Drevni matematičari su već znali za segment jedinične dužine: znali su, na primjer, nesamjerljivost dijagonale i stranice kvadrata, što je ekvivalentno iracionalnosti broja.
Iracionalni su:
Primjeri dokaza iracionalnosti
Koren od 2
Pretpostavimo suprotno: on je racionalan, odnosno predstavljen je u obliku nesvodljivog razlomka, gdje su i cijeli brojevi. Kvadirajmo pretpostavljenu jednakost:
.Iz toga slijedi da je čak i čak i . Neka bude tamo gde je celina. Onda
Stoga, čak znači čak i . Našli smo da su i parni, što je u suprotnosti sa ireducibilnošću razlomka . To znači da je prvobitna pretpostavka bila netačna i da je to iracionalan broj.
Binarni logaritam broja 3
Pretpostavimo suprotno: racionalan je, odnosno predstavljen je kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi. Od , i može se izabrati da bude pozitivan. Onda
Ali paran i neparan. Dobijamo kontradikciju.
e
Priča
Koncept iracionalnih brojeva implicitno su usvojili indijski matematičari u 7. veku pre nove ere, kada je Manava (oko 750. pne - oko 690. pne) shvatio da kvadratni koreni nekih prirodni brojevi, kao što su 2 i 61, ne mogu se eksplicitno izraziti.
Prvi dokaz postojanja iracionalnih brojeva obično se pripisuje Hipasu od Metaponta (oko 500. pne), Pitagorejcu koji je pronašao ovaj dokaz proučavajući dužine stranica pentagrama. U vrijeme Pitagorejaca vjerovalo se da postoji jedna jedinica dužine, dovoljno mala i nedjeljiva, koja ulazi u bilo koji segment cijeli broj puta. Međutim, Hipas je tvrdio da ne postoji jedinstvena jedinica dužine, jer pretpostavka o njenom postojanju dovodi do kontradikcije. On je pokazao da ako hipotenuza jednakokračnog pravokutnog trokuta sadrži cijeli broj jediničnih segmenata, onda taj broj mora biti i paran i neparan. Dokaz je izgledao ovako:
- Omjer dužine hipotenuze i dužine kraka jednakokračnog pravokutnog trokuta može se izraziti kao a:b, Gdje a I b izabrana kao najmanja moguća.
- Prema Pitagorinoj teoremi: a² = 2 b².
- Jer a- čak, a mora biti paran (pošto bi kvadrat neparnog broja bio neparan).
- Zbog a:b nesvodivo b mora biti čudno.
- Jer ačak, označavamo a = 2y.
- Onda a² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², dakle b- čak i tada bčak.
- Međutim, to je i dokazano b odd. Kontradikcija.
Grčki matematičari su ovaj omjer nesamjerljivih veličina nazvali alogos(neizrecivo), ali prema legendi nisu odali dužno poštovanje Hipasu. Postoji legenda da je Hipas došao do otkrića dok je bio na pomorskom putovanju i da su ga drugi pitagorejci bacili u vodu „zbog stvaranja elementa svemira koji negira doktrinu da se svi entiteti u svemiru mogu svesti na cijele brojeve i njihove omjere“. Otkriće Hipasa predstavljalo je ozbiljan problem za pitagorejsku matematiku, uništavajući temeljnu pretpostavku da su brojevi i geometrijski objekti jedno i neodvojivo.
vidi takođe
Bilješke
| Numerički sistemi | |
|---|---|
| Brojanje setovi |
Prirodni brojevi () Cijeli brojevi () |
Sve racionalni brojevi može se predstaviti u obliku običan razlomak. Ovo se odnosi na cijele brojeve (na primjer, 12, –6, 0), i konačne decimalne razlomke (na primjer, 0,5; –3,8921) i beskonačne periodične decimalne razlomke (na primjer, 0,11(23); –3 ,(87) )).
kako god beskonačne neperiodične decimale ne mogu se predstaviti kao obični razlomci. To su oni iracionalni brojevi(tj. iracionalno). Primjer takvog broja je broj π, koji je približno jednak 3,14. Međutim, ne može se utvrditi koliko je to tačno, jer nakon broja 4 postoji beskonačan niz drugih brojeva u kojima se periodi koji se ponavljaju ne mogu razlikovati. Štaviše, iako se broj π ne može precizno izraziti, on ima specifičnost geometrijsko značenje. Broj π je omjer dužine bilo kojeg kruga i dužine njegovog prečnika. Dakle, iracionalni brojevi zapravo postoje u prirodi, baš kao i racionalni brojevi.
