Matematički materijal "Brojevi. Prirodni brojevi"

Prirodni brojevi– prirodni brojevi su brojevi koji se koriste za brojanje objekata. Dosta svih prirodni brojevi ponekad se naziva prirodnim nizom: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, itd.

Za pisanje prirodnih brojeva koristi se deset cifara: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Koristeći ih, možete napisati bilo koji prirodan broj. Ovakav zapis brojeva naziva se decimalni.

Prirodni niz brojeva može se nastaviti beskonačno. Nema tog broja koji bi bio posljednji, jer zadnji broj Uvijek možete dodati jedan i dobiti broj koji je već veći od onog koji tražite. U ovom slučaju kažu da ne postoji najveći broj u prirodnom nizu.

Mjesta prirodnih brojeva

Kada pišete bilo koji broj pomoću cifara, kritično je mjesto na kojem se cifra pojavljuje u broju. Na primjer, broj 3 znači: 3 jedinice, ako se pojavljuje na posljednjem mjestu u broju; 3 desetice, ako je ona na pretposljednjem mjestu u broju; 4 stotine ako je na trećem mjestu s kraja.

Posljednja cifra označava mjesto jedinica, pretposljednja cifra označava mjesto desetica, a 3 s kraja označava mjesto stotina.

Jednocifreni i višecifreni brojevi

Ako bilo koja cifra broja sadrži cifru 0, to znači da u ovoj cifri nema jedinica.

Broj 0 se koristi za označavanje broja nula. Nula nije “jedan”.

Nula nije prirodan broj. Iako neki matematičari misle drugačije.

Ako se broj sastoji od jedne cifre naziva se jednocifrenim, ako se sastoji od dve naziva se dvocifrenim, ako se sastoji od tri naziva se trocifrenim itd.

Brojevi koji nisu jednocifreni nazivaju se i višecifrenim.

Klase cifara za čitanje velikih prirodnih brojeva

Za čitanje velikih prirodnih brojeva, broj se dijeli na grupe od tri cifre, počevši od desne ivice. Ove grupe se zovu klase.

Prve tri cifre na desnoj ivici čine klasu jedinica, sljedeće tri su klasu hiljada, a sljedeće tri su klasu miliona.

Milion – hiljadu hiljada se koristi za evidentiranje 1 milion.

Milijarda = hiljadu miliona. Za snimanje koristite skraćenicu milijarda = 1.000.000.000.

Primjer pisanja i čitanja

Ovaj broj ima 15 jedinica u klasi milijardi, 389 jedinica u klasi miliona, nula jedinica u klasi hiljada i 286 jedinica u klasi jedinica.

Ovaj broj glasi ovako: 15 milijardi 389 miliona 286.

Čitajte brojeve s lijeva na desno. Naizmjence pozivajte broj jedinica svake klase, a zatim dodajte naziv klase.

Prirodni brojevi– brojevi koji se koriste za brojanje objekata . Bilo koji prirodan broj može se napisati pomoću desetice brojevi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ova vrsta broja se zove decimalni

Niz svih prirodnih brojeva se zove prirodno pored .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Najviše mala prirodni broj je jedan (1). U prirodnom nizu svaki sljedeći broj je za 1 veći od prethodnog. Prirodne serije beskrajno, u njemu nema najvećeg broja.

Značenje cifre zavisi od njenog mesta u zapisu brojeva. Na primjer, broj 4 znači: 4 jedinice ako je na posljednjem mjestu u zapisu brojeva (na mjestu jedinica); 4 deset, ako je na pretposljednjem mjestu (na mjestu desetica); 4 stotine, ako je na trećem mjestu s kraja (V stotine mesta).

Broj 0 znači odsustvo jedinica ove kategorije u decimalnom zapisu broja Služi i za označavanje broja “. nula" Ovaj broj znači "nema". Rezultat 0:3 na fudbalskoj utakmici znači da prvi tim protivniku nije postigao nijedan gol.

Zero ne uključuju na prirodne brojeve. I zaista, brojanje predmeta nikada ne počinje od nule.

Ako se prikaz prirodnog broja sastoji od jednog znaka – jedna cifra, onda se zove nedvosmisleno. One. nedvosmislenoprirodni broj– prirodni broj čiji se zapis sastoji od jednog znaka – jedna cifra. Na primjer, brojevi 1, 6, 8 su jednocifreni.

Dvocifrenaprirodni broj– prirodni broj, čiji se zapis sastoji od dva znaka – dvije cifre.

Na primjer, brojevi 12, 47, 24, 99 su dvocifreni brojevi.

Takođe, na osnovu broja znakova u datom broju, drugim brojevima se daju imena:

brojevi 326, 532, 893 – trocifreni;

brojevi 1126, 4268, 9999 – četvorocifreni itd.

Dvocifrene, trocifrene, četvorocifrene, petocifrene itd. pozivaju se brojevi višecifrenih brojeva .

Za čitanje višecifrenih brojeva, oni su podijeljeni, počevši s desne strane, u grupe od po tri cifre (krajnja lijeva grupa može se sastojati od jedne ili dvije cifre). Ove grupe se zovu klase.

Milion– ovo je hiljadu hiljada (1000 hiljada), piše 1 milion ili 1.000.000.

Milijardu- to je 1000 miliona. Zapisano je kao 1 milijarda ili 1.000.000.000.

Prve tri cifre na desnoj strani čine klasu jedinica, sljedeće tri – klasu hiljada, zatim slijede klase miliona, milijardi itd. (Sl. 1).

Rice. 1. Klasa miliona, klasa hiljada i klasa jedinica (s lijeva na desno)

Broj 15389000286 upisan je u mrežu bitova (slika 2).

Rice. 2. Bitna mreža: broj 15 milijardi 389 miliona 286

Ovaj broj ima 286 jedinica u klasi jedinica, nula jedinica u klasi hiljada, 389 jedinica u klasi miliona i 15 jedinica u klasi milijardi.

Prirodni brojevi se mogu koristiti za brojanje (jedna jabuka, dvije jabuke, itd.)

Prirodni brojevi(od lat. naturalis- prirodni; prirodni brojevi) - brojevi koji nastaju prirodno pri brojanju (na primjer, 1, 2, 3, 4, 5...). Niz svih prirodnih brojeva poredanih u rastućem redoslijedu naziva se prirodno pored.

Postoje dva pristupa definiranju prirodnih brojeva:

brojanje (numeracija) stavke ( prvo, drugo, treće, četvrto, peti"…);
prirodni brojevi su brojevi koji nastaju kada oznaka količine stavke ( 0 predmeta, 1 stavka, 2 stavke, 3 stavke, 4 stavke, 5 stavki"...).

U prvom slučaju, niz prirodnih brojeva počinje sa jednom, u drugom - sa nulom. Ne postoji konsenzus među većinom matematičara o tome da li je prvi ili drugi pristup poželjniji (tj. treba li nulu smatrati prirodnim brojem ili ne). Ogromna većina ruskih izvora tradicionalno usvaja prvi pristup. Drugi pristup, na primjer, koristi se u radovima Nicolasa Bourbakija, gdje su prirodni brojevi definirani kao kardinaliteti konačnih skupova.

Negativni i necijeli (racionalni, realni, ...) brojevi se ne smatraju prirodnim brojevima.

Skup svih prirodnih brojeva Uobičajeno je da se označava simbol N (\displaystyle \mathbb (N)) (od lat. naturalis- prirodno). Skup prirodnih brojeva je beskonačan, jer za bilo koji prirodan broj n (\displaystyle n) postoji prirodan broj veći od n (\displaystyle n) .

Prisutnost nule olakšava formuliranje i dokazivanje mnogih teorema u aritmetici prirodnih brojeva, tako da prvi pristup uvodi koristan koncept prošireni prirodni raspon, uključujući nulu. Prošireni niz se označava N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) ili Z 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(0)) .

