Koncepti fraktalne i fraktalne geometrije, koji su se pojavili kasnih 70-ih, postali su čvrsto uspostavljeni među matematičarima i programerima od sredine 80-ih. Riječ fraktal je izvedena od latinskog fractus i znači sastoji se od fragmenata. Predložio ga je Benoit Mandelbrot 1975. da se odnosi na nepravilne, ali sebi slične strukture kojima se on bavio. Rođenje fraktalne geometrije obično se vezuje za objavljivanje Mandelbrotove knjige “Fraktalna geometrija prirode” 1977. godine. Njegovi radovi su koristili naučne rezultate drugih naučnika koji su radili u periodu 1875-1925 na istom polju (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Ali tek u naše vrijeme bilo je moguće spojiti njihov rad u jedan sistem.
Uloga fraktala u kompjuterskoj grafici danas je prilično velika. Oni priskaču u pomoć, na primjer, kada je potrebno, koristeći nekoliko koeficijenata, definirati linije i površine vrlo složenih oblika. Sa stanovišta kompjuterske grafike, fraktalna geometrija je neophodna pri generisanju veštačkih oblaka, planina i morskih površina. U stvari, pronađen je način da se lako predstave složeni neeuklidski objekti, čije su slike vrlo slične prirodnim.
Jedno od glavnih svojstava fraktala je samosličnost. U najjednostavnijem slučaju, mali dio fraktala sadrži informacije o cijelom fraktalu. Mandelbrotova definicija fraktala je: "Fraktal je struktura koja se sastoji od dijelova koji su u nekom smislu slični cjelini."

Postoji veliki broj matematičkih objekata koji se nazivaju fraktali (Sierpinski trougao, Koch pahulja, Peano kriva, Mandelbrot skup i Lorentzov atraktor). Fraktali sa velikom preciznošću opisuju mnoge fizičke pojave i formacije stvarnog svijeta: planine, oblake, turbulentne (vorteksne) tokove, korijenje, grane i lišće drveća, krvne žile, što je daleko od toga da odgovara jednostavnim geometrijskim figurama. Benoit Mandelbrot je prvi put govorio o fraktalnoj prirodi našeg svijeta u svom temeljnom djelu „Fraktalna geometrija prirode“.
Pojam fraktal uveo je Benoit Mandelbrot 1977. godine u svom temeljnom djelu Fraktali, forma, haos i dimenzija. Prema Mandelbrotu, riječ fraktal dolazi od latinskih riječi fractus - frakcijski i frangere - razbiti, što odražava suštinu fraktala kao „slomljenog“, nepravilnog skupa.

Klasifikacija fraktala.

Da bismo predstavili čitav niz fraktala, zgodno je pribjeći njihovoj općeprihvaćenoj klasifikaciji. Postoje tri klase fraktala.

1. Geometrijski fraktali.

Fraktali ove klase su najvizuelniji. U dvodimenzionalnom slučaju, oni se dobijaju pomoću isprekidane linije (ili površine u trodimenzionalnom slučaju), koja se naziva generator. U jednom koraku algoritma, svaki od segmenata koji čine poliliniju zamjenjuje se generatorskom polilinijom u odgovarajućoj skali. Kao rezultat beskonačnog ponavljanja ovog postupka, dobija se geometrijski fraktal.

Razmotrimo primjer jednog od ovih fraktalnih objekata - trijadnu Kochovu krivu.

Konstrukcija trijadne Kochove krive.

Uzmimo ravan segment dužine 1. Nazovimo ga sjeme. Podijelimo sjeme na tri jednaka dijela dužine 1/3, odbacimo srednji dio i zamijenimo ga isprekidanom linijom od dvije karike dužine 1/3.

Dobićemo izlomljenu liniju koja se sastoji od 4 karika ukupne dužine 4/3 - tzv. prva generacija.

Da biste prešli na sljedeću generaciju Kochove krive, potrebno je odbaciti i zamijeniti srednji dio svake karike. Shodno tome, dužina druge generacije će biti 16/9, treće - 64/27. ako nastavimo ovaj proces beskonačno, rezultat je trijadna Kochova kriva.

Razmotrimo sada svojstva trijadne Kochove krive i otkrijemo zašto su fraktali nazvani "čudovištima".

Prvo, ova kriva nema dužinu – kao što smo vidjeli, sa brojem generacija njena dužina teži beskonačnosti.

Drugo, nemoguće je konstruisati tangentu na ovu krivu - svaka od njenih tačaka je prevojna tačka u kojoj derivacija ne postoji - ova kriva nije glatka.

Dužina i glatkoća su osnovna svojstva krivih, koje proučavaju i Euklidova geometrija i geometrija Lobačevskog i Rimanna. Pokazalo se da su tradicionalne metode geometrijske analize neprimjenjive na trijadnu Kochovu krivulju, pa se Kochova kriva pokazala kao čudovište - "čudovište" među glatkim stanovnicima tradicionalnih geometrija.

Izgradnja Harter-Haithaway "zmaja".

Da biste dobili drugi fraktalni objekt, morate promijeniti pravila konstrukcije. Neka formirajući element budu dva jednaka segmenta povezana pod pravim uglom. U nultoj generaciji, segment jedinice zamjenjujemo ovim generirajućim elementom tako da je ugao na vrhu. Možemo reći da takvom zamjenom dolazi do pomaka sredine karike. Pri konstruiranju narednih generacija slijedi pravilo: prva karika s lijeve strane zamjenjuje se formirajućim elementom tako da se sredina karike pomjera lijevo od smjera kretanja, a pri zamjeni narednih karika pravci pomicanje sredina segmenata se mora naizmjenično. Slika prikazuje prvih nekoliko generacija i 11. generaciju krivulje izgrađene prema gore opisanom principu. Kriva sa n koja teži beskonačnosti naziva se Harter-Haithway zmaj.
U kompjuterskoj grafici upotreba geometrijskih fraktala neophodna je prilikom dobijanja slika drveća i grmlja. Dvodimenzionalni geometrijski fraktali se koriste za kreiranje trodimenzionalnih tekstura (uzoraka na površini objekta).

2.Algebarski fraktali

Ovo je najveća grupa fraktala. Dobivaju se korištenjem nelinearnih procesa u n-dimenzionalnim prostorima. Dvodimenzionalni procesi su najviše proučavani. Kada se nelinearni iterativni proces tumači kao diskretni dinamički sistem, može se koristiti terminologija teorije ovih sistema: fazni portret, stabilni proces, atraktor itd.
Poznato je da nelinearni dinamički sistemi imaju nekoliko stabilnih stanja. Stanje u kojem se dinamički sistem nalazi nakon određenog broja iteracija zavisi od njegovog početnog stanja. Dakle, svako stabilno stanje (ili, kako se kaže, atraktor) ima određeno područje početnih stanja, iz kojih će sistem nužno pasti u konačna stanja koja se razmatraju. Tako je fazni prostor sistema podijeljen na područja privlačenja atraktora. Ako je fazni prostor dvodimenzionalan, tada se boje područja privlačnosti različite boje, možete dobiti fazni portret u boji ovog sistema (iterativni proces). Promjenom algoritma za odabir boja, možete dobiti složene fraktalne uzorke s bizarnim višebojnim uzorcima. Iznenađenje za matematičare bila je sposobnost generiranja vrlo složenih netrivijalnih struktura korištenjem primitivnih algoritama.

Mandelbrot set.

Kao primjer, razmotrite Mandelbrotov skup. Algoritam za njegovu konstrukciju je prilično jednostavan i baziran je na jednostavnom iterativnom izrazu: Z = Z[i] * Z[i] + C, Gdje Zi I C- kompleksne varijable. Iteracije se izvode za svaku početnu tačku iz pravokutnog ili kvadratnog područja - podskupa kompleksne ravni. Iterativni proces se nastavlja do Z[i] neće ići dalje od kruga poluprečnika 2, čije središte leži u tački (0,0), (to znači da je atraktor dinamičkog sistema u beskonačnosti), ili nakon dovoljno velikog broja iteracija (npr. , 200-500) Z[i]će konvergirati u neku tačku na kružnici. U zavisnosti od broja iteracija tokom kojih Z[i] ostaje unutar kruga, možete podesiti boju tačke C(Ako Z[i] ostaje unutar kruga za dovoljno veliki broj iteracija, proces iteracije se zaustavlja i ova rasterska tačka je obojena crnom bojom).

3. Stohastički fraktali

Druga dobro poznata klasa fraktala su stohastički fraktali, koji se dobijaju ako se neki od njegovih parametara nasumično mijenjaju u iterativnom procesu. U ovom slučaju, rezultirajući objekti su vrlo slični prirodnim - asimetrična stabla, neravne obale itd. Dvodimenzionalni stohastički fraktali se koriste u modeliranju terena i morskih površina.
Postoje i druge klasifikacije fraktala, na primjer, podjela fraktala na determinističke (algebarske i geometrijske) i nedeterminističke (stohastičke).

O upotrebi fraktala

Prije svega, fraktali su polje zadivljujuće matematičke umjetnosti, kada se uz pomoć najjednostavnijih formula i algoritama dobijaju slike izuzetne ljepote i složenosti! U konturama konstruisanih slika često su vidljivi lišće, drveće i cvijeće.

Neke od najmoćnijih aplikacija fraktala leže u kompjuterskoj grafici. Prvo, to je fraktalna kompresija slika, a drugo, izgradnja pejzaža, drveća, biljaka i stvaranje fraktalnih tekstura. Moderna fizika i mehanika tek počinju proučavati ponašanje fraktalnih objekata. I, naravno, fraktali se direktno koriste u samoj matematici.
Prednosti algoritama fraktalne kompresije slike su vrlo mala veličina upakovane datoteke i kratko vrijeme oporavka slike. Fraktalno upakovane slike mogu se skalirati bez izazivanja pikselacije. Ali proces kompresije traje dugo i ponekad traje satima. Algoritam pakovanja fraktalnih gubitaka omogućava vam da postavite nivo kompresije, slično jpeg formatu. Algoritam se temelji na traženju velikih dijelova slike koji su slični nekim malim dijelovima. I samo koji komad je sličan kojem se upisuje u izlaznu datoteku. Prilikom kompresije obično se koristi kvadratna mreža (komadići su kvadrati), što dovodi do blagog ugla prilikom vraćanja slike; heksagonalna mreža nema ovaj nedostatak.
Iterated je razvio novi format slike, "Sting", koji kombinuje fraktalnu i "talasnu" (kao što je jpeg) kompresiju bez gubitaka. Novi format omogućava kreiranje slika s mogućnošću naknadnog visokokvalitetnog skaliranja, a volumen grafičkih datoteka je 15-20% volumena nekomprimiranih slika.
Sklonost fraktala da liče na planine, cvijeće i drveće koriste neki grafički urednici, na primjer, fraktalni oblaci iz 3D studija MAX, fraktalne planine u World Builderu. Fraktalna stabla, planine i čitavi pejzaži definisani su jednostavnim formulama, lako se programiraju i ne raspadaju se u zasebne trokute i kocke kada im se priđe.
Ne može se zanemariti upotreba fraktala u samoj matematici. U teoriji skupova, Cantorov skup dokazuje postojanje savršenih nigdje gustih skupova; u teoriji mjera, samoafina funkcija "Kantorove ljestvice" je dobar primjer funkcije raspodjele singularne mjere.
U mehanici i fizici, fraktali se koriste zbog njihovog jedinstvenog svojstva ponavljanja obrisa mnogih prirodnih objekata. Fraktali vam omogućavaju da aproksimirate drveće, planinske površine i pukotine sa većom preciznošću od aproksimacija koristeći skupove segmenata ili poligona (sa istom količinom pohranjenih podataka). Fraktalni modeli, kao i prirodni objekti, imaju „hrapavost“, a to svojstvo je očuvano bez obzira koliko je veliko povećanje modela. Prisutnost uniformne mjere na fraktalima omogućava primjenu integracije, teorije potencijala i njihovo korištenje umjesto standardnih objekata u već proučavanim jednačinama.
Fraktalnim pristupom, haos prestaje biti plavi nered i dobija finu strukturu. Fraktalna nauka je još uvek veoma mlada i pred njom je velika budućnost. Ljepota fraktala još nije iscrpljena i još će nam dati mnoga remek-djela – ona koja oduševljavaju oko, i ona koja donose istinsko zadovoljstvo umu.

O konstruisanju fraktala

Metoda sukcesivne aproksimacije

Gledajući ovu sliku, nije teško razumjeti kako možete izgraditi samoslični fraktal (u ovom slučaju piramidu Sierpinskog). Trebamo uzeti pravilnu piramidu (tetraedar), a zatim izrezati njenu sredinu (oktaedar), što rezultira četiri male piramide. Sa svakim od njih izvodimo istu operaciju itd. Ovo je pomalo naivno ali jasno objašnjenje.

Razmotrimo suštinu metode strože. Neka postoji neki IFS sistem, tj. kompresijski sistem mapiranja S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (na primjer, za našu piramidu preslikavanja imaju oblik S i (x)=1/2*x+o i , gdje su o i vrhovi tetraedra, i=1,..,4). Zatim biramo neki kompaktni skup A 1 u R n (u našem slučaju biramo tetraedar). I indukcijom definiramo niz skupova A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Poznato je da skupovi A k sa povećanjem k sve bolje aproksimiraju željeni atraktor sistema S.

Imajte na umu da je svaka od ovih iteracija atraktor rekurentni sistem iteriranih funkcija(engleski izraz Digraf IFS, RIFS i takođe IFS usmjeren na graf) i stoga ih je lako napraviti pomoću našeg programa.

Tačku po tačku ili probabilistički metod

Ovo je najlakši način za implementaciju na računaru. Radi jednostavnosti, razmatramo slučaj ravnog samoafinog skupa. Pa neka (S

) - neki sistem afinih kontrakcija. Prikaz S

predstavljen kao: S

Fiksna veličina matrice 2x2 i o

Dvodimenzionalni vektorski stupac.

• Uzmimo fiksnu tačku prvog preslikavanja S 1 kao početnu tačku:
  x:= o1;
  Ovdje koristimo činjenicu da sve fiksne točke kompresije S 1 ,..,S m pripadaju fraktalu. Možete odabrati proizvoljnu tačku kao početnu tačku i niz tačaka generiranih njome će biti nacrtan u fraktal, ali tada će se na ekranu pojaviti nekoliko dodatnih tačaka.
• Označimo trenutnu tačku x=(x 1 ,x 2) na ekranu:
  putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
• Odaberimo nasumično broj j od 1 do m i ponovo izračunajmo koordinate tačke x:
  j:=Random(m)+1;
  x:=S j (x);
• Idemo na korak 2, ili, ako smo uradili dovoljno veliki broj iteracija, stajemo.

Bilješka. Ako su omjeri kompresije preslikavanja S i različiti, tada će fraktal biti neravnomjerno ispunjen tačkama. Ako su preslikavanja S i slična, to se može izbjeći blagim kompliciranjem algoritma. Da biste to učinili, u trećem koraku algoritma, broj j od 1 do m mora biti izabran sa vjerovatnoćama p 1 =r 1 s,..,p m =r m s, gdje r i označavaju koeficijente kompresije preslikavanja Si, a broj s (koji se naziva dimenzija sličnosti) nalazi se iz jednačine r 1 s +...+r m s =1. Rješenje ove jednačine može se naći, na primjer, Newtonovom metodom.