Drugi primjer iracionalnih brojeva su kvadratni korijeni pozitivni brojevi. Samo vađenje korijena iz brojeva daje racionalne vrednosti, od drugih - iracionalno. Na primjer, √4 = 2, tj. korijen od 4 je racionalan broj. Ali √2, √5, √7 i mnogi drugi rezultiraju iracionalnim brojevima, odnosno mogu se izdvojiti samo aproksimacijom, zaokružujući na određeno decimalno mjesto. U ovom slučaju, razlomak postaje neperiodičan. Odnosno, nemoguće je tačno i definitivno reći šta je koren ovih brojeva.
Dakle, √5 je broj koji leži između brojeva 2 i 3, jer je √4 = 2, a √9 = 3. Takođe možemo zaključiti da je √5 bliži 2 nego 3, jer je √4 bliži √5 nego √9 do √5. Zaista, √5 ≈ 2,23 ili √5 ≈ 2,24.
Iracionalni brojevi se takođe dobijaju u drugim proračunima (a ne samo pri vađenju korena) i mogu biti negativni.
U odnosu na iracionalne brojeve, možemo reći da bez obzira koji jedinični segment uzmemo za mjerenje dužine izražene takvim brojem, nećemo je moći definitivno izmjeriti.
U aritmetičkim operacijama, iracionalni brojevi mogu učestvovati zajedno sa racionalnim brojevima. Istovremeno, postoji niz pravilnosti. Na primjer, ako su samo racionalni brojevi uključeni u aritmetičku operaciju, onda je rezultat uvijek racionalan broj. Ako u operaciji učestvuju samo iracionalni, onda je nemoguće nedvosmisleno reći da li će rezultat biti racionalan ili iracionalan broj.
Na primjer, ako pomnožite dva iracionalna broja √2 * √2, dobićete 2 - ovo je racionalan broj. S druge strane, √2 * √3 = √6 je iracionalan broj.
Ako aritmetička operacija uključuje racionalne i iracionalne brojeve, onda će rezultat biti iracionalan. Na primjer, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 – 4.
Zašto je √17 – 4 iracionalan broj? Zamislimo da dobijemo racionalan broj x. Tada je √17 = x + 4. Ali x + 4 je racionalan broj, jer smo pretpostavili da je x racionalan. Broj 4 je takođe racionalan, pa je x + 4 racionalan. Međutim, racionalan broj ne može biti jednak iracionalnom broju √17. Stoga je pretpostavka da √17 – 4 daje racionalan rezultat netačna. Rezultat aritmetičke operacije bit će iracionalan.
Međutim, postoji izuzetak od ovog pravila. Ako pomnožimo iracionalan broj sa 0, dobićemo racionalni broj 0.
Razumijevanje brojeva, posebno prirodnih brojeva, jedna je od najstarijih matematičkih "vještina". Mnoge civilizacije, čak i moderne, pripisuju određene mistična svojstva zbog njihovog ogromnog značaja u opisu prirode. Iako moderna nauka a matematika ne potvrđuje ova "magična" svojstva, važnost teorije brojeva je neosporna.
Istorijski gledano, najprije su se pojavili različiti prirodni brojevi, a zatim su im se prilično brzo dodavali razlomci i pozitivni iracionalni brojevi. Nakon ovih podskupova skupa realnih brojeva uvedeni su nula i negativni brojevi. Posljednji skup, skup kompleksnih brojeva, pojavio se tek s razvojem moderne nauke.
U modernoj matematici brojevi se ne uvode istorijskim redosledom, iako su mu prilično bliski.
Prirodni brojevi $\mathbb(N)$
Skup prirodnih brojeva se često označava kao $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, i često je dopunjen nulom da označi $\mathbb(N)_0$.