Aksiomi koji nam omogućavaju da odredimo skup prirodnih brojeva

Peanovi aksiomi za prirodne brojeve

Glavni članak: Peanovi aksiomi

Skup ćemo N (\displaystyle \mathbb (N) ) nazvati skupom prirodnih brojeva ako je neki element fiksan 1 (jedinica) koja pripada N (\displaystyle \mathbb (N) ) (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), i funkciji S (\displaystyle S) s domenom N (\displaystyle \mathbb (N) ) i raspon N (\displaystyle \mathbb (N) ) (nazvan funkcija sukcesije; S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) )) tako da ispunjeni su sljedeći uslovi:

jedan je prirodan broj (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) ));
broj koji slijedi iza prirodnog broja je također prirodan broj (ako je x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) , tada je S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) )) ;
ne slijedi nijedan prirodni broj (∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1)));
ako prirodni broj a (\displaystyle a) odmah slijedi i prirodni broj b (\displaystyle b) i prirodni broj c (\displaystyle c) , tada je b = c (\displaystyle b=c) (ako je S (b) = a (\displaystyle S(b)=a) i S (c) = a (\displaystyle S(c)=a) , zatim b = c (\displaystyle b=c));
(aksiom indukcije) ako je bilo koja rečenica (izjava) P (\displaystyle P) dokazana za prirodni broj n = 1 (\displaystyle n=1) ( indukciona baza) i ako iz pretpostavke da je istina za drugi prirodni broj n (\displaystyle n) , slijedi da je istina za sljedeći prirodni broj (\displaystyle n) ( induktivna hipoteza), onda je ova rečenica istinita za sve prirodne brojeve (neka je P (n) (\displaystyle P(n)) neki jednomjesni (unarni) predikat čiji je parametar prirodni broj n (\displaystyle n). Tada, ako P (1 ) (\displaystyle P(1)) i ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)) ))) , zatim ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

Navedeni aksiomi odražavaju naše intuitivno razumijevanje prirodnog niza i brojevne prave.

Osnovna činjenica je da ovi aksiomi u suštini jedinstveno definišu prirodne brojeve (kategorička priroda Peanoovog sistema aksioma). Naime, može se dokazati (vidi i kratak dokaz) da ako (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) i (N ~ , 1 ~ , S ~) (\ displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S)))) su dva modela za Peano aksiomski sistem, onda su oni nužno izomorfni, tj. je invertibilno preslikavanje (bijekcija) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) tako da je f (1) = 1 ~ (\displaystyle f( 1)=(\tilda (1))) i f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilda (S))(f (x ))) za sve x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) .

Stoga je dovoljno fiksirati kao N (\displaystyle \mathbb (N) ) bilo koji određeni model skupa prirodnih brojeva.

Teorijska definicija prirodnih brojeva (Frege-Russell definicija)

Prema teoriji skupova, jedini objekat za konstruisanje matematički sistemi je set.

Tako se i prirodni brojevi uvode na osnovu koncepta skupa, prema dva pravila:

S (n) = n ∪ ( n ) (\displaystyle S(n)=n\čaša \lijevo\(n\desno\)) .

Brojevi definisani na ovaj način nazivaju se redni.

Opišimo prvih nekoliko rednih brojeva i odgovarajućih prirodnih brojeva:

0 = ∅ (\displaystyle 0=\varnothing ) ;
1 = ( 0 ) = ( ∅ ) (\displaystyle 1=\left\(0\right\)=\left\(\varnothing \right\)) ;
2 = ( 0 , 1 ) = ( ∅ , ( ∅ ) ) (\displaystyle 2=\left\(0,1\right\)=(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \ desno\)(\veliki \))) ;
3 = ( 0 , 1 , 2 ) = ( ∅ , ( ∅ ) , ( ∅ , ( ∅ ) ) ) (\displaystyle 3=\lijevo\(0,1,2\desno\)=(\Big \() \varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\),\;(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\)(\big \))(\Big \) )).

Nula kao prirodan broj

Ponekad se, posebno u stranoj i prevodnoj literaturi, jedan zameni nulom u prvom i trećem Peanovom aksiomu. U ovom slučaju, nula se smatra prirodnim brojem. Kada se definiše kroz klase jednakih skupova, nula je po definiciji prirodan broj. Bilo bi neprirodno to namjerno odbaciti. Osim toga, to bi značajno zakomplikovalo dalju konstrukciju i primjenu teorije, budući da u većini konstrukcija nula, kao i prazan skup, nije nešto zasebno. Još jedna prednost tretiranja nule kao prirodnog broja je ta što N (\displaystyle \mathbb (N)) čini monoidom.

U ruskoj literaturi nula je obično isključena iz broja prirodnih brojeva (0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N) )), a skup prirodnih brojeva sa nulom označava se kao N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0) ) . Ako je nula uključena u definiciju prirodnih brojeva, tada se skup prirodnih brojeva zapisuje kao N (\displaystyle \mathbb (N) ) , a bez nule - kao N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*) ) .

U međunarodnoj matematičkoj literaturi, uzimajući u obzir gore navedeno i kako bi se izbjegle nejasnoće, skup ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\dots \)) obično se naziva skup pozitivnih cijelih brojeva i označava Z + (\displaystyle \ mathbb(Z)_(+)) . Skup ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\dots \)) se često naziva skupom nenegativnih cijelih brojeva i označava se sa Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _( \geqslant 0)) .

Položaj skupa prirodnih brojeva (N (\displaystyle \mathbb (N))) među skupovima cijelih brojeva (Z (\displaystyle \mathbb (Z))), racionalnih brojeva(Q (\displaystyle \mathbb (Q) )), realni brojevi (R (\displaystyle \mathbb (R) )) i iracionalni brojevi(R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (R) \setminus \mathbb (Q) ))

Veličina skupa prirodnih brojeva

Veličinu beskonačnog skupa karakteriše koncept "kardinalnosti skupa", koji je generalizacija broja elemenata konačnog skupa na beskonačne skupove. Po veličini (to jest, kardinalnosti), skup prirodnih brojeva je veći od bilo kojeg konačnog skupa, ali manji od bilo kojeg intervala, na primjer, intervala (0, 1) (\displaystyle (0,1)). Skup prirodnih brojeva ima istu kardinalnost kao skup racionalnih brojeva. Skup iste kardinalnosti kao skup prirodnih brojeva naziva se prebrojiv skup. Dakle, skup termina bilo kojeg niza je prebrojiv. Istovremeno, postoji niz u kojem se svaki prirodni broj pojavljuje beskonačan broj puta, budući da se skup prirodnih brojeva može predstaviti kao prebrojiva unija disjunktnih prebrojivih skupova (na primjer, N = ⋃ k = 0 ∞ ( ⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\bigcup \limits _(n=0 )^(\infty )(2n+ 1)2^(k)\desno))).

Operacije nad prirodnim brojevima

Zatvorene operacije (operacije koje ne izvode rezultat iz skupa prirodnih brojeva) nad prirodnim brojevima uključuju sljedeće aritmetičke operacije:

dodatak: pojam + pojam = zbir;
množenje: faktor × faktor = proizvod;
eksponencijacija: a b (\displaystyle a^(b)) , gdje je a (\displaystyle a) osnova stepena, b (\displaystyle b) je eksponent. Ako su a (\displaystyle a) i b (\displaystyle b) prirodni brojevi, onda će rezultat biti prirodan broj.

Uz to, razmatraju se još dvije operacije (sa formalne tačke gledišta, one nisu operacije nad prirodnim brojevima, jer nisu definirane za svima parovi brojeva (ponekad postoje, ponekad ne)):

oduzimanje: minuend - subtrahend = razlika. U ovom slučaju, minuend mora biti veći od oduzetog (ili jednak njemu, ako nulu smatramo prirodnim brojem);
podjela sa ostatkom: dividenda / djelilac = (količnik, ostatak). Kvocijent p (\displaystyle p) i ostatak r (\displaystyle r) od dijeljenja a (\displaystyle a) sa b (\displaystyle b) definirani su na sljedeći način: a = p ⋅ b + r (\displaystyle a=p \cdot b+ r) , i 0 ⩽ r b (\displaystyle 0\leqslant r se može predstaviti kao a = p ⋅ 0 + a (\displaystyle a=p\cdot 0+a) , to jest, bilo koji broj se može smatrati djelomičnim , a ostatak a (\displaystyle a) .

Treba napomenuti da su operacije sabiranja i množenja fundamentalne. Konkretno, prsten cijelih brojeva je precizno definiran kroz binarne operacije sabiranja i množenja.

Osnovna svojstva

Komutativnost sabiranja:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a) .

Komutativnost množenja:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a) .

Asocijativnost sabiranja:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)) .

Asocijativnost množenja:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)) .

Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a) \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(cases))) .