O fraktalima i njihovim algoritmima

Fraktal dolazi od latinskog prideva "fractus", a u prijevodu znači koji se sastoji od fragmenata, a odgovarajući latinski glagol "frangere" znači lomiti, odnosno stvarati nepravilne fragmente. Koncepti fraktalne i fraktalne geometrije, koji su se pojavili kasnih 70-ih, postali su čvrsto uspostavljeni među matematičarima i programerima od sredine 80-ih. Izraz je skovao Benoit Mandelbrot 1975. godine kako bi označio nepravilne, ali sebi slične strukture koje su ga zanimale. Rođenje fraktalne geometrije obično se povezuje s objavljivanjem Mandelbrotove knjige “Fraktalna geometrija prirode” 1977. U svojim radovima koristili su naučne rezultate drugih naučnika koji su radili u periodu 1875-1925 u istoj oblasti (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorf).

Podešavanja

Dozvolite mi da napravim neke prilagodbe algoritama predloženim u knjizi H.-O. Peitgen i P.H. Richter “Ljepota fraktala” M. 1993. čisto da bi se iskorijenile greške u kucanju i olakšalo razumijevanje procesa jer mi je nakon proučavanja mnogo toga ostalo misterija. Nažalost, ovi "razumljivi" i "jednostavni" algoritmi vode uzdrman životni stil.

Konstrukcija fraktala zasniva se na određenoj nelinearnoj funkciji složenog procesa sa povratnom spregom z => z 2 +c pošto su z i c kompleksni brojevi, tada je z = x + iy, c = p + iq potrebno ga razložiti u x i y da biste prešli u realnije za običan čovek avion:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Ravan koja se sastoji od svih parova (x,y) može se smatrati kao da ima fiksne vrijednosti p i q, i sa dinamičkim. U prvom slučaju, prolaskom kroz sve tačke (x, y) ravnine u skladu sa zakonom i bojenjem u zavisnosti od broja ponavljanja funkcije potrebnog za izlazak iz iterativnog procesa ili neobojavanja (crna boja) kada prekoračen je dozvoljeni maksimum ponavljanja, dobićemo prikaz Julia seta. Ako, naprotiv, odredimo početni par vrijednosti (x,y) i pratimo njegovu kolorističku sudbinu s dinamički promjenjivim vrijednostima parametara p i q, tada ćemo dobiti slike koje se nazivaju Mandelbrot skupovi.

O pitanju algoritama za bojanje fraktala.

Obično je tijelo skupa predstavljeno kao crno polje, iako je očito da se crna boja može zamijeniti bilo kojom drugom, ali i ovo je malo zanimljiv rezultat. Dobivanje slike skupa obojene u sve boje je zadatak koji se ne može riješiti cikličkim operacijama jer broj iteracija skupova koji formiraju tijelo jednak je maksimalnom mogućem i uvijek je isti. Obojite komplet različite boje možda koristeći rezultat provjere uvjeta za izlazak iz petlje (z_magnitude) ili nešto slično tome, ali s drugim matematičkim operacijama, kao broj boje.

Primjena "fraktalnog mikroskopa"

demonstrirati granične pojave.

Atraktori su centri koji vode borbu za dominaciju na planu. Između atraktora pojavljuje se granica, koja predstavlja cvjetasti uzorak. Povećanjem skale razmatranja unutar granica skupa, mogu se dobiti netrivijalni obrasci koji odražavaju stanje determinističkog haosa – uobičajenu pojavu u svijetu prirode.

Objekti koje proučavaju geografi čine sistem sa veoma složeno organizovanim granicama, pa stoga njihova identifikacija nije jednostavan praktični zadatak. Prirodni kompleksi imaju jezgra tipičnosti koja djeluju kao atraktori koji gube svoj utjecaj na teritoriju kako se ona udaljava.

Koristeći fraktalni mikroskop za Mandelbrot i Julia setove, može se formirati ideja o graničnim procesima i pojavama koje su podjednako složene bez obzira na skalu razmatranja i tako pripremiti percepciju stručnjaka za susret s dinamičnim i naizgled haotičnim prirodnim objektom. u prostoru i vremenu, za razumijevanje prirode fraktalne geometrije. Raznobojne boje i fraktalna muzika definitivno će ostaviti dubok trag u glavama učenika.

Hiljade publikacija i ogromni internet resursi posvećeni su fraktalima, ali za mnoge stručnjake daleko od informatike, ovaj termin se čini potpuno novim. Fraktali, kao objekti od interesa za specijaliste u različitim oblastima znanja, trebali bi dobiti odgovarajuće mjesto u kursevima informatike.

Primjeri

SIEPINSKI GRID

Ovo je jedan od fraktala s kojima je Mandelbrot eksperimentirao kada je razvijao koncepte fraktalnih dimenzija i iteracija. Trokuti koji su formirani spajanjem središta većeg trougla izrezani su iz glavnog trougla, formirajući trokut s više rupa. U ovom slučaju, inicijator je veliki trokut, a šablon je operacija izrezivanja trokuta sličnih većem. Također možete dobiti trodimenzionalnu verziju trougla korištenjem običnog tetraedra i izrezivanja malih tetraedra. Dimenzija takvog fraktala je ln3/ln2 = 1,584962501. Za dobijanje Sierpinski tepih, uzmite kvadrat, podijelite ga na devet kvadrata i izrežite srednji. Isto ćemo učiniti i sa ostalim, manjim kvadratima. Na kraju se formira ravna fraktalna mreža koja nema površinu, ali ima beskonačne veze. U svojoj prostornoj formi, spužva Sierpinski se pretvara u sistem oblika od kraja do kraja, u kojem se svaki element od kraja do kraja stalno zamjenjuje svojom vrstom. Ova struktura je vrlo slična dijelu koštanog tkiva. Jednog dana će takve strukture koje se ponavljaju postati element građevinskih struktura. Njihova statika i dinamika, smatra Mandelbrot, zaslužuju pažljivo proučavanje.

KOCH CURVE

Kochova kriva je jedan od najtipičnijih determinističkih fraktala. Izmislio ga je u devetnaestom veku nemački matematičar po imenu Helge fon Koh, koji je, proučavajući radove Georga Kontora i Karla Vajerštrasea, naišao na opise nekih čudnih krivih neobičnog ponašanja. Inicijator je prava linija. Generator je jednakostranični trokut čije su stranice jednake trećini dužine većeg segmenta. Ovi trokuti se dodaju u sredinu svakog segmenta iznova i iznova. U svom istraživanju, Mandelbrot je opsežno eksperimentirao s Kochovim krivuljama i proizveo figure kao što su Kochova ostrva, Kochovi križevi, Kochove snježne pahulje, pa čak i trodimenzionalne prikaze Kochove krive koristeći tetraedar i dodajući manje tetraedre na svako njegovo lice. Kochova kriva ima dimenziju ln4/ln3 = 1,261859507.

MANDELBROT FRACTAL

Ovo NIJE Mandelbrotov set, koji često viđate. Mandelbrotov skup je baziran na nelinearnim jednačinama i složen je fraktal. Ovo je također varijanta Kochove krive, iako joj ovaj objekt nije sličan. Inicijator i generator se također razlikuju od onih koji se koriste za stvaranje fraktala na osnovu principa Kochove krive, ali ideja ostaje ista. Umjesto spajanja jednakostraničnih trokuta sa segmentom krive, kvadrati se spajaju s kvadratom. Zbog činjenice da ovaj fraktal zauzima tačno polovinu dodijeljenog prostora na svakoj iteraciji, ima jednostavnu fraktalnu dimenziju 3/2 = 1,5.

DARER PENTAGON

Fraktal izgleda kao gomila pentagona stisnutih zajedno. Zapravo, formira se korištenjem petougla kao pokretača i jednakokračnih trokuta u kojima je omjer veće i manje strane tačno jednak takozvanom zlatnom omjeru (1,618033989 ili 1/(2cos72)) kao generator . Ovi trokuti su izrezani iz sredine svakog petougla, što rezultira oblikom koji izgleda kao 5 malih peterokuta zalijepljenih za jedan veliki. Varijanta ovog fraktala može se dobiti korištenjem šesterokuta kao inicijatora. Ovaj fraktal se zove Davidova zvijezda i prilično je sličan heksagonalnoj verziji Kochove pahuljice. Fraktalna dimenzija Darerovog pentagona je ln6/ln(1+g), gdje je g omjer dužine veće stranice trougla i dužine manje. U ovom slučaju, g je zlatni omjer, tako da je fraktalna dimenzija približno 1,86171596. Fraktalna dimenzija Davidove zvijezde ln6/ln3 ili 1,630929754.

Kompleksni fraktali

U stvari, ako povećate malu površinu bilo kojeg složenog fraktala, a zatim učinite isto s malom površinom tog područja, dva povećanja će se značajno razlikovati jedno od drugog. Dvije slike će biti vrlo slične u detaljima, ali neće biti potpuno identične.

Slika 1. Aproksimacija Mandelbrotovog skupa

Uporedite, na primjer, slike Mandelbrotovog skupa prikazane ovdje, od kojih je jedna dobivena povećanjem određene površine druge. Kao što vidite, oni apsolutno nisu identični, iako na oba vidimo crni krug, iz kojeg se plameni pipci protežu u različitim smjerovima. Ovi elementi se neograničeno ponavljaju u Mandelbrotovom skupu u opadajućim proporcijama.

Deterministički fraktali su linearni, dok kompleksni fraktali nisu. Budući da su nelinearni, ovi fraktali su generisani onim što je Mandelbrot nazvao nelinearnim algebarskim jednadžbama. Dobar primjer je proces Zn+1=ZnI + C, koji je jednadžba koja se koristi za konstruiranje Mandelbrotovog i Julijinog skupa drugog stepena. Rješavanje ovih matematičkih jednačina uključuje kompleksne i imaginarne brojeve. Kada se jednačina tumači grafički u kompleksnoj ravni, rezultat je čudna figura u kojoj prave linije postaju krive i pojavljuju se efekti samosličnosti, iako ne bez deformacija, na različitim nivoima skale. Istovremeno, cijela slika u cjelini je nepredvidiva i vrlo haotična.

Kao što možete vidjeti gledajući slike, složeni fraktali su zaista vrlo složeni i ne mogu se stvoriti bez pomoći kompjutera. Da bi dobio živopisne rezultate, ovaj računar mora imati moćan matematički koprocesor i monitor visoke rezolucije. Za razliku od determinističkih fraktala, složeni fraktali se ne izračunavaju u 5-10 iteracija. Skoro svaka tačka na ekranu računara je kao poseban fraktal. Prilikom matematičke obrade svaka tačka se tretira kao poseban crtež. Svaka točka odgovara određenoj vrijednosti. Jednačina je ugrađena za svaku tačku i izvodi se, na primjer, 1000 iteracija. Da bi se dobila relativno neiskrivljena slika u vremenskom periodu prihvatljivom za kućne računare, moguće je izvršiti 250 iteracija za jednu tačku.

Većina fraktala koje danas vidimo su prelijepo obojene. Možda fraktalne slike dobijaju tako veliki estetski značaj upravo zbog svojih shema boja. Nakon što je jednačina izračunata, računar analizira rezultate. Ako rezultati ostanu stabilni ili fluktuiraju oko određene vrijednosti, tačka obično postaje crna. Ako vrijednost na jednom ili drugom koraku teži beskonačnosti, tačka je obojena drugom bojom, možda plavom ili crvenom. Tokom ovog procesa, računar dodeljuje boje svim brzinama kretanja.

Obično su tačke koje se brzo kreću obojene crvenom bojom, dok su one sporije žute boje i tako dalje. Tamne mrlje su vjerovatno najstabilnije.

Kompleksni fraktali se razlikuju od determinističkih fraktala u smislu da su beskonačno složeni, ali se ipak mogu generirati vrlo jednostavnom formulom. Deterministički fraktali ne zahtijevaju formule ili jednačine. Samo uzmite malo papira za crtanje i možete napraviti sito Sierpinski do 3 ili 4 iteracije bez ikakvih poteškoća. Probajte ovo sa puno Julije! Lakše je izmjeriti dužinu engleske obale!

MANDELBROT SET

Slika 2. Mandelbrotov set

Mandelbrot i Julia skupovi su vjerovatno dva najčešća među složenim fraktalima. Mogu se naći u mnogim naučnim časopisima, naslovnicama knjiga, razglednicama i čuvarima ekrana računara. Mandelbrotov set, koji je konstruisao Benoit Mandelbrot, verovatno je prva asocijacija koju ljudi imaju kada čuju reč fraktal. Ovaj fraktal, koji podsjeća na mašinu za češljanje sa zapaljenim drvećem i kružnim područjima pričvršćenim za njega, generira se jednostavnom formulom Zn+1=Zna+C, gdje su Z i C kompleksni brojevi, a a pozitivan broj.

Mandelbrotov skup, koji se najčešće može videti, je Mandelbrotov skup 2. stepena, odnosno a = 2. Činjenica da Mandelbrotov skup nije samo Zn+1=ZnÍ+C, već i fraktal čiji eksponent u formuli može biti bilo koji pozitivan broj mnoge je doveo u zabludu. Na ovoj stranici vidite primjer Mandelbrotovog skupa za različita značenja indikator a.
Slika 3. Pojava mjehurića na a=3,5

Proces Z=Z*tg(Z+C) je takođe popularan. Uključujući tangentnu funkciju, rezultat je Mandelbrotov skup okružen površinom koja liči na jabuku. Kada se koristi kosinusna funkcija, dobijaju se efekti zračnih mjehurića. Ukratko, postoji beskonačan broj načina da se Mandelbrot set konfiguriše da proizvodi različite prelepe slike.

PUNO JULIJE

Iznenađujuće, Julia skupovi se formiraju prema istoj formuli kao Mandelbrotov skup. Julia skup je izumio francuski matematičar Gaston Julia, po kome je skup i dobio ime. Prvo pitanje koje se nameće nakon vizuelnog upoznavanja sa Mandelbrotovim i Julijinim skupovima je „ako su oba fraktala generisana prema istoj formuli, zašto su toliko različiti?“ Prvo pogledajte slike Julia seta. Čudno, ali postoje različite vrste Julia postavlja. Prilikom crtanja fraktala koristeći različite početne točke (za početak procesa iteracije), generiraju se različite slike. Ovo se odnosi samo na Julia set.

Slika 4. Julia set

Iako se ne može vidjeti na slici, Mandelbrotov fraktal je zapravo mnogo Julijinih fraktala povezanih zajedno. Svaka tačka (ili koordinata) Mandelbrotovog skupa odgovara Julia fraktalu. Julia skupovi se mogu generirati koristeći ove točke kao početne vrijednosti u jednačini Z=ZI+C. Ali to ne znači da ako odaberete tačku na Mandelbrotovom fraktalu i povećate je, možete dobiti Julia fraktal. Ove dvije tačke su identične, ali samo u matematičkom smislu. Ako uzmete ovu tačku i izračunate je koristeći ovu formulu, možete dobiti Julia fraktal koji odgovara određenoj tački Mandelbrotovog fraktala.

Haos je red koji treba dešifrovati.

