Príklady zložitých lineárnych rovníc. Riešenie jednoduchých lineárnych rovníc

Naučiť sa riešiť rovnice je jednou z hlavných úloh, ktoré algebra kladie pre študentov. Počnúc tým najjednoduchším, keď sa skladá z jednej neznámej, a prejsť k čoraz zložitejším. Ak nemáte zvládnuté úkony, ktoré je potrebné vykonať s rovnicami z prvej skupiny, ťažko pochopíte ostatné.

Ak chcete pokračovať v konverzácii, musíte sa dohodnúť na zápise.

Všeobecný tvar lineárnej rovnice s jednou neznámou a princíp jej riešenia

Akákoľvek rovnica, ktorá sa dá napísať takto:

a * x = b,

volal lineárne. Toto všeobecný vzorec. Ale často v úlohách lineárne rovnice napísané implicitne. Potom je potrebné vykonať identické transformácie na získanie všeobecne akceptovaného zápisu. Tieto akcie zahŕňajú:

• otváranie zátvoriek;
• posunutie všetkých členov s premennou hodnotou na ľavú stranu rovnosti a zvyšok doprava;
• zníženie podobných podmienok.

V prípade, že neznáme množstvo je v menovateli zlomku, musíte určiť jeho hodnoty, pri ktorých výraz nebude dávať zmysel. Inými slovami, musíte poznať doménu definície rovnice.

Princíp, podľa ktorého sa riešia všetky lineárne rovnice, spočíva v delení hodnoty na pravej strane rovnice koeficientom pred premennou. To znamená, že „x“ sa bude rovnať b/a.

Špeciálne prípady lineárnych rovníc a ich riešenia

Počas uvažovania môžu nastať momenty, keď lineárne rovnice nadobudnú jednu zo špeciálnych foriem. Každý z nich má špecifické riešenie.

V prvej situácii:

a * x = 0 a ≠ 0.

Riešenie takejto rovnice bude vždy x = 0.

V druhom prípade má „a“ hodnotu rovnajúcu sa nule:

0 * x = 0.

Odpoveďou na takúto rovnicu bude ľubovoľné číslo. To znamená, že má nekonečný počet koreňov.

Tretia situácia vyzerá takto:

0 * x = in, kde v ≠ 0.

Táto rovnica nedáva zmysel. Pretože neexistujú žiadne korene, ktoré by to uspokojili.

Všeobecný pohľad na lineárnu rovnicu s dvoma premennými

Už z jeho názvu je jasné, že sa v ňom nachádzajú už dve neznáme veličiny. Lineárne rovnice v dvoch premenných vyzerať takto:

a * x + b * y = c.

Keďže v zázname sú dve neznáme, odpoveď bude vyzerať ako dvojica čísel. To znamená, že nestačí zadať iba jednu hodnotu. Toto bude neúplná odpoveď. Dvojica veličín, pre ktoré sa rovnica stáva identitou, je riešením rovnice. Navyše v odpovedi sa vždy ako prvá zapíše premenná, ktorá je v abecede na prvom mieste. Niekedy hovoria, že ho tieto čísla uspokojujú. Navyše takýchto párov môže byť nekonečné množstvo.

Ako vyriešiť lineárnu rovnicu s dvoma neznámymi?

Ak to chcete urobiť, stačí vybrať ľubovoľný pár čísel, ktorý sa ukáže ako správny. Pre jednoduchosť môžete vziať jednu z neznámych rovnú nejakému prvočíslu a potom nájsť druhú.

Pri riešení často musíte vykonať kroky na zjednodušenie rovnice. Nazývajú sa premeny identity. Okrem toho pre rovnice vždy platia nasledujúce vlastnosti:

• každý člen možno presunúť do opačnej časti rovnosti nahradením jeho znamienka opačným;
• Ľavú a pravú stranu akejkoľvek rovnice je možné deliť rovnakým číslom, pokiaľ sa nerovná nule.

Príklady úloh s lineárnymi rovnicami

Prvá úloha. Riešte lineárne rovnice: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

V rovnici, ktorá je v tomto zozname na prvom mieste, jednoducho vydeľte 20 číslom 4. Výsledok bude 5. Toto je odpoveď: x = 5.

Tretia rovnica vyžaduje, aby sa uskutočnila transformácia identity. Bude pozostávať z otvorenia zátvoriek a uvedenia podobných podmienok. Po prvom kroku bude mať rovnica tvar: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Potom musíte presunúť všetky neznáme na ľavú stranu rovnice a zvyšok na pravú. Rovnica bude vyzerať takto: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Po pridaní podobných výrazov: 14x = 16. Teraz vyzerá rovnako ako prvá a jej riešenie sa dá ľahko nájsť. Odpoveď bude x=8/7. Ale v matematike sa predpokladá, že izolujete celú časť od nesprávneho zlomku. Potom sa výsledok transformuje a „x“ sa bude rovnať jednému celku a jednej sedmine.

V zostávajúcich príkladoch sú premenné v menovateli. To znamená, že najprv musíte zistiť, pri akých hodnotách sú rovnice definované. Ak to chcete urobiť, musíte vylúčiť čísla, v ktorých menovatelia idú na nulu. V prvom príklade je to „-4“, v druhom „-3“. To znamená, že tieto hodnoty je potrebné vylúčiť z odpovede. Potom musíte vynásobiť obe strany rovnosti výrazmi v menovateli.

Otvorením zátvoriek a uvedením podobných členov dostaneme v prvej z týchto rovníc: 5x + 15 = 4x + 16 a v druhej 5x + 15 = 4x + 12. Po transformáciách bude riešením prvej rovnice x = -1. Druhý sa rovná „-3“, čo znamená, že druhý nemá žiadne riešenia.

Druhá úloha. Vyriešte rovnicu: -7x + 2y = 5.

Predpokladajme, že prvá neznáma x = 1, potom bude mať rovnica tvar -7 * 1 + 2y = 5. Prechod na pravá strana rovnosti, faktor je „-7“ a zmenou znamienka na plus sa ukáže, že 2y = 12. To znamená y = 6. Odpoveď: jedno z riešení rovnice x = 1, y = 6.

Všeobecná forma nerovnosti s jednou premennou

Všetky možné situácie pre nerovnosti sú uvedené tu:

• a * x > b;
• a * x< в;
• a* x >b;
• a * x ≤в.

Vo všeobecnosti to vyzerá ako jednoduchá lineárna rovnica, len znamienko rovnosti je nahradené nerovnicou.

Pravidlá pre identitné transformácie nerovností

Rovnako ako lineárne rovnice, nerovnosti môžu byť upravené podľa určitých zákonov. Zredukujú sa na nasledovné:

1. na ľavú a pravú stranu nerovnosti možno pridať ľubovoľný abecedný alebo číselný výraz a znamienko nerovnosti zostáva rovnaké;
2. Môžete tiež násobiť alebo deliť tým istým kladné číslo, to opäť nemení znamienko;
3. pri násobení alebo delení tým istým záporné číslo rovnosť zostane pravdivá za predpokladu, že sa znamienko nerovnosti obráti.

Celkový pohľad na dvojité nerovnosti

V problémoch môžu byť uvedené nasledujúce nerovnosti:

• V< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• V< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Nazýva sa dvojitý, pretože je obmedzený znakmi nerovnosti na oboch stranách. Rieši sa pomocou rovnakých pravidiel ako bežné nerovnosti. A nájdenie odpovede vedie k sérii identických transformácií. Kým sa nedosiahne najjednoduchšie.

Vlastnosti riešenia dvojitých nerovností

Prvým z nich je jeho obraz na súradnicovej osi. Pri jednoduchých nerovnostiach nie je potrebné túto metódu používať. Ale v ťažké prípady môže to byť jednoducho nevyhnutné.

Ak chcete zobraziť nerovnosť, musíte na osi označiť všetky body, ktoré ste získali počas uvažovania. Ide o neplatné hodnoty, ktoré sú označené prepichnutými bodkami, a hodnoty z nerovností získaných po transformáciách. Aj tu je dôležité správne nakresliť bodky. Ak je nerovnosť prísna, tak< или >, potom sa tieto hodnoty vyrazia. V neprísnych nerovnostiach musia byť body zatienené.

Potom je potrebné uviesť význam nerovností. To sa dá dosiahnuť pomocou tieňovania alebo oblúkov. Ich priesečník ukáže odpoveď.

Druhá vlastnosť súvisí s jej nahrávaním. Ponúkajú sa tu dve možnosti. Prvým je konečná nerovnosť. Druhá je vo forme intervalov. Stáva sa s ním, že vznikajú ťažkosti. Odpoveď v medzerách vždy vyzerá ako premenná so znakom členstva a zátvorkami s číslami. Niekedy existuje niekoľko medzier, potom musíte do zátvoriek napísať symbol „a“. Tieto znaky vyzerajú takto: ∈ a ∩. Svoju úlohu zohrávajú aj rozperné držiaky. Okrúhla sa umiestni, keď je bod vylúčený z odpovede, a obdĺžniková obsahuje túto hodnotu. Znak nekonečna je vždy v zátvorkách.

Príklady riešenia nerovností

1. Vyriešte nerovnosť 7 - 5x ≥ 37.

Po jednoduchých transformáciách dostaneme: -5x ≥ 30. Delením „-5“ dostaneme nasledujúci výraz: x ≤ -6. Toto je už odpoveď, ale dá sa napísať aj inak: x ∈ (-∞; -6].

2. Vyriešte dvojitú nerovnosť -4< 2x + 6 ≤ 8.

Najprv musíte všade odčítať 6. Získate: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Lineárna rovnica je algebraická rovnica, ktorej celkový stupeň polynómov sa rovná jednej. Riešenie lineárnych rovníc - časť školské osnovy a nie najťažšie. Niektorí však majú stále problém dokončiť túto tému. Dúfame, že po prečítaní tento materiál, všetky ťažkosti budú pre vás minulosťou. Takže, poďme na to. ako riešiť lineárne rovnice.

Všeobecná forma

Lineárna rovnica je znázornená ako:

• ax + b = 0, kde a a b sú ľubovoľné čísla.

Hoci a a b môžu byť ľubovoľné číslo, ich hodnoty ovplyvňujú počet riešení rovnice. Existuje niekoľko špeciálnych prípadov riešenia:

• Ak a=b=0, rovnica má nekonečný počet riešení;
• Ak a=0, b≠0, rovnica nemá riešenie;
• Ak a≠0, b=0, rovnica má riešenie: x = 0.

V prípade, že obe čísla majú nenulové hodnoty, treba rovnicu odvodiť konečný výraz pre premennú.

Ako sa rozhodnúť?

Riešenie lineárnej rovnice znamená nájsť, čomu sa premenná rovná. Ako na to? Áno, je to veľmi jednoduché - pomocou jednoduchých algebraických operácií a dodržiavaním pravidiel prenosu. Ak sa pred vami objaví rovnica vo všeobecnom tvare, máte šťastie:

1. Presuňte b na pravú stranu rovnice, pričom nezabudnite zmeniť znamienko (pravidlo prevodu!), takže z vyjadrenia tvaru ax + b = 0 by ste mali získať vyjadrenie tvaru: ax = -b.
2. Použite pravidlo: ak chcete nájsť jeden z faktorov (x - v našom prípade), musíte rozdeliť súčin (v našom prípade -b) iným faktorom (a - v našom prípade). Mali by ste teda dostať výraz v tvare: x = -b/a.

To je všetko - riešenie sa našlo!

Teraz sa pozrime na konkrétny príklad:

1. 2x + 4 = 0 - ťah b sa rovná v tomto prípade 4, vpravo
2. 2x = -4 - vydeľte b a (nezabudnite na znamienko mínus)
3. x = -4/2 = -2

To je všetko! Naše riešenie: x = -2.

Ako vidíte, riešenie lineárnej rovnice s jednou premennou je celkom jednoduché nájsť, ale všetko je také jednoduché, ak máme to šťastie, že narazíme na rovnicu v jej všeobecnej podobe. Vo väčšine prípadov musíte pred riešením rovnice v dvoch krokoch opísaných vyššie zmenšiť existujúci výraz na celkový vzhľad. To však tiež nie je mimoriadne náročná úloha. Pozrime sa na niektoré špeciálne prípady pomocou príkladov.

Riešenie špeciálnych prípadov

Najprv sa pozrime na prípady, ktoré sme opísali na začiatku článku a vysvetlíme si, čo znamená mať nekonečné množstvo riešení a žiadne riešenie.

• Ak a=b=0, rovnica bude vyzerať takto: 0x + 0 = 0. Po vykonaní prvého kroku dostaneme: 0x = 0. Čo znamená tento nezmysel, zvoláte! Koniec koncov, bez ohľadu na to, aké číslo vynásobíte nulou, vždy dostanete nulu! Správny! Preto sa hovorí, že rovnica má nekonečný počet riešení – bez ohľadu na to, aké číslo si vyberiete, rovnosť bude pravdivá, 0x = 0 alebo 0 = 0.
• Ak a=0, b≠0, rovnica bude vyzerať takto: 0x + 3 = 0. Vykonajte prvý krok, dostaneme 0x = -3. Opäť nezmysel! Je zrejmé, že táto rovnosť nebude nikdy pravdivá! Preto hovoria, že rovnica nemá riešenia.
• Ak a≠0, b=0, rovnica bude vyzerať takto: 3x + 0 = 0. Po vykonaní prvého kroku dostaneme: 3x = 0. Aké je riešenie? Je to jednoduché, x = 0.

Stratené v preklade

Opísané špeciálne prípady nie sú všetko, čím nás môžu lineárne rovnice prekvapiť. Niekedy je na prvý pohľad ťažké identifikovať rovnicu. Pozrime sa na príklad:

• 12x - 14 = 2x + 6

Je to lineárna rovnica? A čo nula na pravej strane? Nebudeme sa ponáhľať k záverom, budeme konať - presunieme všetky zložky našej rovnice na ľavú stranu. Dostaneme:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Teraz odpočítajte like od like, dostaneme:

• 10x - 20 = 0

Učil sa? Najlineárnejšia rovnica všetkých čias! Riešenie ktorého je: x = 20/10 = 2.