Algebarska struktura

Sabiranje pretvara skup prirodnih brojeva u polugrupu sa jedinicom, a ulogu jedinice ima 0 . Množenje takođe pretvara skup prirodnih brojeva u polugrupu sa identitetom, pri čemu je element identiteta 1 . Koristeći zatvaranje u odnosu na operacije sabiranja-oduzimanja i množenja-dijeljenja, dobijamo grupe cijelih brojeva Z (\displaystyle \mathbb (Z)) i racionalnih brojeva pozitivni brojevi Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(*)) respektivno.

Definicije teorijske skupove

Koristimo definiciju prirodnih brojeva kao klasa ekvivalencije konačnih skupova. Ako označimo klasu ekvivalencije skupa A, generirano bijekcijama, koristeći uglaste zagrade: [ A], osnovne aritmetičke operacije su definirane na sljedeći način:

[ A ] + [ B ] = [ A ⊔ B ] (\displaystyle [A]+[B]=) ;
[ A ] ⋅ [ B ] = [ A × B ] (\displaystyle [A]\cdot [B]=) ;
[ A ] [ B ] = [ A B ] (\displaystyle ([A])^([B])=) ,

A ⊔ B (\displaystyle A\sqcup B) - disjunktna unija skupova;
A × B (\displaystyle A\times B) - direktni proizvod;
A B (\displaystyle A^(B)) - skup preslikavanja iz B V A.

Može se pokazati da su rezultujuće operacije nad klasama uvedene ispravno, odnosno da ne zavise od izbora elemenata klase i da se poklapaju sa induktivnim definicijama.

Šta je prirodan broj? Istorijat, obim, svojstva

Matematika je nastala iz opšte filozofije oko šestog veka pre nove ere. e., i od tog trenutka je počeo njen pobjednički pohod oko svijeta. Svaki stupanj razvoja unosio je nešto novo - elementarno brojanje se razvijalo, transformiralo se u diferencijalni i integralni račun, stoljeći su prolazili, formule su postajale sve zbunjujuće, a došao je i trenutak kada je "počela najsloženija matematika - iz nje su nestali svi brojevi". Ali šta je bila osnova?

Početak je počeo

Prirodni brojevi su se pojavili zajedno s prvima matematičke operacije. Jedna kičma, dve kičme, tri kičme... Pojavile su se zahvaljujući indijskim naučnicima koji su razvili prvi pozicioni brojevni sistem.
Riječ “pozicioniranost” znači da je lokacija svake cifre u broju strogo definirana i da odgovara njenom rangu. Na primjer, brojevi 784 i 487 su isti brojevi, ali brojevi nisu ekvivalentni, jer prvi uključuje 7 stotina, dok drugi samo 4. Indijsku inovaciju preuzeli su Arapi, koji su brojeve doveli u formu koje sada znamo.

U antičko doba, brojevima je pridato mistično značenje, najveći matematičar Pitagora je vjerovao da broj leži u osnovi stvaranja svijeta zajedno sa osnovnim elementima - vatrom, vodom, zemljom, zrakom. Ako sve posmatramo samo sa matematičke strane, šta je onda prirodni broj? Polje prirodnih brojeva označava se kao N i predstavlja beskonačan niz brojeva koji su cijeli brojevi i pozitivni: 1, 2, 3, … + ∞. Nula je isključena. Koristi se prvenstveno za brojanje artikala i označavanje redoslijeda.

Šta je prirodni broj u matematici? Peanovi aksiomi

Polje N je osnovno na kojem se bazira elementarna matematika. Tokom vremena, polja cijelih brojeva, racionalna, kompleksni brojevi.

Rad italijanskog matematičara Giuseppea Peana omogućio je dalje strukturiranje aritmetike, postigao njenu formalnost i pripremio put za dalje zaključke koji su nadilazili područje polja N. Ranije je razjašnjeno šta je prirodan broj jednostavnim jezikom, u nastavku ćemo razmotriti matematičku definiciju zasnovanu na Peanovim aksiomima.

Jedan se smatra prirodnim brojem.
Broj koji slijedi nakon prirodnog broja je prirodan broj.
Nema prirodnog broja ispred jedan.
Ako broj b slijedi i broj c i broj d, tada je c=d.
Aksiom indukcije, koji zauzvrat pokazuje šta je prirodan broj: ako je neka izjava koja zavisi od parametra tačna za broj 1, onda pretpostavljamo da radi i za broj n iz polja prirodnih brojeva N. Tada tvrdnja je tačna i za n =1 iz polja prirodnih brojeva N.

Osnovne operacije za oblast prirodnih brojeva

Pošto je polje N bilo prvo za matematičke proračune, njemu pripadaju i domeni definicije i rasponi vrijednosti niza operacija ispod. Zatvoreni su i nisu. Glavna razlika je u tome što zatvorene operacije garantovano ostavljaju rezultat unutar skupa N, bez obzira na to koji su brojevi uključeni. Dovoljno je da su prirodni. Ishod drugih numeričkih interakcija više nije tako jasan i direktno zavisi od toga koji su brojevi uključeni u izraz, jer može biti u suprotnosti sa glavnom definicijom. Dakle, zatvorene operacije:

sabiranje – x + y = z, pri čemu su x, y, z uključeni u N polje;
množenje – x * y = z, pri čemu su x, y, z uključeni u N polje;
eksponencijacija – xy, gdje su x, y uključeni u N polje.

Preostale operacije, čiji rezultat možda ne postoji u kontekstu definicije "šta je prirodan broj", su sljedeće:

Svojstva brojeva koji pripadaju polju N

Sva daljnja matematička razmišljanja zasnivat će se na sljedećim svojstvima, najtrivijalnijim, ali ne manje važnim.

Komutativno svojstvo sabiranja je x + y = y + x, pri čemu su brojevi x, y uključeni u polje N. Ili dobro poznato "zbir se ne mijenja promjenom mjesta članova."
Komutativno svojstvo množenja je x * y = y * x, pri čemu su brojevi x, y uključeni u N polje.
Kombinacijsko svojstvo sabiranja je (x + y) + z = x + (y + z), gdje su x, y, z uključeni u polje N.
Svojstvo podudaranja množenja je (x * y) * z = x * (y * z), pri čemu su brojevi x, y, z uključeni u polje N.
distributivno svojstvo – x (y + z) = x * y + x * z, pri čemu su brojevi x, y, z uključeni u N polje.

Pitagorina tablica

Jedan od prvih koraka u poznavanju cjelokupne strukture učenika elementarne matematike nakon što sami shvate koji se brojevi nazivaju prirodnim brojevima, pojavljuje se Pitagorina tabela. Može se smatrati ne samo sa stanovišta nauke, već i kao najvredniji naučni spomenik.

Ova tablica množenja je tokom vremena pretrpjela niz promjena: iz nje je uklonjena nula, a brojevi od 1 do 10 predstavljaju sami sebe, bez uzimanja u obzir redoslijeda (stotine, hiljade...). To je tabela u kojoj su naslovi redova i stupaca brojevi, a sadržaj ćelija u kojima se sijeku jednak je njihovom proizvodu.

U nastavnoj praksi poslednjih decenija postojala je potreba da se pitagorejsku tablicu nauči napamet „po redu“, to jest, pamćenje je bilo prvo. Množenje sa 1 je isključeno jer je rezultat bio množitelj od 1 ili veći. U međuvremenu, u tabeli golim okom možete uočiti obrazac: proizvod brojeva se povećava za jedan korak, što je jednako naslovu reda. Dakle, drugi faktor nam pokazuje koliko puta trebamo uzeti prvi da bismo dobili željeni proizvod. Ovaj sistem je mnogo zgodniji od onog koji se praktikovao u srednjem veku: čak i kada su shvatili šta je prirodan broj i koliko je trivijalan, ljudi su uspeli da zakomplikuju svoje svakodnevno brojanje koristeći sistem koji je bio zasnovan na stepenu dvojke.

Podskup kao kolevka matematike

Trenutno se polje prirodnih brojeva N smatra samo jednim od podskupova kompleksnih brojeva, ali to ih ne čini manje vrijednim u nauci. Prirodni broj je prva stvar koju dijete nauči kada uči sebe i svet oko nas. Jedan prst, dva prsta... Zahvaljujući njemu čovek se razvija logičko razmišljanje, kao i sposobnost utvrđivanja uzroka i zaključivanja posljedice, utirući put velikim otkrićima.