Jose Saramago, "Dvojnik"

„Za buduće generacije, dvadeseti vek će biti upamćen samo po stvaranju teorija relativnosti, kvantne mehanike i haosa... teorija relativnosti je ukinula Njutnove iluzije o apsolutnom prostor-vremenu, kvantna mehanika je raspršila san o determinizam fizičkih događaja i, konačno, haos razotkrio je Laplaceovu fantaziju o potpunoj predodređenosti razvoja sistema." Ove riječi poznatog američkog istoričara i popularizatora nauke Jamesa Gleika odražavaju ogromnu važnost ovog pitanja, koja je samo ukratko obrađena u članku na koji je skrenuta pažnja čitatelju. Naš svijet je nastao iz haosa. Međutim, da se haos ne pokorava sopstvenim zakonima, da u njemu nema posebne logike, ne bi mogao ništa da generiše.

Novo je dobro zaboravljeno staro

Dozvolite mi da citiram još jedan od Gleicka:

Misao o unutrašnjoj sličnosti, da se veliko može ugraditi u malo, odavno postoji ljudska duša... Prema Leibnizu, kap vode sadrži čitav šareni svijet, u kojem blistaju vodene prske i žive drugi nepoznati univerzumi. „Vidite svijet u zrnu pijeska“, pozvao je Blake, a neki naučnici su pokušali slijediti njegov nalog. Prvi istraživači sjemene tekućine su u svakom spermiju vidjeli neku vrstu homunkulusa, to jest, sićušnu, ali potpuno formiranu osobu.

Retrospektiva ovakvih pogleda može se pretvoriti mnogo dalje u istoriju. Jedan od osnovnih principa magije - sastavni stupanj razvoja svakog društva - je postulat: dio je sličan cjelini. To se manifestovalo u radnjama kao što su zakopavanje lobanje životinje umesto cele životinje, maketa kočije umesto same kočije itd. Čuvajući lobanju nekog pretka, rođaci su verovali da on nastavlja da živi pored njih. i učestvuju u njihovim poslovima.

Čak je i starogrčki filozof Anaksagora smatrao primarne elemente svemira česticama sličnim drugim česticama cjeline i same cjeline, „beskonačnim i u mnoštvu i u malenosti“. Aristotel je elemente Anaksagore okarakterizirao pridjevom “sličan dijelovima”.

A naš savremenik, američki kibernetičar Ron Eglash, istražujući kulturu afričkih plemena i južnoameričkih Indijanaca, došao je do otkrića: od davnina su neki od njih koristili fraktalne principe konstrukcije u ukrasima, uzorcima na odjeći i kućnim predmetima, u nakitu. , ritualne ceremonije, pa čak i u arhitekturi. Dakle, struktura sela nekih afričkih plemena je krug u kojem se nalaze mali krugovi - kuće, unutar kojih se nalaze još manji krugovi - kuće duhova. Za druga plemena, umjesto krugova, druge figure služe kao arhitektonski elementi, ali se i one ponavljaju u različitim razmjerima, podređene jednoj strukturi. Štaviše, ovi principi izgradnje nisu bili obična imitacija prirode, već su bili u skladu s postojećim svjetonazorom i društvenom organizacijom.

Naša civilizacija se, čini se, udaljila od primitivnog postojanja. Međutim, mi i dalje živimo u istom svijetu, i dalje smo okruženi prirodom, živimo po svojim zakonima, uprkos svim ljudskim pokušajima da je prilagode svojim potrebama. I sam čovjek (ne zaboravimo na ovo) ostaje dio ove prirode.

Gert Eilenberger, njemački fizičar koji je počeo proučavati nelinearnost, jednom je primijetio:

Zašto se silueta nagog drveta savijenog pod pritiskom olujnog vjetra na pozadini tmurnog zimskog neba doživljava kao lijepa, a obrisi moderne multifunkcionalne zgrade, uprkos svim naporima arhitekte, ne izgledaju tako sve? Čini mi se da je... naš osjećaj za ljepotu „podstaknut“ skladnom kombinacijom reda i nereda, što se može uočiti u prirodnim pojavama: oblacima, drveću, planinskim lancima ili kristalima snježnih pahulja. Sve takve konture su dinamički procesi zamrznuti fizički oblici, a za njih je tipična kombinacija stabilnosti i haosa.

Na počecima teorije haosa

Šta mislimo pod haos? Nemogućnost predviđanja ponašanja sistema, nasumični skokovi u različitim smjerovima koji se nikada neće pretvoriti u uredan niz.

Prvi istraživač haosa je francuski matematičar, fizičar i filozof Henri Poincaré. Još krajem 19. vijeka. Proučavajući ponašanje sistema sa tri tela koja gravitaciono deluju u interakciji, primetio je da mogu postojati neperiodične orbite koje se stalno niti udaljavaju od određene tačke niti joj se približavaju.

Tradicionalne metode geometrije, koje se široko koriste u prirodnim naukama, zasnivaju se na aproksimaciji strukture predmeta koji se proučava geometrijskim figurama, na primjer linijama, ravnima, sferama, čije su metričke i topološke dimenzije jednake jedna drugoj. U većini slučajeva svojstva objekta koji se proučava i njegova interakcija sa okolinom opisuju se integralnim termodinamičkim karakteristikama, što dovodi do gubitka značajnog dijela informacija o sistemu i njegove zamjene manje ili više adekvatnim modelom. Najčešće je takvo pojednostavljenje potpuno opravdano, ali postoje brojne situacije u kojima je upotreba topološki neadekvatnih modela neprihvatljiva. Primjer takvog neslaganja dao je u svojoj kandidatskoj tezi (sada doktor kemijskih nauka) Vladimir Konstantinovič Ivanov: detektuje se mjerenjem površine razvijene (na primjer, porozne) površine čvrstih tijela pomoću sorpcije. metode koje bilježe izoterme adsorpcije. Pokazalo se da veličina površine zavisi od linearne veličine „mjernih“ molekula ne kvadratno, što bi se očekivalo iz najjednostavnijih geometrijskih razmatranja, već sa eksponentom, ponekad vrlo blizu tri.

Prognoza vremena jedan je od problema s kojim se čovječanstvo bori od davnina. Poznat je vic na ovu temu, gdje se vremenska prognoza prenosi lancem od šamana - do stočara irvasa, pa do geologa, pa do urednika radio programa, i na kraju se krug zatvara, pošto se ispostavilo da je šaman saznao prognozu sa radija. Opis složenog sistema kao što je vremenska prognoza, sa mnogo varijabli, ne može se svesti na jednostavne modele. Ovaj problem je započeo upotrebu računara za modeliranje nelinearnih dinamičkih sistema. Jedan od osnivača teorije haosa, američki meteorolog i matematičar Edward Norton Lorenz posvetio je mnogo godina problemu prognoze vremena. Još 60-ih godina prošlog veka, pokušavajući da razume razloge nepouzdanosti vremenske prognoze, pokazao je da stanje složenog dinamičkog sistema može u velikoj meri zavisiti od početni uslovi: Mala promjena jednog od mnogih parametara može dramatično promijeniti očekivani rezultat. Lorenz je ovu zavisnost nazvao efektom leptira: „Leprtanje krila noćnog leptira u Pekingu danas bi moglo da izazove uragan u Njujorku za mesec dana. Njegov rad na općoj cirkulaciji atmosfere donio mu je slavu. Proučavajući sistem jednačina sa tri varijable koje opisuju proces, Lorenz je grafički prikazao rezultate svoje analize: linije grafika predstavljaju koordinate tačaka koje su određene rješenjima u prostoru ovih varijabli (slika 1). Rezultirajuća dvostruka spirala, tzv Lorentzov atraktor(ili “čudni atraktor”), izgledalo je kao nešto beskrajno zbunjujuće, ali se uvijek nalazi unutar određenih granica i nikada se ne ponavlja. Kretanje u atraktoru je apstraktno (varijable mogu biti brzina, gustina, temperatura, itd.), a ipak prenosi karakteristike stvarnih fizičkih pojava, kao što su kretanje vodenog točka, konvekcija u zatvorenoj petlji, zračenje monomodni laser, disipativne harmonijske oscilacije (čiji parametri igraju ulogu odgovarajućih varijabli).

Od hiljada publikacija koje su sačinjavale specijalizovanu literaturu o problemu haosa, jedva da je ijedna citirana češće od Lorentzovog rada iz 1963. godine “Deterministički neperiodični tok”. Iako je kompjutersko modeliranje već transformisalo vremensku prognozu iz „umetnosti u nauku“ u vreme ovog rada, dugoročne prognoze su još uvek bile nepouzdane i nepouzdane. Razlog za to bio je isti efekat leptira.

Istih 60-ih, matematičar Stephen Smail sa Kalifornijskog univerziteta sakupljao je na Berkliju istraživačka grupa mladih istomišljenika. Prethodno je nagrađen Fieldsom medaljom za svoje izvanredno istraživanje u topologiji. Smale je proučavao dinamičke sisteme, posebno nelinearne haotične oscilatore. Da bi reproducirao sav poremećaj van der Polovog oscilatora u faznom prostoru, stvorio je strukturu poznatu kao "potkovica" - primjer dinamičkog sistema koji ima haotičnu dinamiku.

“Potkovica” (slika 2) je precizna i vidljiva slika jake zavisnosti od početnih uslova: nikada nećete pogoditi gde će biti početna tačka nakon nekoliko iteracija. Ovaj primjer je bio poticaj za pronalazak “Anosovljevih difeomorfizama” od strane ruskog matematičara, specijaliste za teoriju dinamičkih sistema i diferencijalnih jednačina, diferencijalne geometrije i topologije, Dmitrija Viktoroviča Anosova. Kasnije je iz ova dva rada izrasla teorija hiperboličkih dinamičkih sistema. Prošlo je desetljeće prije nego što je Smaleov rad došao u središte pažnje drugih disciplina. “Kada se to dogodilo, fizičari su shvatili da je Smail okrenuo čitavu granu matematike da se suoči sa stvarnim svijetom.”

Godine 1972, matematičar sa Univerziteta Merilend Džejms Jork pročitao je gore pomenuti Lorentzov rad i to ga je iznenadilo. York je u članku vidio živi fizički model i smatrao je svojom svetom dužnošću da fizičarima prenese ono što nisu vidjeli u radovima Lorentza i Smaila. Proslijedio je kopiju Lorenzovog članka Smailu. Bio je začuđen otkrivši da je nepoznati meteorolog (Lorentz) deset godina ranije otkrio poremećaj koji je on sam nekada smatrao matematički nevjerovatnim i poslao kopije svim svojim kolegama.

Biolog Robert Mej, Jorkov prijatelj, proučavao je promene u životinjskim populacijama. May je krenuo stopama Pierrea Verchlusta, koji je još 1845. godine skrenuo pažnju na nepredvidivost promjena u broju životinja i došao do zaključka da stopa rasta populacije nije konstantna vrijednost. Drugim riječima, ispada da je proces nelinearan. Mej je pokušala da uhvati šta se dešava sa populacijom kada se fluktuacije koeficijenta rasta približe određenoj kritičnoj tački (tački bifurkacije). Variranjem vrijednosti ovog nelinearnog parametra, otkrio je da su fundamentalne promjene moguće u samoj suštini sistema: povećanje parametra značilo je povećanje stepena nelinearnosti, što je, zauzvrat, promijenilo ne samo kvantitativno , ali i kvalitativne karakteristike rezultata. Takva operacija utjecala je i na konačnu vrijednost veličine populacije koja je bila u ravnoteži i na njenu sposobnost da generalno postigne ovo drugo. At određenim uslovima periodičnost je ustupila mjesto haosu, fluktuacijama koje nikada nisu zamrle.

York je matematički analizirao opisane pojave u svom radu, dokazujući da se u bilo kojem jednodimenzionalnom sistemu događa sljedeće: ako se pojavi pravilan ciklus sa tri talasa (glatki porasti i opadanja vrijednosti bilo kojeg parametra), tada će se u budućnosti Sistem će početi da pokazuje koliko su redovni ciklusi bilo kojeg drugog trajanja i potpuno haotični. (Kako se ispostavilo nekoliko godina nakon objavljivanja članka na međunarodnoj konferenciji u Istočnom Berlinu, sovjetski (ukrajinski) matematičar Aleksandar Nikolajevič Šarkovski bio je nešto ispred Jorka u svom istraživanju). York je napisao članak za poznatu naučnu publikaciju American Mathematical Monthly. Međutim, York je postigao više od matematičkog rezultata: pokazao je fizičarima da je haos sveprisutan, stabilan i strukturiran. Dao je razlog za vjerovanje da se složeni sistemi, tradicionalno opisani teško rješivim diferencijalnim jednadžbama, mogu predstaviti pomoću vizuelnih grafova.

May je pokušala skrenuti pažnju biologa na činjenicu da životinjske populacije doživljavaju više od samo uređenih ciklusa. Na putu ka haosu javlja se čitav niz udvostručavanja perioda. Upravo na tačkama bifurkacije blago povećanje plodnosti jedinki moglo bi dovesti, na primjer, do zamjene četverogodišnjeg ciklusa populacije ciganskog moljca osmogodišnjim ciklusom. Amerikanac Mitchell Feigenbaum odlučio je započeti s izračunavanjem točnih vrijednosti parametra koji je doveo do takvih promjena. Njegovi proračuni su pokazali da nije važno kolika je početna populacija - ona se i dalje stalno približavala atraktoru. Zatim, s prvim udvostručavanjem perioda, atraktor se, poput ćelije koja se dijeli, račvao. Zatim je došlo do sljedećeg množenja perioda, i svaka atraktorska tačka se ponovo počela dijeliti. Broj - invarijanta koju je dobio Feigenbaum - omogućio mu je da tačno predvidi kada će se to dogoditi. Naučnik je otkrio da može da predvidi ovaj efekat za najsloženiji atraktor - na dve, četiri, osam tačaka... Govoreći jezikom ekologije, mogao je da predvidi stvarni broj koji se postiže u populacijama tokom godišnjih fluktuacija. Tako je Feigenbaum otkrio "kaskadu udvostručavanja perioda" 1976. godine, nadovezujući se na Mayov rad i njegovo istraživanje turbulencije. Njegova teorija odražava prirodni zakon koji se primjenjuje na sve sisteme koji prolaze iz uređenog stanja u haos. York, May i Feigenbaum su bili prvi na Zapadu koji su u potpunosti shvatili važnost udvostručavanja perioda i uspjeli su prenijeti ovu ideju cijeloj naučnoj zajednici. May je izjavila da se haos mora naučiti.

Sovjetski matematičari i fizičari napredovali su u svojim istraživanjima nezavisno od svojih stranih kolega. Proučavanje haosa počelo je radom A. N. Kolmogorova 50-ih godina. Ali ideje stranih kolega nisu ostale nezapažene. Pionirima teorije haosa smatraju se sovjetski matematičari Andrej Nikolajevič Kolmogorov i Vladimir Igorevič Arnold i njemački matematičar Jurgen Moser, koji su izgradili teoriju haosa nazvanu KAM (teorija Kolmogorov-Arnold-Moser). Još jedan naš izvanredni sunarodnik, sjajni fizičar i matematičar Jakov Grigorijevič Sinai, primijenio je razmatranja slična "Smale potkovici" u termodinamici. Čim su se zapadni fizičari upoznali sa Lorentzovim radom 70-ih godina, ono je postalo poznato u SSSR-u. Godine 1975, dok su Jork i Mej još ulagali značajne napore da privuku pažnju svojih kolega, Sinai i njegovi drugovi su organizovali istraživačku grupu u Gorkom da proučava ovaj problem.