Čo ak máme tento príklad:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 – 3x/4)

Áno, toto je tiež lineárna rovnica, len je potrebné vykonať viac transformácií. Najprv otvorme zátvorky:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - teraz vykonáme prevod:
4. 25x - 4 = 0 - zostáva nájsť riešenie pomocou už známej schémy:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0,16

Ako vidíte, všetko sa dá vyriešiť, hlavnou vecou nie je báť sa, ale konať. Pamätajte, že ak vaša rovnica obsahuje iba premenné prvého stupňa a čísla, máte lineárnu rovnicu, ktorú je možné bez ohľadu na to, ako na začiatku vyzerá, zredukovať na všeobecnú formu a vyriešiť ju. Dúfame, že vám všetko vyjde! Veľa štastia!

Pri riešení lineárnych rovníc sa snažíme nájsť koreň, teda hodnotu premennej, ktorá prevedie rovnicu do správnej rovnosti.

Ak chcete nájsť koreň rovnice, potrebujete ekvivalentné transformácie prinesú nám danú rovnicu do tvaru

\(x=[číslo]\)

Toto číslo bude koreňom.

To znamená, že rovnicu transformujeme a každým krokom ju zjednodušujeme, až kým ju nezredukujeme na úplne primitívnu rovnicu „x = číslo“, kde je koreň zrejmý. Najčastejšie používané transformácie pri riešení lineárnych rovníc sú tieto:

Napríklad: pridajte \(5\) na obe strany rovnice \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Upozorňujeme, že rovnaký výsledok by sme mohli získať rýchlejšie jednoduchým napísaním päťky na druhú stranu rovnice a zmenou jej znamienka. V skutočnosti sa presne takto robí škola „prestup cez rovný so zmenou znamienka na opačný“.

2. Násobenie alebo delenie oboch strán rovnice rovnakým číslom alebo výrazom.

Napríklad: vydeľte rovnicu \(-2x=8\) mínus dvoma

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Typicky sa tento krok vykonáva na samom konci, keď už bola rovnica zredukovaná do tvaru \(ax=b\) a delíme \(a\), aby sme ju odstránili zľava.

3. Využívanie vlastností a zákonov matematiky: otváranie zátvoriek, prinášanie podobných pojmov, zmenšovanie zlomkov atď.

Pridajte \(2x\) doľava a doprava

Odčítajte \(24\) od oboch strán rovnice

Opäť uvádzame podobné pojmy

Teraz rovnicu vydelíme \(-3\), čím odstránime predné X na ľavej strane.

Odpoveď : \(7\)

Odpoveď sa našla. Poďme si to však overiť. Ak je sedem skutočne koreň, potom jeho dosadením namiesto X do pôvodnej rovnice by mala vzniknúť správna rovnosť - rovnaké čísla vľavo a vpravo. Vyskúšajme.

Vyšetrenie:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Vyšlo to. To znamená, že sedem je skutočne koreňom pôvodnej lineárnej rovnice.

Nebuďte leniví a skontrolujte si odpovede, ktoré ste našli náhradou, najmä ak riešite rovnicu v teste alebo skúške.

Otázkou zostáva - ako určiť, čo robiť s rovnicou v ďalšom kroku? Ako to presne previesť? Deliť niečím? Alebo odčítať? A čo presne mám odpočítať? Deliť podľa čoho?

Odpoveď je jednoduchá:

Vaším cieľom je dostať rovnicu do tvaru \(x=[číslo]\), to znamená, že naľavo je x bez koeficientov a čísel a napravo je iba číslo bez premenných. Preto sa pozerajte na to, čo vám prekáža a robiť opak toho, čo robí rušivý komponent.

Aby sme tomu lepšie porozumeli, pozrime sa na riešenie lineárnej rovnice \(x+3=13-4x\) krok za krokom.

Zamyslime sa: ako sa táto rovnica líši od \(x=[číslo]\)? Čo nám bráni? Čo je zle?

No po prvé, trojka prekáža, keďže naľavo by malo byť len osamelé X bez čísel. Čo „robí“ trojka? Pridané do X. Takže, aby som to odstránil - odčítať rovnaké tri. Ale ak odpočítame tri zľava, musíme to odpočítať sprava, aby sa neporušila rovnosť.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Dobre. Čo ti v tom bráni? \(4x\) vpravo, pretože tam by mali byť iba čísla. \(4x\) odpočítané- odstraňujeme pridaním.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Teraz uvádzame podobné výrazy vľavo a vpravo.

Už je to skoro hotové. Zostáva len odstrániť päťku naľavo. Čo ona robí"? Násobí na x. Poďme to teda odstrániť divízie.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Riešenie je hotové, koreň rovnice je dva. Môžete skontrolovať pomocou náhrady.

Všimni si najčastejšie je v lineárnych rovniciach len jeden koreň. Môžu však nastať dva špeciálne prípady.

Špeciálny prípad 1 – v lineárnej rovnici nie sú žiadne korene.

Príklad . Vyriešte rovnicu \(3x-1=2(x+3)+x\)

Riešenie :

Odpoveď : bez koreňov.

V skutočnosti to, že k takémuto výsledku dospejeme, bolo vidieť skôr, aj keď sme dostali \(3x-1=3x+6\). Zamyslite sa: ako sa môže rovnať \(3x\), od ktorého sme odčítali \(1\) a \(3x\), ku ktorému sme pridali \(6\)? Očividne v žiadnom prípade, pretože urobili to isté rôzne akcie! Je jasné, že výsledky sa budú líšiť.

Špeciálny prípad 2 – lineárna rovnica má nekonečný počet koreňov.

Príklad . Vyriešte lineárnu rovnicu \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Riešenie :

Odpoveď : ľubovoľné číslo.

To, mimochodom, bolo badateľné ešte skôr, v štádiu: \(8x+12=8x+12\). Skutočne, ľavá a pravá strana sú rovnaké výrazy. Akékoľvek X nahradíte, bude to rovnaké číslo tam aj tam.

Zložitejšie lineárne rovnice.

Pôvodná rovnica nie vždy okamžite vyzerá ako lineárna, niekedy je „maskovaná“ ako iné, zložitejšie rovnice. V procese transformácie však prestrojenie zmizne.

Príklad . Nájdite koreň rovnice \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Riešenie :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Zdá sa, že tu je x ​​na druhú - toto nie je lineárna rovnica! Ale neponáhľajte sa. Poďme podať žiadosť
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Prečo je výsledok rozšírenia \((x-4)^(2)\) v zátvorkách, ale výsledok \((3+x)^(2)\) nie je? Lebo pred prvým štvorcom je mínus, čo zmení všetky znamenia. A aby sme na to nezabudli, výsledok uvádzame v zátvorkách, ktoré teraz otvárame.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Uvádzame podobné pojmy
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Opäť uvádzame podobné.
		Páči sa ti to. Ukazuje sa, že pôvodná rovnica je celkom lineárna a X na druhú nie je nič iné ako obrazovka, ktorá nás má zmiasť. :) Riešenie dokončíme vydelením rovnice \(2\), a dostaneme odpoveď.