Diskusija: Prirodni broj

Kontroverze oko nule

Nekako ne mogu da zamislim nulu kao prirodan broj... Čini se da drevni ljudi uopšte nisu poznavali nulu. A TSB ne smatra nulu prirodnim brojem. Dakle, ovo je barem kontroverzna izjava. Možemo li reći nešto neutralnije o nuli? Ili postoje uvjerljivi argumenti? --.:Ajvol:. 18:18, 9. rujna 2004. (UTC)

Rolled back poslednja promena. --Maxal 20:24, 9. rujna 2004. (UTC)

Francuska akademija je svojevremeno izdala posebnu uredbu prema kojoj je 0 uključeno u skup prirodnih brojeva. Sada je ovo standard, po mom mišljenju nema potrebe uvoditi koncept „ruskog prirodnog broja“, već se pridržavati ovog standarda. Naravno, treba napomenuti da nekada to nije bio slučaj (ne samo u Rusiji nego svuda). Tosha 23:16, 9. rujna 2004. (UTC)

Francuska akademija za nas nije dekret. U matematičkoj literaturi na engleskom jeziku takođe nema utvrđenog mišljenja o ovom pitanju. Vidi na primjer, --Maxal 23:58, 9. rujna 2004. (UTC)

Negdje tamo piše: „Ako pišete članak o kontroverznom pitanju, pokušajte iznijeti sva gledišta, dajući linkove na različita mišljenja.“ Otok Bes 23:15, 25. prosinca 2004. (UTC)

Ne vidim tu kontroverzno pitanje, ali vidim: 1) nepoštovanje drugih učesnika značajnim mijenjanjem/brisanjem njihovog teksta (uobičajeno je da se o njima raspravlja prije značajnih izmjena); 2) zamjena strogih definicija (koje ukazuju na kardinalnost skupova) nejasnim (da li postoji velika razlika između “numeracije” i “označavanja količine”?). Stoga se ponovo vraćam, ali ostavljam završni komentar. --Maxal 23:38, 25. prosinca 2004. (UTC)

Nepoštovanje je upravo ono kako ja gledam na vaše mitose. Dakle, hajde da ne pričamo o tome. Moje uređivanje ne menja suštinučlanak, samo jasno formuliše dvije definicije. Prethodna verzija članka formulirala je definiciju "bez nule" kao glavne, a "sa nulom" kao svojevrsnu disidenciju. Ovo apsolutno ne ispunjava zahtjeve Wikipedije (vidi citat iznad), i, uzgred budi rečeno, ne ispunjava u potpunosti naučni stil prezentaciju u prethodnoj verziji. Dodao sam formulaciju "kardinalnost skupa" kao objašnjenje za "označavanje količine" i "nabrajanje" za "numeraciju". A ako ne vidite razliku između "numeracije" i "označavanja količine", onda, dozvolite mi da pitam, zašto onda uređujete matematičke članke? Otok Bes 23:58, 25. prosinca 2004. (UTC)

Što se tiče "ne mijenja suštinu" - prethodna verzija je naglasila da je razlika u definicijama samo u atribuciji nule prirodnim brojevima. U vašoj verziji, definicije su predstavljene kao radikalno različite. Što se tiče "osnovne" definicije, onda bi tako trebalo biti, jer ovaj članak u ruski Wikipedia, što znači da se u suštini morate držati onoga što ste rekli opšte prihvaćeno u ruskim matematičkim školama. Ignoriram napade. --Maxal 00:15, 26. prosinca 2004. (UTC)

U stvari, jedina očigledna razlika je nula. U stvari, upravo je to kardinalna razlika, koja dolazi iz različitih shvatanja prirode prirodnih brojeva: u jednoj verziji - kao količine; u drugom - kao brojevi. Ovo apsolutno različite koncepte, ma koliko se trudili da sakrijete činjenicu da ovo ne razumijete.

S obzirom na to da se u ruskoj Wikipediji traži da se navede rusko gledište kao dominantno. Pogledaj pažljivo ovde. Pogledajte članak na engleskom o Božiću. Ne piše da Božić treba slaviti 25. decembra, jer se tako slavi u Engleskoj i SAD. Tamo su data oba gledišta (i razlikuju se ni više ni manje od razlike između prirodnih brojeva "sa nulom" i "bez nule"), a nijedna jednu riječ o kojoj je jedan navodno istinitiji.

U mojoj verziji članka, oba gledišta su označena kao nezavisna i imaju jednako pravo na postojanje. Ruski standard je naznačen riječima koje ste spomenuli gore.

Možda, sa filozofske tačke gledišta, koncepti prirodnih brojeva zaista jesu apsolutno drugačije, ali članak nudi suštinski matematičke definicije, gdje je sva razlika 0 ∈ N (\displaystyle 0\in \mathbb (N) ) ili 0 ∉ N (\displaystyle 0\not \in \mathbb (N) ) . Dominantna tačka gledišta ili ne je delikatna stvar. Cijenim frazu uočeno u većini zapadnog svijeta 25. decembra iz engleskog članka o Božiću kao izrazu dominantne tačke gledišta, uprkos činjenici da u prvom pasusu nisu navedeni drugi datumi. Inače, u prethodnoj verziji članka o prirodnim brojevima također nije bilo direktnih uputa kako neophodno za određivanje prirodnih brojeva, jednostavno je definicija bez nule predstavljena kao češća (u Rusiji). U svakom slučaju, dobro je da je nađen kompromis. --Maxal 00:53, 26. prosinca 2004. (UTC)

Izraz „U ruskoj literaturi, nula je obično isključena iz broja prirodnih brojeva“ pomalo je neugodno iznenađujuća, gospodo, nula se ne smatra prirodnim brojem, osim ako nije drugačije navedeno, u cijelom svijetu. Isti Francuzi, koliko ih ja čitam, posebno predviđaju uključivanje nule. Naravno, češće se koristi N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)), ali ako, na primjer, volim žene, neću mijenjati muškarce u žene. Druid. 2014-02-23

Nepopularnost prirodnih brojeva

Čini mi se da su prirodni brojevi nepopularna tema u matematičkim radovima (možda ne u posljednje sredstvo zbog nepostojanja jedinstvene definicije). Po mom iskustvu, često vidim pojmove u matematičkim člancima nenegativni cijeli brojevi I pozitivni cijeli brojevi(koji se nedvosmisleno tumače) nego prirodni brojevi. Mole se zainteresovane strane da izraze svoje (ne)slaganje sa ovim zapažanjem. Ako ovo zapažanje nađe podršku, onda ga ima smisla navesti u članku. --Maxal 01:12, 26. prosinca 2004. (UTC)

Bez sumnje ste u pravu u rezimeu svoje izjave. Sve je to upravo zbog razlika u definicijama. U nekim slučajevima i sam radije označavam “pozitivne cijele brojeve” ili “ne-negativne cijele brojeve” umjesto “prirodnih” kako bih izbjegao odstupanja u pogledu uključivanja nule. I generalno se slažem sa izrekom. Bes island 01:19, 26. prosinca 2004. (UTC) U člancima - da, možda je tako. Međutim, u dužim tekstovima, kao i tamo gdje se koncept često koristi, oni obično koriste prirodni brojevi, međutim, prvo objašnjavajući „o kojim“ prirodnim brojevima govorimo - sa ili bez nule. Loki 19:31, 30. srpnja 2005. (UTC)

Brojevi

Vrijedi li navesti nazive brojeva (jedan, dva, tri, itd.) u posljednjem dijelu ovog članka? Zar ne bi imalo smislenije ovo staviti u članak Broj? Ipak, ovaj bi članak, po mom mišljenju, trebao biti više matematičke prirode. sta ti mislis --LoKi 19:32, 30. srpnja 2005. (UTC)

Općenito, čudno je kako možete dobiti običan prirodan broj iz *praznih* skupova? Općenito, koliko god spajali prazninu sa prazninom, ništa neće izaći osim praznine! Nije li ovo uopće alternativna definicija? Objavljeno u 21:46, 17. jula 2009. (Moskva)

Kategoričnost Peanoovog aksiomskog sistema

Dodao sam primedbu o kategoričnoj prirodi Peanoovog aksiomskog sistema, koji je po mom mišljenju fundamentalan. Molimo pravilno formatirajte vezu do knjige [[Učesnik: A_Devyatkov 06:58, 11. lipnja 2010. (UTC)]]

Peanovi aksiomi

U gotovo cijeloj stranoj literaturi i na Wikipediji, Peanoovi aksiomi počinju sa “0 je prirodan broj”. Zaista, u izvornom izvoru piše “1 je prirodan broj”. Međutim, 1897. godine Peano vrši promjenu i mijenja 1 u 0. Ovo je zapisano u "Formulaire de mathematiques", Tome II - br. 2. strana 81. Ovo je link do elektronske verzije na željenoj stranici:

http://archive.org/stream/formulairedemat02peangoog#page/n84/mode/2up (francuski).

Objašnjenja za ove promjene su data u "Rivista di matematica", svezak 6-7, 1899, strana 76. Također link na elektronsku verziju na željenoj stranici:

http://archive.org/stream/rivistadimatema01peangoog#page/n69/mode/2up (italijanski).

0=0

Koji su "aksiomi digitalnih gramofona"?

Želio bih vratiti članak na najnoviju patroliranu verziju. Prvo, neko je preimenovao Peanove aksiome u Pianove aksiome, zbog čega je veza prestala da radi. Drugo, izvjesni Tvorogov je dodao vrlo veliki komad informacije su, po mom mišljenju, potpuno neprikladne u ovom članku. Osim toga, napisana je na neenciklopedijski način, dati su rezultati samog Tvorogova i veza s njegovom vlastitom knjigom. Inzistiram da se odeljak o „aksiomima digitalnih gramofona“ ukloni iz ovog članka. P.s. Zašto je uklonjen dio o broju nula? mesyarik 14:58, 12. ožujka 2014. (UTC)

Tema nije obrađena, neophodna je jasna definicija prirodnih brojeva

Molim te nemoj pisati herezu kao " Prirodni brojevi (prirodni brojevi) su brojevi koji nastaju prirodno prilikom brojanja.„Ništa ne nastaje prirodno u mozgu.

Kako petogodišnjak može objasniti koji je broj prirodan broj? Uostalom, postoje ljudi kojima treba objasniti kao da imaju pet godina. Kako se prirodni broj razlikuje od običnog broja? Potrebni primjeri! 1, 2, 3 je prirodno, a 12 je prirodno, a -12? i tri četvrtine, ili na primjer 4,25 prirodno? 95.181.136.132 15:09, 6. novembar 2014. (UTC)

Prirodni brojevi su osnovni koncept, originalna apstrakcija. Oni se ne mogu definisati. Možete ići duboko u filozofiju koliko god želite, ali na kraju morate ili priznati (prihvatiti na vjeru?) neku krutu metafizičku poziciju ili to priznati ili to priznati. apsolutna definicija ne, prirodni brojevi su deo veštačkog formalnog sistema, modela koji je čovek (ili Bog) smislio. Našao sam zanimljivu raspravu na ovu temu. Kako vam se sviđa ova opcija, na primjer: „Prirodna serija je svaka specifičan sistem Peano, odnosno Peanov model aksiomatske teorije.” Osećaš se bolje? RomanSuzi 17:52, 6. novembar 2014. (UTC)
- Čini se da svojim modelima i aksiomatskim teorijama samo komplikujete sve. Ova definicija će se razumjeti u najboljem scenariju dvoje od hiljadu ljudi. Stoga mislim da u prvom pasusu nedostaje rečenica" Jednostavnim riječima: prirodni brojevi su pozitivni cijeli brojevi koji počinju od jednog inkluzivnog." Ova definicija većini zvuči normalno. I ne daje razloga sumnjati u definiciju prirodnog broja. Uostalom, nakon što sam pročitao članak, nisam u potpunosti razumio šta je to prirodno brojevi su, a broj 807423 je prirodan ili prirodni brojevi su oni koji čine ovaj broj, tj. 8 0 7 4 2 3. Često komplikacije samo pokvare sve informacije o prirodnim brojevima, a ne na brojnim linkovima na druge stranica 7. studenog 2014. (UTC)
  - Ovdje je potrebno razlikovati dva zadatka: (1) jasno (makar ne i strogo) objasniti čitaocu koji je daleko od matematike šta je prirodan broj, tako da bolje-manje pravilno razumije; (2) dati tako strogu definiciju prirodnog broja, iz koje proizilaze njegova osnovna svojstva. Ispravno zagovarate prvu opciju u preambuli, ali je upravo to ono što je navedeno u članku: prirodni broj je matematička formalizacija brojanja: jedan, dva, tri, itd. Vaš primjer (807423) se svakako može dobiti kod brojanja , što znači da je i ovo prirodan broj. Ne razumijem zašto brkate broj i način na koji se piše u brojevima, ovo je posebna tema, koja nije direktno povezana s definicijom broja. Vaša verzija objašnjenja: “ prirodni brojevi su pozitivni cijeli brojevi počevši od jednog inkluzivno„nije dobro, jer je nemoguće definisati manje opšti koncept(prirodni broj) kroz opštiji (broj), koji još nije definisan. Teško mi je zamisliti čitaoca koji zna šta je pozitivan cijeli broj, ali nema pojma šta je prirodan broj. LGB 12:06, 7. novembar 2014. (UTC)
    - Prirodni brojevi se ne mogu definirati u smislu cijelih brojeva. RomanSuzi 17:01, 7. novembar 2014. (UTC)

“Ništa ne nastaje prirodno u mozgu.” Nedavne studije pokazuju (trenutno ne mogu pronaći nikakve veze) da je ljudski mozak spreman da koristi jezik. Tako, naravno, već imamo u genima spremnost da savladamo jezik. Pa, za prirodne brojeve to je ono što je potrebno. Koncept "1" možete pokazati rukom, a zatim, indukcijom, možete dodati štapiće, dobijajući 2, 3 itd. Ili: I, II, III, IIII, ..., IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII. Ali možda imate konkretne prijedloge za poboljšanje članka, na osnovu mjerodavnih izvora? RomanSuzi 17:57, 6. novembar 2014. (UTC)

Šta je prirodni broj u matematici?

Vladimir z

Prirodni brojevi se koriste za numerisanje objekata i brojanje njihove količine. Za numeriranje se koriste pozitivni cijeli brojevi, počevši od 1.

A za brojanje broja, oni također uključuju 0, što ukazuje na odsustvo objekata.

Da li koncept prirodnih brojeva sadrži broj 0 zavisi od aksiomatike. Ako predstavljanje bilo koje matematičke teorije zahtijeva prisustvo 0 u skupu prirodnih brojeva, onda je to propisano i smatra se nepromjenjivom istinom (aksiomom) u okviru ove teorije. Definicija broja 0, i pozitivna i negativna, vrlo je bliska ovome. Ako definiciju prirodnih brojeva uzmemo kao skup svih NEGATIVNIH cijelih brojeva, onda se postavlja pitanje koji je broj 0 - pozitivan ili negativan?

IN praktična primjena, u pravilu se koristi prva definicija koja ne uključuje broj 0.

Olovka

Prirodni brojevi su pozitivni cijeli brojevi. Prirodni brojevi se koriste za brojanje (broj) objekata ili za označavanje broja objekata ili za označavanje serijskog broja objekta na listi. Neki autori umjetno uključuju nulu u koncept „prirodnih brojeva“. Drugi koriste formulaciju "prirodni brojevi i nula". Ovo je neprincipijelno. Skup prirodnih brojeva je beskonačan, jer sa bilo kojim velikim prirodnim brojem možete izvršiti operaciju sabiranja sa drugim prirodnim brojem i dobiti još veći broj.

Negativni i necijeli brojevi nisu uključeni u skup prirodnih brojeva.

Sayan Mountains

Prirodni brojevi su brojevi koji se koriste za brojanje. One mogu biti samo pozitivne i cjelovite. Šta to znači u primjeru? Pošto se ovi brojevi koriste za brojanje, pokušajmo nešto izračunati. Šta možete računati? Na primjer, ljudi. Možemo izbrojati ljude ovako: 1 osoba, 2 osobe, 3 osobe, itd. Brojevi 1, 2, 3 i drugi koji se koriste za brojanje biće prirodni brojevi. Nikada ne kažemo -1 (minus jedna) osoba ili 1,5 (jedna i po) osoba (izvinite igra riječi:), tako da -1 i 1,5 (kao i svi negativni i razlomci) nisu prirodni brojevi.

Lorelei

Prirodni brojevi su oni brojevi koji se koriste prilikom brojanja objekata.

Najmanji prirodni broj je jedan. Često se postavlja pitanje da li je nula prirodan broj. Ne, nije u većini ruskih izvora, ali u drugim zemljama broj nula je prepoznat kao prirodan broj...

Moreljuba

Prirodni brojevi u matematici se odnose na brojeve koji se koriste za brojenje nečega ili nekoga uzastopno. Najmanjim prirodnim brojem se smatra jedan. U većini slučajeva nula nije prirodan broj. Negativni brojevi takođe nije uključeno ovde.

Pozdrav Slaveni

Prirodni brojevi, poznati i kao prirodni brojevi, su oni brojevi koji nastaju na uobičajen način kada ih brojim, koji veće od nule. Niz svakog prirodnog broja, poredanog uzlaznim redom, naziva se prirodnim nizom.

Elena Nikityuk

Izraz prirodni broj koristi se u matematici. Pozitivan cijeli broj naziva se prirodan broj. Najmanji prirodni broj se smatra „0“. Za izračunavanje bilo čega koriste se ti isti prirodni brojevi, na primjer 1,2,3... i tako dalje.

Prirodni brojevi su brojevi sa kojima brojimo, odnosno jedan, dva, tri, četiri, pet i ostali su prirodni brojevi.

To su nužno pozitivni brojevi veći od nule.

Razlomci takođe ne pripadaju skupu prirodnih brojeva.

-orhideja-

Prirodni brojevi su potrebni da bi se nešto prebrojilo. Oni su niz samo pozitivnih brojeva, počevši od jednog. Važno je znati da su ovi brojevi isključivo cijeli brojevi. Možete izračunati bilo šta prirodnim brojevima.

Marlena

Prirodni brojevi su cijeli brojevi koje obično koristimo prilikom brojanja objekata. Nula kao takva nije uključena u područje prirodnih brojeva, jer je obično ne koristimo u proračunima.

Inara-pd

Prirodni brojevi su brojevi koje koristimo prilikom brojanja – jedan, dva, tri i tako dalje.

Prirodni brojevi su nastali iz praktičnih potreba čovjeka.

Prirodni brojevi se pišu sa deset cifara.

Nula nije prirodan broj.

Šta je prirodan broj?

Naumenko

Prirodni brojevi su brojevi. koristi se prilikom numerisanja i brojanja prirodnih (cvijet, drvo, životinja, ptica, itd.) objekata.

Pozivaju se cijeli brojevi PRIRODNI brojevi, NJIHOVE SUPROTNOSTI I NULA,

Objasni. ono što su prirodni kroz cijele brojeve je netačno!! !

Brojevi mogu biti parni - djeljivi sa 2 celinom i neparni - nedeljivi sa 2 celinom.

Prosti brojevi su brojevi. ima samo 2 djelitelja - jedan i sebe...
Prva od vaših jednačina nema rješenja. za drugi x=6 6 je prirodan broj.

Prirodni brojevi (prirodni brojevi) su brojevi koji nastaju prirodno pri brojanju (i u smislu nabrajanja i u smislu računanja).

Skup svih prirodnih brojeva obično se označava sa \mathbb(N). Skup prirodnih brojeva je beskonačan, jer za svaki prirodan broj postoji veći prirodni broj.

Anna Semenchenko

brojevi koji nastaju prirodno prilikom brojanja (i u smislu nabrajanja i u smislu računanja).
Postoje dva pristupa definiranju prirodnih brojeva - brojeva koji se koriste u:
popisivanje (numerisanje) stavki (prvi, drugi, treći, ...);
oznaka broja artikala (bez stavki, jedan artikl, dva artikla, ...). Usvojeno u Bourbakijevim radovima, gdje su prirodni brojevi definirani kao kardinaliteti konačnih skupova.
Negativni i necijeli (racionalni, realni, ...) brojevi nisu prirodni brojevi.
Skup svih prirodnih brojeva obično se označava znakom. Skup prirodnih brojeva je beskonačan, jer za svaki prirodan broj postoji veći prirodni broj.

Prirodni brojevi su poznati ljudima i intuitivni, jer nas okružuju od djetinjstva. U članku ispod dat ćemo osnovno razumijevanje značenja prirodnih brojeva i opisati osnovne vještine njihovog pisanja i čitanja. Cijeli teorijski dio će biti popraćen primjerima.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Opće razumijevanje prirodnih brojeva

U određenoj fazi razvoja čovječanstva pojavio se zadatak prebrojavanja određenih objekata i označavanja njihove količine, što je zauzvrat zahtijevalo pronalaženje alata za rješavanje ovog problema. Prirodni brojevi su postali takav alat. Glavna svrha prirodnih brojeva je također jasna - dati predstavu o broju objekata ili serijski broj konkretan objekat, ako govorimo o skupu.

Logično je da da bi osoba koristila prirodne brojeve, potrebno je imati način da ih percipira i reprodukuje. Dakle, prirodni broj se može izraziti ili prikazati, što je prirodnim putevima prijenos informacija.

Pogledajmo osnovne vještine izgovaranja (čitanja) i predstavljanja (pisanja) prirodnih brojeva.

Decimalni zapis prirodnog broja

Prisjetimo se kako su predstavljeni sljedeći znakovi (označit ćemo ih odvojene zarezima): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Ove znakove nazivamo brojevima.

Uzmimo sada kao pravilo da se prilikom prikazivanja (snimanja) bilo kojeg prirodnog broja koriste samo naznačeni brojevi bez učešća bilo kojih drugih simbola. Neka cifre pri pisanju prirodnog broja imaju istu visinu, pišu se jedna za drugom u red i uvijek je cifra različita od nule na lijevoj strani.

Navedimo primjere ispravnog zapisa prirodnih brojeva: 703, 881, 13, 333, 1.023, 7, 500.001. Razmak između brojeva nije uvijek isti; o tome će se detaljnije govoriti u nastavku prilikom proučavanja klasa brojeva. Navedeni primjeri pokazuju da prilikom pisanja prirodnog broja ne moraju biti prisutne sve cifre iz gornjeg niza. Neki ili svi se mogu ponoviti.

Definicija 1

Zapisi oblika: 065, 0, 003, 0791 nisu zapisi prirodnih brojeva, jer Na lijevoj strani je broj 0.

Zove se ispravan zapis prirodnog broja, napravljen uzimajući u obzir sve opisane zahtjeve decimalni zapis prirodnog broja.

Kvantitativno značenje prirodnih brojeva

Kao što je već spomenuto, prirodni brojevi u početku imaju, između ostalog, kvantitativno značenje. Prirodni brojevi, kao alat za numerisanje, obrađeni su u temi o poređenju prirodnih brojeva.

Prijeđimo na prirodne brojeve čiji se unosi poklapaju sa unosima cifara, tj.: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Zamislimo određeni objekt, na primjer, ovako: Ψ. Možemo da zapišemo šta vidimo 1 predmet. Prirodni broj 1 čita se kao "jedan" ili "jedan". Termin "jedinica" ima i drugo značenje: nešto što se može smatrati jedinstvenom cjelinom. Ako postoji skup, onda se bilo koji njegov element može označiti kao jedan. Na primjer, od skupa miševa, svaki miš je jedan; svaki cvijet iz skupa cvijeća je jedan.

Sada zamislite: Ψ Ψ . Vidimo jedan objekt i drugi objekt, tj. u snimku će biti 2 stavke. Prirodni broj 2 čita se kao "dva".

Nadalje, po analogiji: Ψ Ψ Ψ – 3 stavke („tri”), Ψ Ψ Ψ Ψ – 4 („četiri”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 5 („pet”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 6 („šest”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 7 („sedam”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 8 („osam”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ („Ψ devet").

Sa naznačene pozicije, funkcija prirodnog broja je da pokazuje količine stavke.

Definicija 1

Ako se zapis broja poklapa sa zapisom broja 0, onda se takav broj naziva "nula". Nula nije prirodan broj, ali se smatra zajedno s drugim prirodnim brojevima. Nula označava odsustvo, tj. nula stavki znači ništa.

Jednocifreni prirodni brojevi

Očigledna je činjenica da prilikom pisanja svakog od gore navedenih prirodnih brojeva (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) koristimo jedan znak - jednu cifru.

Definicija 2

Jednocifreni prirodni broj– prirodni broj koji se piše jednim znakom – jednom cifrom.

Postoji devet jednocifrenih prirodnih brojeva: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Dvocifreni i trocifreni prirodni brojevi

Definicija 3

Dvocifreni prirodni brojevi– prirodni brojevi, pri pisanju koja dva znaka se koriste – dvije cifre. U ovom slučaju, brojevi koji se koriste mogu biti ili isti ili različiti.

Na primjer, prirodni brojevi 71, 64, 11 su dvocifreni.

Razmotrimo koje je značenje sadržano u dvocifrenim brojevima. Oslonićemo se na kvantitativno značenje jednocifrenih prirodnih brojeva koje nam je već poznato.

Hajde da uvedemo takav koncept kao "deset".

Zamislimo skup objekata koji se sastoji od devet i još jednog. U ovom slučaju možemo govoriti o 1 deset (“jedan tucet”) objekata. Ako zamislite jednu deseticu i još jednu, onda govorimo o 2 desetice („dvije desetice“). Dodajući još jednu na dvije desetice, dobijamo tri desetice. I tako dalje: nastavljajući da dodajemo deseticu po jednu, dobićemo četiri desetice, pet desetica, šest desetica, sedam desetica, osam desetica i, konačno, devet desetica.

Pogledajmo dvocifreni broj kao skup jednocifrenih brojeva, od kojih je jedan napisan na desnoj strani, a drugi na lijevoj strani. Broj na lijevoj strani će označavati broj desetica u prirodnom broju, a broj na desnoj strani će označavati broj jedinica. U slučaju kada se broj 0 nalazi na desnoj strani, onda govorimo o odsustvu jedinica. Gore navedeno je kvantitativno značenje dvocifrenih prirodnih brojeva. Ukupno ih je 90.

Definicija 4

Trocifreni prirodni brojevi- prirodni brojevi, pri pisanju koja tri znaka se koriste - tri cifre. Brojevi mogu biti različiti ili se ponavljati u bilo kojoj kombinaciji.

Na primjer, 413, 222, 818, 750 su trocifreni prirodni brojevi.

Da bismo razumjeli kvantitativno značenje trocifrenih prirodnih brojeva, uvodimo pojam "sto".

Definicija 5

sto (1 stotina) je skup koji se sastoji od deset desetica. Stotinu i još sto čine 2 stotine. Dodajte još jednu stotinu i dobijete 3 stotine. Postepenim sabiranjem po sto, dobijamo: četiri stotine, petsto, šest stotina, sedamsto, osamsto, devetsto.

Razmotrimo samu notaciju trocifrenog broja: jednocifreni prirodni brojevi koji su uključeni u njega pišu se jedan za drugim s lijeva na desno. Krajnji desni jednocifreni broj označava broj jedinica; sljedeći jednocifreni broj lijevo je broj desetica; krajnji lijevi jednocifreni broj je u broju stotina. Ako unos sadrži broj 0, to označava odsustvo jedinica i/ili desetica.

Dakle, trocifreni prirodni broj 402 znači: 2 jedinice, 0 desetica (nema desetica koje nisu spojene u stotine) i 4 stotine.

Po analogiji, data je definicija četvorocifrenih, petocifrenih i tako dalje prirodnih brojeva.

Višecifreni prirodni brojevi

Iz svega navedenog sada je moguće prijeći na definiciju viševrijednih prirodnih brojeva.

Definicija 6

Višecifreni prirodni brojevi– prirodni brojevi, pri pisanju koja se koriste dva ili više znakova. Višecifreni prirodni brojevi su dvocifreni, trocifreni itd.

Hiljadu je skup koji uključuje deset stotina; milion se sastoji od hiljadu hiljada; milijarda – hiljadu miliona; trilion – hiljadu milijardi. Čak i veći setovi također imaju nazive, ali njihova upotreba je rijetka.

Slično gore navedenom principu, svaki višecifreni prirodni broj možemo smatrati skupom jednocifrenih prirodnih brojeva, od kojih svaki, na određenom mjestu, označava prisustvo i broj jedinica, desetica, stotina, hiljada, desetica od hiljada, stotina hiljada, miliona, desetina miliona, stotina miliona, milijardi i tako dalje (s desna na levo, respektivno).

Na primjer, višecifreni broj 4.912.305 sadrži: 5 jedinica, 0 desetica, tri stotine, 2 hiljade, 1 deset hiljada, 9 stotina hiljada i 4 miliona.

Da rezimiramo, pogledali smo vještinu grupisanja jedinica u različite skupove (desetice, stotine itd.) i vidjeli da brojevi u zapisu višecifrenog prirodnog broja označavaju broj jedinica u svakom od takvih skupova.

Čitanje prirodnih brojeva, časovi

U gornjoj teoriji naznačili smo nazive prirodnih brojeva. U tabeli 1 navodimo kako pravilno koristiti nazive jednocifrenih prirodnih brojeva u govoru i pisanju slova:

Broj	Muško	Feminine	Neuter
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Jedan Dva Tri Četiri Pet Šest Sedam Osam Devet	Jedan Dva Tri Četiri Pet Šest Sedam Osam Devet	Jedan Dva Tri Četiri Pet Šest Sedam Osam Devet

Broj	Nominativni padež	Genitiv	Dativ	Akuzativ	Instrumental case	Prepositional
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Jedan Dva Tri Četiri Pet Šest Sedam Osam Devet	Jedan Dva Tri Četiri Pet Šest Polu Osam Devet	Sam Dva Tri Četiri Pet Šest Polu Osam Devet	Jedan Dva Tri Četiri Pet Šest Sedam Osam Devet	Jedan Dva Tri Četiri Pet Šest Porodica Osam Devet	O jednoj stvari Oko dva Oko tri Oko četiri Opet Oko šest Oko sedam Oko osam Oko devet

Da biste ispravno čitali i pisali dvocifrene brojeve, potrebno je zapamtiti podatke u tabeli 2:

Broj	Muški, ženski i srednji rod
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	deset Jedanaest Dvanaest Trinaest Četrnaest Petnaest Šesnaest Sedamnaest Osamnaest Devetnaest Dvadeset Trideset Cetrdeset Pedeset Šezdeset Sedamdeset Osamdeset Devedeset

Broj	Nominativni padež	Genitiv	Dativ	Akuzativ	Instrumental case	Prepositional
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	deset Jedanaest Dvanaest Trinaest Četrnaest Petnaest Šesnaest Sedamnaest Osamnaest Devetnaest Dvadeset Trideset Cetrdeset Pedeset Šezdeset Sedamdeset Osamdeset Devedeset	deset Jedanaest Dvanaest Trinaest Četrnaest Petnaest Šesnaest Sedamnaest Osamnaest Devetnaest Dvadeset Trideset Svraka Pedeset Šezdeset Sedamdeset Osamdeset Devedeset	deset Jedanaest Dvanaest Trinaest Četrnaest Petnaest Šesnaest Sedamnaest Osamnaest Devetnaest Dvadeset Trideset Svraka Pedeset Šezdeset Sedamdeset Osamdeset Devedeset	deset Jedanaest Dvanaest Trinaest Četrnaest Petnaest Šesnaest Sedamnaest Osamnaest Devetnaest Dvadeset Trideset Cetrdeset Pedeset Šezdeset Sedamdeset Osamdeset Devedeset	deset Jedanaest dvanaest Trinaest Četrnaest Petnaest Šesnaest Sedamnaest Osamnaest Devetnaest Dvadeset Trideset Svraka Pedeset šezdeset Sedamdeset Osamdeset devetnaest	Oko deset Oko jedanaest Oko dvanaest Oko trinaest Oko četrnaest Oko petnaest Oko šesnaest Oko sedamnaest Oko osamnaest Oko devetnaest Oko dvadeset Oko trideset Oh svraka Oko pedeset Oko šezdeset Oko sedamdeset Oko osamdeset Oh devedeset

Za čitanje drugih dvocifrenih prirodnih brojeva koristit ćemo podatke iz obje tabele, razmotrićemo to na primjeru. Recimo da treba da pročitamo dvocifreni prirodni broj 21. Ovaj broj sadrži 1 jedinicu i 2 desetice, tj. 20 i 1. Okrenuvši se tablicama, navedeni broj čitamo kao „dvadeset jedan“, dok veznik „i“ između riječi nije potrebno izgovarati. Recimo da u određenoj rečenici trebamo upotrijebiti naznačeni broj 21, koji označava broj objekata u genitivu: „nema 21 jabuke“. zvuk unutra u ovom slučaju izgovor će biti sljedeći: "nema dvadeset i jedna jabuka."

Navedimo još jedan primjer radi jasnoće: broj 76, koji se čita kao "sedamdeset šest" i, na primjer, "sedamdeset i šest tona".

