^ Vektor magnetske indukcije.
Magnetna indukcija jednolikog magnetnog polja određena je maksimalnim momentom koji djeluje na okvir s magnetom. momenat jednako jedan kada je normala okomita na pravac polja.
^ Princip superpozicije magnetnih polja : ako magnetsko polje stvara nekoliko vodiča sa strujama, tada je vektor magnetske indukcije u bilo kojoj tački ovog polja jednak vektorskoj sumi magnetne indukcije kreirana u ovom trenutku od strane svake struje posebno:
Lorencova sila.
Modul Lorentzove sile jednak je proizvodu modula indukcije magnetnog polja B (vektora) u kojem se nalazi nabijena čestica, modula naboja q ove čestice, njene brzine υ i sinusa ugao između smjerova brzine i vektora magnetske indukcije Pošto je Lorentzova sila okomita na vektor brzine čestice, onda ne može promijeniti vrijednost brzine, već samo mijenja svoj smjer i, prema tome, ne vrši rad.
^ Kretanje nabijenih čestica u magnetskom polju.
Ako se nabijena čestica kreće u magn. polje je okomito na vektor B, tada je Lorentzova sila konstantna u apsolutnoj vrijednosti i normalna na putanju čestice.
^ Struja je uređeno kretanje naelektrisanih čestica u provodniku. Da bi on nastao, prvo morate stvoriti električno polje, pod čijim će se utjecajem gore spomenute nabijene čestice početi kretati.
^ Ohmov zakon-Jačina struje u homogenom dijelu kola je direktno proporcionalna naponu primijenjenom na dio, a obrnuto proporcionalna električni otpor ovu stranicu.
Jačina struje je skalarna fizička veličina određena omjerom naboja Δq koji prolazi presjek provodnika za određeni vremenski period Δt, na ovaj vremenski period. 
- Aleksandar Nikolajevič Furs bjeloruski Državni univerzitet, Ave. nezavisnosti, 4, 220030, Minsk, Republika Bjelorusija
anotacija
Kod Kulonove kalibracije izračunavaju se potencijali polja proizvoljne distribucije naelektrisanja i struja. Pokazano je da je vektorski potencijal određen ne samo vrijednostima gustoće struje u retardiranim trenucima vremena, već i historijom promjene gustoće naboja u vremenskom intervalu ograničenom retardiranim i trenutnim momentima. . Dobivaju se različiti prikazi Lienard - Wichertovih potencijala u Coulomb-u. Primjenjuju se na slučaj jednoliko i pravolinijsko pokretnog točkastog naboja.
Biografija autora
Aleksandar Nikolajevič Furs, Bjeloruski državni univerzitet, Ave. nezavisnosti, 4, 220030, Minsk, Republika Bjelorusija
Doktor fizičko-matematičkih nauka, vanredni profesor; Profesor Katedre za teorijsku fiziku i astrofiziku Fizičkog fakulteta
Književnost
1. Landau LD, Lifshits EM Teoriya polei. M., 1973.
2. Jackson J. Klasična elektrodinamika. M., 1965.
3. Bredov MM, Rumyantsev VV, Toptygin IN Klasična elektrodinamika. M., 1985.
4. Heitler V. Kvantna teorija zračenja. M., 1956.
5. Ginzburg VL Teorijska fizika i astrofizika. Dodatna poglavlja. M., 1980.
6. Wundt B. J., Jentschura U. D. Izvori, potencijali i polja u Lorenz i Coulomb mjeraču: Otkazivanje trenutnih interakcija za pokretne točkaste naboje // Ann. Phys. 2012. Vol. 327, br. 4. P. 1217-1230.
7. Akhiezer AI, Berestetskiy VB Kvantna elektrodinamika. M., 1969.
Ključne riječi
Gauge invarijantnost, Lorentz i Coulomb kalibra, retardirani potencijali, Lienard - Wiechert potencijali
- Autori zadržavaju autorska prava za djelo i daju časopisu pravo na prvo objavljivanje djela pod uslovima Creative Commons Attribution-Nekomercijalne licence. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
- Autori zadržavaju pravo sklapanja zasebnih ugovornih sporazuma u vezi sa neisključivom distribucijom ovdje objavljene verzije djela (na primjer, stavljanje u repozitorijum institucije, objavljivanje u knjizi) uz upućivanje na njegovu originalnu publikaciju u ovom časopisu.
- Autori imaju pravo da objavljuju svoje radove na Internetu (na primjer, u repozitorijumu instituta ili na ličnom web-mjestu) prije i tokom procesa recenzije u ovom časopisu, jer to može dovesti do produktivne diskusije i više linkova na ovo djelo... (Cm.