U prošlom vijeku, kada je uska specijalizacija i razdvajanje između različitih disciplina postala norma u nauci, matematičari, fizičari, biolozi, hemičari, fiziolozi i ekonomisti borili su se sa sličnim problemima a da nisu čuli jedni druge. Ideje koje zahtijevaju promjenu uobičajenog pogleda na svijet uvijek se teško snalaze. Međutim, postepeno je postalo jasno da takve stvari kao što su promjene u životinjskim populacijama, fluktuacije tržišnih cijena, promjene vremena, raspodjela nebeskih tijela po veličini i mnogo, mnogo više, podliježu istim obrascima. “Svijest o ovoj činjenici prisilila je menadžere da preispitaju svoj stav prema osiguranju, astronome da sagledaju Sunčev sistem iz drugog ugla, a političare da promijene svoje mišljenje o uzrocima oružanih sukoba.”

Do sredine 80-ih situacija se uvelike promijenila. Ideje fraktalne geometrije ujedinile su naučnike koji su bili zbunjeni sopstvenim zapažanjima i nisu znali kako da ih protumače. Za istraživače haosa, matematika je postala eksperimentalna nauka, a kompjuteri su zamijenili laboratorije. Grafičke slike su postale od najveće važnosti. Nova nauka dala je svetu poseban jezik, nove koncepte: fazni portret, atraktor, bifurkaciju, presek faznog prostora, fraktal...

Benoit Mandelbrot je, oslanjajući se na ideje i radove svojih prethodnika i savremenika, pokazao da su tako složeni procesi kao što su rast drveta, formiranje oblaka, varijacije ekonomske karakteristike ili veličina životinjskih populacija je vođena suštinski sličnim zakonima prirode. To su određeni obrasci po kojima živi haos. Sa stanovišta prirodne samoorganizacije, oni su mnogo jednostavniji od umjetnih oblika poznatih civiliziranim ljudima. Oni se mogu smatrati složenim samo u kontekstu euklidske geometrije, budući da se fraktali određuju specificiranjem algoritma, pa se stoga mogu opisati korištenjem male količine informacija.

Fraktalna geometrija prirode

Hajde da pokušamo da shvatimo šta je fraktal i sa čime se jede. I zaista možete pojesti neke od njih, kao što je tipični predstavnik prikazan na fotografiji.

Riječ fraktal dolazi iz latinskog fractus - zgnječeno, slomljeno, razbijeno na komade. Fraktal je matematički skup koji ima svojstvo samosličnosti, odnosno invarijantnost skale.

Termin "fraktal" skovao je Mandelbrot 1975. godine i stekao je široku popularnost objavljivanjem njegove knjige "Fraktalna geometrija prirode" iz 1977. godine. „Dajte čudovištu neko ugodno, domaće ime i iznenadićete se koliko će ga biti lakše ukrotiti!“ - rekao je Mandelbrot. Ta želja da se predmeti koji se proučavaju (matematički skupovi) učine bliskim i razumljivim dovela je do rađanja novih matematičkih pojmova, kao npr. prašina, svježi sir, serum, jasno pokazujući njihovu duboku povezanost sa prirodnim procesima.

Matematički koncept fraktala identifikuje objekte koji imaju strukture različitih razmera, velikih i malih, i na taj način odražava hijerarhijski princip organizacije. Naravno, različite grane stabla, na primjer, ne mogu se tačno poravnati jedna s drugom, ali se mogu smatrati sličnima u statističkom smislu. Na isti način slično izgledaju oblici oblaka, obrisi planina, linija morske obale, šara plamena, krvožilni sistem, jaruge, munje, gledano u različitim razmjerima. Iako ova idealizacija može biti pojednostavljenje stvarnosti, ona značajno povećava dubinu matematičkog opisa prirode.

Mandelbrot je uveo koncept “prirodnog fraktala” za označavanje prirodnih struktura koje se mogu opisati pomoću fraktalnih skupova. Ovi prirodni objekti uključuju element slučajnosti. Teorija koju je stvorio Mandelbrot omogućava kvantitativno i kvalitativno opisivanje svih onih oblika koji su se ranije nazivali zapletenim, valovitim, hrapavim itd.

Dinamički procesi o kojima smo gore govorili, takozvani procesi povratne sprege, javljaju se u različitim fizičkim i matematičkim problemima. Svima im je jedna zajednička stvar - nadmetanje između nekoliko centara (zvanih „atraktori“) za dominaciju u avionu. Stanje u kojem se sistem nalazi nakon određenog broja iteracija zavisi od njegovog „početnog mesta“. Dakle, svakom atraktoru odgovara određena oblast početnih stanja, iz kojih će sistem nužno pasti u razmatrano konačno stanje. Dakle, fazni prostor sistema (apstraktni prostor parametara povezanih sa određenim dinamičkim sistemom, tačke u kojima jedinstveno karakterišu sva njegova moguća stanja) je podeljen na područja privlačnosti atraktori. Dolazi do osebujnog povratka Aristotelovoj dinamici, prema kojoj svako tijelo teži svom suđenom mjestu. Jednostavne granice između „susednih teritorija“ retko nastaju kao rezultat takvog rivalstva. Upravo u tom graničnom području događa se prijelaz iz jednog oblika postojanja u drugi: iz reda u haos. Opšti oblik izraza za dinamički zakon je vrlo jednostavan: x n+1 → f x n C . Cijela poteškoća leži u nelinearnom odnosu između početne vrijednosti i rezultata. Ako započnete iterativni proces naznačenog tipa od neke proizvoljne vrijednosti \(x_0\), tada će njegov rezultat biti niz \(x_1\), \(x_2\), ..., koji će ili konvergirati do nekog ograničenja vrijednosti \(X\), težeći stanju mirovanja, ili će doći do određenog ciklusa vrijednosti koji će se ponavljati iznova i iznova, ili će se stalno ponašati neredovito i nepredvidivo. Upravo su takve procese proučavali francuski matematičari Gaston Julia i Pierre Fateau tokom Prvog svjetskog rata.

Proučavajući skupove koje su otkrili, Mandelbrot je 1979. došao do prikaza slike na kompleksnoj ravni, koja je, kao što će biti jasno iz onoga što slijedi, svojevrsna tablica sadržaja za čitavu klasu oblika zvanih Julia skupovi. Julia skup je skup tačaka nastalih kao rezultat iteracije kvadratne transformacije: x n → x n−1 2 + C, dinamika u čijoj blizini je nestabilna s obzirom na male perturbacije početne pozicije. Svaka uzastopna vrijednost \(x\) dobija se iz prethodne; kompleksni broj \(C\) se zove kontrolni parametar. Ponašanje niza brojeva zavisi od parametra \(C\) i početne tačke \(x_0\). Ako popravimo \(C\) i promijenimo \(x_0\) u polju kompleksnih brojeva, dobićemo Julia skup. Ako popravimo \(x_0\) = 0 i promijenimo \(C\), dobićemo Mandelbrotov skup (\(M\)). To nam govori kakav Julia skup treba da očekujemo za određeni izbor \(C\). Svaki kompleksni broj \(C\) ili pripada oblasti \(M\) (crno na slici 3) ili ne. \(C\) pripada \(M\) ako i samo ako "kritična tačka" \(x_0\) = 0 ne teži beskonačnosti. Skup \(M\) sastoji se od svih tačaka \(C\) koje su pridružene povezanim Julijinim skupovima, ali ako tačka \(C\) leži izvan skupa \(M\), Julijev skup pridružen njoj je isključen. Granica skupa \(M\) određuje trenutak matematičke fazne tranzicije za Julia skupove x n → x n−1 2 + C . Kada parametar \(C\) napusti \(M\), Julia skupovi gube svoju povezanost, figurativno govoreći, eksplodiraju i pretvaraju se u prašinu. Kvalitativni skok koji se javlja na granici \(M\) također utječe na područje uz granicu. Složena dinamička struktura graničnog područja može se približno prikazati farbanjem (uslovno) u različite boje zona s istim vremenom „bježanja u beskonačnost početne tačke \(x_0\) = 0“. One vrijednosti \(C\) (jedna nijansa) za koje kritična tačka zahtijeva da određeni broj iteracija bude izvan kruga radijusa \(N\) popunjavaju prazninu između dvije linije. Kako se približavamo granici \(M\), potreban broj iteracija se povećava. Poenta je sve više prisiljena lutati krivudavim stazama u blizini seta Julia. Mandelbrotov skup utjelovljuje proces tranzicije iz reda u haos.

Zanimljivo je pratiti put kojim je Mandelbrot išao do svojih otkrića. Benoit je rođen u Varšavi 1924. godine, a 1936. porodica je emigrirala u Pariz. Nakon što je diplomirao na Ecole Polytechnique, a potom i na Univerzitetu u Parizu, Mandelbrot se preselio u SAD, gdje je također studirao na Kalifornijskom institutu za tehnologiju. Godine 1958. zaposlio se u IBM-ovom istraživačkom centru Yorktown. Uprkos čisto primenjenim aktivnostima kompanije, njegova pozicija mu je omogućila da sprovodi istraživanja u različitim oblastima. Radeći u oblasti ekonomije, mladi specijalista je počeo da proučava statistiku cena pamuka tokom dužeg vremenskog perioda (više od 100 godina). Analizirajući simetriju dugoročnih i kratkoročnih fluktuacija cijena, primijetio je da su te fluktuacije tokom dana djelovale slučajne i nepredvidive, ali redoslijed takvih promjena nije zavisio od razmjera. Za rješavanje ovog problema prvi put je koristio svoje razvoje buduće teorije fraktala i grafički prikaz proučavanih procesa.

Zainteresovan za razne oblasti nauke, Mandelbrot se okrenuo matematičkoj lingvistici, a zatim je na red došla teorija igara. Predložio je i svoj pristup ekonomiji, ukazujući na sređenost razmjera u širenju malih i velikih gradova. Proučavajući malo poznato djelo engleskog naučnika Lewisa Richardsona, objavljeno nakon autorove smrti, Mandelbrot se susreo s fenomenom obale. U članku "Koliko je duga obala Velike Britanije?" on detaljno istražuje ovo pitanje, o kojem je malo ljudi ranije razmišljalo, i dolazi do neočekivanih zaključaka: dužina obale je... beskonačna! Što ga preciznije pokušate izmjeriti, njegova vrijednost postaje veća!

Da bi opisao takve fenomene, Mandelbrot je došao na ideju dimenzije. Fraktalna dimenzija objekta služi kao kvantitativna karakteristika jedne od njegovih karakteristika, odnosno ispunjenosti prostora.

Definicija koncepta fraktalne dimenzije datira iz rada Felixa Hausdorffa, objavljenog 1919. godine, a konačno ju je formulirao Abram Samoilovich Besikovich. Fraktalna dimenzija je mjera detalja, loma i neravnine fraktalnog objekta. U euklidskom prostoru topološka dimenzija je uvijek određena cijelim brojem (dimenzija tačke je 0, prave je 1, ravni je 2, volumetrijskog tijela je 3). Ako, na primjer, pratite projekciju na ravan kretanja Brownove čestice, koja izgleda kao da se sastoji od ravnih segmenata, odnosno ima dimenziju 1, vrlo brzo će se pokazati da njen trag ispunjava gotovo cijelu ravan. Ali dimenzija ravni je 2. Neslaganje između ovih veličina daje nam pravo da ovu „krivulju“ klasifikujemo kao fraktal i njenu međusobnu (frakcionu) dimenziju nazovemo fraktalnom. Ako uzmemo u obzir haotično kretanječestica u zapremini, fraktalna dimenzija putanje će biti veća od 2, ali manja od 3. Ljudske arterije, na primer, imaju fraktalnu dimenziju od približno 2,7. Ivanovljevi rezultati spomenuti na početku članka vezani za mjerenje površine pora silika gela, koji se ne mogu tumačiti u okviru konvencionalnih euklidskih koncepata, nalaze razumno objašnjenje kada se koristi teorija fraktala.

Dakle, sa matematičke tačke gledišta, fraktal je skup za koji je Hausdorff-Besicovich dimenzija striktno veća od njegove topološke dimenzije i može biti (i najčešće jeste) frakciona.

Posebno se mora naglasiti da fraktalna dimenzija objekta ne opisuje njegov oblik, a objekti koji imaju istu dimenziju, ali nastali različitim mehanizmima formiranja, često se međusobno potpuno razlikuju. Fizički fraktali su prilično statistički slični sebi.

Frakcijsko mjerenje omogućava izračunavanje karakteristika koje se drugačije ne mogu jasno odrediti: stepen neravnine, diskontinuiteta, hrapavosti ili nestabilnosti objekta. Na primjer, krivudava obala, uprkos svojoj neizmjernoj dužini, ima hrapavost koja je jedinstvena za nju. Mandelbrot je ukazao na načine izračunavanja frakcijskih mjerenja objekata u okolnoj stvarnosti. U stvaranju svoje geometrije iznio je zakon o neuređenim oblicima koji se javljaju u prirodi. Zakon je naveo: stepen nestabilnosti je konstantan na različitim razmjerima.

Posebna vrsta fraktala su vremenskih fraktala. Godine 1962. Mandelbrot je bio suočen sa zadatkom da eliminiše buku u telefonskim linijama koja je stvarala probleme kompjuterskim modemima. Kvalitet prijenosa signala ovisi o vjerovatnoći pojave grešaka. Inženjeri su se borili s problemom smanjenja buke, smišljajući zagonetne i skupe tehnike, ali nisu dobili impresivne rezultate. Na osnovu rada osnivača teorije skupova Georga Cantora, Mandelbrot je pokazao da se pojava buke - produkta haosa - u principu ne može izbjeći, pa stoga predložene metode rješavanja s njima neće donijeti rezultate. U potrazi za uzorkom u nastanku buke, on dobija "Cantorovu prašinu" - fraktalni slijed događaja. Zanimljivo je da distribucija zvijezda u Galaksiji slijedi iste obrasce:

“Materija”, jednoliko raspoređena duž inicijatora (jedan segment vremenske ose), izložena je centrifugalnom vrtlogu, koji je “zameće” do krajnjih trećina intervala... Curdling može se nazvati bilo koja kaskada nestabilnih stanja, koja na kraju dovodi do zgušnjavanja materije, a termin svježi sir može odrediti volumen unutar kojeg određena fizička karakteristika postaje - kao rezultat sirenja - izuzetno koncentrirana.

Haotični fenomeni kao što su atmosferska turbulencija, pokretljivost kore, itd., pokazuju slično ponašanje na različitim vremenskim skalama, baš kao što objekti nepromjenjivi na skali pokazuju slične strukturne obrasce na različitim prostornim skalama.