Odpoveď : \(x=5\)

Príklad . Vyriešte lineárnu rovnicu \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

Riešenie :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Rovnica nevyzerá lineárne, sú to akési zlomky... Zbavme sa však menovateľov tak, že obe strany rovnice vynásobíme spoločným menovateľom všetkých – šiestimi
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Rozbaľte zátvorku vľavo
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Teraz zredukujme menovateľov
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Teraz to vyzerá ako obyčajný lineárny! Poďme to dokončiť.
		Prekladom cez rovná sa zbierame X vpravo a čísla vľavo
		Vydelením pravej a ľavej strany \(-4\) dostaneme odpoveď

Odpoveď : \(x=-1,25\)

Systémy rovníc boli široko používané v hospodárskom priemysle s matematického modelovania rôzne procesy. Napríklad pri riešení problémov riadenia a plánovania výroby, logistických trás (problém dopravy) alebo umiestnenia zariadení.

Sústavy rovníc sa využívajú nielen v matematike, ale aj vo fyzike, chémii a biológii pri riešení úloh zisťovania veľkosti populácie.

Systém lineárnych rovníc sú dve alebo viac rovníc s viacerými premennými, pre ktoré je potrebné nájsť spoločné riešenie. Taká postupnosť čísel, pre ktorú sa všetky rovnice stávajú skutočnými rovnosťami alebo dokazujú, že postupnosť neexistuje.

Lineárna rovnica

Rovnice v tvare ax+by=c sa nazývajú lineárne. Označenia x, y sú neznáme, ktorých hodnotu treba nájsť, b, a sú koeficienty premenných, c je voľný člen rovnice.
Riešenie rovnice jej vykreslením bude vyzerať ako priamka, ktorej všetky body sú riešeniami polynómu.

Typy sústav lineárnych rovníc

Za najjednoduchšie príklady sa považujú sústavy lineárnych rovníc s dvoma premennými X a Y.

F1(x, y) = 0 a F2(x, y) = 0, kde F1,2 sú funkcie a (x, y) sú funkčné premenné.

Riešiť sústavu rovníc - to znamená nájsť hodnoty (x, y), pri ktorých sa systém zmení na skutočnú rovnosť, alebo to stanoviť vhodné hodnoty x a y neexistujú.

Dvojica hodnôt (x, y), zapísaná ako súradnice bodu, sa nazýva riešenie systému lineárnych rovníc.

Ak systémy majú jedno spoločné riešenie alebo žiadne riešenie neexistuje, nazývajú sa ekvivalentné.

Homogénne sústavy lineárnych rovníc sú sústavy, ktorých pravá strana sa rovná nule. Ak má pravá časť za znakom rovnosti hodnotu alebo je vyjadrená funkciou, takýto systém je heterogénny.

Počet premenných môže byť oveľa viac ako dve, potom by sme mali hovoriť o príklade systému lineárnych rovníc s tromi alebo viacerými premennými.

Keď sú školáci konfrontovaní so systémami, predpokladajú, že počet rovníc sa musí nevyhnutne zhodovať s počtom neznámych, ale nie je to tak. Počet rovníc v systéme nezávisí od premenných, môže ich byť ľubovoľne veľa.

Jednoduché a zložité metódy riešenia sústav rovníc

Neexistuje žiadna všeobecná analytická metóda na riešenie takýchto systémov, všetky metódy sú založené na numerických riešeniach. V kurze školskej matematiky sú podrobne popísané metódy ako permutácia, algebraické sčítanie, substitúcia, ako aj grafické a maticové metódy, riešenie Gaussovou metódou.

Hlavnou úlohou pri výučbe metód riešenia je naučiť sa správne analyzovať systém a nájsť optimálny algoritmus riešenia pre každý príklad. Hlavnou vecou nie je zapamätať si systém pravidiel a akcií pre každú metódu, ale pochopiť princípy používania konkrétnej metódy

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc programu 7. ročníka stredná škola celkom jednoduché a podrobne vysvetlené. V každej učebnici matematiky sa tejto časti venuje dostatočná pozornosť. Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc pomocou Gaussovej a Cramerovej metódy sa podrobnejšie študuje v prvých ročníkoch vysokoškolského štúdia.

Riešenie systémov substitučnou metódou

Akcie substitučnej metódy sú zamerané na vyjadrenie hodnoty jednej premennej z hľadiska druhej. Výraz sa dosadí do zostávajúcej rovnice, potom sa zredukuje do tvaru s jednou premennou. Akcia sa opakuje v závislosti od počtu neznámych v systéme

Uveďme riešenie príkladu sústavy lineárnych rovníc triedy 7 pomocou substitučnej metódy:

Ako je zrejmé z príkladu, premenná x bola vyjadrená pomocou F(X) = 7 + Y. Výsledný výraz, dosadený do 2. rovnice systému na miesto X, pomohol získať jednu premennú Y v 2. rovnici . Riešenie tento príklad nespôsobuje ťažkosti a umožňuje získať hodnotu Y. Posledný krok Ide o kontrolu prijatých hodnôt.

Nie vždy je možné vyriešiť príklad sústavy lineárnych rovníc substitúciou. Rovnice môžu byť zložité a vyjadrenie premennej pomocou druhej neznámej bude príliš ťažkopádne na ďalšie výpočty. Keď je v systéme viac ako 3 neznámych, riešenie substitúciou je tiež nevhodné.

Riešenie príkladu sústavy lineárnych nehomogénnych rovníc:

Riešenie pomocou algebraického sčítania

Pri hľadaní riešení systémov metódou sčítania vykonávajú sčítanie po členoch a násobenie rovníc o rôzne čísla. Konečným cieľom matematických operácií je rovnica v jednej premennej.

Aplikácia tejto metódy si vyžaduje prax a pozorovanie. Riešenie sústavy lineárnych rovníc metódou sčítania pri 3 a viacerých premenných nie je jednoduché. Algebraické sčítanie je vhodné použiť, keď rovnice obsahujú zlomky a desatinné miesta.

Algoritmus riešenia:

1. Vynásobte obe strany rovnice určitým číslom. Ako výsledok aritmetická akcia jeden z koeficientov premennej sa musí rovnať 1.
2. Pridajte výsledný výraz výraz po výraze a nájdite jednu z neznámych.
3. Dosaďte výslednú hodnotu do 2. rovnice systému, aby ste našli zostávajúcu premennú.

Spôsob riešenia zavedením novej premennej

Novú premennú je možné zaviesť, ak systém vyžaduje nájdenie riešenia nie viac ako dvoch rovníc, počet neznámych by tiež nemal byť väčší ako dve.

Metóda sa používa na zjednodušenie jednej z rovníc zavedením novej premennej. Nová rovnica sa rieši pre zavedenú neznámu a výsledná hodnota sa použije na určenie pôvodnej premennej.

Príklad ukazuje, že zavedením novej premennej t bolo možné zredukovať 1. rovnicu sústavy na štandardnú. kvadratická trojčlenka. Polynóm môžete vyriešiť nájdením diskriminantu.

Hodnotu diskriminantu je potrebné nájsť pomocou známeho vzorca: D = b2 - 4*a*c, kde D je požadovaný diskriminant, b, a, c sú faktory polynómu. V uvedenom príklade a=1, b=16, c=39, teda D=100. Ak je diskriminačný Nad nulou, potom existujú dve riešenia: t = -b±√D / 2*a, ak je diskriminant menej ako nula, potom je len jedno riešenie: x= -b / 2*a.