Jednako zanimljivo i ne manje važno je i dipolno polje koje nastaje pod drugim okolnostima. Pretpostavimo da imamo tijelo sa složenom distribucijom naboja, recimo, poput molekula vode (vidi sliku 6.2), a zanima nas samo polje udaljeno od njega. Pokazaćemo da se može dobiti relativno jednostavan izraz za polja, pogodan za udaljenosti mnogo veće od dimenzija tela.
Na ovo tijelo možemo gledati kao na akumulaciju tačkastih naboja u određenom ograničenom području (slika 6.7). (Kasnije ćemo, ako bude potrebno, zamijeniti sa.) Neka se naelektrisanje ukloni iz nulte točke, odabrano negdje unutar grupe naboja, na udaljenosti. Koliki je potencijal u tački koja se nalazi negdje na polasku, na udaljenosti mnogo većoj od najvećeg od? Potencijal cijelog našeg klastera izražava se formulom
, (6.21)
gdje je udaljenost od naboja (dužina vektora). Ako je udaljenost od naboja do (do tačke posmatranja) izuzetno velika, onda se svako od naboja može uzeti kao. Svaki član u zbiru će postati jednak, i biće moguće izvaditi ispod znaka zbira. Dobićete jednostavan rezultat
, (6.22)
gdje je ukupni naboj tijela. Tako smo se uverili da se sa tačaka dovoljno udaljenih od akumulacije naelektrisanja čini da je to samo tačkasto naelektrisanje. Ovaj rezultat općenito nije mnogo iznenađujući.
Slika 6.7. Proračun potencijala u tački udaljenoj od grupe naelektrisanja.
Ali što ako postoji jednak broj pozitivnih i negativnih naboja u grupi? Ukupna naplata će tada biti nula. Ovo nije tako rijedak slučaj; znamo da je većina tijela neutralna. Molekul vode je neutralan, ali se naelektrisanja u njemu nikako ne nalaze u jednoj tački, pa bi, približavajući se, trebali uočiti neke znakove da su naboji razdvojeni. Za potencijal proizvoljne raspodjele naelektrisanja u neutralnom tijelu potrebna nam je bolja aproksimacija od one koja je data formulom (6.22). Jednačina (6.21) i dalje radi, ali se više ne može pretpostaviti. Jer vam je potreban precizniji izraz. U dobroj aproksimaciji, može se smatrati drugačijim od (ako je tačka veoma udaljena) na projekciji vektor-vektor (vidi sliku 6.7, ali samo morate zamisliti da je mnogo dalje od prikazanog). Drugim riječima, ako je jedinični vektor u smjeru, onda se mora uzeti sljedeća aproksimacija
Ali ne trebamo, ali; u našoj aproksimaciji (uzimajući u obzir) jednaka je
(6.24)
Zamijenivši ovo u (6.21), vidimo da je potencijal jednak
(6.25)
Elipsa označava članove višeg reda koje smo zanemarili. Kao i termini koje smo napisali, ovo su naknadni termini proširenja Taylorovog niza u susjedstvu po moćima.
Već smo dobili prvi član u (6.25); nestaje u neutralnim telima. Drugi član, kao i dipol, zavisi od. Zaista, ako definišemo
kao veličina koja opisuje raspodjelu naboja, tada se drugi član potencijala (6.25) pretvara u
odnosno samo u dipolni potencijal. Ta veličina se naziva distributivni dipolni moment. Ovo je generalizacija naše prethodne definicije; svodi se na njega u posebnom slučaju točkastih naplata.
Kao rezultat toga, otkrili smo da je potencijal dovoljno dipolan od bilo kojeg skupa naboja, sve dok je ovaj skup općenito neutralan. Smanjuje se kao i mijenja se kao, a njegova vrijednost ovisi o dipolnom momentu distribucije naboja. Iz tog razloga su dipolna polja važna; sami po sebi, parovi tačkastih naboja su izuzetno retki.
Molekul vode, na primjer, ima prilično veliki dipolni moment. Za neke je odgovorno električno polje stvoreno u ovom trenutku važna svojstva vode. I kod mnogih molekula, recimo y, dipolni moment nestaje zbog njihove simetrije. Za takve molekule, razlaganje se mora provesti još preciznije, sve do sljedećih članova potencijala, koji se smanjuju, kako se nazivaju kvadrupolni potencijal. Kasnije ćemo pogledati ove slučajeve.
Tijelo koje se nalazi u potencijalnom polju sila (elektrostatičko polje) ima potencijalnu energiju, zbog koje rad obavljaju sile polja. Rad konzervativnih sila se ostvaruje zbog gubitka potencijalne energije. Stoga se rad sila elektrostatičkog polja može predstaviti kao razlika između potencijalnih energija koje posjeduje tačka naboj Q 0 na početnoj i krajnjoj tački polja punjenja Q:, odakle slijedi da je potencijalna energija naboja q 0 u polju punjenja Q je jednako sa 
... Određuje se dvosmisleno, do proizvoljne konstante WITH... Ako pretpostavimo da kada se naboj ukloni do beskonačnosti ( r® ¥) potencijalna energija nestaje ( U=0),
onda WITH= 0 i potencijalnu energiju naboja Q 0 ,
nalazi u polju punjenja Q na udaljenosti r od njega, jednako je 
... Za slične naknade Q 0 Q> 0 i potencijalna energija njihove interakcije (odbijanja) je pozitivna, za suprotna naelektrisanja Q 0 Q<0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.
Potencijal j u bilo kojoj tački elektrostatičkog polja postoji fizička veličina određena potencijalnom energijom jediničnog pozitivnog naboja smještenog u ovoj tački. Iz čega slijedi da je potencijal polja stvoren tačkastim nabojem Q, je jednako. Rad koji vrše sile elektrostatičkog polja kada se naboj kreće Q 0 od tačke 1
upravo 2
, može se predstaviti kao, to jest, jednako proizvodu naboja koji se pomiče potencijalnom razlikom u početnoj i krajnjoj tački. Razlika potencijala dva boda 1
i 2
u elektrostatičkom polju određen je radom sila polja kada se jedan pozitivan naboj pomakne iz tačke 1
upravo 2
... Rad sila polja pri kretanju punjenja Q 0 od tačke 1
upravo 2
može se napisati i kao 
... Izraz za razliku potencijala: gdje se integracija može izvršiti duž bilo koje linije koja povezuje početnu i krajnju tačku, budući da rad sila elektrostatičkog polja ne ovisi o putanji kretanja.
Ako pomjerite punjenje Q 0 od proizvoljne tačke izvan polja, tj. do beskonačnosti, gdje je, pod uslovom, potencijal jednak nuli, tada rad sila elektrostatičkog polja A ¥ = Q 0 j gdje
Potencijal- fizička veličina određena radom pomicanja jednog pozitivnog naboja kada se ukloni iz date tačke polja u beskonačnost. Ovaj rad je numerički jednak radu vanjskih sila (nasuprot silama elektrostatičkog polja) da pomjere jedan pozitivan naboj iz beskonačnosti do date tačke u polju. Jedinica potencijala - volt(B): 1 V je potencijal takve tačke u polju u kojoj naelektrisanje od 1 C ima potencijalnu energiju od 1 J (1 V = 1 J/C).
U slučaju elektrostatičkog polja, potencijalna energija služi kao mjera interakcije naelektrisanja. Neka postoji sistem tačkastih naelektrisanja u prostoru Q i(i = 1, 2, ... ,n). Energija interakcije svih n naknade će biti određene omjerom
gdje r ij - udaljenost između odgovarajućih naboja, a zbrajanje se vrši na način da se interakcija između svakog para naboja uzima u obzir jednom.
Iz ovoga sledi da je potencijal polja sistema naelektrisanja algebarski zbir potencijala polja svih ovih naelektrisanja:
S obzirom na električno polje koje stvara sistem naelektrisanja, za određivanje potencijala polja treba koristiti princip superpozicije:
Potencijal električnog polja sistema naelektrisanja u datoj tački prostora jednak je algebarskom zbiru potencijala električnih polja stvorenih u datoj tački u prostoru svakim naelektrisanjem sistema posebno:
6. Ekvipotencijalne površine i njihova svojstva. Odnos između razlike potencijala i jačine elektrostatičkog polja.
Zamišljena površina, čije sve tačke imaju isti potencijal, naziva se ekvipotencijalna površina. Jednačina ove površine
Ako je polje stvoreno tačkastim nabojem, onda je njegov potencijal 
Dakle, ekvipotencijalne površine u ovom slučaju su koncentrične sfere. S druge strane, linije napetosti u slučaju tačkastog naboja su radijalne prave. Posljedično, linije napetosti u slučaju točkastog naboja okomito ekvipotencijalne površine.
Sve tačke ekvipotencijalne površine imaju isti potencijal, pa je rad pomeranja naelektrisanja duž ove površine jednak nuli, tj. elektrostatičke sile koje deluju na naelektrisanje, uvijek usmjerena duž normala na ekvipotencijalne površine. Dakle, vektor E uvijek normalne na ekvipotencijalne površine, a samim tim i linije vektora E ortogonalne su na ove površine.
Postoji beskonačan broj ekvipotencijalnih površina oko svakog naboja i svakog sistema naelektrisanja. Međutim, obično se izvode tako da potencijalne razlike između bilo koje dvije susjedne ekvipotencijalne površine budu iste. Tada gustina ekvipotencijalnih površina jasno karakteriše jačinu polja u različitim tačkama. Tamo gdje su ove površine gušće, jačina polja je veća.
Dakle, znajući položaj linija jačine elektrostatičkog polja, moguće je konstruisati ekvipotencijalne površine i, obrnuto, iz poznate lokacije ekvipotencijalnih površina, moguće je odrediti modul i smjer jakosti polja na svakoj tačka terena.
Nađimo odnos između jačine elektrostatičkog polja, koja je njegova karakteristika snage, i potencijal - energetska karakteristika polja.
Posao na selidbi single tačka pozitivnog naboja od jedne tačke polja do druge duž ose X pod uslovom da se tačke nalaze beskonačno blizu jedna drugoj i x 2 -x 1 = d x, je jednako sa E x d x. Isti rad je jednak j 1 -j 2 = dj. Izjednačavajući oba izraza možemo napisati
pri čemu simbol parcijalnog izvoda naglašava da se diferencijacija vrši samo po X. Ponavljanje sličnog razmišljanja za osi at i z, možemo naći vektor E:
gdje i, j, k- jedinični vektori koordinatnih osa x, y, z.
Iz definicije gradijenta slijedi da
odnosno napetost E polje je jednako gradijentu potencijala sa predznakom minus. Znak minus je određen činjenicom da je vektor napetosti E polja poslana na silazna strana potencijal.
Za grafički prikaz raspodjele potencijala elektrostatičkog polja, kao u slučaju gravitacionog polja, koristite ekvipotencijalne površine- površine u svim tačkama čiji je potencijal j ima isto značenje.
Formula - Kulonov zakon
gdje je k koeficijent proporcionalnosti
q1, q2 stacionarna punjenja
r udaljenost između naboja
3. Jačina električnog polja- vektorska fizička veličina koja karakteriše električno polje u datoj tački i numerički je jednaka omjeru sile koja djeluje na stacionarni ispitni naboj postavljen u datoj tački polja i vrijednosti ovog naboja:.
Jačina električnog polja točkastog naboja
[uredi] U SI jedinicama
Za tačkasto naelektrisanje u elektrostatici, Coulombov zakon je tačan
Jačina električnog polja proizvoljne raspodjele naboja
Prema principu superpozicije za jačinu polja skupa diskretnih izvora imamo:
gde svi
4. Princip superpozicije- jedan od najopštijih zakona u mnogim granama fizike. U svom najjednostavnijem obliku, princip superpozicije glasi:
· rezultat djelovanja nekoliko vanjskih sila na česticu je vektorski zbir djelovanja ovih sila.
Najpoznatiji je princip superpozicije u elektrostatici, u kojem on to tvrdi jačina elektrostatičkog polja stvorenog u datoj tački sistemom naelektrisanja je zbir jačina polja pojedinačnih naelektrisanja.
Princip superpozicije može uzeti i druge formulacije, koje potpuno ekvivalentan gore:
· Interakcija između dvije čestice se ne mijenja kada se uvede treća čestica, koja također stupa u interakciju s prve dvije.
Energija interakcije svih čestica u sistemu sa više čestica jednostavno je zbir energija uparene interakcije između svih mogućih parova čestica. Sistem ne interakcije više čestica.
Jednačine koje opisuju ponašanje sistema sa više čestica su linearno po broju čestica.
Upravo je linearnost fundamentalne teorije u razmatranoj oblasti fizike razlog za pojavu principa superpozicije u njoj.
U elektrostatici princip superpozicije je posledica činjenice da su Maxwellove jednadžbe u vakuumu linearne. Iz ovoga sledi da se potencijalna energija elektrostatičke interakcije sistema naelektrisanja može lako izračunati izračunavanjem potencijalne energije svakog para naelektrisanja.
5. Rad na električnom polju.
6. Elektrostatički potencijal jednak je omjeru potencijalne energije interakcije naboja sa poljem i vrijednosti ovog naboja:
Jačina elektrostatičkog polja i potencijal su povezani odnosom
7. Princip superpozicije elektrostatičkih polja.Sabiraju se sile ili polja različitih naelektrisanja uzimajući u obzir njihov položaj ili smjer (vektor). Ovo izražava princip "superpozicije" polja ili potencijala: potencijal polja više naelektrisanja jednak je algebarskom zbiru potencijala pojedinačnih naelektrisanja, φ = φ 1 + φ2 +… + φn = ∑i nφi. Predznak potencijala se poklapa sa predznakom naboja, φ = kq / r.
8. Potencijalna energija naboja u električnom polju. Nastavimo sa poređenjem gravitacijske interakcije tijela i elektrostatičke interakcije naelektrisanja. Telesna masa m u gravitacionom polju Zemlje ima potencijalnu energiju.
Rad gravitacije jednak je promjeni potencijalne energije, uzetoj sa suprotnim predznakom:
A = -(W p2- W p1) = mgh.
(U daljem tekstu energiju ćemo označavati slovom W.)
Baš kao tijelo mase m u gravitacionom polju ima potencijalnu energiju proporcionalnu masi tela, električni naboj u elektrostatičkom polju ima potencijalnu energiju W p proporcionalno naelektrisanju q... Rad sila elektrostatičkog polja A jednaka je promjeni potencijalne energije naboja u električnom polju, uzeta sa suprotnim predznakom:
9. Teorema o cirkulaciji vektora naprezanja u integralnom obliku: 
U diferencijalnom obliku: 
10. Veza između potencijala i napetosti. E= - grad = -Ñ.
Intenzitet u bilo kojoj tački električnog polja jednak je gradijentu potencijala u ovoj tački, uzet sa suprotnim predznakom... Znak minus označava da je napetost E usmjerena ka smanjenju potencijala
11. Protok vektora napetosti. 
Gaussova teorema u integralnom obliku: gdje
· 
- tok vektora jakosti električnog polja kroz zatvorenu površinu.
· - ukupni naboj sadržan u zapremini koja omeđuje površinu.
· - električna konstanta.
Ovaj izraz je Gaussova teorema u integralnom obliku.
U diferencijalnom obliku: 
Ovdje je volumetrijska gustina naelektrisanja (u prisustvu medija, ukupna gustina slobodnih i vezanih naelektrisanja), i nabla operator.
12. Primjena Gaussovog zakona.1. Intenzitet stvorenog elektrostatičkog polja jednoliko nabijene sferne površine.
Neka sferna površina poluprečnika R (slika 13.7) nosi jednoliko raspoređen naboj q, tj. površinska gustina naelektrisanja u bilo kojoj tački sfere će biti ista.
a. Našu sfernu površinu zatvaramo u simetričnu površinu S poluprečnika r> R. Tok vektora naprezanja kroz površinu S bit će jednak
Po Gaussovoj teoremi
Dakle
c. Provucimo kroz tačku B, koja se nalazi unutar nabijene sferne površine, sferu S polumjera r Jačina polja jednolično nabijenog beskonačnog pravolinijskog filamenta(ili cilindar). Pretpostavimo da je šuplja cilindrična površina radijusa R nabijena konstantnom linearnom gustinom. Nacrtajmo koaksijalnu cilindričnu površinu radijusa. Tok vektora snage kroz ovu površinu Po Gaussovoj teoremi Iz posljednja dva izraza određujemo jačinu polja koju stvara jednolično nabijena nit: Ovaj izraz ne uključuje koordinate, stoga će elektrostatičko polje biti jednolično, a njegov intenzitet u bilo kojoj tački polja je isti. 13. ELEKTRIČNI DIPOL. Električni dipol- sistem od dva jednaka po apsolutnoj vrijednosti za razliku od tačkastih naboja (), udaljenost između kojih je mnogo manja od udaljenosti do razmatranih tačaka polja. Potencijal dipolnog polja: Jačina polja dipola na produžetku ose dipola u tački A:
Dipol ramena- vektor usmjeren duž ose dipola (prava linija koja prolazi kroz oba naboja) od negativnog do pozitivnog naboja i jednak je udaljenosti između naboja .
Dipolni električni moment (dipolni moment):
.
Jačina dipolnog polja u proizvoljnoj tački (prema principu superpozicije):
gdje su i jačine polja koje stvaraju pozitivni i negativni naboji, respektivno.
.
Jačina polja dipola na okomici, vraćena na os od njegove sredine u tački B:
.