Kao primjer navešćemo nekoliko tipičnih situacija u kojima je korisno koristiti ideje o fraktalnoj strukturi. Profesor sa Univerziteta Kolumbija Kristofer Šolc specijalizovao se za proučavanje oblika i strukture čvrste materije Zemlje i proučavao zemljotrese. Godine 1978. pročitao je Mandelbrotovu knjigu Fraktali: oblik, slučajnost i dimenzija » i pokušao primijeniti teoriju na opis, klasifikaciju i mjerenje geofizičkih objekata. Scholz je otkrio da fraktalna geometrija daje nauku efikasan metod opisi specifičnog grudastog pejzaža Zemlje. Fraktalna dimenzija pejzaža planete otvara vrata razumijevanju njegovih najvažnijih karakteristika. Metalurzi su otkrili istu stvar u drugom obimu - na površinama različitih vrsta čelika. Konkretno, fraktalna dimenzija metalne površine često omogućava da se proceni njena snaga. Ogroman broj fraktalnih objekata proizvodi fenomen kristalizacije. Najčešći tip fraktala koji nastaje tokom rasta kristala su dendriti, koji su izuzetno rasprostranjeni u živoj prirodi. Ansambli nanočestica često demonstriraju implementaciju "Lewy prašine". Ovi kompleti, u kombinaciji sa apsorbovanim rastvaračem, formiraju prozirne kompakte - Levy naočare, potencijalno važnih materijala fotonika

Budući da se fraktali ne izražavaju u primarnim geometrijskim oblicima, već u algoritmima, skupovima matematičkih procedura, jasno je da se ova oblast matematike počela razvijati skokovima i granicama zajedno s pojavom i razvojem moćnih računara. Haos je, zauzvrat, doveo do novih kompjuterskih tehnologija, posebne grafičke tehnologije koja je sposobna reproducirati zadivljujuće strukture nevjerovatne složenosti nastale određenim vrstama poremećaja. U doba interneta i personalnih kompjutera, ono što je bilo prilično teško u Mandelbrotovo vrijeme postalo je lako dostupno svima. Ali najvažnije u njegovoj teoriji, naravno, nije bilo stvaranje lijepih slika, već zaključak da je ovaj matematički aparat prikladan za opisivanje složenih prirodnih pojava i procesa koji do tada u znanosti uopće nisu razmatrani. Repertoar algoritamskih elemenata je neiscrpan.

Jednom kada ovladate jezikom fraktala, možete opisati oblik oblaka tako jasno i jednostavno kao što arhitekt opisuje zgradu koristeći crteže koji koriste jezik tradicionalne geometrije.<...>Prošlo je samo nekoliko decenija otkako je Benoit Mandelbrot izjavio: „Geometrija prirode je fraktalna!“ Danas već možemo pretpostaviti mnogo više, naime da je fraktalnost primarni princip izgradnje svih prirodnih objekata bez izuzetka.

U zaključku, dozvolite mi da vam predstavim set fotografija koje ilustruju ovaj zaključak i fraktale konstruisane pomoću kompjuterskog programa Fractal Explorer. Naš sljedeći članak će biti posvećen problemu korištenja fraktala u kristalnoj fizici.

Post Scriptum

Od 1994. do 2013. godine u pet tomova objavljen je jedinstveni rad domaćih naučnika „Atlas vremenskih varijacija u prirodnim antropogenim i društvenim procesima” – izvor materijala bez premca koji uključuje podatke praćenja svemira, biosfere, litosfere, atmosfere, hidrosfere. , društvene i tehnogene sfere i sfere vezane za zdravlje i kvalitet života ljudi. U tekstu su dati detalji o podacima i rezultatima njihove obrade, te se upoređuju karakteristike dinamike vremenskih serija i njihovih fragmenata. Jedinstveni prikaz rezultata omogućava dobijanje uporedivih rezultata za identifikaciju zajedničkih i pojedinačnih karakteristika dinamike procesa i uzročno-posledičnih veza između njih. Eksperimentalni materijal pokazuje da su procesi u različitim oblastima, prvo, slični, a drugo, manje-više međusobno povezani.

Dakle, atlas je sumirao rezultate interdisciplinarnog istraživanja i prezentirao komparativna analiza potpuno različite podatke u širokom rasponu vremena i prostora. Knjiga pokazuje da su „procesi koji se odvijaju u zemaljskim sferama uzrokovani velikim brojem faktora interakcije, koji u različitim područjima (i u različito vrijeme) izazivaju različite reakcije“, što ukazuje na „potrebu za integriranim pristupom analizi geodinamička, kosmička, društvena, ekonomska i medicinska zapažanja" Ostaje da izrazimo nadu da će ovaj suštinski važan posao biti nastavljen.

. Jurgens H., Peitgen H.-O., Zaupe D. Jezik fraktala // U svijetu znanosti. 1990. br. 10. str. 36–44.
. Atlas vremenskih varijacija u prirodnim antropogenim i društvenim procesima. T. 1: Red i haos u litosferi i drugim sferama. M., 1994; T. 2: Ciklična dinamika u prirodi i društvu. M., 1998; T. 3: Prirodne i društvene sfere kao dijelovi okruženje i kao objekti uticaja. M., 2002; T. 4: Čovjek i njegove tri sredine. M., 2009. T. 5: Čovjek i njegove tri sredine. M., 2013.

Često briljantna otkrića u nauci mogu radikalno promijeniti naše živote. Na primjer, pronalazak vakcine može spasiti mnoge ljude, ali stvaranje novog oružja vodi u ubistvo. Doslovno juče (na ljestvici istorije) čovjek je „ukrotio” električnu energiju, a danas više ne može zamisliti svoj život bez nje. Međutim, postoje i otkrića koja, kako kažu, ostaju u sjeni, unatoč tome što i ona imaju jedan ili drugi utjecaj na naše živote. Jedno od ovih otkrića bio je fraktal. Većina ljudi nikada nije ni čula za ovaj koncept i neće moći da objasne njegovo značenje. U ovom članku pokušat ćemo razumjeti pitanje što je fraktal i razmotriti značenje ovog pojma iz perspektive nauke i prirode.

Red u haosu

Da bismo razumeli šta je fraktal, trebalo bi da počnemo sa debrifingom sa pozicije matematike, ali pre nego što uđemo u to, malo ćemo filozofirati. Svaka osoba ima prirodnu radoznalost, zahvaljujući kojoj uči o svijetu oko sebe. Često, u potrazi za znanjem, pokušava da koristi logiku u svojim prosudbama. Stoga, analizirajući procese koji se dešavaju oko njega, pokušava izračunati odnose i izvući određene obrasce. Najveći umovi na planeti zauzeti su rješavanjem ovih problema. Grubo govoreći, naši naučnici traže obrasce tamo gdje ih nema, a ne bi ih trebalo biti. Pa ipak, čak i u haosu postoji veza između određenih događaja. Ova veza je ono što je fraktal. Kao primjer, uzmite slomljenu granu koja leži na cesti. Ako ga bolje pogledamo, vidjet ćemo da sa svim svojim granama i grančicama i sam liči na drvo. Ova sličnost zasebnog dijela sa jedinstvenom cjelinom ukazuje na takozvani princip rekurzivne samosličnosti. Fraktali se mogu naći posvuda u prirodi, jer se mnogi neorganski i organski oblici formiraju na sličan način. To su oblaci, morske školjke, školjke puževa, krošnje drveća, pa čak i krvožilni sistem. Ova lista se može nastaviti u nedogled. Svi ovi nasumični oblici se lako opisuju fraktalnim algoritmom. Sada smo došli da razmotrimo šta je fraktal iz perspektive egzaktnih nauka.

Neke suve činjenice

Sama riječ “fraktal” sa latinskog je prevedena kao “djelomičan”, “podijeljen”, “fragmentiran”, a što se tiče sadržaja ovog pojma, ne postoji formulacija kao takva. Obično se tumači kao sebi sličan skup, dio cjeline, koji svoju strukturu ponavlja na mikro nivou. Ovaj termin je sedamdesetih godina dvadesetog veka skovao Benoit Mandelbrot, koji je prepoznat kao otac, a danas koncept fraktala označava grafičku sliku određene strukture, koja će, kada se uveća, biti slična samoj sebi. Međutim, matematička osnova za stvaranje ove teorije bila je postavljena još prije rođenja samog Mandelbrota, ali se nije mogla razviti sve dok se nisu pojavili elektronički računari.

Istorijska pozadina, ili Kako je sve počelo

Na prelazu iz 19. u 20. vek proučavanje prirode fraktala bilo je sporadično. To se objašnjava činjenicom da su matematičari radije proučavali objekte koji bi se mogli istraživati ​​na osnovu općih teorija i metoda. Godine 1872. njemački matematičar K. Weierstrass konstruisao je primjer kontinuirane funkcije koja se nigdje ne može razlikovati. Međutim, ispostavilo se da je ova konstrukcija potpuno apstraktna i teško uočljiva. Sljedeći je došao Šveđanin Helge von Koch, koji je 1904. godine konstruirao kontinuiranu krivu koja nigdje nije imala tangentu. Prilično je lako nacrtati i ispostavilo se da ima fraktalna svojstva. Jedna od varijanti ove krivulje dobila je ime po svom autoru - "Koch pahulja". Nadalje, ideju o samosličnosti figura razvio je budući mentor B. Mandelbrota, Francuz Paul Levy. Godine 1938. objavio je članak "Ravan i prostorne krive i površine koje se sastoje od dijelova sličnih cjelini". U njemu je opisao novi tip - Lewyjevu C-krivu. Sve gore navedene figure se konvencionalno klasificiraju kao geometrijski fraktali.

Dinamički ili algebarski fraktali

Mandelbrotov skup pripada ovoj klasi. Prvi istraživači u ovom pravcu bili su francuski matematičari Pierre Fatou i Gaston Julia. Julia je 1918. objavila rad zasnovan na proučavanju iteracija racionalnih kompleksnih funkcija. Ovdje je opisao porodicu fraktala koji su usko povezani sa Mandelbrotovim skupom. Uprkos činjenici da je ovo djelo proslavilo autora među matematičarima, brzo je zaboravljeno. I samo pola veka kasnije, zahvaljujući kompjuterima, Julijin rad je dobio drugi život. Kompjuteri su omogućili da se svakom čovjeku učini vidljivom ljepota i bogatstvo svijeta fraktala koje su matematičari mogli „vidjeti“ prikazujući ih kroz funkcije. Mandelbrot je bio prvi koji je koristio kompjuter za izvođenje proračuna (ovakav volumen se ne može napraviti ručno) koji je omogućio konstruiranje slike ovih figura.

Osoba sa prostornom maštom

Mandelbrot je započeo svoju naučnu karijeru u IBM istraživačkom centru. Proučavajući mogućnosti prijenosa podataka na velike udaljenosti, naučnici su se suočili s činjenicom velikih gubitaka koji su nastali zbog smetnji buke. Benoit je tražio načine da riješi ovaj problem. Gledajući kroz rezultate mjerenja, primijetio je čudan obrazac, naime: grafovi šuma izgledali su isto na različitim vremenskim skalama.

Slična slika je uočena i za period od jednog dana i za sedam dana ili sat vremena. Sam Benoit Mandelbrot je često ponavljao da ne radi sa formulama, već se igra slikama. Ovaj naučnik se odlikovao maštovitim razmišljanjem, prevodio je svaki algebarski problem u geometrijsku oblast, gde je tačan odgovor očigledan. Stoga nije iznenađujuće da se ističe svojim bogatstvom i da je postao otac fraktalne geometrije. Na kraju krajeva, svijest o ovoj figuri može doći samo kada proučavate crteže i razmišljate o značenju ovih čudnih vrtloga koji formiraju obrazac. Fraktalni obrasci nemaju identične elemente, ali su slični u bilo kojoj skali.

Julia - Mandelbrot

Jedan od prvih crteža ove figure bila je grafička interpretacija kompleta, koja je nastala iz rada Gastona Julije, a dalje je razvio Mandelbrot. Gaston je pokušao zamisliti kako bi skup izgledao na osnovu jednostavne formule koja se ponavljala kroz povratnu petlju. Hajde da pokušamo da objasnimo šta je rečeno ljudskim jezikom, da tako kažem, na prste. Za određenu numeričku vrijednost pronalazimo novu vrijednost pomoću formule. Zamjenjujemo ga u formulu i nalazimo sljedeće. Rezultat je veliki, da bi se predstavio takav skup potrebno je izvršiti ovu operaciju ogroman broj puta: stotine, hiljade, milione. Ovo je Benoit uradio. Obradio je niz i rezultate prenio u grafički oblik. Nakon toga je obojio rezultirajuću figuru (svaka boja odgovara određenom broju iteracija). Ova grafička slika je nazvana “Mandelbrotov fraktal”.

L. Carpenter: umjetnost koju je stvorila priroda

Teorija fraktala brzo je našla praktičnu primjenu. Budući da je vrlo blisko povezana sa vizualizacijom sebi sličnih slika, umjetnici su prvi usvojili principe i algoritme za konstruiranje ovih neobičnih oblika. Prva od njih bila je buduća osnivačica Pixara, Lauren Carpenter. Dok je radio na prezentaciji prototipova aviona, došao je na ideju da kao pozadinu koristi sliku planina. Danas skoro svaki korisnik računara može da se nosi sa takvim zadatkom, ali sedamdesetih godina prošlog veka računari nisu mogli da obavljaju takve procese, jer u to vreme nije bilo grafičkih uređivača niti aplikacija za trodimenzionalnu grafiku. A onda je Loren naišao na Mandelbrotovu knjigu “Fraktali: Forma, slučajnost i dimenzija”. U njoj je Benoit dao mnogo primjera, pokazujući da fraktali postoje u prirodi (fyva), opisao je njihove različite oblike i dokazao da se lako opisuju matematičkim izrazima. Matematičar je ovu analogiju naveo kao argument za korisnost teorije koju je razvijao kao odgovor na salvu kritika svojih kolega. Oni su tvrdili da je fraktal samo lijepa slika, da nema vrijednost i da je nusproizvod rada elektronskih mašina. Carpenter je odlučio isprobati ovu metodu u praksi. Nakon pažljivog proučavanja knjige, budući animator počeo je tražiti način implementacije fraktalne geometrije u kompjutersku grafiku. Trebalo mu je samo tri dana da na svom kompjuteru prikaže potpuno realističnu sliku planinskog pejzaža. I danas se ovaj princip široko koristi. Kako se ispostavilo, stvaranje fraktala ne oduzima mnogo vremena i truda.

Tesarsko rešenje

Princip koji je Lauren koristila bio je jednostavan. Sastoji se od dijeljenja većih na male elemente, a onih na slične manje i tako dalje. Carpenter ih je, koristeći velike trouglove, podijelio na 4 mala, i tako dalje, dok nije dobio realističan planinski pejzaž. Tako je postao prvi umjetnik koji je koristio fraktalni algoritam u kompjuterskoj grafici da konstruiše potrebnu sliku. Danas se ovaj princip koristi za oponašanje različitih realističnih prirodnih oblika.

Prva 3D vizualizacija pomoću fraktalnog algoritma

Nekoliko godina kasnije, Lauren je primijenio svoj razvoj u velikom projektu - animiranom videu Vol Libre, prikazanom na Siggraphu 1980. godine. Ovaj video je šokirao mnoge, a njegov kreator je pozvan da radi u Lucasfilmu. Ovdje je animator mogao ostvariti svoj puni potencijal, kreirao je trodimenzionalne pejzaže (cijela planeta) za igrani film "Zvjezdane staze". Svaki moderni program (“Fraktali”) ili aplikacija za kreiranje 3D grafike (Terragen, Vue, Bryce) koristi isti algoritam za modeliranje tekstura i površina.

Tom Beddard

Nekadašnji laserski fizičar, a sada digitalni umjetnik i umjetnik, Beddard je stvorio niz vrlo intrigantnih geometrijskih oblika, koje je nazvao Fabergéovim fraktalima. Izvana podsjećaju na ukrasna jaja ruskog draguljara, imaju isti briljantan, zamršen uzorak. Beddard je koristio metodu šablona da kreira svoje digitalne prikaze modela. Dobijeni proizvodi zadivljuju svojom ljepotom. Iako mnogi odbijaju upoređivati ​​proizvod self made sa kompjuterskim programom, ali mora se priznati da su nastale forme izuzetno lijepe. Vrhunac je da svako može napraviti takav fraktal koristeći WebGL softversku biblioteku. Omogućava vam da istražite različite fraktalne strukture u realnom vremenu.

Fraktali u prirodi

Malo ljudi obraća pažnju, ali ove nevjerovatne brojke prisutne su posvuda. Priroda je stvorena od sebi sličnih figura, mi to jednostavno ne primjećujemo. Dovoljno je da kroz lupu pogledamo našu kožu ili list drveta i videćemo fraktale. Ili uzmite, na primjer, ananas ili čak paunov rep - sastoje se od sličnih figura. A sorta brokule Romanescu općenito je upečatljiva svojim izgledom, jer se zaista može nazvati čudom prirode.

Muzička pauza

Ispostavilo se da fraktali nisu samo geometrijski oblici, već mogu biti i zvukovi. Tako muzičar Jonathan Colton piše muziku koristeći fraktalne algoritme. Tvrdi da odgovara prirodnoj harmoniji. Kompozitor objavljuje sva svoja djela pod CreativeCommons Attribution-Nekomercijalnom licencom, koja omogućava besplatnu distribuciju, kopiranje i prijenos djela drugima.

Fraktalni indikator

Ova tehnika je našla vrlo neočekivanu primjenu. Na njegovoj osnovi stvoren je alat za analizu berzanskog tržišta, koji je kao rezultat toga počeo da se koristi na Forex tržištu. Danas se fraktalni indikator nalazi na svim trgovačkim platformama i koristi se u tehnici trgovanja koja se zove probijanje cijene. Ovu tehniku ​​je razvio Bill Williams. Kako autor komentira svoj izum, ovaj algoritam je kombinacija nekoliko "svijeća", u kojima središnja odražava maksimalnu ili, obrnuto, minimalnu ekstremnu tačku.

Konačno

Pa smo pogledali šta je fraktal. Ispostavilo se da u haosu koji nas okružuje zapravo postoje idealne forme. Priroda je najbolji arhitekta, idealan graditelj i inženjer. Vrlo je logično raspoređeno, a ako ne možemo pronaći obrazac, to ne znači da ne postoji. Možda treba da gledamo u drugom razmjeru. Sa sigurnošću možemo reći da fraktali još uvijek kriju mnoge tajne koje tek treba da otkrijemo.

Opštinska budžetska obrazovna ustanova

"Siverskaya srednja škola br. 3"

Istraživanja

matematike.

Obavljen posao

Učenik 8-1 razreda

Emelin Pavel

Naučni direktor

nastavnik matematike

Tupitsyna Natalya Alekseevna

Siversky village

godina 2014

Matematika je sva prožeta lepotom i harmonijom,

Samo treba da vidite ovu lepotu.

B. Mandelbrot

Uvod________________________________________________3-4str.

Poglavlje 1.istorija nastanka fraktala._______5-6pp.

Poglavlje 2. Klasifikacija fraktala ______6-10pp.

Geometrijski fraktali

Algebarski fraktali

Stohastički fraktali

Poglavlje 3. "Fraktalna geometrija prirode"______11-13str.

Poglavlje 4. Primjena fraktala_______________13-15pp.

Poglavlje 5 Praktični rad_______________16-24str.

Zaključak________________________________25.str

Spisak referenci i Internet resursa________26 strana.

Uvod

matematika,

ako dobro pogledaš,

ne odražava samo istinu,

ali i neuporedivu lepotu.

Bertrand Russell

Riječ "fraktal" je nešto o čemu mnogi ljudi pričaju ovih dana, od naučnika do srednjoškolaca. Pojavljuje se na naslovnicama mnogih udžbenika matematike, naučnih časopisa i kutija sa kompjuterskim softverom. Slike fraktala u boji danas se mogu naći svuda: od razglednica, majica do slika na desktopu personalnog računara. Dakle, koji su to obojeni oblici koje vidimo okolo?

Matematika je najstarija nauka. Većini ljudi se činilo da je geometrija u prirodi ograničena na takve jednostavne figure, kao što su linija, krug, poligon, sfera, itd. Kako se ispostavilo, mnogi prirodni sistemi su toliko složeni da korištenje samo poznatih objekata obične geometrije za njihovo modeliranje izgleda beznadežno. Kako, na primjer, možete napraviti model planinskog lanca ili krošnje drveta u smislu geometrije? Kako opisati raznolikost biološke raznolikosti koju opažamo u svijetu biljaka i životinja? Kako zamisliti složenost cirkulacijskog sistema, koji se sastoji od mnogih kapilara i žila i koji isporučuje krv u svaku ćeliju ljudskog tijela? Zamislite građu pluća i bubrega, koja po strukturi podsjeća na drveće s razgranatom krošnjom?

Fraktali su pogodni alati za istraživanje ovih pitanja. Često nas ono što vidimo u prirodi zaintrigira beskonačnim ponavljanjem istog obrasca, uvećanog ili smanjenog za nekoliko puta. Na primjer, drvo ima grane. Na ovim granama se nalaze manje grane itd. Teoretski, element grananja se ponavlja beskonačno, postajući sve manji i manji. Ista stvar se može vidjeti kada se pogleda fotografija planinskog terena. Pokušajte da zumirate malo bliže planinskom lancu --- ponovo ćete vidjeti planine. Tako se manifestuje svojstvo samosličnosti karakteristično za fraktale.

Proučavanje fraktala otvara divne mogućnosti, kako u proučavanju beskonačnog broja primjena, tako i na polju matematike. Primene fraktala su veoma opsežne! Uostalom, ovi predmeti su toliko lijepi da ih koriste dizajneri, umjetnici, uz pomoć njih se crtaju mnogi elementi u grafici: drveće, oblaci, planine itd. Ali fraktali se čak koriste i kao antene u mnogim mobilnim telefonima.

Za mnoge haologe (naučnike koji proučavaju fraktale i haos) ovo nije samo novo polje znanja koje kombinuje matematiku, teorijsku fiziku, umjetnost i kompjutersku tehnologiju – to je revolucija. Ovo je otkriće nove vrste geometrije, geometrije koja opisuje svijet oko nas i koja se može vidjeti ne samo u udžbenicima, već iu prirodi i svuda u bezgraničnom svemiru.

U svom radu odlučila sam i da „dodirnem“ svet lepote i odredila za sebe...

Cilj rada: stvaranje objekata čije su slike vrlo slične prirodnim.

Metode istraživanja: komparativna analiza, sinteza, modeliranje.

Zadaci:

upoznavanje sa konceptom, istorijom nastanka i istraživanja B. Mandelbrota,

G. Koch, V. Sierpinsky i drugi;

upoznavanje sa raznim vrstama fraktalnih skupova;

proučavanje naučnopopularne literature o ovoj problematici, upoznavanje sa

naučne hipoteze;

pronalaženje potvrde teorije fraktalnosti okolnog svijeta;

proučavanje upotrebe fraktala u drugim naukama i praksi;

provođenje eksperimenta za stvaranje vlastitih fraktalnih slika.

Osnovno pitanje rada:

Pokazati da matematika nije suha, bezdušna tema, ona može izraziti duhovni svijet čovjeka pojedinačno i društva u cjelini.

Predmet studija: Fraktalna geometrija.

Predmet proučavanja: fraktali u matematici i stvarnom svijetu.

Hipoteza: Sve što postoji u stvarnom svijetu je fraktal.

Metode istraživanja: analitička, pretraga.

Relevantnost Navedenu temu određuje, prije svega, predmet istraživanja, a to je fraktalna geometrija.

Očekivani rezultati: U toku rada moći ću da proširim svoja znanja iz oblasti matematike, uvidim ljepotu fraktalne geometrije i počnem raditi na stvaranju vlastitih fraktala.

Rezultat rada će biti izrada kompjuterske prezentacije, biltena i knjižice.

Poglavlje 1. Istorija

B kada Mandelbrot

Koncept "fraktala" izmislio je Benoit Mandelbrot. Riječ dolazi od latinskog fractus, što znači "slomljen, slomljen".

Fraktal (lat. fractus - zgnječen, slomljen, slomljen) je pojam koji označava složenu geometrijsku figuru koja ima svojstvo samosličnosti, odnosno sastavljena od više dijelova od kojih je svaki sličan cijeloj figuri.

Matematički objekti na koje se odnosi odlikuju se izuzetno zanimljivim svojstvima. U običnoj geometriji, linija ima jednu dimenziju, površina ima dvije dimenzije, a prostorna figura ima tri dimenzije. Fraktali nisu linije ili površine, već, ako možete to zamisliti, nešto između. Kako se veličina povećava, volumen fraktala se također povećava, ali njegova dimenzija (eksponent) nije cjelina, već razlomka, pa stoga granica fraktalne figure nije linija: pri velikom povećanju postaje jasno da je je zamagljen i sastoji se od spirala i kovrča, koji se ponavljaju pri malom uvećanju same figure. Ova geometrijska pravilnost naziva se invarijantnost skale ili samosličnost. To je ono što određuje frakcijsku dimenziju fraktalnih figura.

Prije pojave fraktalne geometrije, nauka se bavila sistemima sadržanim u tri prostorne dimenzije. Zahvaljujući Ajnštajnu, postalo je jasno da je trodimenzionalni prostor samo model stvarnosti, a ne sama stvarnost. U stvari, naš svijet se nalazi u četverodimenzionalnom prostor-vremenskom kontinuumu.
Zahvaljujući Mandelbrotu, postalo je jasno kako izgleda četverodimenzionalni prostor, figurativno rečeno, fraktalno lice Haosa. Benoit Mandelbrot je otkrio da četvrta dimenzija uključuje ne samo prve tri dimenzije, već i (ovo je vrlo važno!) intervale između njih.

Rekurzivna (ili fraktalna) geometrija zamjenjuje euklidsku geometriju. Nova nauka je u stanju da opiše pravu prirodu tela i pojava. Euklidska geometrija se bavila samo vještačkim, imaginarnim objektima koji pripadaju tri dimenzije. Samo ih četvrta dimenzija može pretvoriti u stvarnost.

tečnost, gas, solidan- tri poznata fizička stanja materije koja postoje u trodimenzionalnom svijetu. Ali koja je dimenzija oblaka dima, oblaka, tačnije, njihovih granica, neprestano nagrizanih turbulentnim kretanjem zraka?

U osnovi, fraktali se dijele u tri grupe:

Algebarski fraktali

Stohastički fraktali

Geometrijski fraktali

Pogledajmo pobliže svaki od njih.

Poglavlje 2. Klasifikacija fraktala

Geometrijski fraktali

Benoit Mandelbrot je predložio fraktalni model, koji je već postao klasičan i često se koristi za demonstriranje kako tipičnog primjera samog fraktala, tako i za demonstraciju ljepote fraktala, što također privlači istraživače, umjetnike i jednostavno zainteresirane ljude.

Tu je počela istorija fraktala. Ova vrsta fraktala se dobija jednostavnim geometrijskim konstrukcijama. Obično, kada konstruišu ove fraktale, oni rade ovo: uzimaju "sjeme" - aksiom - skup segmenata na osnovu kojih će se fraktal graditi. Zatim se na ovo "sjeme" primjenjuje skup pravila, koji ga pretvara u neku vrstu geometrijske figure. Zatim se isti skup pravila ponovo primjenjuje na svaki dio ove figure. Svakim korakom figura će postajati sve složenija, a ako izvršimo (barem u mislima) beskonačan broj transformacija, dobit ćemo geometrijski fraktal.

Fraktali ove klase su najvizuelniji, jer je samosličnost u njima odmah vidljiva na bilo kojoj skali posmatranja. U dvodimenzionalnom slučaju, takvi se fraktali mogu dobiti specificiranjem neke izlomljene linije koja se zove generator. U jednom koraku algoritma, svaki od segmenata koji čine poliliniju zamjenjuje se generatorskom polilinijom, u odgovarajućoj skali. Kao rezultat beskonačnog ponavljanja ovog postupka (ili, preciznije, kada se ide do granice), dobija se fraktalna kriva. Unatoč prividnoj složenosti rezultirajuće krive, njen opći izgled određuje samo oblik generatora. Primjeri takvih krivulja su: Kochova kriva (slika 7), Peano kriva (slika 8), kriva Minkowskog.

Početkom dvadesetog veka matematičari su tražili krivulje koje ni u jednoj tački nemaju tangentu. To je značilo da je kriva naglo promijenila svoj smjer i, osim toga, s kolosalom velika brzina(izvod je jednak beskonačnosti). Potraga za ovim krivuljama nije bila uzrokovana samo praznim zanimanjem matematičara. Činjenica je da se početkom dvadesetog veka kvantna mehanika razvijala veoma brzo. Istraživač M. Brown je skicirao putanju kretanja suspendiranih čestica u vodi i objasnio ovaj fenomen na sljedeći način: nasumično pokretni atomi tekućine udaraju u suspendirane čestice i time ih pokreću. Nakon ovog objašnjenja Brownovog kretanja, naučnici su se suočili sa zadatkom pronalaženja krivulje koja bi najbolji način pokazao kretanje Brownovih čestica. Da bi se to postiglo, kriva je morala zadovoljiti sljedeća svojstva: da nema tangente ni u jednoj tački. Matematičar Koch je predložio jednu takvu krivu.

TO Kochova kriva je tipičan geometrijski fraktal. Proces konstruisanja je sljedeći: uzimamo jedan segment, dijelimo ga na tri jednaka dijela i zamjenjujemo srednji interval jednakostraničnim trouglom bez ovog segmenta. Kao rezultat, formira se isprekidana linija koja se sastoji od četiri karike dužine 1/3. U sljedećem koraku ponavljamo operaciju za svaku od četiri rezultirajuće veze, itd...

Granična kriva je Kochova kriva.

Snowflake Koch. Izvođenjem slične transformacije na stranicama jednakostraničnog trokuta, možete dobiti fraktalnu sliku Kochove pahulje.

T
Još jedan jednostavan predstavnik geometrijskog fraktala je Sierpinski trg. Konstruisan je prilično jednostavno: kvadrat je podijeljen pravim linijama paralelnim sa njegovim stranicama na 9 jednakih kvadrata. Centralni trg je uklonjen sa trga. Rezultat je skup koji se sastoji od 8 preostalih kvadrata "prvog ranga". Čineći potpuno isto sa svakim od kvadrata prvog ranga, dobijamo skup koji se sastoji od 64 kvadrata drugog ranga. Nastavljajući ovaj proces beskonačno, dobijamo beskonačan niz ili kvadrat Sierpinskog.

Algebarski fraktali

Ovo je najveća grupa fraktala. Algebarski fraktali su dobili ime jer su konstruisani pomoću jednostavnih algebarskih formula.

Dobijaju se nelinearnim procesima u n-dimenzionalni prostori. Poznato je da nelinearni dinamički sistemi imaju nekoliko stabilnih stanja. Stanje u kojem se dinamički sistem nalazi nakon određenog broja iteracija zavisi od njegovog početnog stanja. Dakle, svako stabilno stanje (ili, kako se kaže, atraktor) ima određeno područje početnih stanja, iz kojih će sistem nužno pasti u konačna stanja koja se razmatraju. Tako je fazni prostor sistema podijeljen na područja privlačnosti atraktori. Ako je fazni prostor dvodimenzionalan, onda se bojanjem područja privlačnosti različitim bojama može dobiti fazni portret u boji ovaj sistem (iterativni proces). Promjenom algoritma za odabir boja, možete dobiti složene fraktalne uzorke s bizarnim višebojnim uzorcima. Ono što je iznenadilo matematičare je sposobnost generiranja vrlo složenih struktura korištenjem primitivnih algoritama.

Kao primjer, razmotrite Mandelbrotov skup. Oni ga grade koristeći kompleksne brojeve.

Dio granice Mandelbrotovog skupa, uvećan 200 puta.

Mandelbrotov skup sadrži tačke koje tokombeskonačno broj iteracija ne ide u beskonačnost (tačke koje su crne). Tačke koje pripadaju granici skupa(tu nastaju složene strukture) idu u beskonačnost u konačnom broju iteracija, a tačke koje leže izvan skupa idu u beskonačnost nakon nekoliko iteracija (bijela pozadina).

P



Primjer drugog algebarskog fraktala je Julia skup. Postoje 2 varijante ovog fraktala. Iznenađujuće, Julia skupovi se formiraju koristeći istu formulu kao Mandelbrotov skup. Julia skup je izumio francuski matematičar Gaston Julia, po kome je skup i dobio ime.

I
zanimljiva činjenica, neki algebarski fraktali upadljivo podsjećaju na slike životinja, biljaka i drugih bioloških objekata, zbog čega se nazivaju biomorfi.

Stohastički fraktali

Druga dobro poznata klasa fraktala su stohastički fraktali, koji se dobijaju ako se neki od njegovih parametara nasumično mijenjaju u iterativnom procesu. U ovom slučaju, rezultirajući objekti su vrlo slični prirodnim - asimetrična stabla, neravne obale itd.

Tipičan predstavnik ove grupe fraktala je „plazma“.

D
Da biste ga konstruirali, uzmite pravougaonik i dodijelite boju svakom njegovom kutu. Zatim se pronađe središnja tačka pravougaonika i boji se bojom koja je jednaka aritmetičkoj sredini boja na uglovima pravougaonika plus neki slučajni broj. Što je veći nasumični broj, to će crtež biti „raščupaniji“. Ako pretpostavimo da je boja tačke visina iznad nivoa mora, umjesto plazme dobijamo planinski lanac. Na ovom principu su planine modelirane u većini programa. Koristeći algoritam sličan plazmi, gradi se visinska karta, na nju se primjenjuju različiti filteri, nanosi se tekstura i spremne su fotorealistične planine

E
Ako pogledamo ovaj fraktal u poprečnom presjeku, vidjet ćemo da je ovaj fraktal volumetričan, i ima “hrapavost”, upravo zbog te “hrapavosti” postoji vrlo važna primjena ovog fraktala.

Recimo da trebate opisati oblik planine. Obične figure iz euklidske geometrije ovdje neće pomoći, jer ne uzimaju u obzir topografiju površine. Ali kada kombinujete konvencionalnu geometriju sa fraktalnom geometrijom, možete dobiti samu „hrapavost“ planine. Treba da nanesemo plazmu na pravilan konus i dobićemo reljef planine. Takve se operacije mogu izvoditi s mnogim drugim objektima u prirodi; zahvaljujući stohastičkim fraktalima, sama priroda se može opisati.

Hajde sada da pričamo o geometrijskim fraktalima.

.

Poglavlje 3 "Fraktalna geometrija prirode"

" Zašto se geometrija često naziva "hladna" i "suva"? Jedan od razloga je taj što ne može opisati oblik oblaka, planine, obale ili drveta. Oblaci nisu kugle, planine nisu stošci, obale nisu krugovi, kora drveta nije glatko, munja ne putuje pravolinijski. Općenito, tvrdim da su mnogi objekti u prirodi toliko nepravilni i fragmentirani da u poređenju sa Euklidom - izraz koji u ovom radu označava svu standardnu ​​geometriju - priroda nije samo složenija , ali kompleksnost na potpuno drugom nivou. Broj različitih dužinskih skala prirodnih objekata je, za sve praktične svrhe, beskonačan."

(Benoit Mandelbrot "Fraktalna geometrija prirode" ).

TO Ljepota fraktala je dvostruka: oduševljava oko, o čemu svjedoči svjetska izložba fraktalnih slika, koju je organizirala grupa bremenskih matematičara pod vodstvom Peitgena i Richtera. Kasnije su eksponati ove grandiozne izložbe uslikani ilustracijama za knjigu istih autora „Ljepota fraktala“. Ali postoji još jedan, apstraktniji ili uzvišeniji, aspekt ljepote fraktala, otvoren, prema R. Feynmanu, samo mentalnom pogledu teoretičara; u tom smislu, fraktali su lijepi zbog ljepote teškog matematičkog problema. . Benoit Mandelbrot je svojim savremenicima (i, po svoj prilici, potomcima) ukazao na dosadnu prazninu u Euklidovim elementima, kroz koju je, ne primjećujući propust, gotovo dva milenijuma čovječanstva shvatila geometriju okolnog svijeta i naučila matematičku strogost prikaza. Naravno, oba aspekta ljepote fraktala su usko povezana i ne isključuju, već se nadopunjuju, iako je svaki od njih sam sebi dovoljan.

Fraktalna geometrija prirode prema Mandelbrotu je prava geometrija koja zadovoljava definiciju geometrije koju je u Erlangenskom programu predložio F. Klein. Činjenica je da je prije pojave neeuklidske geometrije N.I. Lobačevskog - L. Bolyaia, postojala je samo jedna geometrija - ona koja je postavljena u "Principima", a pitanje šta je geometrija, a koja od geometrija geometrija stvarnog sveta nije se postavljalo, niti moglo nastati. Ali sa pojavom još jedne geometrije, postavilo se pitanje šta je geometrija uopšte i koja od mnogih geometrija odgovara stvarnom svetu. Prema F. Kleinu, geometrija se bavi proučavanjem takvih svojstava objekata koja su invarijantna prema transformacijama: Euklidske - invarijante grupe kretanja (transformacije koje ne mijenjaju udaljenost između bilo koje dvije tačke, tj. predstavljaju superpoziciju paralelnih translacija i rotacije sa ili bez promene orijentacije), geometrija Lobačevskog-Boljaja - invarijante Lorencove grupe. Fraktalna geometrija se bavi proučavanjem invarijanti grupe samoafinih transformacija, tj. svojstva izražena zakonima moći.

Što se tiče korespondencije sa realnim svijetom, fraktalna geometrija opisuje vrlo široku klasu prirodnih procesa i pojava, te stoga možemo, slijedeći B. Mandelbrota, s pravom govoriti o fraktalnoj geometriji prirode. Novi - fraktalni objekti imaju neobična svojstva. Dužine, površine i zapremine nekih fraktala su nula, dok se drugi okreću u beskonačnost.

Priroda često stvara nevjerovatne i lijepe fraktale, idealne geometrije i takvog sklada da se jednostavno smrznete od divljenja. A evo i njihovih primjera:

Morske školjke

Munja diviti se njihovom lepotom. Fraktali stvoreni munjom nisu proizvoljni ili pravilni

Fraktalni oblik podvrsta karfiola(Brassica cauliflora). Ova posebna vrsta je posebno simetričan fraktal.

P paprat je također dobar primjer fraktala među florom.

Paunovi svi su poznati po svom šarenom perju, u kojem se kriju čvrsti fraktali.

Led, smrznuti uzorci na prozorima su i to fraktali

O
t uvećana slika list, prije grane drveća- fraktali se mogu naći u svemu

Fraktali su svuda i svuda u prirodi oko nas. Čitav Univerzum izgrađen je prema nevjerovatno skladnim zakonima s matematičkom preciznošću. Da li je nakon ovoga moguće misliti da je naša planeta slučajna konkatenacija čestica? Teško.

Poglavlje 4. Primjena fraktala

Fraktali nalaze sve više primjena u nauci. Glavni razlog za to je taj što opisuju stvarnom svijetu ponekad čak i bolje od tradicionalne fizike ili matematike. Evo nekoliko primjera:

O
leže dani najmoćnijih primjena fraktala kompjuterska grafika. Ovo je fraktalna kompresija slike. Moderna fizika i mehanika tek počinju proučavati ponašanje fraktalnih objekata.

Prednosti algoritama fraktalne kompresije slike su vrlo mala veličina upakovane datoteke i kratko vrijeme oporavka slike. Fraktalno upakovane slike mogu se skalirati bez pojave pikselizacije (loš kvalitet slike - veliki kvadrati). Ali proces kompresije traje dugo i ponekad traje satima. Algoritam pakovanja fraktalnih gubitaka omogućava vam da postavite nivo kompresije, slično jpeg formatu. Algoritam se temelji na traženju velikih dijelova slike koji su slični nekim malim dijelovima. I samo koji komad je sličan kojem se upisuje u izlaznu datoteku. Prilikom kompresije obično se koristi kvadratna mreža (komadići su kvadrati), što dovodi do blagog ugla prilikom vraćanja slike; heksagonalna mreža nema ovaj nedostatak.

Iterated je razvio novi format slike, "Sting", koji kombinuje fraktalnu i "talasnu" (kao što je jpeg) kompresiju bez gubitaka. Novi format omogućava kreiranje slika s mogućnošću naknadnog visokokvalitetnog skaliranja, a volumen grafičkih datoteka je 15-20% volumena nekomprimiranih slika.

U mehanici i fizici Fraktali se koriste zbog njihovog jedinstvenog svojstva ponavljanja obrisa mnogih prirodnih objekata. Fraktali vam omogućavaju da aproksimirate drveće, planinske površine i pukotine sa većom preciznošću od aproksimacija koristeći skupove segmenata ili poligona (sa istom količinom pohranjenih podataka). Fraktalni modeli, kao i prirodni objekti, imaju „hrapavost“, a to svojstvo je očuvano bez obzira koliko je veliko povećanje modela. Prisutnost uniformne mjere na fraktalima omogućava primjenu integracije, teorije potencijala i njihovo korištenje umjesto standardnih objekata u već proučavanim jednačinama.

T
Fraktalna geometrija se također koristi za projektovanje antenskih uređaja. Ovo je prvi koristio američki inženjer Nathan Cohen, koji je tada živio u centru Bostona, gdje je bilo zabranjeno postavljanje vanjskih antena na zgrade. Cohen je izrezao oblik Kochove krivulje od aluminijske folije, a zatim ga zalijepio na komad papira i potom pričvrstio na prijemnik. Ispostavilo se da takva antena ne radi ništa lošije od obične. I iako fizički principi takve antene još nisu proučeni, to nije spriječilo Cohena da osnuje vlastitu kompaniju i pokrene njihovu serijsku proizvodnju. Trenutno je američka kompanija “Fractal Antenna System” razvila novi tip antene. Sada možete prestati koristiti mobilni telefoni isturene vanjske antene. Takozvana fraktalna antena nalazi se direktno na glavnoj ploči unutar uređaja.

Postoje i mnoge hipoteze o upotrebi fraktala - na primjer, limfni i cirkulatorni sustavi, pluća i još mnogo toga također imaju fraktalna svojstva.

Poglavlje 5. Praktični rad.

Prvo, pogledajmo fraktale “Ogrlica”, “Pobjeda” i “Kvadrat”.

Prvo - "Ogrlica"(Sl. 7). Pokretač ovog fraktala je krug. Ovaj krug se sastoji od određenog broja istih krugova, ali manjih veličina, a sam je jedan od nekoliko istih krugova, ali većih veličina. Dakle, proces obrazovanja je beskrajan i može se odvijati i u jednom i u suprotnom smjeru. One. lik se može povećati uzimanjem samo jednog malog luka, ili se može smanjiti razmatranjem njegove konstrukcije od manjih.

pirinač. 7.

Fraktal "Ogrlica"

Drugi fraktal je "pobjeda"(Sl. 8). Ovo ime je dobio jer izgleda kao latinično slovo "V", odnosno "pobjeda". Ovaj fraktal se sastoji od određenog broja malih „vs“ koji čine jedno veliko „V“, a u lijevoj polovini, u kojoj su male smještene tako da njihove lijeve polovine čine jednu pravu liniju, desni dio je izgrađen u isti put. Svaki od ovih "v" je izgrađen na isti način i nastavlja ovo do beskonačnosti.

Fig.8. Fraktal "Pobjeda"

Treći fraktal je "Kvadrat" (sl. 9). Svaka njegova strana sastoji se od jednog reda ćelija, u obliku kvadrata, čije stranice takođe predstavljaju redove ćelija itd.

Slika 9. Fraktal “Kvadrat”

Fraktal je nazvan “Ruža” (slika 10), zbog vanjske sličnosti sa ovim cvijetom. Konstrukcija fraktala uključuje konstrukciju niza koncentričnih krugova, čiji radijus varira proporcionalno datom omjeru (u ovom slučaju R m / R b = ¾ = 0,75.). Nakon toga, u svaki krug se upisuje pravilan šesterokut čija je stranica jednaka polumjeru kružnice opisane oko nje.

Rice. 11. Fraktal “Ruža*”

Zatim, okrenimo se pravilnom pentagonu, u kojem crtamo njegove dijagonale. Zatim, u rezultirajućem pentagonu na sjecištu odgovarajućih segmenata, ponovo crtamo dijagonale. Nastavimo ovaj proces beskonačno i dobićemo fraktal „Pentagram“ (slika 12).

Hajde da uvedemo element kreativnosti i naš fraktal će poprimiti oblik vizuelnijeg objekta (slika 13).

R
je. 12. Fraktal “Pentagram”.

Rice. 13. Fraktal “Pentagram *”

Rice. 14 fraktal "crna rupa"

Eksperiment br. 1 “Drvo”

Sada kada sam shvatio šta je fraktal i kako da ga izgradim, pokušao sam da kreiram sopstvene fraktalne slike. U Adobe Photoshopu sam napravio mali potprogram ili akciju, posebnost ove akcije je da ponavlja radnje koje ja radim i tako dobijem fraktal.

Za početak, napravio sam pozadinu za naš budući fraktal sa rezolucijom 600 x 600. Zatim sam nacrtao 3 linije na ovoj pozadini - osnovu našeg budućeg fraktala.

WITH Sljedeći korak je pisanje skripte.

duplirajte sloj ( sloj > duplikat) i promijenite vrstu miješanja u " Ekran" .

nazovimo ga" fr1". Kopirajte ovaj sloj (" fr1") još 2 puta.

Sada se moramo prebaciti na posljednji sloj (fr3) i spoji ga dvaput sa prethodnim ( Ctrl+E). Smanjite svjetlinu sloja ( Slika > Podešavanja > Svjetlina/kontrast , podešena svjetlina 50% ). Ponovo spojite s prethodnim slojem i odrežite rubove cijelog crteža kako biste uklonili nevidljive dijelove.

Poslednji korak Kopirao sam ovu sliku i zalijepio je manje i zarotirao. Ovo je konačni rezultat.

Zaključak

Ovaj rad predstavlja uvod u svijet fraktala. Razmotrili smo samo najmanji dio onoga što su fraktali i na osnovu kojih principa su građeni.

Fraktalna grafika nije samo skup slika koje se samo ponavljaju, ona je model strukture i principa bilo koje postojeće stvari. Cijeli naš život predstavljen je fraktalima. Sva priroda oko nas sastoji se od njih. Nemoguće je ne primijetiti raširenu upotrebu fraktala u kompjuterskim igrama, gdje su reljefi terena često fraktalne slike zasnovane na trodimenzionalnim modelima složenih skupova. Fraktali uvelike olakšavaju crtanje kompjuterske grafike, uz pomoć fraktala nastaju mnogi specijalni efekti, razne fantastične i nevjerovatne slike itd. Također, drveće, oblaci, obale i sva ostala priroda crtaju se fraktalnom geometrijom. Fraktalna grafika je svuda potrebna, a razvoj “fraktalnih tehnologija” jedan je od važnih zadataka današnjice.

U budućnosti planiram naučiti kako konstruirati algebarske fraktale nakon što detaljnije proučim kompleksne brojeve. Takođe želim da pokušam da napravim sopstvene fraktalne slike u programskom jeziku Pascal koristeći petlje.

Vrijedi napomenuti korištenje fraktala u kompjuterskoj tehnologiji, pored jednostavnog konstruiranja prekrasnih slika na ekranu računara. Fraktali u računarskoj tehnici koriste se u sledećim oblastima:

1. Kompresija slika i informacija

2. Skrivanje informacija u slici, zvuku,…

3. Šifriranje podataka korištenjem fraktalnih algoritama

4. Pravljenje fraktalne muzike

5. Modeliranje sistema

Naš rad ne navodi sve oblasti ljudskog znanja u kojima je teorija fraktala našla svoju primenu. Želimo samo reći da nije prošlo više od trećine stoljeća od nastanka teorije, ali za to vrijeme fraktali su za mnoge istraživače postali iznenadna sjajna svjetlost u noći, koja je obasjavala do sada nepoznate činjenice i obrasce u određenim područjima podataka. . Uz pomoć teorije fraktala, počeli su da objašnjavaju evoluciju galaksija i razvoj ćelija, nastanak planina i formiranje oblaka, kretanje cena na berzi i razvoj društva i porodice. Možda je u početku ta strast za fraktalima bila čak previše intenzivna i pokušaji da se sve objasni korištenjem teorije fraktala bili su neopravdani. Ali, bez sumnje, ova teorija ima pravo na postojanje i zbog toga žalimo U poslednje vreme to je nekako zaboravljeno i ostalo je sudbina nekolicine odabranih. U pripremi ovog rada bilo nam je veoma interesantno pronaći primjenu TEORIJE u PRAKSI. Jer vrlo često postoji osjećaj da teorijsko znanje stoji odvojeno od životne stvarnosti.

Dakle, koncept fraktala postaje ne samo dio “čiste” nauke, već i element univerzalne ljudske kulture. Fraktalna nauka je još uvek veoma mlada i pred njom je velika budućnost. Ljepota fraktala još nije iscrpljena i još će nam dati mnoga remek-djela – ona koja oduševljavaju oko, i ona koja donose istinsko zadovoljstvo umu.

10. Reference

Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktali i multifraktali. RHD 2001 .

Vitolin D. Primena fraktala u kompjuterskoj grafici. // Computerworld-Russia.-1995

Mandelbrot B. Samoafini fraktalni skupovi, “Fraktali u fizici”. M.: Mir 1988

Mandelbrot B. Fraktalna geometrija prirode. - M.: "Institut za kompjuterska istraživanja", 2002.

Morozov A.D. Uvod u teoriju fraktala. N. Novgorod: Izdavačka kuća Nižnji Novgorod. Univerzitet 1999

Peitgen H.-O., Richter P. H. Ljepota fraktala. - M.: "Mir", 1993.

Internet resursi

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html

Najgenijalnija otkrića u nauci mogu radikalno promijeniti ljudski život. Izmišljena vakcina može spasiti milione ljudi; stvaranje oružja, naprotiv, oduzima ove živote. U skorije vrijeme (na ljestvici ljudske evolucije) naučili smo "ukrotiti" električnu energiju - a sada ne možemo zamisliti život bez svih ovih zgodnih uređaja koji koriste električnu energiju. Ali postoje i otkrića kojima malo ko pridaje značaj, iako i ona uveliko utiču na naše živote.

Jedno od ovih “neupadljivih” otkrića su fraktali. Vjerovatno ste već čuli ovu privlačnu riječ, ali znate li šta ona znači i koliko se zanimljivih informacija krije u ovom pojmu?

Svaka osoba ima prirodnu radoznalost, želju da razumije svijet oko sebe. I u tom nastojanju osoba pokušava da se pridržava logike u prosudbama. Analizirajući procese koji se odvijaju oko njega, pokušava pronaći logiku onoga što se dešava i izvući neki obrazac. Najveći umovi na planeti zauzeti su ovim zadatkom. Grubo govoreći, naučnici traže obrazac tamo gdje ga ne bi trebalo biti. Ipak, čak i u haosu moguće je pronaći veze između događaja. A ova veza je fraktalna.

Naša kćerkica, stara četiri i po godine, sada je u onoj divnoj dobi kada se broj pitanja “Zašto?” višestruko premašuje broj odgovora koje odrasli uspijevaju dati. Ne tako davno, dok je ispitivala granu podignutu od zemlje, moja ćerka je iznenada primetila da ova grana sa svojim grančicama i granama liči na drvo. I, naravno, uslijedilo je uobičajeno pitanje “Zašto?”, na koje su roditelji morali tražiti jednostavno objašnjenje koje bi dijete moglo razumjeti.

Sličnost jedne grane sa cijelim stablom koju je otkrilo dijete vrlo je točno zapažanje, što još jednom svjedoči o principu rekurzivne samosličnosti u prirodi. Mnogi organski i neorganski oblici u prirodi nastaju na sličan način. Oblaci, morske školjke, puževa „kuća“, kora i krošnje drveća, cirkulatorni sistem i tako dalje – nasumični oblici svih ovih objekata mogu se opisati fraktalnim algoritmom.

⇡ Benoit Mandelbrot: otac fraktalne geometrije

Sama riječ "fraktal" pojavila se zahvaljujući briljantnom naučniku Benoit B. Mandelbrotu.

On je sam skovao taj termin 1970-ih, pozajmivši riječ fractus iz latinskog, gdje ona doslovno znači "slomljen" ili "zgnječen". Šta je? Danas riječ “fraktal” najčešće označava grafički prikaz strukture koja je u većoj mjeri slična samoj sebi.

Matematička osnova za nastanak teorije fraktala postavljena je mnogo godina prije rođenja Benoita Mandelbrota, ali se mogla razviti tek s pojavom računarskih uređaja. Na početku svoje naučne karijere, Benoit je radio u IBM istraživačkom centru. U to vrijeme zaposleni u centru radili su na prenošenju podataka na daljinu. Tokom istraživanja, naučnici su se suočili sa problemom velikih gubitaka koji nastaju zbog smetnji buke. Benoit je imao težak i vrlo važan zadatak - razumjeti kako predvidjeti pojavu smetnji šuma u elektronskim kolima kada se statistička metoda pokaže neefikasnom.

Gledajući rezultate mjerenja buke, Mandelbrot je primijetio jedan čudan obrazac - grafovi buke na različitim skalama izgledali su isto. Uočen je identičan obrazac bez obzira da li se radi o grafu buke za jedan dan, sedmicu ili sat. Bilo je potrebno promijeniti skalu grafikona, a slika se svaki put ponavljala.

Tokom svog života, Benoit Mandelbrot je više puta govorio da nije proučavao formule, već se jednostavno igrao slikama. Ovaj čovjek je razmišljao vrlo slikovito i svaki algebarski problem preveo u oblast geometrije, gdje je, po njemu, tačan odgovor uvijek očigledan.

Nije iznenađujuće da je upravo čovjek s tako bogatom prostornom maštom postao otac fraktalne geometrije. Uostalom, svijest o suštini fraktala dolazi upravo kada počnete proučavati crteže i razmišljati o značenju čudnih vrtložnih obrazaca.

Fraktalni uzorak nema identične elemente, ali je sličan na bilo kojoj skali. Ranije je bilo jednostavno nemoguće ručno konstruirati takvu sliku s visokim stupnjem detalja; to je zahtijevalo ogromnu količinu proračuna. Na primjer, francuski matematičar Pierre Joseph Louis Fatou opisao je ovaj skup više od sedamdeset godina prije otkrića Benoita Mandelbrota. Ako govorimo o principima samosličnosti, oni su spomenuti u radovima Leibniza i Georga Cantora.

Jedan od prvih fraktalnih crteža bila je grafička interpretacija Mandelbrotovog skupa, koja je nastala zahvaljujući istraživanju Gastona Maurice Julia.

Gaston Julia (uvijek nosi masku - povreda iz Prvog svjetskog rata)

Ovaj francuski matematičar se pitao kako bi skup izgledao da je konstruisan iz jednostavne formule koja se ponavlja kroz povratnu petlju. Ako to objasnimo "na prstima", to znači da za određeni broj pronalazimo novu vrijednost pomoću formule, nakon čega je ponovo zamjenjujemo u formulu i dobivamo drugu vrijednost. Rezultat je veliki niz brojeva.

Da biste dobili potpunu sliku o takvom skupu, potrebno je izvršiti ogroman broj proračuna - stotine, hiljade, milione. To je bilo jednostavno nemoguće uraditi ručno. Ali kada su moćni računarski uređaji postali dostupni matematičarima, mogli su iznova pogledati formule i izraze koji su dugo bili interesantni. Mandelbrot je prvi koristio kompjuter za izračunavanje klasičnog fraktala. Nakon obrade niza koji se sastoji od velikog broja vrijednosti, Benoit je rezultate iscrtao na graf. To je ono što je dobio.

Nakon toga, ova slika je obojena (na primjer, jedna od metoda bojanja je po broju iteracija) i postala je jedna od najpopularnijih slika koje je čovjek ikada stvorio.

Kao što kaže drevna izreka koja se pripisuje Heraklitu iz Efeza: "Ne možete dvaput ući u istu rijeku." Savršeno je prikladan za tumačenje geometrije fraktala. Bez obzira koliko detaljno pogledamo fraktalnu sliku, uvijek ćemo vidjeti sličan obrazac.

Oni koji žele vidjeti kako bi slika Mandelbrotovog prostora izgledala kada je uvećana više puta, mogu to učiniti preuzimanjem animiranog GIF-a.

⇡ Lauren Carpenter: umjetnost koju je stvorila priroda

Teorija fraktala ubrzo je našla praktičnu primjenu. Budući da je usko povezana s vizualizacijom sebi sličnih slika, ne čudi da su prvi koji su usvojili algoritme i principe za konstruiranje neobičnih oblika upravo umjetnici.

Budući suosnivač legendarnog studija Pixar, Loren C. Carpenter, počeo je da radi 1967. u kompaniji Boeing Computer Services, koja je bila jedna od divizija poznate korporacije koja je razvijala nove avione.

Godine 1977. kreirao je prezentacije sa prototipovima letećih modela. Lorenove odgovornosti uključivale su razvoj slika aviona koji se dizajnira. Morao je da kreira slike novih modela, prikazujući buduće avione iz različitih uglova. U nekom trenutku, budući osnivač Pixar Animation Studios došao je na kreativnu ideju da koristi sliku planina kao pozadinu. Danas svaki školarac može riješiti takav problem, ali kasnih sedamdesetih godina prošlog stoljeća kompjuteri se nisu mogli nositi s tako složenim proračunima - nije bilo grafičkih uređivača, a da ne spominjemo aplikacije za 3D grafiku. Godine 1978. Lauren je slučajno u radnji vidjela knjigu Benoita Mandelbrota Fraktali: Forma, slučajnost i dimenzija. U ovoj knjizi njegovu pažnju privukla je činjenica da je Benoit dao mnogo primjera fraktalnih oblika u pravi zivot i tvrdili da se mogu opisati matematičkim izrazom.

Ovu analogiju matematičar nije slučajno izabrao. Činjenica je da se, čim je objavio svoje istraživanje, morao suočiti sa čitavom salvom kritika. Glavna stvar koju su mu kolege zamjerile je beskorisnost teorije koja se razvija. „Da“, rekli su, „ovo su prelepe slike, ali ništa više. Teorija fraktala nema praktičnu vrijednost.” Bilo je i onih koji su općenito vjerovali da su fraktalni obrasci jednostavno nusproizvod rada “đavolskih mašina”, koji su se u kasnim sedamdesetim mnogima činili kao nešto previše složeno i neistraženo da bi im se moglo u potpunosti vjerovati. Mandelbrot je pokušao pronaći očigledne primjene za teoriju fraktala, ali u velikoj shemi stvari nije mu trebao. Tokom narednih 25 godina, sljedbenici Benoita Mandelbrota dokazali su ogromne prednosti takve "matematičke radoznalosti", a Lauren Carpenter je bila jedna od prvih koja je isprobala fraktalni metod u praksi.

Nakon proučavanja knjige, budući animator ozbiljno je proučavao principe fraktalne geometrije i počeo tražiti način da je implementira u kompjutersku grafiku. Za samo tri dana rada, Lauren je na svom kompjuteru uspeo da prikaže realističnu sliku planinskog sistema. Drugim riječima, formulama je naslikao potpuno prepoznatljiv planinski pejzaž.

Princip kojim je Lauren postigla svoj cilj bio je vrlo jednostavan. Sastojao se od dijeljenja veće geometrijske figure na male elemente, a oni su, pak, podijeljeni na slične figure manje veličine.

Koristeći veće trouglove, Carpenter ih je podijelio na četiri manja, a zatim je ponavljao ovaj proces iznova i iznova dok nije dobio realističan planinski pejzaž. Tako je uspio postati prvi umjetnik koji je koristio fraktalni algoritam za konstruiranje slika u kompjuterskoj grafici. Čim se pročulo o djelu, entuzijasti širom svijeta preuzeli su tu ideju i počeli koristiti fraktalni algoritam za imitiranje realističnih prirodnih oblika.

Jedna od prvih 3D vizualizacija koristeći fraktalni algoritam

Samo nekoliko godina kasnije, Lauren Carpenter je bila u mogućnosti da svoje razvoje primeni u mnogo većem projektu. Animator je od njih napravio dvominutni demo Vol Libre, koji je prikazan na Siggraphu 1980. godine. Ovaj video je šokirao sve koji su ga vidjeli, a Lauren je dobila poziv od Lucasfilma.

Animacija je prikazana na VAX-11/780 kompjuteru kompanije Digital Equipment Corporation sa taktom od pet megaherca, a za svaki kadar je bilo potrebno oko pola sata.

Radeći za Lucasfilm Limited, animator je kreirao 3D pejzaže koristeći istu shemu za drugi cjelovečernji film u sagi Star Trek. U Khanovom gnjevu, Carpenter je uspio stvoriti cijelu planetu koristeći isti princip modeliranja fraktalne površine.

Trenutno sve popularne aplikacije za kreiranje 3D pejzaža koriste sličan princip za generiranje prirodnih objekata. Terragen, Bryce, Vue i drugi 3D uređivači oslanjaju se na fraktalni algoritam za modeliranje površina i tekstura.

⇡ Fraktalne antene: manje je više

U poslednjih pola veka život se ubrzano počeo menjati. Većina nas napredak moderne tehnologije uzima zdravo za gotovo. Vrlo brzo se naviknete na sve što čini život ugodnijim. Rijetko ko postavlja pitanja „Odakle je ovo došlo?“ i "Kako to funkcionira?" Mikrovalna pećnica zagrijava doručak - odlično, pametni telefon vam daje priliku da razgovarate s drugom osobom - odlično. Ovo nam se čini kao očigledna mogućnost.

Ali život je mogao biti potpuno drugačiji da osoba nije tražila objašnjenje za događaje koji se dešavaju. Uzmimo, na primjer, mobilne telefone. