Prilikom rješavanja različitih problema geometrije, mehanike, fizike i drugih grana znanja pojavila se potreba da se iz ove funkcije koristi isti analitički proces. y=f(x) dobiti novu funkciju koja se zove derivirajuća funkcija(ili jednostavno derivacija) date funkcije f(x) i označen je simbolom

Proces kojim iz date funkcije f(x) nabavite novu funkciju f" (x), zvao diferencijaciju a sastoji se od sljedeća tri koraka: 1) dati argument x prirast  x i odredite odgovarajući prirast funkcije  y = f(x+ x) -f(x); 2) uspostaviti vezu

3) brojanje x konstantan i  x0, nalazimo
, koje označavamo sa f" (x), kao da naglašava da rezultirajuća funkcija ovisi samo o vrijednosti x, na kojoj idemo do granice. Definicija: Derivat y " =f " (x) data funkcija y=f(x) za dati x naziva se granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, pod uslovom da prirast argumenta teži nuli, ako, naravno, ova granica postoji, tj. konačan. dakle,
, ili

Imajte na umu da ako za neku vrijednost x, na primjer kada x=a, stav
at  x0 ne teži konačnoj granici, onda u ovom slučaju kažu da je funkcija f(x) at x=a(ili u tački x=a) nema izvod ili nije diferencibilan u tački x=a.

2. Geometrijsko značenje izvedenice.

Razmotrimo graf funkcije y = f (x), diferencibilne u blizini tačke x 0

f(x)

Razmotrimo proizvoljnu pravu liniju koja prolazi kroz tačku na grafu funkcije - tačku A(x 0, f (x 0)) i seče graf u nekoj tački B(x;f(x)). Takva prava (AB) se naziva sekansa. Od ∆ABC: ​​AC = ∆x; VS =∆u; tgβ=∆y/∆x.

Budući da AC || Ox, zatim ALO = BAC = β (kao što odgovara za paralelu). Ali ALO je ugao nagiba sekante AB prema pozitivnom smjeru ose Ox. To znači tanβ = k - nagib ravno AB.

Sada ćemo smanjiti ∆x, tj. ∆h→ 0. U ovom slučaju, tačka B će se približiti tački A prema grafu, a sekansa AB će se rotirati. Granični položaj sekante AB na ∆x→ 0 bit će prava linija (a), nazvana tangenta na graf funkcije y = f (x) u tački A.

Ako idemo na granicu kao ∆x → 0 u jednakosti tgβ =∆y/∆x, dobićemo
ortg =f "(x 0), pošto
-ugao nagiba tangente na pozitivan pravac ose Ox
, po definiciji derivata. Ali tg = k je ugaoni koeficijent tangente, što znači k = tg = f "(x 0).

Dakle, geometrijsko značenje derivacije je sljedeće:

Derivat funkcije u tački x 0 jednak nagibu tangente na graf funkcije nacrtane u tački sa apscisom x 0 .

3. Fizičko značenje izvedenice.

Razmotrimo kretanje tačke duž prave linije. Neka je data koordinata tačke u bilo kom trenutku x(t). Poznato je (iz kursa fizike) da je prosječna brzina u određenom vremenskom periodu jednaka odnosu pređenog puta u tom vremenskom periodu i vremena, tj.

Vav = ∆x/∆t. Idemo do granice u posljednjoj jednakosti kao ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - trenutnu brzinu u trenutku t 0, ∆t → 0.

i lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (po definiciji derivacije).

Dakle, (t) =x"(t).

Fizičko značenje izvoda je sljedeće: izvod funkcijey = f(x) u tačkix 0 je stopa promjene funkcijef(x) u tačkix 0

Izvod se koristi u fizici za pronalaženje brzine iz poznate funkcije koordinata u odnosu na vrijeme, ubrzanje iz poznate funkcije brzine u odnosu na vrijeme.

(t) = x"(t) - brzina,

a(f) = "(t) - ubrzanje, ili

Ako je poznat zakon kretanja materijalne tačke u krugu, onda se može pronaći ugaona brzina i ugaono ubrzanje tokom rotacionog kretanja:

φ = φ(t) - promjena ugla tokom vremena,

ω = φ"(t) - ugaona brzina,

ε = φ"(t) - kutno ubrzanje, ili ε = φ"(t).

Ako je poznat zakon raspodjele mase nehomogenog štapa, tada se može pronaći linearna gustina nehomogenog štapa:

m = m(x) - masa,

x  , l - dužina štapa,

p = m"(x) - linearna gustina.

Koristeći derivaciju, rješavaju se problemi iz teorije elastičnosti i harmonijskih vibracija. Dakle, prema Hookeovom zakonu

F = -kx, x – varijabilna koordinata, k – koeficijent elastičnosti opruge. Stavljajući ω 2 =k/m, dobijamo diferencijalnu jednačinu opružnog klatna x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

gdje je ω = √k/√m frekvencija oscilovanja (l/c), k - krutost opruge (H/m).

Jednačina oblika y" + ω 2 y = 0 naziva se jednadžba harmonijskih oscilacija (mehaničkih, električnih, elektromagnetskih). Rješenje takvih jednačina je funkcija

y = Asin(ωt + φ 0) ili y = Acos(ωt + φ 0), gdje je

A - amplituda oscilacija, ω - ciklična frekvencija,

φ 0 - početna faza.

Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema nalaženja izvoda najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tabela derivacija i tačno određena pravila diferencijaciju. Prvi koji su radili na polju pronalaženja derivata bili su Isak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Stoga, u naše vrijeme, da biste pronašli izvod bilo koje funkcije, ne morate izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već samo trebate koristiti tablicu derivati ​​i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je pogodan za pronalaženje izvoda.

Da nađemo derivat, potreban vam je izraz pod predznakom rastaviti jednostavne funkcije na komponente i odredite koje akcije (proizvod, zbir, količnik) ove funkcije su povezane. Dalji derivati elementarne funkcije nalazimo u tabeli izvoda, a formule za izvode proizvoda, zbira i količnika su u pravilima diferencijacije. Izvodna tablica i pravila diferencijacije dati su nakon prva dva primjera.

Primjer 1. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Iz pravila diferencijacije saznajemo da je derivacija zbira funkcija zbir izvoda funkcija, tj.

Iz tabele izvoda saznajemo da je izvod "x" jednak jedan, a izvod sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbir derivacija i pronalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Razlikujemo kao derivaciju sume u kojoj drugi član ima konstantan faktor; može se izvaditi iz predznaka izvoda:

Ako se i dalje postavljaju pitanja o tome odakle nešto dolazi, obično se razjasne nakon što se upoznate s tablicom izvedenica i najjednostavnijim pravilima diferencijacije. Prelazimo na njih upravo sada.

Tablica izvoda jednostavnih funkcija

1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek jednako nuli. Ovo je veoma važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno
2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "X". Uvek jednako jedan. Ovo je takođe važno zapamtiti dugo vremena
3. Derivat stepena. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u potencije.
4. Derivat varijable na stepen -1
5. Derivat kvadratni korijen
6. Derivat sinusa
7. Derivat kosinusa
8. Derivat tangente
9. Derivat kotangensa
10. Derivat od arcsinusa
11. Derivat arkosinusa
12. Derivat arktangensa
13. Derivat arc kotangensa
14. Derivat prirodnog logaritma
15. Derivat logaritamske funkcije
16. Derivat eksponenta
17. Derivat eksponencijalne funkcije

Pravila diferencijacije

1. Derivat zbira ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom
3. Derivat količnika
4. Derivat kompleksne funkcije

Pravilo 1.Ako funkcije

su diferencibilne u nekoj tački, onda su funkcije diferencibilne u istoj tački

i

one. izvod algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencijabilne funkcije razlikuju po konstantnom članu, onda su njihovi derivati ​​jednaki, tj.

Pravilo 2.Ako funkcije

su diferencibilni u nekom trenutku, onda je njihov proizvod diferencibilan u istoj tački

i

one. Izvod proizvoda dvije funkcije jednak je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i derivacije druge.

Zaključak 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:

Zaključak 2. Derivat proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbroju proizvoda izvoda svakog faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3.Ako funkcije

diferenciran u nekom trenutku I , onda je u ovom trenutku njihov količnik također diferenciranu/v , i

one. izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a nazivnik je kvadrat od bivši brojilac.