Riešenie pre výsledné systémy sa nachádza adičnou metódou.

Vizuálna metóda riešenia systémov

Vhodné pre 3 rovnicové sústavy. Metóda spočíva v zostrojení grafov každej rovnice zahrnutej v systéme na súradnicovej osi. Súradnice priesečníkov kriviek a budú všeobecné rozhodnutie systémov.

Grafická metóda má množstvo nuancií. Pozrime sa na niekoľko príkladov riešenia sústav lineárnych rovníc názorným spôsobom.

Ako je vidieť z príkladu, pre každú čiaru boli skonštruované dva body, hodnoty premennej x boli zvolené ľubovoľne: 0 a 3. Na základe hodnôt x boli nájdené hodnoty pre y: 3 a 0. Na grafe boli vyznačené body so súradnicami (0, 3) a (3, 0) a spojené čiarou.

Kroky sa musia opakovať pre druhú rovnicu. Priesečník čiar je riešením sústavy.

Nasledujúci príklad vyžaduje nájdenie grafického riešenia sústavy lineárnych rovníc: 0,5x-y+2=0 a 0,5x-y-1=0.

Ako vidno z príkladu, systém nemá riešenie, pretože grafy sú rovnobežné a nepretínajú sa po celej dĺžke.

Systémy z príkladov 2 a 3 sú podobné, ale keď sa skonštruujú, je zrejmé, že ich riešenia sú odlišné. Malo by sa pamätať na to, že nie vždy je možné povedať, či má systém riešenie alebo nie, vždy je potrebné zostrojiť graf.

Matrica a jej odrody

Matice sa používajú na krátka poznámka sústavy lineárnych rovníc. Matica je tabuľka špeciálny typ naplnené číslami. n*m má n - riadkov a m - stĺpcov.

Matica je štvorcová, keď je počet stĺpcov a riadkov rovnaký. Maticový vektor je matica jedného stĺpca s nekonečne možným počtom riadkov. Matica s jednotkami pozdĺž jednej z uhlopriečok a inými nulovými prvkami sa nazýva identita.

Inverzná matica je matica po vynásobení, ktorou sa pôvodná matica zmení na jednotkovú maticu, takáto matica existuje len pre pôvodnú štvorcovú maticu.

Pravidlá pre prevod sústavy rovníc na maticu

Vo vzťahu k sústavám rovníc sú koeficienty a voľné členy rovníc zapísané ako maticové čísla, jedna rovnica je jeden riadok matice.

Riadok matice sa považuje za nenulový, ak aspoň jeden prvok v riadku nie je nula. Ak sa teda v niektorej z rovníc počet premenných líši, potom je potrebné namiesto chýbajúcej neznámej zadať nulu.

Stĺpce matice musia presne zodpovedať premenným. To znamená, že koeficienty premennej x je možné zapísať len do jedného stĺpca, napríklad prvého, koeficient neznámeho y - iba do druhého.

Pri násobení matice sa všetky prvky matice postupne násobia číslom.

Možnosti hľadania inverznej matice

Vzorec na nájdenie inverznej matice je pomerne jednoduchý: K -1 = 1 / |K|, kde K -1 - inverzná matica a |K| je determinantom matice. |K| sa nesmie rovnať nule, potom má systém riešenie.

Determinant sa ľahko vypočíta pre maticu dva krát dva, stačí vynásobiť diagonálne prvky navzájom. Pre možnosť „tri po troch“ existuje vzorec |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Môžete použiť vzorec alebo si môžete zapamätať, že je potrebné vziať jeden prvok z každého riadku a každého stĺpca, aby sa počty stĺpcov a riadkov prvkov v práci neopakovali.

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc maticovou metódou

Maticová metóda hľadania riešenia umožňuje zredukovať ťažkopádne zadania pri riešení systémov s veľkým počtom premenných a rovníc.

V príklade sú a nm koeficienty rovníc, matica je vektor, x n sú premenné a b n sú voľné členy.

Riešenie systémov Gaussovou metódou

IN vyššia matematika Gaussova metóda sa študuje spolu s Cramerovou metódou a proces hľadania riešení systémov sa nazýva Gauss-Cramerova metóda riešenia. Tieto metódy sa používajú na hľadanie premenných systémov s veľkým počtom lineárnych rovníc.

Gaussova metóda je veľmi podobná riešeniam substitúciou a algebraickým sčítaním, ale je systematickejšia. V školskom kurze sa pri sústavách 3 a 4 rovníc používa riešenie Gaussovou metódou. Účelom metódy je zredukovať systém do podoby obráteného lichobežníka. Pomocou algebraických transformácií a substitúcií sa hodnota jednej premennej nachádza v jednej z rovníc systému. Druhá rovnica je výraz s 2 neznámymi, zatiaľ čo 3 a 4 sú s 3 a 4 premennými.

Po uvedení systému do opísanej formy sa ďalšie riešenie redukuje na postupné dosadzovanie známych premenných do rovníc systému.

V školských učebniciach pre 7. ročník je príklad riešenia Gaussovou metódou opísaný takto:

Ako je možné vidieť z príkladu, v kroku (3) sa získali dve rovnice: 3x3-2x4=11 a 3x3+2x4=7. Vyriešenie ktorejkoľvek z rovníc vám umožní zistiť jednu z premenných x n.

Veta 5, ktorá sa v texte spomína, hovorí, že ak sa jedna z rovníc sústavy nahradí ekvivalentnou, tak aj výsledná sústava bude ekvivalentná tej pôvodnej.

Gaussova metóda je pre žiakov ťažko pochopiteľná stredná škola, ale je jedným z najviac zaujímavé spôsoby rozvíjať vynaliezavosť detí študujúcich v rámci programu hĺbkové štúdium na hodinách matematiky a fyziky.

Na uľahčenie zaznamenávania sa výpočty zvyčajne vykonávajú takto:

Koeficienty rovníc a voľné členy sú zapísané vo forme matice, kde každý riadok matice zodpovedá jednej z rovníc sústavy. oddeľuje ľavú stranu rovnice od pravej. Rímske číslice označujú počet rovníc v systéme.

Najprv si zapíšte maticu, s ktorou sa má pracovať, a potom všetky akcie vykonané s jedným z riadkov. Výsledná matica je napísaná za znakom „šípky“ a potrebné algebraické operácie pokračujú, kým sa nedosiahne výsledok.

Výsledkom by mala byť matica, v ktorej sa jedna z uhlopriečok rovná 1 a všetky ostatné koeficienty sa rovnajú nule, to znamená, že matica je zredukovaná na jednotkovú formu. Nesmieme zabudnúť vykonať výpočty s číslami na oboch stranách rovnice.

Tento spôsob nahrávania je menej ťažkopádny a umožňuje vám nenechať sa rozptyľovať zoznamom mnohých neznámych.

Bezplatné použitie akejkoľvek metódy riešenia si bude vyžadovať starostlivosť a určité skúsenosti. Nie všetky metódy majú aplikovaný charakter. Niektoré metódy hľadania riešení sú vhodnejšie v konkrétnej oblasti ľudskej činnosti, zatiaľ čo iné existujú na vzdelávacie účely.

Lineárne rovnice sú pomerne neškodné a jasná témaškolská matematika. Ale napodiv, počet chýb z ničoho nič pri riešení lineárnych rovníc je len o niečo menší ako v iných témach - kvadratické rovnice, logaritmy, trigonometria a iné. Príčinou väčšiny chýb sú banálne identické transformácie rovníc. V prvom rade ide o zmätok v znakoch pri prenose pojmov z jednej časti rovnice do druhej, ako aj o chyby pri práci so zlomkami a zlomkovými koeficientmi. Áno áno! Zlomky sa objavujú aj v lineárnych rovniciach! Všade okolo. Nižšie určite analyzujeme takéto zlé rovnice.)

No, neťahajme mačku za chvost a začnime na to prísť, však? Potom si to prečítame a ponoríme sa do toho.)

Čo je lineárna rovnica? Príklady.

Lineárna rovnica zvyčajne vyzerá takto:

sekera + b = 0,

Kde a a b sú ľubovoľné čísla. Akýkoľvek druh: celé čísla, zlomky, záporné, iracionálne - môžu to byť čokoľvek!

Napríklad:

7x + 1 = 0 (tu a = 7, b = 1)

x – 3 = 0 (tu a = 1, b = -3)

x/2 – 1,1 = 0 (tu a = 1/2, b = -1,1)

Vo všeobecnosti chápete, dúfam.) Všetko je jednoduché, ako v rozprávke. Zatiaľ... A ak sa bližšie pozriete na všeobecný zápis ax+b=0, a trochu sa zamyslíte? Koniec koncov, a a b sú akékoľvek čísla! A ak máme, povedzme, a = 0 a b = 0 (môžete vziať akékoľvek čísla!), čo potom dostaneme?

0 = 0

Ale to nie je všetka zábava! Čo ak povedzme a = 0, b = -10? Potom sa ukáže, že je to nejaký nezmysel:

0 = 10.

Čo je veľmi, veľmi nepríjemné a podkopáva to dôveru v matematiku, ktorú sme nadobudli potom a krvou... Najmä pri testoch a skúškach. Ale z týchto nepochopiteľných a podivných rovností musíte tiež nájsť X! Ktorý vôbec neexistuje! A tu môžu niekedy aj dobre pripravení študenti upadnúť do toho, čomu sa hovorí strnulosť... Ale nebojte sa! V tejto lekcii sa tiež pozrieme na všetky takéto prekvapenia. A z takýchto rovníc určite nájdeme X.) Navyše, toto isté X možno nájsť veľmi, veľmi jednoducho. Áno áno! Prekvapivé, ale pravdivé.)

Dobre, to je pochopiteľné. Ale ako môžete podľa vzhľadu úlohy zistiť, že ide o lineárnu rovnicu a nie o inú rovnicu? Bohužiaľ, nie vždy je možné rozpoznať typ rovnice len podľa vzhľadu. Ide o to, že lineárne sa nazývajú nielen rovnice v tvare ax+b=0, ale aj akékoľvek iné rovnice, ktoré je možné tak či onak zredukovať na tento tvar identickými transformáciami. Ako viete, či sa to sčítava alebo nie? Až ten príklad ťažko vyriešite – takmer vôbec. Toto je znepokojujúce. Pri niektorých typoch rovníc však môžete jedným rýchlym pohľadom okamžite s istotou zistiť, či sú lineárne alebo nie.

Aby sme to dosiahli, pozrime sa ešte raz na všeobecnú štruktúru akejkoľvek lineárnej rovnice:

sekera + b = 0

Poznámka: v lineárnej rovnici Vždy je prítomná iba premenná x v prvom stupni a nejaké čísla! To je všetko! Nič viac. Zároveň neexistujú žiadne X vo štvorci, v kocke, pod odmocninou, pod logaritmom a iné exotické veci. A (čo je najdôležitejšie!) neexistujú žiadne zlomky s X v menovateľoch! Ale zlomky s číslami v menovateľoch alebo delení za číslo- ľahko!

Napríklad:

Toto je lineárna rovnica. Rovnica obsahuje iba X k prvej mocnine a číslam. A nie sú tam žiadne X vo vyšších mocninách - na druhú, na kocky atď. Áno, sú tu zlomky, no zároveň menovateľ zlomkov obsahuje iba čísla. Totiž - dva a tri. Inými slovami, neexistuje delenie x.

A tu je rovnica

Už sa to nedá nazvať lineárnym, aj keď aj tu existujú iba čísla a X na prvú mocninu. Pretože okrem iného existujú aj zlomky s X v menovateľoch. A po zjednodušeniach a transformáciách sa z takejto rovnice môže stať čokoľvek: lineárna, kvadratická - čokoľvek.

Ako riešiť lineárne rovnice? Príklady.

Ako teda riešite lineárne rovnice? Čítajte ďalej a nechajte sa prekvapiť.) Celé riešenie lineárnych rovníc je založené len na dvoch hlavných veciach. Poďme si ich vymenovať.

1) Súbor elementárnych úkonov a pravidiel matematiky.

Ide o používanie zátvoriek, otváranie zátvoriek, prácu so zlomkami, prácu so zápornými číslami, násobilky atď. Tieto znalosti a zručnosti sú potrebné nielen pre riešenie lineárnych rovníc, ale pre celú matematiku všeobecne. A ak s tým máte problémy, spomeňte si na nižšie ročníky. Inak to budeš mať ťažké...

2)

Sú len dvaja. Áno áno! Navyše, tieto úplne základné transformácie identity sú základom riešenia nielen lineárnych, ale všeobecne akýchkoľvek matematických rovníc! Jedným slovom, riešenie akejkoľvek inej rovnice - kvadratickej, logaritmickej, trigonometrickej, iracionálnej atď. – spravidla sa začína týmito úplne základnými premenami. Ale riešenie lineárnych rovníc v skutočnosti končí nimi (transformáciami). Pripravená odpoveď.) Takže nebuďte leniví a pozrite sa na odkaz.) Okrem toho sú tam podrobne analyzované aj lineárne rovnice.

No, myslím, že je čas začať sa pozerať na príklady.

Na začiatok sa ako rozcvička pozrime na základné veci. Bez akýchkoľvek zlomkov či iných zvončekov a píšťaliek. Napríklad táto rovnica:

x – 2 = 4 – 5x

Toto je klasická lineárna rovnica. Všetky X sú najviac v prvej mocnine a nikde nie je delenie X. Schéma riešenia v takýchto rovniciach je vždy rovnaká a strašne jednoduchá: všetky členy s X musia byť zhromaždené naľavo a všetky členy bez X (t.j. čísla) musia byť zhromaždené napravo. Začnime teda zbierať.