Broj	Nominativni	Genitiv	Dativ	Akuzativ	Instrumental case	Prepositional
100 200 300 400 500 600 700 800 900	Stotinu Dvesta Tri stotine Četiri stotine Pet stotina Šest stotina Sedam stotina Osam stotina Devet stotina	stotina Dvesta Tri stotine Četiri stotine Pet stotina Šest stotina Sedam stotina Osam stotina Devet stotina	stotina Dvesta Tri stotine Četiri stotine Pet stotina Šest stotina Semistam Osam stotina Devet stotina	Stotinu Dvesta Tri stotine Četiri stotine Pet stotina Šest stotina Sedam stotina Osam stotina Devet stotina	stotina Dvesta Tri stotine Četiri stotine Pet stotina Šest stotina Sedam stotina Osam stotina Devet stotina	Oh sto Oko dvije stotine Oko tri stotine Oko četiri stotine Oko pet stotina Oko šest stotina Oko sedam stotina Oko osam stotina Oko devet stotina

Za potpuno očitavanje trocifrenog broja koristimo i podatke iz svih navedenih tabela. Na primjer, s obzirom na prirodni broj 305. Ovaj broj odgovara 5 jedinica, 0 deseticama i 3 stotine: 300 i 5. Uzimajući tablicu kao osnovu, čitamo: "trista i pet" ili u deklinaciji po padežu, na primjer, ovako: "trista i pet metara".

Pročitajmo još jedan broj: 543. Prema pravilima tablica, naznačeni broj će zvučati ovako: "petsto četrdeset tri" ili u deklinaciji prema padežima, na primjer, ovako: "nema petsto četrdeset i tri rublje".

Idemo dalje opšti principčitanje višecifrenih prirodnih brojeva: da biste pročitali višecifreni broj, morate ga podijeliti s desna na lijevo u grupe od tri cifre, a krajnja lijeva grupa može imati 1, 2 ili 3 cifre. Takve grupe se nazivaju klasama.

Krajnja desna klasa je klasa jedinica; zatim sledeća klasa, levo - klasa hiljada; dalje – klasa miliona; zatim dolazi klasa milijardi, a zatim klasa triliona. Sljedeće klase također imaju naziv, ali se sastoje od prirodnih brojeva velika količina znakovi (16, 17 ili više) se rijetko koriste u čitanju, prilično ih je teško percipirati na uho.

Da bi snimak bio lakši za čitanje, razredi su odvojeni jedan od drugog malim uvlačenjem. Na primjer, 31.013.736, 134.678, 23.476.009.434, 2.533.467.001.222.

Klasa triliona	Klasa milijarde	Klasa miliona	Klasa hiljada	Jedinična klasa
			134	678
		31	013	736
	23	476	009	434
2	533	467	001	222

Da bismo pročitali višecifreni broj, pozivamo brojeve koji ga čine jedan po jedan (s lijeva na desno po razredu, dodajući naziv razreda). Naziv klase jedinica se ne izgovara, a ne izgovaraju se ni one klase koje čine tri cifre 0. Ako su jedna ili dvije cifre 0 prisutne na lijevoj strani u jednom razredu, onda se ne koriste ni na koji način pri čitanju. Na primjer, 054 će se čitati kao "pedeset četiri" ili 001 kao "jedan".

Primjer 1

Pogledajmo detaljno čitanje broja 2.533.467.001.222:

Čitamo broj 2 kao komponentu klase triliona - "dva";

Dodavanjem imena klase dobijamo: “dva triliona”;

Čitamo sljedeći broj, dodajući naziv odgovarajuće klase: “petsto trideset tri milijarde”;

Nastavljamo po analogiji, čitajući sljedeću klasu s desne strane: „četiri stotine šezdeset sedam miliona“;

U sljedećoj klasi vidimo dvije cifre 0 koje se nalaze na lijevoj strani. Prema gornjim pravilima čitanja, cifre 0 se odbacuju i ne učestvuju u čitanju zapisa. Tada dobijamo: “hiljadu”;

Čitanje zadnji čas jedinice bez dodavanja njenog imena - "dvjesta dvadeset i dvije".

Tako će broj 2 533 467 001 222 zvučati ovako: dva triliona pet stotina trideset tri milijarde četiri stotine šezdeset sedam miliona hiljadu dvije stotine dvadeset dva. Koristeći ovaj princip, čitaćemo ostale date brojeve:

31.013.736 – trideset jedan milion trinaest hiljada sedam stotina trideset šest;

134 678 – sto trideset četiri hiljade šest stotina sedamdeset osam;

23 476 009 434 – dvadeset tri milijarde četiri stotine sedamdeset šest miliona devet hiljada četiri stotine trideset četiri.

Dakle, osnova za pravilno čitanje višecifrenih brojeva je vještina podjele višecifrenog broja na klase, poznavanje odgovarajućih naziva i razumijevanje principa čitanja dvocifrenih i trocifrenih brojeva.

Kao što je već jasno iz svega navedenog, njegova vrijednost ovisi o poziciji na kojoj se cifra pojavljuje u zapisu broja. To jest, na primjer, broj 3 u prirodnom broju 314 označava broj stotina, odnosno 3 stotine. Broj 2 je broj desetica (1 desetica), a broj 4 je broj jedinica (4 jedinice). U ovom slučaju ćemo reći da je broj 4 na mjestu jedinica i da je vrijednost jedinica koje se nalaze u datom broju. Broj 1 je na mjestu desetica i služi kao vrijednost mjesta desetica. Broj 3 se nalazi na mjestu stotina i vrijednost je mjesta stotina.

Definicija 7

Pražnjenje- ovo je pozicija cifre u zapisu prirodnog broja, kao i vrijednost ove cifre koja je određena njenim položajem u datom broju.

Kategorije imaju svoja imena, već smo ih koristili gore. S desna na lijevo nalaze se cifre: jedinice, desetice, stotine, hiljade, desetine hiljada itd.

Za lakše pamćenje, možete koristiti sljedeću tabelu (naznačavamo 15 cifara):

Pojasnimo ovaj detalj: broj cifara u datom višecifrenom broju je isti kao i broj znakova u zapisu broja. na primjer, ovaj sto sadrži nazive svih cifara za broj sa 15 cifara. Naknadna pražnjenja također imaju nazive, ali se koriste izuzetno rijetko i vrlo su nezgodna za čuti.

Uz pomoć takve tablice moguće je razviti vještinu određivanja cifre upisivanjem datog prirodnog broja u tablicu tako da se krajnja desna cifra upisuje u cifru jedinice, a zatim u svaku cifru jednu po jednu. Na primjer, zapišimo višecifreni prirodni broj 56,402,513,674 ovako:

Obratite pažnju na broj 0 koji se nalazi u ciframa desetina miliona - to znači da nema jedinica ove cifre.

Uvedemo i koncepte najniže i najviše cifre višecifrenog broja.

Definicija 8

Najniži (junior) rang bilo kojeg višecifrenog prirodnog broja – cifra jedinice.

Najviša (senior) kategorija bilo kojeg višecifrenog prirodnog broja – cifra koja odgovara krajnjoj lijevoj cifri u zapisu datog broja.

Tako, na primjer, u broju 41,781: najniža cifra je cifra jedinica; Najviši rang je rang desetina hiljada.

Logično slijedi da je moguće govoriti o senioritetu cifara jedna u odnosu na drugu. Svaka naredna cifra pri kretanju s lijeva na desno je niža (mlađa) od prethodne. I obrnuto: kada se krećete s desna na lijevo, svaka sljedeća cifra je viša (starija) od prethodne. Na primjer, mjesto hiljada je starije od mjesta stotina, ali je mlađe od mjesta sa milionima.

Pojasnimo to prilikom rješavanja nekih praktični primjeri Ne koristi se sam prirodni broj, već zbir bitni termini zadati broj.

Ukratko o decimalnom brojevnom sistemu

Definicija 9

Notacija– metod pisanja brojeva pomoću znakova.

Pozicioni sistemi brojeva– one u kojima vrijednost cifre u broju zavisi od njenog položaja u zapisu broja.

Prema ovu definiciju, možemo reći da smo, proučavajući prirodne brojeve i način na koji su gore zapisani, koristili pozicijski brojevni sistem. Broj 10 ovdje igra posebno mjesto. Brojimo u deseticama: deset jedinica čini deseticu, deset desetica će se ujediniti u sto, itd. Broj 10 služi kao osnova ovog brojevnog sistema, a sam sistem se još naziva i decimalnim.

Pored njega, postoje i drugi sistemi brojeva. Na primjer, informatika koristi binarni sistem. Kada pratimo vrijeme, koristimo seksagezimalni sistem brojeva.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter