Začnime uvažovaním rotácie telesa okolo pevnej osi, ktorú budeme nazývať os z (obr. 41.1). Lineárna rýchlosť elementárnej hmoty sa rovná kde je vzdialenosť hmoty od osi. Preto sa pre kinetickú energiu elementárnej hmoty získa výraz
Kinetická energia telo sa skladá z kinetických energií jeho častí:
Súčet na pravej strane tohto pomeru je moment zotrvačnosti telesa 1 okolo osi otáčania. Kinetická energia telesa rotujúceho okolo pevnej osi je teda
Nech na hmotu pôsobí vnútorná sila a vonkajšia sila (pozri obr. 41.1). Podľa (20.5) budú tieto sily vykonávať prácu
Po vykonaní cyklickej permutácie faktorov v zmiešaných produktoch vektorov (pozri (2.34)) dostaneme:
kde N je moment vnútornej sily vo vzťahu k bodu O, N je analogický moment vonkajšej sily.
Zhrnutím vyjadrenia (41.2) cez všetky elementárne hmotnosti dostaneme elementárnu prácu vykonanú na telese v čase dt:
Súčet momentov vnútorných síl sa rovná nule (pozri (29.12)). Preto označujúci celkový moment vonkajšie sily cez N sa dostávame k výrazu
(použili sme vzorec (2.21)).
Nakoniec, ak vezmeme do úvahy, že existuje uhol, o ktorý sa telo otáča v čase, dostaneme:
Znamienko diela závisí od znamienka, t.j. od znamienka priemetu vektora N na smer vektora.
Takže, keď sa telo otáča vnútorná sila nevykonávajú prácu, pričom práca vonkajších síl je určená vzorcom (41.4).
K vzorcu (41.4) možno dospieť tak, že práca vykonaná všetkými silami pôsobiacimi na teleso sa využije na zvýšenie jeho kinetickej energie (pozri (19.11)). Ak vezmeme diferenciál oboch strán rovnosti (41.1), dostaneme sa k vzťahu
Podľa rovnice (38.8), teda nahradením cez, dospejeme k vzorcu (41.4).
Tabuľka 41.1
Tabuľka 41.1 sa porovnávajú vzorce mechaniky rotačných pohybov s podobnými vzorcami mechaniky translačný pohyb(mechanika bodov). Z tohto porovnania je ľahké usúdiť, že vo všetkých prípadoch zohráva úlohu hmoty moment zotrvačnosti, úlohu sily moment sily, úlohu hybnosti moment hybnosti atď.
Vzorec. (41.1) sme dostali pre prípad, keď sa teleso otáča okolo pevnej osi upevnenej v telese. Teraz predpokladajme, že teleso sa otáča ľubovoľným spôsobom okolo pevného bodu, ktorý sa zhoduje s jeho ťažiskom.
Na teleso pevne priviažeme karteziánsky súradnicový systém, ktorého počiatok je umiestnený v ťažisku telesa. Rýchlosť i-ta elementárna hmotnosť je teda pre kinetickú energiu telesa, môžete napísať výraz
kde je uhol medzi vektormi Ak nahradíme a a vezmeme do úvahy, že dostaneme:
Poďme si zapísať bodkové produkty cez projekcie vektorov na os súradnicového systému spojeného s telom:
Nakoniec spojením členov s rovnakými súčinmi zložiek uhlovej rýchlosti a odstránením týchto súčinov mimo znamienka súčtov dostaneme: takže vzorec (41.7) nadobúda tvar (porovnaj (41.1)). Keď sa ľubovoľné teleso otáča okolo jednej z hlavných osí zotrvačnosti, povedzme, že os a vzorec (41.7) prechádzajú do (41.10.
Touto cestou. kinetická energia rotujúceho telesa sa rovná polovici súčinu momentu zotrvačnosti a druhej mocniny uhlovej rýchlosti v troch prípadoch: 1) pre teleso rotujúce okolo pevnej osi; 2) pre teleso rotujúce okolo jednej z hlavných osí zotrvačnosti; 3) na plesový top. V iných prípadoch sa kinetická energia určuje belšie zložité vzorce(41,5) alebo (41,7).
Uvažujme najprv tuhé teleso rotujúce okolo pevnej osi OZ uhlovou rýchlosťou ω (Obrázok 5.6). Rozložme telo na elementárne hmoty. Lineárna rýchlosť elementárnej hmoty sa rovná, kde je jej vzdialenosť od osi rotácie. Kinetická energia i-tá elementárna hmotnosť sa bude rovnať
.
Kinetická energia celého tela sa teda skladá z kinetických energií jeho častí
.
Ak vezmeme do úvahy, že súčet na pravej strane tohto pomeru predstavuje moment zotrvačnosti telesa okolo osi rotácie, nakoniec dostaneme
. (5.30)
Vzorce pre kinetickú energiu rotujúceho telesa (5.30) sú podobné ako zodpovedajúce vzorce pre kinetickú energiu translačného pohybu telesa. Získavajú sa z poslednej formálnej substitúcie 
.
Vo všeobecnom prípade možno pohyb tuhého telesa znázorniť ako súčet pohybov - translačný s rýchlosťou rovnajúcou sa rýchlosti ťažiska telesa a rotácia s uhlovou rýchlosťou okolo okamžitej osi prechádzajúcej ťažisko. V tomto prípade má výraz pre kinetickú energiu telesa formu
.
Nájdime teraz prácu vykonanú momentom vonkajších síl pri rotácii tuhého telesa. Elementárna práca vonkajších síl v čase dt sa bude rovnať zmene kinetickej energie telesa
Odber diferenciálu z kinetickej energie rotačný pohyb, nájdeme jeho prírastok
.
Podľa základnej rovnice dynamiky pre rotačný pohyb
S prihliadnutím na tieto pomery vnesieme do formy výraz elementárnej práce
kde je priemet výsledného momentu vonkajších síl na smer osi otáčania OZ, je uhol natočenia telesa za uvažovaný časový interval.
Integrovaním (5.31) získame vzorec pre prácu vonkajších síl pôsobiacich na rotujúce teleso
Ak, potom je vzorec zjednodušený
Práca vonkajších síl pri otáčaní tuhého telesa voči pevnej osi je teda určená pôsobením priemetu momentu týchto síl na túto os.
Gyroskop
Gyroskop je rýchlo rotujúce symetrické teleso, ktorého os rotácie môže meniť svoj smer v priestore. Aby sa os gyroskopu mohla voľne otáčať v priestore, je gyroskop umiestnený v takzvanom gimbale (obrázok 5.13). Zotrvačník gyroskopu sa otáča vo vnútornej prstencovej klietke okolo osi C 1 C 2 prechádzajúcej jeho ťažiskom. Vnútorná klietka sa zase môže otáčať vo vonkajšej klietke okolo osi B1B2, kolmej na C1C2. Nakoniec sa vonkajšia klietka môže voľne otáčať v ložiskách hrebeňa okolo osi A 1 A 2, kolmej na osi C 1 C 2 a B 1 B 2. Všetky tri osi sa pretínajú v určitom pevnom bode O, ktorý sa nazýva stred zavesenia alebo otočný bod gyroskopu. Gyroskop v gimbale má tri stupne voľnosti, a preto sa môže ľubovoľne otáčať okolo stredu gimbalu. Ak sa stred zavesenia gyroskopu zhoduje s jeho ťažiskom, potom je výsledný moment tiaže všetkých častí gyroskopu vzhľadom na stred zavesenia nulový. Takýto gyroskop sa nazýva vyvážený.
Teraz zvážte najviac dôležité vlastnosti gyroskop, ktorý mu našiel široké uplatnenie v rôznych oblastiach.
1) Stabilita.
Pri akejkoľvek rotácii počítadla vyváženého gyroskopu zostáva jeho os rotácie nezmenená vo vzťahu k laboratórnej referenčnej sústave. Je to spôsobené tým, že moment všetkých vonkajších síl, rovný momentu trecích síl, je veľmi malý a prakticky nespôsobuje zmenu momentu hybnosti gyroskopu, t.j.
Pretože moment hybnosti smeruje pozdĺž osi rotácie gyroskopu, jeho orientácia musí zostať nezmenená.
Ak vonkajšia sila pôsobí krátko, potom integrál, ktorý určuje prírastok momentu hybnosti, bude malý
. (5.34)
To znamená, že pri krátkodobých vplyvoch aj veľkých síl sa pohyb vyváženého gyroskopu mení len málo. Gyroskop akosi odoláva všetkým pokusom zmeniť veľkosť a smer svojho momentu hybnosti. To je dôvod pozoruhodnej stability, ktorú pohyb gyroskopu nadobudne po tom, ako sa rýchlo otáča. Táto vlastnosť gyroskopu je široko využívaná automatické ovládanie pohyb lietadiel, lodí, rakiet a iných vozidiel.
Ak pôsobíme na gyroskop dlho konštantná v smere momentu vonkajších síl, potom sa os gyroskopu nastaví nakoniec v smere momentu vonkajších síl. Tento jav sa využíva v gyrokompase. Toto zariadenie je gyroskop, ktorého os je možné voľne otáčať v horizontálnej rovine. V dôsledku dennej rotácie Zeme a pôsobenia momentu odstredivých síl sa os gyroskopu otáča tak, že uhol medzi a je minimálny (obrázok 5.14). To zodpovedá polohe osi gyroskopu v rovine poludníka.
2). Gyroskopický efekt.
Ak na rotačný gyroskop pôsobí dvojica síl a má tendenciu otáčať ho okolo osi kolmej na os otáčania, potom sa začne otáčať okolo tretej osi kolmej na prvé dve (obrázok 5.15). Toto neobvyklé správanie gyroskopu sa nazýva gyroskopický efekt. Vysvetľuje sa to tým, že moment dvojice síl smeruje pozdĺž osi О 1 О 1 a zmena vektora o hodnotu bude mať počas času rovnaký smer. V dôsledku toho sa nový vektor bude otáčať okolo osi О 2 О 2. Správanie gyroskopu, na prvý pohľad neprirodzené, teda plne zodpovedá zákonom dynamiky rotačného pohybu
3). Precesia gyroskopu.
Precesia gyroskopu je kužeľovitý pohyb jeho osi. Nastáva vtedy, keď moment vonkajších síl, pričom veľkosť zostáva konštantná, rotuje súčasne s osou gyroskopu, pričom s ňou neustále zviera pravý uhol. Na demonštráciu precesie možno použiť koleso bicykla s predĺženou osou, zredukovanou na rýchle otáčanie (obrázok 5.16).
Ak je koleso zavesené na predĺženom konci nápravy, potom sa jeho náprava začne pretláčať okolo zvislej osi vlastnou hmotnosťou. Ako ukážka precesie môže poslúžiť aj rýchlo sa otáčajúci vrch.
Poďme zistiť dôvody precesie gyroskopu. Uvažujme o nevyváženom gyroskope, ktorého os sa môže voľne otáčať okolo nejakého bodu O (obrázok 5.16). Moment gravitácie aplikovaný na gyroskop má rovnakú veľkosť
kde je hmotnosť gyroskopu, je vzdialenosť od bodu O do stredu hmotnosti gyroskopu, je uhol, ktorý zviera os gyroskopu s vertikálou. Vektor je nasmerovaný kolmo na vertikálnu rovinu prechádzajúcu osou gyroskopu.
Pôsobením tohto momentu sa moment hybnosti gyroskopu (jeho začiatok je umiestnený v bode O) časom zvýši a vertikálna rovina prechádzajúca osou gyroskopu sa otočí o uhol. Vektor je kolmý na celý čas, preto sa vektor bez zmeny veľkosti mení iba v smere. Navyše po chvíli vzájomného usporiadania vektory a budú rovnaké ako v počiatočnom momente. V dôsledku toho sa os gyroskopu bude neustále otáčať okolo vertikály a opisuje kužeľ. Tento pohyb sa nazýva precesia.
Určme uhlovú rýchlosť precesie. Podľa obr.5.16 je uhol natočenia roviny prechádzajúcej osou kužeľa a osou gyroskopu
kde je moment hybnosti gyroskopu a jeho prírastok v čase.
Vydelením, berúc do úvahy zaznamenané vzťahy a transformácie, dostaneme uhlovú rýchlosť precesie
. (5.35)
Pre gyroskopy používané v technológii je uhlová rýchlosť precesie miliónkrát menšia ako rýchlosť rotácie gyroskopu.
Na záver poznamenávame, že fenomén precesie sa pozoruje aj v atómoch v dôsledku orbitálneho pohybu elektrónov.
Príklady aplikácie zákonov dynamiky
Rotačný pohyb
1. Zvážte niekoľko príkladov zákona zachovania momentu hybnosti, ktorý možno implementovať pomocou Zhukovského lavice. V najjednoduchšom prípade je Žukovského lavica diskovitá plošina (stolička), ktorá sa môže voľne otáčať okolo zvislej osi na guľôčkových ložiskách (obrázok 5.17). Demonštrant sa posadí alebo postaví na lavičku, potom sa uvedie do rotácie. Vzhľadom na skutočnosť, že trecie sily spôsobené použitím ložísk sú veľmi malé, moment hybnosti systému pozostávajúceho z lavice a demonštrátora vzhľadom na os rotácie sa nemôže meniť v čase, ak je systém ponechaný sám na seba. Ak demonštrant drží v rukách ťažké činky a rozpaží ruky do strán, tak zvýši moment zotrvačnosti sústavy, a preto musí uhlová rýchlosť rotácie klesnúť, aby moment hybnosti zostal nezmenený.
Podľa zákona zachovania momentu hybnosti zostavíme rovnicu pre tento prípad
kde je moment zotrvačnosti osoby a lavice a je moment zotrvačnosti činiek v prvej a druhej polohe a sú uhlové rýchlosti systému.
Uhlová rýchlosť otáčania systému, keď sú činky ťahané do strany, sa bude rovnať
.
Práca vykonaná osobou pri pohybe činiek môže byť určená zmenou kinetickej energie systému
2. Uveďme ešte jeden experiment so Žukovského lavicou. Demonštrant sedí alebo stojí na lavičke a dostane do rúk rýchlo sa otáčajúce koleso s vertikálne orientovanou osou (obrázok 5.18). Potom demonštrátor otočí koleso o 180 0. V tomto prípade sa zmena momentu impulzu kolesa úplne prenesie na lavicu a demonštrátor. V dôsledku toho sa lavica spolu s demonštrátorom dostane do rotácie s uhlovou rýchlosťou určenou na základe zákona zachovania momentu hybnosti.
Moment hybnosti systému v počiatočnom stave je určený iba momentom hybnosti kolesa a rovná sa
kde je moment zotrvačnosti kolesa, je uhlová rýchlosť jeho otáčania.
Po otočení kolesa o uhol 180 0 bude moment hybnosti sústavy už určený súčtom momentu hybnosti lavice s osobou a momentu hybnosti kolesa. Ak vezmeme do úvahy, že vektor momentu hybnosti kolesa zmenil svoj smer na opačný a jeho priemet na vertikálnu os bol negatívny, dostaneme
,
kde je moment zotrvačnosti systému "človek-platforma", je uhlová rýchlosť otáčania lavice s človekom.
Podľa zákona zachovania momentu hybnosti
a 
.
V dôsledku toho zistíme rýchlosť otáčania lavice
3. Tenká tyč s hmotou m a dĺžka l sa otáča uhlovou rýchlosťou ω = 10 s -1 vo vodorovnej rovine okolo zvislej osi prechádzajúcej stredom tyče. Pokračujúc v otáčaní v rovnakej rovine sa tyč pohybuje tak, že os otáčania teraz prechádza koncom tyče. Nájdite uhlovú rýchlosť v druhom prípade.
Pri tomto probléme sa v dôsledku toho, že sa mení rozloženie hmoty tyče vzhľadom na os otáčania, mení aj moment zotrvačnosti tyče. V súlade so zákonom zachovania momentu hybnosti izolovanej sústavy máme
Tu je moment zotrvačnosti tyče vzhľadom k osi prechádzajúcej stredom tyče; 
- moment zotrvačnosti tyče okolo osi prechádzajúcej jej koncom a zistený Steinerovou vetou.
Dosadením týchto výrazov do zákona zachovania momentu hybnosti dostaneme
,
.
4. Dĺžka tyče L= 1,5 m a hmotnosť m 1= 10 kg otočne zavesené na hornom konci. Hromadná guľka zasiahne stred tyče m 2= 10 g, letí horizontálne rýchlosťou 500 m/s a zasekne sa v tyči. V akom uhle sa tyč po dopade vychýli?
Uvedieme na obr. 5.19. systém interagujúcich telies „tyč-guľa“. Momenty vonkajších síl (gravitácia, reakcia osi) v momente dopadu sú rovné nule, preto môžeme použiť zákon zachovania momentu hybnosti
Moment hybnosti systému pred nárazom sa rovná momentu hybnosti strely vzhľadom na bod zavesenia
Moment impulzu systému po nepružnom náraze je určený vzorcom
,
kde je moment zotrvačnosti tyče vzhľadom na bod zavesenia, je moment zotrvačnosti strely a je uhlová rýchlosť tyče s strelou bezprostredne po dopade.
Vyriešením výslednej rovnice po dosadení nájdeme
.
Využime teraz zákon zachovania mechanickej energie. Prirovnajme kinetickú energiu tyče po zásahu guľkou jej potenciálnej energie v najvyššom bode zdvihu:
,
kde je výška vzostupu ťažiska daného systému.
Po vykonaní potrebných transformácií dostaneme
Uhol vychýlenia tyče súvisí s hodnotou pomerom
.
Po výpočte dostaneme = 0,1p = 18 0.
5. Určte zrýchlenie telies a napätie nite na stroji Atwood za predpokladu, že (obrázok 5.20). Moment zotrvačnosti bloku vzhľadom na os otáčania je ja, polomer bloku r... Neberte do úvahy hmotnosť nite.
Usporiadajme všetky sily pôsobiace na zaťaženia a blok a zostavme pre ne rovnice dynamiky
Ak nedochádza k preklzávaniu závitu pozdĺž bloku, potom lineárne a uhlové zrýchlenie sú vo vzájomnom vzťahu v pomere
Vyriešením týchto rovníc dostaneme
Potom nájdeme T1 a T2.
6. Na kladke Oberbeckovho kríža (obr.5.21) je pripevnená niť, na ktorú je zavesené závažie. M= 0,5 kg. Určte, ako dlho trvá bremenu, kým zostúpi z výšky h= 1 m do spodnej polohy. Polomer kladky r= 3 cm.Váženie štyroch závaží m= 250 g každý na diaľku R= 30 cm od svojej osi. Moment zotrvačnosti kríža a samotnej kladky treba v porovnaní s momentom zotrvačnosti závaží zanedbať.
Výraz pre kinetickú energiu rotujúceho telesa, berúc do úvahy, že lineárna rýchlosť ľubovoľného hmotného bodu, ktorý tvorí teleso, vzhľadom na os rotácie sa rovná
kde moment zotrvačnosti telesa voči zvolenej osi rotácie, jeho uhlová rýchlosť voči tejto osi, moment hybnosti telesa voči osi rotácie.
Ak teleso vykonáva translačný rotačný pohyb, potom výpočet kinetickej energie závisí od voľby pólu, voči ktorému je pohyb telesa popísaný. Konečný výsledok bude rovnaký. Ak teda pre guľaté teleso valiace sa rýchlosťou v bez skĺznutia s polomerom R a koeficientom zotrvačnosti k sa pól vezme v jeho CM, v bode C, potom jeho moment zotrvačnosti a uhlová rýchlosť rotácie okolo C os. Potom kinetická energia telesa.
Ak sa pól vezme v bode O kontaktu medzi telesom a povrchom, cez ktorý prechádza okamžitá os rotácie telesa, potom sa jeho moment zotrvačnosti okolo osi O rovná 
... Potom sa kinetická energia telesa, berúc do úvahy, že uhlové rýchlosti otáčania telesa sú rovnaké vzhľadom na rovnobežné osi a teleso vykonáva čistú rotáciu okolo osi O, rovná. Výsledok je rovnaký.
Veta o kinetickej energii pre teleso pôsobiace komplexný pohyb, bude mať rovnaký tvar ako pre jeho translačný pohyb: 
.
Príklad 1 Teleso s hmotnosťou m je priviazané ku koncu závitu navinutého na valcovom bloku s polomerom R a hmotnosťou M. Telo sa zdvihne do výšky h a uvoľní (obr. 65). Po nepružnom trhnutí nite sa telo a blok okamžite začnú pohybovať spolu. Koľko tepla sa vytvorí počas trhnutia? Aké bude zrýchlenie pohybu tela a napnutie nite po trhnutí? Aká bude rýchlosť telesa a vzdialenosť, ktorú prejde po vytiahnutí nite za čas t?
Dané: M, R, m, h, g, t. Nájsť: Q - ?, a -?, T -?, V - ?, s -?
Riešenie: Rýchlosť tela pred ťahom priadze. Po vytiahnutí závitu sa blok a teleso dostanú do rotačného pohybu vzhľadom na os bloku O a budú sa správať ako telesá s momentmi zotrvačnosti okolo tejto osi rovnými a. Ich celkový moment zotrvačnosti okolo osi rotácie.
Ťahanie nite je rýchly proces a pri trhnutí dochádza k zákonu zachovania momentu hybnosti sústavy blok-telo, ktorý vďaka tomu, že sa teleso a blok hneď po trhnutí začnú pohybovať spolu, má tvar:. Odkiaľ pochádza počiatočná uhlová rýchlosť otáčania bloku 
a počiatočná lineárna rýchlosť telesa 
.
Kinetická energia systému v dôsledku zachovania jeho momentu hybnosti bezprostredne po pretrhnutí priadze je Teplo uvoľnené pri trhnutí podľa zákona zachovania energie
Dynamické pohybové rovnice telies systému po trhnutí priadze nezávisia od ich počiatočnej rýchlosti. Pre blok má tvar 
alebo, ale pre telo. Sčítaním týchto dvoch rovníc dostaneme 
.
Odkiaľ pochádza zrýchlenie pohybu tela? Napätie nite 
Kinematické rovnice pohybu telesa po trhnutí budú mať tvar 
kde sú známe všetky parametre.
odpoveď: . 
.
Príklad 2... Dve okrúhle telesá s koeficientmi zotrvačnosti (dutý valec) a (guľa) umiestnené na základni naklonená rovina naklonený α vykazujú rovnaké počiatočné rýchlosti smerujúce nahor pozdĺž naklonenej roviny. Do akej výšky a ako dlho budú telesá stúpať do tejto výšky? Aké sú zrýchlenia zdvíhacích telies? Koľkokrát sa líšia výšky, časy a zrýchlenia zdvíhacích telies? Telesá sa pohybujú po naklonenej rovine bez skĺznutia.
Dané: ... Nájsť:
Riešenie: Na telo pôsobí: gravitácia m g, odozva naklonenej roviny N a adhéznu treciu silu (obr. 67). Normálna reakčná práca a adhézna trecia sila (nedochádza k skĺznutiu a neuvoľňuje sa žiadne teplo v bode adhézie tela a roviny) sa rovnajú nule: 
, teda na opis pohybu telies je možné použiť zákon zachovania energie:. Kde .
Časy a zrýchlenia pohybu telies sa zisťujú z kinematických rovníc 
.
Kde 
, 
... Pomer výšok, časov a zrýchlení zdvíhacích telies:
Odpoveď: , , , 
.
Príklad 3... Guľka s hmotnosťou letiaca rýchlosťou zasiahne stred gule s hmotnosťou M a polomerom R, pripevnenej ku koncu tyče hmotnosti m a dĺžky l, zavesenej v bode O za jej druhý koniec, a vyletí. z toho s rýchlosťou (obr. 68). Nájdite uhlovú rýchlosť otáčania systému tyč-guľa bezprostredne po dopade a uhol vychýlenia tyče po dopade strely.
Dané: 
. Nájsť:
Riešenie: Momenty zotrvačnosti tyče a gule voči bodu O zavesenia tyče podľa Steinerovej vety: a 
.
Celkový moment zotrvačnosti systému tyč-guľa .
Náraz guľky je rýchly proces a platí zákon zachovania momentu hybnosti systému guľka-tyč-guľa (telesá sa po zrážke dostanú do rotačného pohybu):. Odkiaľ je uhlová rýchlosť pohybu systému tyč-guľa bezprostredne po náraze.
Poloha CM systému tyč-guľa vzhľadom na závesný bod O: 
... Zákon zachovania energie pre CM sústavy po náraze, berúc do úvahy zákon zachovania momentu hybnosti sústavy pri náraze, má tvar. Kam stúpa výška CM systému po náraze 
... Uhol vychýlenia tyče po náraze je určený stavom 
.
odpoveď: , , .
Príklad 4... Na okrúhle teleso s hmotnosťou m a polomerom R, so súčiniteľom zotrvačnosti k, rotujúce uhlovou rýchlosťou, sa silou N pritlačí kváder (obr. 69). Ako dlho bude trvať, kým sa valec zastaví a koľko tepla sa uvoľní, keď sa podložka počas tejto doby trenie o valec? Koeficient trenia medzi podložkou a valcom je.
Dané: Nájsť:
Riešenie: Práca trecej sily pred zastavením telesa podľa vety o kinetickej energii je 
... Teplo uvoľnené počas otáčania 
.
Rovnica rotačného pohybu telesa má tvar. Odkiaľ pochádza uhlové zrýchlenie jeho spomalenej rotácie? . Čas, počas ktorého sa telo otáča, kým sa zastaví.
Odpoveď: , .
Príklad 5... Kruhové teleso s hmotnosťou m a polomerom R s koeficientom zotrvačnosti k sa odvíja uhlovou rýchlosťou proti smeru hodinových ručičiek a položí na vodorovnú plochu, ktorá je spojená so zvislou stenou (obr. 70). Ako dlho bude trvať, kým sa telo zastaví a koľko otáčok urobí, kým sa zastaví? Čo sa bude rovnať teplu uvoľnenému počas trenia telesa o povrch počas tejto doby? Koeficient trenia telesa na povrchu sa rovná.
Dané: . Nájsť:
Riešenie: Teplo uvoľnené pri otáčaní telesa pred jeho zastavením sa rovná práci trecích síl, ktoré možno nájsť vetou o kinetickej energii telesa. Máme.
Reakcia v horizontálnej rovine. Trecie sily pôsobiace na teleso z vodorovných a zvislých plôch sú rovnaké: a 
Zo sústavy týchto dvoch rovníc dostaneme a.
Berúc do úvahy tieto vzťahy, rovnica rotačného pohybu telesa má tvar
Odpoveď: , , , .
Príklad 6... Kruhové teleso s koeficientom zotrvačnosti k sa bez skĺznutia odvaľuje z vrcholu pologule s polomerom R stojacej na vodorovnej ploche (obr. 71). V akej výške a akou rýchlosťou sa odtrhne od pologule a akou rýchlosťou dopadne na vodorovnú plochu?
Dané: k, g, R. Nájsť:
Riešenie: Na telo pôsobia sily .
Práce a 0, (nedochádza k preklzávaniu a neuvoľňuje sa teplo v mieste priľnutia pologule a gule), preto na popis pohybu telesa je možné použiť zákon zachovania energie. Druhý Newtonov zákon pre CM telesa v bode jeho oddelenia od pologule, berúc do úvahy, že v tomto bode má tvar, odkiaľ 
.
Zákon zachovania energie pre počiatočný bod a bod oddelenia telesa má tvar. Preto výška a rýchlosť oddelenia tela od pologule sú rovnaké, 
.
Po oddelení telesa od pologule sa mení len jeho translačná kinetická energia, preto má podobu zákon zachovania energie pre body oddelenia a pádu telesa na zem. Odkiaľ, berúc do úvahy, sa dostaneme 
... Pre teleso kĺzajúce po povrchu pologule bez trenia platí k = 0 a,,.
odpoveď: , , .
Uvažujme absolútne tuhé teleso otáčajúce sa okolo pevnej osi. Poďme mentálne rozbiť toto telo na nekonečne malé kúsky s nekonečne malými rozmermi a hmotnosťami m v t., t 3,... na vzdialenosti R v R 0, R 3, ... od osi. Kinetická energia rotujúceho telesa ako súčet kinetických energií jeho malých častí nájdeme:
- moment zotrvačnosti tuhé teleso vzhľadom k danej osi 00 ,. Z porovnania vzorcov pre kinetickú energiu translačných a rotačných pohybov je zrejmé, že moment zotrvačnosti pri rotačnom pohybe je analogický s hmotnosťou pri translačnom pohybe. Vzorec (4.14) je vhodný na výpočet momentu zotrvačnosti systémov pozostávajúcich z jednotlivých hmotné body... Na výpočet momentu zotrvačnosti pevných telies pomocou definície integrálu je možné ho transformovať do tvaru
Je ľahké vidieť, že moment zotrvačnosti závisí od výberu osi a mení sa s jej paralelným posunom a rotáciou. Nájdite hodnoty momentov zotrvačnosti pre niektoré homogénne telesá.
Zo vzorca (4.14) je zrejmé, že moment zotrvačnosti hmotného bodu rovná sa
kde T - hmotnosť bodu; R - vzdialenosť k osi otáčania.
Je ľahké vypočítať moment zotrvačnosti a pre dutý tenkostenný valec(alebo špeciálny prípad valca s nízkou výškou - tenký krúžok) polomer R okolo osi symetrie. Vzdialenosť k osi otáčania všetkých bodov pre takéto teleso je rovnaká, rovná sa polomeru a možno ju vybrať pod znamienkom súčtu (4.14):
Ryža. 4.5
Pevný valec(alebo špeciálny prípad nízka výška valca - disk) polomer R na výpočet momentu zotrvačnosti okolo osi symetrie je potrebný výpočet integrálu (4.15). Vopred možno pochopiť, že hmotnosť je v tomto prípade v priemere sústredená o niečo bližšie k osi ako v prípade dutého valca a vzorec bude podobný (4.17), ale koeficient menší ako jedna bude objaviť sa v ňom. Poďme nájsť tento koeficient. Pevný valec nech má hustotu p a výšku A. Rozdelíme ho na duté valce (tenké valcové plochy) s hr. DR(Na obrázku 4.5 je projekcia kolmá na os symetrie). Objem takéhoto dutého valca s polomerom r rovná ploche povrch vynásobený hrúbkou: dV = 2nrhdr, hmotnosť: dm = 2nphrdr, a moment zotrvačnosti podľa vzorca (4.17): dj =
= r 2 dm = 2lr /? G Wr. Celkový moment zotrvačnosti plného valca sa získa integráciou (sčítaním) momentov zotrvačnosti dutých valcov:
Podobne sa hľadá moment zotrvačnosti tenkej tyče dĺžka L a omše T, ak je os otáčania kolmá na tyč a prechádza jej stredom. Poďme si to rozobrať
Berúc do úvahy skutočnosť, že hmotnosť pevného valca súvisí s hustotou podľa vzorca t = nR 2 hp, konečne máme moment zotrvačnosti pevného valca:
Ryža. 4.6
tyč v súlade s obr. 4,6 na kusy tl dl. Hmotnosť takéhoto kusu je dm = mdl / L, a moment zotrvačnosti podľa vzorca (4.6): dj = l 2 dm = l 2 mdl / L. Celkový moment zotrvačnosti tenkej tyče sa získa integráciou (sčítaním) momentov zotrvačnosti kusov:
Ak vezmeme elementárny integrál, získame moment zotrvačnosti tenkej tyče dĺžky L a omše T
Ryža. 4.7
Pri hľadaní sa integrál berie o niečo ťažšie moment zotrvačnosti homogénnej gule polomer R a hmotnosti / 77 okolo osi súmernosti. Nech má pevná guľa hustotu p. Rozoberme si to podľa obr. 4.7 pre duté tenké valce s hr DR, ktorého os symetrie sa zhoduje s osou rotácie lopty. Objem takéhoto dutého valca s polomerom G rovná sa plocha vynásobená hrúbkou:
kde je výška valca h nájdené pomocou Pytagorovej vety:
Potom je ľahké nájsť hmotnosť dutého valca:
a tiež moment zotrvačnosti podľa vzorca (4.15):
Celkový moment zotrvačnosti pevnej gule sa získa integráciou (sčítaním) momentov zotrvačnosti dutých valcov:
Berúc do úvahy skutočnosť, že hmotnosť pevnej gule súvisí s hustotou tvaru - 4.
loy T = -npR A y konečne tu máme moment zotrvačnosti okolo osi
symetria homogénnej gule polomeru R omši T:
Určte kinetickú energiu pevné telo otáčanie okolo pevnej osi. Rozložme toto teleso na n hmotných bodov. Každý bod sa pohybuje lineárnou rýchlosťou υ i = ωr i, potom kinetická energia bodu
alebo 
Celková kinetická energia rotujúcej pevnej látky sa rovná súčtu kinetických energií všetkých jej hmotných bodov:
(3.22)
(J je moment zotrvačnosti telesa okolo osi rotácie)
Ak trajektórie všetkých bodov ležia v rovnobežných rovinách (ako valec valiaci sa z naklonenej roviny, každý bod sa pohybuje vo svojej rovine, obr.), je to plochý pohyb... V súlade s Eulerovým princípom sa dá pohyb roviny vždy nekonečným množstvom spôsobov rozložiť na pohyb translačný a rotačný. Ak loptička padá alebo kĺže po naklonenej rovine, pohybuje sa iba translačne; keď sa gulička kotúľa, tak sa aj otáča.
Ak teleso vykonáva translačné a rotačné pohyby súčasne, potom sa jeho celková kinetická energia rovná
(3.23)
Z porovnania vzorcov kinetickej energie pre translačné a rotačné pohyby je vidieť, že mierou zotrvačnosti pri rotačnom pohybe je moment zotrvačnosti telesa.
§ 3.6 Práca vonkajších síl pri otáčaní tuhého telesa
Keď sa tuhé teleso otáča, jeho potenciálna energia sa nemení, preto sa elementárna práca vonkajších síl rovná prírastku kinetickej energie telesa:
dA = dE alebo 
Ak vezmeme do úvahy, že Jβ = M, ωdr = dφ, máme α telesa pod konečným uhlom φ rovným
(3.25)
Keď sa tuhé teleso otáča okolo pevnej osi, práca vonkajších síl je určená pôsobením momentu týchto síl vzhľadom na danú os. Ak je moment síl okolo osi nulový, potom tieto sily nevytvárajú prácu.
Príklady riešenia problémov
Príklad 2.1. Hmotnosť zotrvačníkam= 5 kg a rádiusr= 0,2 m sa otáča okolo horizontálnej osi s frekvenciouν 0 = 720 min -1 a keď prestane brzdiťt= 20 s. Nájdite brzdný moment a počet otáčok na zastavenie.
Na určenie brzdného momentu aplikujeme základnú rovnicu dynamiky rotačného pohybu
kde I = mr 2 je moment zotrvačnosti disku; Δω = ω - ω 0, kde ω = 0 je konečná uhlová rýchlosť, ω 0 = 2πν 0 je počiatočná. M je brzdný moment síl pôsobiacich na kotúč.
So znalosťou všetkých veličín je možné určiť brzdný moment
Pán 2 2πν 0 = МΔt (1)
(2)
Z kinematiky rotačného pohybu možno uhol natočenia počas otáčania kotúča pred zastavením určiť podľa vzorca
(3)
kde β je uhlové zrýchlenie.
Podľa podmienky úlohy: ω = ω 0 - βΔt, keďže ω = 0, ω 0 = βΔt
Potom výraz (2) možno zapísať ako:
Príklad 2.2. Dva zotrvačníky vo forme kotúčov s rovnakým polomerom a hmotnosťou sa roztočili na rýchlosť otáčanian= 480 otáčok za minútu a ponechané pre seba. Pod pôsobením síl trenia hriadeľov na ložiská sa prvý zastavil pot= 80 s a druhý ánoN= 240 otáčok na zastavenie. Ktorý zotrvačník mal moment síl trenia hriadeľov na ložiskách väčší a o koľkokrát.
Moment síl tŕňov М 1 prvého zotrvačníka zistíme pomocou základnej rovnice dynamiky rotačného pohybu
M1 Δt = Iω 2 - Iω 1
kde Δt je čas pôsobenia momentu trecích síl, I = mr 2 je moment zotrvačnosti zotrvačníka, ω 1 = 2πν a ω 2 = 0 sú počiatočná a konečná uhlová rýchlosť zotrvačníkov.
Potom 
Moment trecích síl M 2 druhého zotrvačníka je vyjadrený súvislosťou medzi prácou A trecích síl a zmenou jeho kinetickej energie ΔE na:
kde Δφ = 2πN je uhol natočenia, N je počet otáčok zotrvačníka.
Potom, odkiaľ
O 
pomer bude
Trecí moment druhého zotrvačníka je 1,33-krát vyšší.
Príklad 2.3.
Hmotnosť homogénneho pevného disku m, hmotnosť bremien m 1
a m 2
(obr. 15). Nedochádza k preklzávaniu a treniu závitu v osi valca. Nájdite zrýchlenie závaží a pomer napätia závitu
v procese pohybu.
Nedochádza k preklzávaniu závitu, preto keď m 1 a m 2 vykonávajú translačný pohyb, valec sa bude otáčať okolo osi prechádzajúcej bodom O. Pre istotu predpokladajme, že m 2 > m 1.
Potom sa závažie m 2 zníži a valec sa otáča v smere hodinových ručičiek. Zapíšme si pohybové rovnice telies zaradených do sústavy
Prvé dve rovnice sú napísané pre telesá s hmotnosťou m 1 a m 2, ktoré vykonávajú translačný pohyb, a tretia rovnica je pre rotujúci valec. V tretej rovnici vľavo je celkový moment síl pôsobiacich na valec (moment sily T 1 sa berie so znamienkom mínus, pretože sila T 1 má tendenciu otáčať valec proti smeru hodinových ručičiek). Vpravo I je moment zotrvačnosti valca okolo osi O, ktorý sa rovná
kde R je polomer valca; β je uhlové zrýchlenie valca.
Keďže nedochádza k prekĺznutiu vlákna, 
... Ak vezmeme do úvahy výrazy pre I a β, dostaneme:
Sčítaním rovníc systému sa dostaneme k rovnici
Odtiaľto nájdeme zrýchlenie a nákladu
Zo získanej rovnice je vidieť, že napätie nití bude rovnaké, t.j. 
= 1, ak je hmotnosť valca oveľa menšia ako hmotnosť závaží.
Príklad 2.4.
Dutá guľa s hmotnosťou m = 0,5 kg má vonkajší polomer R = 0,08 m a vnútorný polomer r = 0,06 m. Lopta sa otáča okolo osi prechádzajúcej jej stredom. V určitom momente začne na loptičku pôsobiť sila, v dôsledku čoho sa mení uhol natočenia loptičky podľa zákona
... Určte moment pôsobiacej sily.
Úlohu riešime pomocou základnej rovnice dynamiky rotačného pohybu 
... Hlavným problémom je určiť moment zotrvačnosti dutej gule a uhlové zrýchlenie β sa zistí ako 
... Moment zotrvačnosti I dutej gule sa rovná rozdielu momentov zotrvačnosti gule s polomerom R a gule s polomerom r:
kde ρ je hustota materiálu gule. Zisťujeme hustotu, pričom poznáme hmotnosť dutej gule
Odtiaľ určíme hustotu materiálu gule
Pre moment sily M dostaneme nasledujúci výraz:
Príklad 2.5. Tenká tyč s hmotnosťou 300 g a dĺžkou 50 cm sa otáča uhlovou rýchlosťou 10 s -1 vo vodorovnej rovine okolo zvislej osi prechádzajúcej stredom tyče. Nájdite uhlovú rýchlosť, ak sa tyč počas otáčania v rovnakej rovine pohybuje tak, že os otáčania prechádza koncom tyče.
Používame zákon zachovania momentu hybnosti
(1)
(J i je moment zotrvačnosti tyče vzhľadom na os otáčania).
Pre izolovanú sústavu telies zostáva vektorový súčet momentu hybnosti konštantný. Vzhľadom na to, že rozloženie hmotnosti tyče vzhľadom na os rotácie, moment zotrvačnosti tyče sa tiež mení v súlade s (1):
J 0 ω 1 = J 2 ω 2. (2)
Je známe, že moment zotrvačnosti tyče voči osi prechádzajúcej cez ťažisko a kolmej na tyč je rovný
Jo = mℓ 2/12. (3)
Podľa Steinerovej vety
J = J° + m a 2
(J-moment zotrvačnosti tyče okolo ľubovoľnej osi otáčania; J 0 - moment zotrvačnosti okolo rovnobežnej osi prechádzajúcej ťažiskom; a je vzdialenosť od ťažiska k zvolenej osi otáčania).
Nájdite moment zotrvačnosti okolo osi prechádzajúcej jej koncom a kolmej na tyč:
J2 = J° + m a 2, J2 = mℓ 2/12 + m (ℓ / 2) 2 = mℓ 2/3. (4)
Nahradiť vzorce (3) a (4) v (2):
mℓ 2 ω 1/12 = mℓ 2 ω 2/3
ω 2 = ω 1/4 ω 2 = 10 s-1/4 = 2,5 s -1
Príklad 2.6 ... Muž v hmotnostim= 60 kg, stojaci na okraji plošiny s hmotnosťou M = 120 kg, otáčajúci sa zotrvačnosťou okolo pevnej vertikálnej osi s frekvenciou ν 1 = 12 min -1 , ide do jeho stredu. Berúc do úvahy platformu ako okrúhly homogénny disk a osobu ako hmotu bodu, určite, s akou frekvenciou ν 2 plošina sa potom bude otáčať.
Vzhľadom na to: m = 60 kg, M = 120 kg, ν 1 = 12 min -1 = 0,2 s -1 .
Nájsť:ν 1
Riešenie: Plošina s človekom sa podľa stavu problému otáča zotrvačnosťou, t.j. výsledný moment všetkých síl pôsobiacich na rotačný systém je nulový. Preto je pre systém „platforma-človek“ splnený zákon zachovania momentu hybnosti
I 1 ω 1 = I 2 ω 2
kde 
- moment zotrvačnosti systému, keď človek stojí na okraji plošiny (vzali sme do úvahy, že moment zotrvačnosti plošiny je rovný 
(R - polomer n 
nástupišťa), moment zotrvačnosti osoby na okraji nástupišťa sa rovná mR 2).
- moment zotrvačnosti systému, keď osoba stojí v strede plošiny (vzali sme do úvahy, že moment osoby stojacej v strede plošiny je rovný nule). Uhlová rýchlosť ω 1 = 2π ν 1 a ω 1 = 2π ν 2.
Dosadením písaných výrazov do vzorca (1) dostaneme
odkiaľ je hľadaná rýchlosť
Odpoveď: v2 = 24 min-1.