Gdje tražiti stvari na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja derivacije proizvoda i količnika u stvarnim problemima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, stoga više primjera za ove derivate - u članku"Derivat proizvoda i količnik funkcija".

Komentar. Ne treba brkati konstantu (tj. broj) kao pojam u zbiru i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana, njegov izvod je jednak nuli, a u slučaju konstantnog faktora uzet je iz predznaka izvoda. Ovo tipična greška, koji se javlja na početna faza proučavaju izvedenice, ali kako rješavaju nekoliko jednodijelnih i dvodijelnih primjera, prosječan student više ne pravi ovu grešku.

I ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, u kojem u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i, prema tome, cijeli član će biti jednak nuli (ovaj slučaj je razmatran u primjeru 10).

Ostalo uobičajena greška - mehaničko rješenje derivacija složene funkcije kao derivacija jednostavne funkcije. Zbog toga derivat kompleksne funkcije posvećen je poseban članak. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnik u novim prozorima. Akcije sa moćima i korijenima I Operacije sa razlomcima .

Ako tražite rješenja za izvode razlomaka sa potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda kao , zatim slijedi lekcija "Izvod zbira razlomaka sa potencijama i korijenima."

Ako imate zadatak kao , onda ćete uzeti lekciju “Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija”.

Korak po korak primjeri - kako pronaći derivat

Primjer 3. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Definiramo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja proizvod, a njegovi faktori su zbroji, u drugom od kojih jedan od pojmova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija derivacijom druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbira: derivacija algebarskog zbira funkcija jednaka je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbiru drugi član ima predznak minus. U svakom zbiru vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "X" se pretvara u jedan, a minus 5 u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi sa 2, tako da množimo dva sa istom jedinicom kao izvod "x". Dobijamo sljedeće derivacijske vrijednosti:

Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbir proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

Primjer 4. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Od nas se traži da pronađemo izvod količnika. Primjenjujemo formulu za diferenciranje količnika: izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku, čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda od nazivnik, a imenilac je kvadrat prethodnog brojnika. Dobijamo:

Već smo pronašli derivaciju faktora u brojiocu u primjeru 2. Ne zaboravimo također da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet sa predznakom minus:

Ako tražite rješenja za probleme u kojima trebate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i potencija, kao što je npr. , onda dobro došli na čas "Derivat zbira razlomaka sa potencijama i korijenima" .

Ako trebate naučiti više o derivatima sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijske funkcije, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda lekcija za vas "Derivati ​​jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo proizvod čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, čiji smo izvod upoznali u tabeli derivacija. Koristeći pravilo za razlikovanje proizvoda i tabelarne vrijednosti izvoda kvadratnog korijena, dobijamo:

Primjer 6. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo količnik čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Koristeći pravilo diferencijacije količnika, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarne vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobijamo:

Da biste se riješili razlomka u brojniku, pomnožite brojilac i imenilac sa .

Derivat funkcije jedne varijable.

Uvod.

Real metodološki razvoj namenjen studentima Industrijsko-građevinskog fakulteta. Sastavljeni su u odnosu na program predmeta matematika u dijelu „Diferencijalni račun funkcija jedne varijable“.

Razvoj predstavlja jedinstven metodološki vodič, uključujući: kratke teorijske informacije; „standardni“ problemi i vježbe sa detaljnim rješenjima i objašnjenjima za ta rješenja; opcije testiranja.

Na kraju svakog pasusa nalaze se dodatne vježbe. Ovakva struktura razvoja čini ih pogodnim za samostalno savladavanje sekcije uz minimalnu pomoć nastavnika.

§1. Definicija derivata.

Mehaničko i geometrijsko značenje

derivat.

Koncept derivacije je jedan od najvažnijih koncepata matematičke analize, a nastao je još u 17. veku. Formiranje koncepta derivacije istorijski je povezano s dva problema: problemom brzine naizmjeničnog kretanja i problemom tangente na krivu.

Ovi problemi, uprkos svom različitom sadržaju, dovode do iste matematičke operacije koja se mora izvršiti nad funkcijom.Ova operacija je dobila poseban naziv u matematici. To se zove operacija diferencijacije funkcije. Rezultat operacije diferencijacije naziva se derivacija.

Dakle, derivacija funkcije y=f(x) u tački x0 je granica (ako postoji) omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta
at
.

Izvod se obično označava na sljedeći način:
.

Dakle, po definiciji

Simboli se također koriste za označavanje izvedenica
.

Mehaničko značenje izvedenice.

Ako je s=s(t) zakon pravolinijskog kretanja materijalne tačke, onda
je brzina ove tačke u trenutku t.

Geometrijsko značenje derivat.

Ako funkcija y=f(x) ima izvod u tački , zatim kutni koeficijent tangente na graf funkcije u tački
jednaki
.

Primjer.

Pronađite izvod funkcije
u tački =2:

1) Hajde da poentiramo =2 prirasta
. Primetite, to.

2) Pronađite prirast funkcije u tački =2:

3) Kreirajmo omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta:

Nađimo granicu omjera na
:

.

dakle,
.

§ 2. Derivati ​​nekih

najjednostavnije funkcije.

Učenik treba da nauči kako izračunati izvode određenih funkcija: y=x,y= i generalno= .

Nađimo derivaciju funkcije y=x.

one. (x)′=1.

Nađimo derivaciju funkcije

Derivat

Neka
Onda

Lako je uočiti obrazac u izrazima za izvode funkcije stepena
sa n=1,2,3.

dakle,

. (1)

Ova formula vrijedi za bilo koje realno n.

Konkretno, koristeći formulu (1), imamo:

;

.

Primjer.

Pronađite izvod funkcije

.

.

Ova funkcija je poseban slučaj funkcije oblika

at
.

Koristeći formulu (1), imamo

.

Derivati ​​funkcija y=sin x i y=cos x.

Neka je y=sinx.

Podijelimo sa ∆x, dobijamo

Prelaskom do granice na ∆x→0, imamo

Neka je y=cosx.

Prelaskom na granicu na ∆x→0, dobijamo

;
. (2)

§3. Osnovna pravila diferencijacije.

Razmotrimo pravila diferencijacije.

Teorema1 . Ako su funkcije u=u(x) i v=v(x) diferencijabilne u datoj tački x, onda je njihov zbir u ovoj tački diferencibilan, a derivacija zbira jednaka je zbiru izvoda članova : (u+v)"=u"+v".(3 )

Dokaz: razmotrite funkciju y=f(x)=u(x)+v(x).

Povećanje ∆x argumenta x odgovara inkrementima ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) funkcija u i v. Tada će se funkcija y povećati

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

dakle,

Dakle, (u+v)"=u"+v".

Teorema2. Ako su funkcije u=u(x) i v=v(x) diferencibilne u datoj tački x, onda je njihov proizvod diferencibilan u istoj tački. U ovom slučaju, derivacija proizvoda se nalazi po sljedećoj formuli: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

Dokaz: Neka je y=uv, gdje su u i v neke diferencijabilne funkcije od x. Dajmo x inkrement od ∆x; tada će u dobiti povećanje od ∆u, v će dobiti povećanje od ∆v, a y će dobiti povećanje od ∆y.

Imamo y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), ili

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Dakle, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Odavde

Prelazeći na granicu na ∆x→0 i uzimajući u obzir da u i v ne zavise od ∆x, imaćemo

Teorema 3. Izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku čiji je nazivnik jednak kvadratu djelitelja, a brojnik je razlika između umnoška izvoda dividende i djelitelja i umnožaka djelitelja. dividenda i derivacija djelitelja, tj.

Ako
To
(5)

Teorema 4. Derivat konstante je nula, tj. ako je y=C, gdje je C=const, tada je y"=0.

Teorema 5. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije, tj. ako je y=Cu(x), gdje je S=const, tada je y"=Cu"(x).

Primjer 1.

Pronađite izvod funkcije

.

Ova funkcija ima oblik
, gdje je u=x,v=cosx. Primjenom pravila diferencijacije (4) nalazimo

.

Primjer 2.

Pronađite izvod funkcije

.

Primijenimo formulu (5).

Evo
;
.

Zadaci.

Pronađite izvode sljedećih funkcija:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Šta je derivat?
Definicija i značenje derivirane funkcije

Mnogi će biti iznenađeni neočekivanim smještajem ovog članka u moj autorski kurs o derivaciji funkcije jedne varijable i njenim primjenama. Uostalom, kao što je bilo još od škole: standardni udžbenik prije svega daje definiciju izvedenice, njeno geometrijsko, mehaničko značenje. Zatim učenici pronalaze derivate funkcija po definiciji i, zapravo, tek tada usavršavaju tehniku ​​diferencijacije koristeći derivativne tabele.

Ali sa moje tačke gledišta, sledeći pristup je pragmatičniji: pre svega, preporučljivo je DOBRO RAZUMEVATI granica funkcije, a posebno, beskonačno male količine. Činjenica je da definicija derivata je zasnovana na konceptu granice, što se slabo razmatra u školskom kursu. Zato značajan dio mladih potrošača granita znanja ne razumije samu suštinu derivata. Dakle, ako imate malo znanja o diferencijalnom računu ili imate mudar mozak za duge godine uspješno se riješio ovog prtljaga, počnite s ograničenja funkcije. Istovremeno, savladajte/zapamtite njihovo rješenje.

Isti praktični smisao nalaže da je prvo korisno naučite pronaći derivate, uključujući derivati ​​složenih funkcija. Teorija je teorija, ali, kako kažu, uvijek se želi razlikovati. S tim u vezi, bolje je proraditi kroz navedene osnovne lekcije, a možda majstor diferencijacije a da nisu ni shvatili suštinu svojih postupaka.

Preporučujem da počnete s materijalima na ovoj stranici nakon čitanja članka. Najjednostavniji problemi sa izvedenicama, gdje se posebno razmatra problem tangente na graf funkcije. Ali možete čekati. Činjenica je da mnoge primjene izvedenice ne zahtijevaju njeno razumijevanje, i nije iznenađujuće da se teorijska lekcija pojavila prilično kasno - kada sam trebao objasniti pronalaženje rastućih/opadajućih intervala i ekstrema funkcije. Štaviše, bio je na toj temi dosta dugo. Funkcije i grafovi“, sve dok konačno nisam odlučio da to stavim ranije.

Stoga, dragi čajnici, nemojte žuriti da upijate esenciju derivata poput gladnih životinja, jer će zasićenje biti neukusno i nepotpuno.

Koncept povećanja, smanjenja, maksimuma, minimuma funkcije

Mnogi nastavna sredstva doveo do koncepta derivata koristeći neke praktične probleme, a ja sam također došao do toga zanimljiv primjer. Zamislite da nam predstoji put do grada do kojeg se može doći na različite načine. Hajdemo odmah da odbacimo zakrivljene vijugave staze i razmotrimo samo ravne autoputeve. Međutim, pravolinijski pravci su takođe različiti: do grada možete stići glatkim autoputem. Ili uz brdovitu magistralu - gore-dolje, gore-dolje. Drugi put ide samo uzbrdo, a drugi stalno nizbrdo. Ekstremni entuzijasti će izabrati rutu kroz klisuru sa strmom liticom i strmim usponom.

Ali bez obzira na vaše preferencije, preporučljivo je znati područje ili ga barem locirati topografska karta. Šta ako takve informacije nedostaju? Uostalom, možete odabrati, na primjer, glatku stazu, ali kao rezultat naići na skijašku stazu s veselim Fincima. Nije činjenica da će navigator ili čak satelitski snimak pružiti pouzdane podatke. Stoga bi bilo lijepo formalizirati reljef puta pomoću matematike.

Pogledajmo neki put (pogled sa strane):

Za svaki slučaj, podsjećam vas na elementarnu činjenicu: putovanja se dešavaju s lijeva na desno. Radi jednostavnosti, pretpostavljamo da je funkcija kontinuirano na području koje se razmatra.

Koje su karakteristike ovog rasporeda?

U intervalima funkcija povećava, odnosno svaku sledeću njegovu vrednost više prethodni. Grubo govoreći, raspored je u toku dole gore(penjemo se na brdo). I na intervalu funkcija smanjuje se– svaka sljedeća vrijednost manje prethodni, a naš raspored je u toku odozgo prema dolje(spuštamo se niz padinu).

Obratimo pažnju i na posebne tačke. Na tački do koje stižemo maksimum, to je postoji takav dio putanje gdje će vrijednost biti najveća (najviša). U istom trenutku to se postiže minimum, And postoji njegovu okolinu u kojoj je vrijednost najmanja (najniža).

U nastavi ćemo pogledati strožiju terminologiju i definicije. o ekstremima funkcije, ali za sada proučimo još jednu važna karakteristika: u intervalima funkcija se povećava, ali se povećava različitim brzinama. I prva stvar koja vam upada u oči je da graf raste u toku intervala mnogo kul, nego na intervalu . Da li je moguće izmjeriti strminu puta pomoću matematičkih alata?

Brzina promjene funkcije

Ideja je sledeća: hajde da uzmemo neku vrednost (čitaj "delta x"), koje ćemo nazvati povećanje argumenta, i počnimo "isprobavati" na različitim točkama na našem putu:

1) Pogledajmo krajnju lijevu tačku: prelazeći razdaljinu, penjemo se uz padinu do visine (zelena linija). Količina se zove prirast funkcije, i u u ovom slučaju ovaj prirast je pozitivan (razlika u vrijednostima duž ose je Iznad nule). Hajde da napravimo omjer koji će biti mjera strmine našeg puta. Očigledno, ovo je vrlo specifičan broj, a budući da su oba prirasta pozitivna, onda .

Pažnja! Oznake su JEDAN simbol, to jest, ne možete "otkinuti" "deltu" od "X" i razmotriti ova slova odvojeno. Naravno, komentar se odnosi i na simbol povećanja funkcije.

Istražimo prirodu rezultujućeg razlomka smislenije. Budimo u početku na visini od 20 metara (na lijevoj crnoj tački). Prešavši udaljenost od metara (lijeva crvena linija), naći ćemo se na visini od 60 metara. Tada će inkrement funkcije biti metara (zelena linija) i: . dakle, na svakom metru ovom dijelu puta visina se povećava prosjek za 4 metra...zaboravio si opremu za penjanje? =) Drugim riječima, konstruirani odnos karakterizira PROSJEČNU STOPU PROMJENE (u ovom slučaju rast) funkcije.

Bilješka : Numeričke vrijednosti dotičnog primjera odgovaraju samo proporcijama crteža.

2) Sada idemo na istu udaljenost od krajnje desne crne tačke. Ovdje je porast postupniji, tako da je prirast (crvena linija) relativno mali, a omjer u odnosu na prethodni slučaj će biti vrlo skroman. Relativno govoreći, metara i stopa rasta funkcije je . Odnosno, ovdje ima za svaki metar staze prosjek pola metra uspona.

3) Mala avantura na planini. Pogledajmo vrh crna tačka, koji se nalazi na osi ordinata. Pretpostavimo da je ovo oznaka od 50 metara. Ponovo savladavamo udaljenost, zbog čega se nalazimo niže - na nivou od 30 metara. S obzirom da je pokret izveden odozgo prema dolje(u "kontra" smjeru ose), zatim konačni prirast funkcije (visine) će biti negativan: metara (smeđi segment na crtežu). A u ovom slučaju već govorimo stopa smanjenja Karakteristike: , odnosno za svaki metar puta ove dionice visina se smanjuje prosjek za 2 metra. Vodite računa o svojoj odjeći na petoj tački.

Postavimo sebi pitanje: koju vrijednost “mjernog standarda” je najbolje koristiti? Potpuno je razumljivo, 10 metara je jako grubo. Na njih može lako stati desetak humoka. Zašto ima izbočina, možda ih ima dolje? duboka klisura, a nakon nekoliko metara - njegova druga strana sa daljnjim strmim usponom. Dakle, sa deset metara nećemo dobiti razumljiv opis ovakvih dionica puta kroz omjer .

Iz gornje rasprave slijedi sljedeći zaključak: kako manje vrijednosti , što preciznije opisujemo topografiju puta. Štaviše, istinite su sljedeće činjenice:

– Za bilo koga tačke podizanja možete odabrati vrijednost (čak i ako je vrlo mala) koja se uklapa u granice određenog porasta. To znači da će odgovarajući prirast visine biti zajamčeno pozitivan, a nejednakost će ispravno ukazati na rast funkcije u svakoj tački ovih intervala.

- Isto tako, za bilo koji tačka nagiba postoji vrijednost koja će u potpunosti stati na ovu padinu. Prema tome, odgovarajuće povećanje visine je jasno negativno, a nejednakost će ispravno pokazati smanjenje funkcije u svakoj tački datog intervala.

– Posebno je zanimljiv slučaj kada je brzina promjene funkcije nula: . Prvo, nulti porast visine () je znak glatke putanje. I drugo, postoje i druge zanimljive situacije čije primjere vidite na slici. Zamislite da nas je sudbina dovela do samog vrha brda sa orlovima koji lebde ili na dno jaruge sa graktanjem žaba. Ako napravite mali korak u bilo kojem smjeru, promjena visine će biti zanemariva, a možemo reći da je stopa promjene funkcije zapravo nula. Upravo je to slika koja je uočena na tačkama.

Tako smo došli do nevjerovatne prilike da savršeno precizno okarakteriziramo brzinu promjene funkcije. Nakon svega matematička analiza omogućava vam da usmjerite povećanje argumenta na nulu: , to jest, napravite ga infinitezimal.

Kao rezultat toga, postavlja se još jedno logično pitanje: da li je moguće pronaći cestu i njen raspored druga funkcija, koji će nas obavijestiti o svim ravnim dijelovima, usponima, padovima, vrhovima, dolinama, kao i stopi rasta/padanja na svakoj tački na putu?

Šta je derivat? Definicija derivata.
Geometrijsko značenje derivacije i diferencijala

Pročitajte pažljivo i ne prebrzo - materijal je jednostavan i dostupan svima! U redu je ako na nekim mjestima nešto nije jasno, uvijek se možete vratiti na članak kasnije. Reći ću više, korisno je proučiti teoriju nekoliko puta kako bi se sve stvari temeljno razumjele (savjet je posebno relevantan za „tehničare“ studente koji imaju višu matematiku igra značajnu ulogu u obrazovnom procesu).

Naravno, u samoj definiciji derivacije u jednoj tački zamjenjujemo je sa:

Do čega smo došli? I došli smo do zaključka da za funkciju po zakonu je u skladu druga funkcija, koji se zove derivirajuća funkcija(ili jednostavno derivat).

Izvod karakteriše stopa promjene funkcije Kako? Ideja teče kao crvena nit od samog početka članka. Hajde da razmotrimo neku tačku domenu definicije funkcije Neka je funkcija diferencibilna u datoj tački. onda:

1) Ako , tada funkcija raste u točki . I očigledno postoji interval(čak i vrlo mali), koji sadrži tačku u kojoj funkcija raste, a njen graf ide „odozdo prema vrhu“.

2) Ako , tada funkcija opada u točki . I postoji interval koji sadrži tačku u kojoj funkcija opada (grafikon ide od vrha do dna).

3) Ako , onda beskonačno blizu blizu tačke funkcija održava konstantnu brzinu. To se događa, kao što je navedeno, sa konstantnom funkcijom i na kritičnim tačkama funkcije, posebno na minimalnim i maksimalnim tačkama.

Malo semantike. Šta znači glagol „diferencirati“ u širem smislu? Razlikovati znači istaknuti osobinu. Diferenciranjem funkcije „izoliramo“ stopu njene promjene u obliku derivacije funkcije. Šta, uzgred, znači riječ „derivacija“? Funkcija dogodilo od funkcije.

Pojmovi se vrlo uspješno tumače mehaničkim značenjem izvedenice :
Razmotrimo zakon promjene koordinata tijela, ovisno o vremenu, i funkciju brzine kretanja datog tijela. Funkcija karakterizira brzinu promjene koordinata tijela, stoga je prvi izvod funkcije s obzirom na vrijeme: . Da koncept "pokretanja tijela" ne postoji u prirodi, onda ga ne bi bilo derivat koncept "tjelesne brzine".

Ubrzanje tijela je brzina promjene brzine, dakle: . Da prvobitni koncepti "kretanja tijela" i "brzine tijela" ne postoje u prirodi, onda ne bi postojali derivat koncept “ubrzanja tijela”.

Povratak