Za týmto účelom spúšťame prvú transformáciu identity. Musíme sa posunúť -5x doľava a -2 doprava. So zmenou znamenia, samozrejme.) Takže prenesieme:

x + 5x = 4 + 2

Nech sa páči. Polovica bitky je hotová: X sa zhromaždili na hromadu a tak isto aj čísla. Teraz uvádzame podobné vľavo a počítame ich vpravo. Dostaneme:

6x = 6

Čo nám teraz chýba k úplnému šťastiu? Áno, aby čisté X zostalo vľavo! A šestka sa postaví do cesty. Ako sa toho zbaviť? Teraz spustíme druhú identickú transformáciu - vydelíme obe strany rovnice 6. A - voila! Odpoveď je pripravená.)

x = 1

Samozrejme, príklad je úplne primitívny. Komu Všeobecná myšlienka chytiť. No, poďme sa rozhodnúť pre niečo významnejšie. Pozrime sa napríklad na túto rovnicu:

Pozrime sa na to podrobne.) Toto je tiež lineárna rovnica, hoci by sa zdalo, že tu sú zlomky. Ale v zlomkoch je delenie dvoma a je delenie tromi, ale neexistuje delenie výrazom s X! Tak sa poďme rozhodnúť. Používame rovnaké identické transformácie, áno.)

Čo by sme mali urobiť ako prvé? S X - vľavo, bez X - vpravo? V zásade je to možné. Leťte do Soči cez Vladivostok.) Alebo môžete ísť najkratšou cestou, okamžite pomocou univerzálnej a výkonnej metódy. Ak poznáte transformácie identity, samozrejme.)

Po prvé, položím kľúčovú otázku: čo vás na tejto rovnici najviac vyzdvihuje a čo sa vám najviac nepáči? 99 zo 100 ľudí povie: zlomky! A budú mať pravdu.) Najprv sa ich teda zbavme. Bezpečné pre samotnú rovnicu.) Preto začnime hneď s druhá transformácia identity- z násobenia. Čím máme vynásobiť ľavú stranu, aby sa nám menovateľ úspešne zmenšil? Presne tak, dvojka. A čo pravá strana? Za troch! Ale... Matematika je rozmarná dáma. Vidíte, ona vyžaduje znásobenie iba oboch strán za rovnaké číslo! Násobenie každej časti jej vlastným číslom nefunguje... Čo budeme robiť? Niečo... Hľadaj kompromis. Aby sme uspokojili svoje túžby (zbaviť sa zlomkov) a neurazili matematiku.) Vynásobme obe časti šiestimi!) Teda spoločným menovateľom všetkých zlomkov zahrnutých v rovnici. Potom sa jedným ťahom zmenšia dve aj tri!)

Poďme sa teda množiť. Celá ľavá strana a celá pravá strana! Preto používame zátvorky. Takto vyzerá samotný postup:

Teraz otvoríme rovnaké zátvorky:

Teraz, reprezentujúc 6 ako 6/1, vynásobme šesť každým zo zlomkov vľavo a vpravo. Toto je obvyklé násobenie zlomkov, ale nech je to tak, popíšem to podrobne:

A tu - pozor! Čitateľ (x-3) som dal do zátvoriek! To všetko preto, že pri násobení zlomkov sa čitateľ násobí úplne, úplne! A výraz x-3 musí byť spracovaný ako jedna integrálna štruktúra. Ale ak napíšete čitateľa takto:

6x – 3,

Ale všetko máme v poriadku a musíme to dotiahnuť do konca. Čo urobiť ďalej? Otvoriť zátvorky v čitateli vľavo? V žiadnom prípade! Vy a ja sme vynásobili obe strany 6, aby sme sa zbavili zlomkov a nemuseli sme sa starať o otváranie zátvoriek. V tejto fáze potrebujeme znížiť naše zlomky. S pocitom hlbokej spokojnosti zredukujeme všetky menovatele a dostaneme rovnicu bez zlomkov v pravítku:

3(x-3) + 6x = 30 – 4x

A teraz je možné otvoriť zostávajúce zátvorky:

3x – 9 + 6x = 30 – 4x

Rovnica je stále lepšia a lepšia! Teraz si znova pripomeňme prvú identickú transformáciu. S rovnou tvárou opakujeme kúzlo z juniorské triedy: s X - doľava, bez X - doprava. A použite túto transformáciu:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Podobné uvádzame vľavo a počítame vpravo:

13x = 39

Zostáva vydeliť obe časti 13. To znamená, že znova použite druhú transformáciu. Rozdelíme a dostaneme odpoveď:

x = 3

Práca je hotová. Ako vidíte, v tejto rovnici sme museli použiť prvú transformáciu raz (prenos členov) a druhú dvakrát: na začiatku riešenia sme použili násobenie (6), aby sme sa zbavili zlomkov a na konci riešenia sme použili delenie (13), aby sme sa zbavili koeficientu pred X. A riešenie akejkoľvek (áno, akejkoľvek!) lineárnej rovnice pozostáva z kombinácie tých istých transformácií v jednej alebo druhej postupnosti. Odkiaľ presne začať - odkiaľ konkrétna rovnica závisí. Na niektorých miestach je výhodnejšie začať s prevodom a na iných (ako v tomto príklade) s násobením (alebo delením).

Pracujeme od jednoduchých po zložité. Uvažujme teraz o úplnej krutosti. S kopou zlomkov a zátvoriek. A poviem vám, ako sa nepreťažovať.)

Napríklad tu je rovnica:

Chvíľu sa pozeráme na rovnicu, sme zdesení, ale stále sa dávame dokopy! Hlavným problémom je, kde začať? Na pravej strane môžete pridať zlomky. Zlomky v zátvorkách môžete odčítať. Obidve časti môžete niečím vynásobiť. Alebo rozdeliť... Čo je teda ešte možné? Odpoveď: Všetko je možné! Matematika nezakazuje žiadnu z uvedených činností. A bez ohľadu na to, akú postupnosť akcií a premien zvolíte, odpoveď bude vždy rovnaká – tá správna. Pokiaľ, samozrejme, v niektorom kroku neporušíte identitu svojich premien a tým nevytvoríte chyby...

A aby nedošlo k omylu, v takých sofistikovaných príkladoch, ako je tento, je vždy najužitočnejšie to zhodnotiť vzhľad a v duchu si ujasnite: čo sa dá v príklade urobiť, aby maximálne zjednodušiť to v jednom kroku?

Tak poďme na to prísť. Vľavo sú v menovateloch šestky. Mne osobne sa nepáčia a veľmi ľahko sa odstraňujú. Dovoľte mi vynásobiť obe strany rovnice 6! Potom sa šestky vľavo úspešne zmenšia, zlomky v zátvorkách zatiaľ nikam nepôjdu. No to je v poriadku. Budeme sa im venovať trochu neskôr.) Ale napravo máme menovateľov 2 a 3 anulujúcich. Práve touto akciou (vynásobením 6) dosiahneme maximálne zjednodušenia v jednom kroku!

Po vynásobení bude celá naša rovnica zla vyzerať takto:

Ak presne nerozumiete, ako táto rovnica vznikla, potom ste dobre nepochopili analýzu predchádzajúceho príkladu. A mimochodom, snažil som sa...

Takže prezradíme:

Teraz by najlogickejším krokom bolo izolovať zlomky na ľavej strane a poslať 5x na pravú stranu. Zároveň si podobné predstavíme na pravej strane. Dostaneme:

Už oveľa lepšie. Teraz sa ľavá strana pripravila na násobenie. Čím máme vynásobiť ľavú stranu, aby sa zmenšila päťka aj štvorka naraz? Dňa 20! Ale máme aj nevýhody na oboch stranách rovnice. Preto bude najvýhodnejšie vynásobiť obe strany rovnice nie 20, ale -20. Potom jedným ťahom zmiznú mínusy aj zlomky.

Takže vynásobíme:

Každý, kto stále nerozumie tomuto kroku, znamená, že problém nie je v rovniciach. Problémy sú v základoch! Ešte raz si pripomeňme Zlaté pravidlo otváracie zátvorky:

Ak je číslo vynásobené nejakým výrazom v zátvorkách, potom toto číslo musí byť postupne vynásobené každým výrazom práve tohto výrazu. Navyše, ak je číslo kladné, znaky výrazov sa po expanzii zachovajú. Ak je záporný, zmeňte ho na opak:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Naše mínusy zmizli po vynásobení oboch strán -20. A teraz vynásobíme zátvorky so zlomkami vľavo celkom kladné číslo 20. Preto pri otvorení týchto zátvoriek sa zachovajú všetky znaky, ktoré boli v nich. Ale odkiaľ pochádzajú zátvorky v čitateloch zlomkov, som už podrobne vysvetlil v predchádzajúcom príklade.

Teraz môžete znížiť zlomky:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

Otvorte zostávajúce zátvorky. Opäť to odhaľujeme správne. Prvé zátvorky sú vynásobené kladným číslom 4, a preto sa pri otvorení zachovajú všetky znamienka. Ale druhé zátvorky sú vynásobené negatívnečíslo je -5, a preto sú všetky znamienka obrátené:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

Zostávajú len maličkosti. S X vľavo, bez X vpravo:

-20x – 15x = 20 – 10 – 12

-35x = -2

To je skoro všetko. Naľavo potrebujete čisté X, ale v ceste stojí číslo -35. Obe strany teda vydelíme (-35). Dovoľte mi pripomenúť, že druhá transformácia identity nám umožňuje znásobiť a rozdeliť obe strany Hocičočíslo. Vrátane negatívnych.) Pokiaľ to nie je nula! Neváhajte a rozdeľte a získajte odpoveď:

X = 2/35

Tentokrát sa X ukázalo ako zlomkové. Je to v poriadku. Taký príklad.)

Ako vidíme, princíp riešenia lineárnych rovníc (aj tých najkomplikovanejších) je celkom jednoduchý: vezmeme pôvodnú rovnicu a pomocou identických transformácií ju postupne zjednodušujeme, až kým nedostaneme odpoveď. So základmi, samozrejme! Hlavnými problémami sú práve nedodržanie základov (napríklad pred zátvorkami je mínus a pri rozširovaní zabudli zmeniť znamienka), ako aj v banálnej aritmetike. Nezanedbávajte teda základy! Sú základom všetkej ostatnej matematiky!

Niekoľko zábavných vecí, ktoré môžete robiť pri riešení lineárnych rovníc. Alebo špeciálne príležitosti.

Všetko by bolo v poriadku. Avšak... Medzi lineárnymi rovnicami sú aj také vtipné skvosty, ktoré vás pri ich riešení môžu priviesť do silnej strnulosti. Dokonca vynikajúci študent.)

Napríklad, tu je neškodne vyzerajúca rovnica:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Široko zívajúc a mierne znudení zbierame všetky X naľavo a všetky čísla napravo:

7x-4x-3x = 5-2-3

Uvádzame podobné, spočítajte a získajte:

0 = 0

To je všetko! Uviedol som príklad triku! Táto rovnosť sama o sebe nevyvoláva žiadne námietky: nula sa skutočne rovná nule. Ale X chýba! Bez stopy! A v odpovedi musíme napísať, prečo rovné x . Inak sa rozhodnutie nepočíta, áno.) Čo robiť?

Nerobte paniku! V takýchto neštandardných prípadoch najviac všeobecné pojmy a princípy matematiky. čo je rovnica? Ako riešiť rovnice? Čo znamená vyriešiť rovnicu?

Riešiť rovnicu znamená nájsť Všetky hodnoty premennej x, do ktorej pri dosadení originálny rovnica nám dá správnu rovnosť (identitu)!

Ale máme skutočnú rovnosť už sa to stalo! 0=0, alebo skôr nikde!) Môžeme len hádať, koľko X dostaneme túto rovnosť. Aké X môžu byť nahradené originálny rovnica, ak po substitúcii všetky budú stále znížené na nulu? Ešte ste na to neprišli?

Určite! X môžu byť nahradené akýkoľvek!!! Absolútne akékoľvek. Odošlite čokoľvek chcete. Aspoň 1, aspoň -23, aspoň 2,7 - čokoľvek! Stále sa budú zmenšovať a v dôsledku toho zostane čistá pravda. Vyskúšajte, nahraďte a uvidíte sami.)

Tu je vaša odpoveď:

x – ľubovoľné číslo.

Vo vedeckej notácii je táto rovnosť napísaná takto:

Tento záznam znie takto: "X je akékoľvek reálne číslo."

Alebo v inej forme, v intervaloch:

Navrhnite si ho tak, ako sa vám najviac páči. Toto je správna a úplne úplná odpoveď!

Teraz zmením len jedno číslo v našej pôvodnej rovnici. Teraz vyriešme túto rovnicu:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x – 2

Opäť prenášame podmienky, počítame a dostávame:

7x – 4x – 3x = 5 – 2 – 2

0 = 1

A čo si myslíte o tomto vtipe? Existovala obyčajná lineárna rovnica, no stala sa z nej nepochopiteľná rovnosť

0 = 1…

Vedecky povedané, máme falošná rovnosť. Ale v ruštine to nie je pravda. Hovadina. Nezmysel.) Pretože nula sa v žiadnom prípade nerovná jednotke!

A teraz znova zistíme, aký druh X nám dá, keď sa dosadí do pôvodnej rovnice skutočná rovnosť? Ktoré? Ale žiadny! Bez ohľadu na to, aké X nahradíte, všetko sa aj tak skráti a všetko zostane na hovno.)

Tu je odpoveď: žiadne riešenia.

IN matematický zápis takáto odpoveď má takýto formát:

Znie: "X patrí do prázdnej množiny."

Takéto odpovede sa v matematike vyskytujú pomerne často: nie vždy majú rovnice v princípe korene. Niektoré rovnice nemusia mať vôbec korene. Vôbec.

Tu sú dve prekvapenia. Dúfam, že teraz náhle zmiznutie X z rovnice vás nenechá navždy zmätenými. Toto je celkom známe.)

A potom počujem logickú otázku: budú na OGE alebo na Jednotnú štátnu skúšku? Na samotnú jednotnú štátnu skúšku ako úlohu - č. Príliš jednoduché. Ale v OGE alebo v slovných úlohách - jednoducho! Takže teraz poďme trénovať a rozhodnúť sa:

Odpovede (v neporiadku): -2; -1; akékoľvek číslo; 2; žiadne riešenia; 7/13.

Všetko vyšlo? Skvelé! Na skúške máte veľkú šancu.

Niečo sa nesčíta? Hm... Smútok, samozrejme. To znamená, že ešte niekde sú medzery. Buď v základoch, alebo v identických premenách. Alebo je to len otázka jednoduchej nepozornosti. Prečítajte si lekciu znova. Pretože toto nie je téma, ktorá sa v matematike tak ľahko zaobíde...

Veľa štastia! Určite sa na teba usmeje, ver mi!)

Návrat