$\mathbb(N)$ definira operacije sabiranja (+) i množenja ($\cdot$) sa sljedećim svojstvima za bilo koje $a,b,c\u \mathbb(N)$:
1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ skup $\mathbb(N)$ je zatvoren operacijama sabiranja i množenja
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ komutativnost
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ asocijativnost
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distributivnost
5. $a\cdot 1=a$ je neutralan element za množenje
Pošto skup $\mathbb(N)$ sadrži neutralni element za množenje, ali ne i za sabiranje, dodavanje nule ovom skupu osigurava da uključuje neutralni element za sabiranje.
Pored ove dvije operacije, relacije “manje od” ($
1. $a b$ trihotomija
2. ako je $a\leq b$ i $b\leq a$, onda je $a=b$ antisimetrija
3. ako je $a\leq b$ i $b\leq c$, onda je $a\leq c$ tranzitivan
4. ako je $a\leq b$ onda $a+c\leq b+c$
5. ako je $a\leq b$ onda $a\cdot c\leq b\cdot c$
Cijeli brojevi $\mathbb(Z)$
Primjeri cijelih brojeva:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
Rješavanje jednadžbe $a+x=b$, gdje su $a$ i $b$ poznati prirodni brojevi, a $x$ nepoznati prirodni broj, zahtijeva uvođenje nove operacije - oduzimanje(-). Ako postoji prirodan broj $x$ koji zadovoljava ovu jednačinu, onda je $x=b-a$. Međutim, ovo specifična jednačina nema nužno rješenje na skupu $\mathbb(N)$, tako da praktična razmatranja zahtijevaju proširenje skupa prirodnih brojeva kako bi se uključila rješenja takve jednačine. Ovo dovodi do uvođenja skupa cijelih brojeva: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.
Pošto je $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, logično je pretpostaviti da su prethodno uvedene operacije $+$ i $\cdot$ i relacije $ 1. $0+a=a+0=a$ postoji neutralni element za dodavanje
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ postoji suprotan broj$-a$ za $a$
Nekretnina 5.:
5. ako je $0\leq a$ i $0\leq b$, onda $0\leq a\cdot b$
Skup $\mathbb(Z)$ je također zatvoren pod operacijom oduzimanja, to jest, $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.
Racionalni brojevi $\mathbb(Q)$
Primjeri racionalnih brojeva:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$
Sada razmotrite jednačine oblika $a\cdot x=b$, gdje su $a$ i $b$ poznati cijeli brojevi, a $x$ je nepoznata. Da bi rješenje bilo moguće, potrebno je uvesti operaciju dijeljenja ($:$), a rješenje ima oblik $x=b:a$, odnosno $x=\frac(b)(a)$ . Opet se javlja problem da $x$ ne pripada uvijek $\mathbb(Z)$, pa skup cijelih brojeva treba proširiti. Ovo uvodi skup racionalnih brojeva $\mathbb(Q)$ sa elementima $\frac(p)(q)$, gdje je $p\in \mathbb(Z)$ i $q\in \mathbb(N)$. Skup $\mathbb(Z)$ je podskup u kojem se svaki element $q=1$, dakle $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ i operacije sabiranja i množenja proširuju na ovaj skup prema slijedeći pravila, koji čuvaju sva gornja svojstva na skupu $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$
Podjela se uvodi na sljedeći način:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$
Na skupu $\mathbb(Q)$, jednačina $a\cdot x=b$ ima jedinstveno rješenje za svako $a\neq 0$ (podjela nulom je nedefinirana). To znači da postoji inverzni element$\frac(1)(a)$ ili $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$
Redoslijed skupa $\mathbb(Q)$ može se proširiti na sljedeći način:
$\frac(p_1)(q_1)
Skup $\mathbb(Q)$ ima jedan važna imovina: Između bilo koja dva racionalna broja postoji beskonačno mnogo drugih racionalnih brojeva, stoga ne postoje dva susjedna racionalna broja, za razliku od skupova prirodnih brojeva i cijelih brojeva.
Iracionalni brojevi $\mathbb(I)$
Primjeri iracionalnih brojeva:
$0.333333...$
$\sqrt(2) \približno 1,41422135...$
$\pi\približno 3,1415926535...$
Budući da između bilo koja dva racionalna broja postoji beskonačno mnogo drugih racionalnih brojeva, lako je pogrešno zaključiti da je skup racionalnih brojeva toliko gust da ga nema potrebe dalje širiti. Čak je i Pitagora napravio takvu grešku u svoje vrijeme. Međutim, njegovi savremenici su već opovrgli ovaj zaključak kada su proučavali rješenja jednadžbe $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) na skupu racionalnih brojeva. Za rješavanje takve jednačine potrebno je uvesti koncept kvadratnog korijena, a tada rješenje ove jednačine ima oblik $x=\sqrt(2)$. Jednačina poput $x^2=a$, gdje je $a$ poznati racionalni broj, a $x$ nepoznat, nema uvijek rješenje na skupu racionalnih brojeva, i opet se javlja potreba za proširenjem set. Pojavljuje se skup iracionalnih brojeva, a brojevi kao što su $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... pripadaju ovom skupu.
Realni brojevi $\mathbb(R)$
Unija skupova racionalnih i iracionalnih brojeva je skup realnih brojeva. Pošto je $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, opet je logično pretpostaviti da uvedene aritmetičke operacije i relacije zadržavaju svoja svojstva na novom skupu. Formalni dokaz ovoga je vrlo težak, pa se gore navedena svojstva aritmetičkih operacija i relacija na skupu realnih brojeva uvode kao aksiomi. U algebri se takav objekt naziva polje, pa se za skup realnih brojeva kaže da je uređeno polje.
Da bi definicija skupa realnih brojeva bila potpuna, potrebno je uvesti dodatni aksiom koji razlikuje skupove $\mathbb(Q)$ i $\mathbb(R)$. Pretpostavimo da je $S$ neprazan podskup skupa realnih brojeva. Element $b\in \mathbb(R)$ naziva se gornja granica skupa $S$ ako $\forall x\in S$ drži $x\leq b$. Tada kažemo da je skup $S$ ograničen iznad. Najmanja gornja granica skupa $S$ naziva se supremum i označava se $\sup S$. Koncepti donje granice, skupa ograničenog ispod i infinum $\inf S$ se uvode na sličan način. Sada je aksiom koji nedostaje formuliran na sljedeći način:
Svaki neprazan i gornje ograničen podskup skupa realnih brojeva ima supremum.
Takođe se može dokazati da je polje realnih brojeva definisano na gore navedeni način jedinstveno.
Kompleksni brojevi$\mathbb(C)$
Primjeri kompleksnih brojeva:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ gdje je $i = \sqrt(-1)$ ili $i^2 = -1$
Skup kompleksnih brojeva predstavlja sve uređene parove realnih brojeva, to jest, $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, na kojima se izvršavaju operacije sabiranje i množenje se definiraju na sljedeći način:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
Postoji nekoliko oblika pisanja kompleksnih brojeva, od kojih je najčešći $z=a+ib$, gdje je $(a,b)$ par realnih brojeva, a broj $i=(0,1)$ naziva se imaginarna jedinica.
Lako je pokazati da je $i^2=-1$. Proširivanje skupa $\mathbb(R)$ na skup $\mathbb(C)$ nam omogućava da definiramo Kvadratni korijen od negativni brojevi, što je bio razlog za uvođenje skupa kompleksnih brojeva. Takođe je lako pokazati da je podskup skupa $\mathbb(C)$, dat sa $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, zadovoljava sve aksiome za realne brojeve, dakle $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, ili $R\subset\mathbb(C)$.
Algebarska struktura skupa $\mathbb(C)$ u odnosu na operacije sabiranja i množenja ima sljedeća svojstva:
1. komutativnost sabiranja i množenja
2. asocijativnost sabiranja i množenja
3. $0+i0$ - neutralni element za sabiranje
4. $1+i0$ - neutralni element za množenje
5. Množenje je distributivno u odnosu na sabiranje
6. Postoji jedan inverz i za sabiranje i za množenje.
Skup svih prirodnih brojeva označava se slovom N. Prirodni brojevi su brojevi koje koristimo za brojanje objekata: 1,2,3,4,... U nekim izvorima, broj 0 se također smatra prirodnim brojem.
Skup svih cijelih brojeva je označen slovom Z. Cijeli brojevi su svi prirodni brojevi, nula i negativni brojevi:
1,-2,-3, -4, …
Sada dodajmo skupu svih cijelih brojeva skup svih običnih razlomaka: 2/3, 18/17, -4/5 i tako dalje. Tada dobijamo skup svih racionalnih brojeva.
Skup racionalnih brojeva
Skup svih racionalnih brojeva je označen slovom Q. Skup svih racionalnih brojeva (Q) je skup koji se sastoji od brojeva oblika m/n, -m/n i broja 0. U kao n,m može biti bilo koji prirodan broj. Treba napomenuti da se svi racionalni brojevi mogu predstaviti kao konačan ili beskonačan PERIODIK decimalni. Isto tako vrijedi i obrnuto da se bilo koji konačni ili beskonačan periodični decimalni razlomak može zapisati kao racionalni broj.
Ali šta je sa, na primjer, brojem 2.0100100010...? To je beskonačno NEPERIODIČNI decimalni razlomak. I to se ne odnosi na racionalne brojeve.
U školskom kursu algebre izučavaju se samo realni (ili realni) brojevi. Skup svih realnih brojeva je označen slovom R. Skup R se sastoji od svih racionalnih i svih iracionalnih brojeva.
Koncept iracionalnih brojeva
Iracionalni brojevi su svi beskonačni decimalni neperiodični razlomci. Iracionalni brojevi nemaju posebnu oznaku.
Na primjer, svi brojevi dobiveni izvlačenjem kvadratnog korijena prirodnih brojeva koji nisu kvadrati prirodnih brojeva bit će iracionalni. (√2, √3, √5, √6, itd.).
Ali ne treba misliti da se iracionalni brojevi dobijaju samo izdvajanjem kvadratni korijeni. Na primjer, broj "pi" je također iracionalan, a dobije se dijeljenjem. I koliko god se trudili, ne možete ga dobiti uzimanjem kvadratnog korijena bilo kojeg prirodnog broja.
Materijal u ovom članku pruža početne informacije o iracionalni brojevi. Prvo ćemo dati definiciju iracionalnih brojeva i objasniti je. U nastavku dajemo primjere iracionalnih brojeva. Na kraju, pogledajmo neke pristupe otkrivanju da li je dati broj iracionalan ili ne.
Navigacija po stranici.
Definicija i primjeri iracionalnih brojeva
Prilikom proučavanja decimala, posebno smo razmatrali beskonačne neperiodične decimale. Takvi razlomci nastaju kada se mjere decimalne dužine segmenata koji su neuporedivi s jediničnim segmentom. Također smo primijetili da se beskonačni neperiodični decimalni razlomci ne mogu pretvoriti u obične razlomke (pogledajte pretvaranje običnih razlomaka u decimale i obrnuto), stoga ovi brojevi nisu racionalni brojevi, već predstavljaju takozvane iracionalne brojeve.
Pa smo došli do toga definicija iracionalnih brojeva.
Definicija.
Zovu se brojevi koji predstavljaju beskonačne neperiodične decimalne razlomke u decimalnom zapisu iracionalni brojevi.
Izrečena definicija nam omogućava da damo primjeri iracionalnih brojeva. Na primjer, beskonačni neperiodični decimalni razlomak 4.10110011100011110000... (broj jedinica i nula svaki put se povećava za jedan) je iracionalan broj. Navedimo još jedan primjer iracionalnog broja: −22,353335333335... (broj trojki koje razdvajaju osmice svaki put se povećava za dva).
Treba napomenuti da se iracionalni brojevi vrlo rijetko nalaze u obliku beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka. Obično se nalaze u obliku , itd., kao i u obliku posebno upisanih slova. Najviše poznatih primjera Iracionalni brojevi u ovoj notaciji su aritmetički kvadratni korijen iz dva, broj “pi” π=3,141592..., broj e=2,718281... i zlatni broj.
Iracionalni brojevi se takođe mogu definisati u terminima realnih brojeva, koji kombinuju racionalne i iracionalne brojeve.
Definicija.
Iracionalni brojevi su realni brojevi koji nisu racionalni brojevi.
Da li je ovaj broj iracionalan?
Kada se broj ne daje kao decimalni razlomak, već kao neki korijen, logaritam itd., tada je u mnogim slučajevima prilično teško odgovoriti na pitanje da li je iracionalan.
Bez sumnje, kada se odgovara na postavljeno pitanje, veoma je korisno znati koji brojevi nisu iracionalni. Iz definicije iracionalnih brojeva slijedi da iracionalni brojevi nisu racionalni brojevi. Dakle, iracionalni brojevi NISU:
- konačnih i beskonačnih periodičnih decimalnih razlomaka.
Također, bilo koji sastav racionalnih brojeva povezanih znakovima aritmetičkih operacija (+, −, ·, :) nije iracionalan broj. To je zato što je zbir, razlika, proizvod i količnik dva racionalna broja racionalan broj. Na primjer, vrijednosti izraza i su racionalni brojevi. Ovdje primjećujemo da ako takvi izrazi sadrže jedan jedini iracionalni broj među racionalnim brojevima, tada će vrijednost cijelog izraza biti iracionalan broj. Na primjer, u izrazu je broj iracionalan, a preostali brojevi su racionalni, stoga je to iracionalan broj. Da je to bio racionalan broj, onda bi slijedila racionalnost broja, ali on nije racionalan.
Ako izraz koji specificira broj sadrži nekoliko iracionalnih brojeva, korijenskih znakova, logaritama, trigonometrijske funkcije, brojevi π, e itd., onda je potrebno dokazati iracionalnost ili racionalnost datog broja u svakom konkretnom slučaju. Međutim, postoji niz već dobijenih rezultata koji se mogu koristiti. Hajde da navedemo glavne.
Dokazano je da je k-ti korijen cijelog broja racionalan broj samo ako je broj ispod korijena k-ti stepen drugog cijelog broja; u drugim slučajevima takav korijen specificira iracionalan broj. Na primjer, brojevi i su iracionalni, jer ne postoji cijeli broj čiji je kvadrat 7, i ne postoji cijeli broj čije povećanje na peti stepen daje broj 15. I brojevi nisu iracionalni, budući da i .
Što se tiče logaritama, ponekad je moguće dokazati njihovu iracionalnost metodom kontradikcije. Kao primjer, dokažimo da je log 2 3 iracionalan broj.
Pretpostavimo da je log 2 3 racionalan broj, a ne iracionalan, odnosno da se može predstaviti kao običan razlomak m/n. i dozvoli nam da zapišemo sljedeći lanac jednakosti: . Posljednja jednakost je nemoguća, budući da je na njenoj lijevoj strani neparan broj, a na desnoj strani – ravnomjerno. Tako smo došli do kontradikcije, što znači da se naša pretpostavka pokazala netačnom, a to je dokazalo da je log 2 3 iracionalan broj.
Imajte na umu da je lna za bilo koji pozitivan i ne-jedno racionalan a iracionalan broj. Na primjer, i su iracionalni brojevi.
Također je dokazano da je broj e a za bilo koji racionalan a različit od nule iracionalan, a da je broj π z za bilo koji cijeli broj z različit od nule iracionalan. Na primjer, brojevi su iracionalni.
Iracionalni brojevi su također trigonometrijske funkcije sin, cos, tg i ctg za bilo koju racionalnu vrijednost argumenta različitu od nule. Na primjer, sin1, tan(−4), cos5,7 su iracionalni brojevi.
Postoje i drugi dokazani rezultati, ali ćemo se ograničiti na one koji su već navedeni. Također treba reći da je prilikom dokazivanja navedenih rezultata teorija povezana s algebarski brojevi I transcendentalni brojevi.
U zaključku napominjemo da ne treba donositi ishitrene zaključke o iracionalnosti datih brojeva. Na primjer, čini se očiglednim da je iracionalan broj do iracionalnog stepena iracionalan broj. Međutim, to nije uvijek slučaj. Za potvrdu navedene činjenice donosimo diplomu. Poznato je da je - iracionalan broj, a takođe je dokazano da je - iracionalan broj, ali je racionalan broj. Također možete navesti primjere iracionalnih brojeva čiji su zbroj, razlika, proizvod i količnik racionalni brojevi. Štaviše, racionalnost ili iracionalnost brojeva π+e, π−e, π·e, π π, π e i mnogih drugih još nije dokazana.
Bibliografija.
- Matematika. 6. razred: obrazovni. za opšte obrazovanje institucije / [N. Ya. Vilenkin i drugi]. - 22. izdanje, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
- algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.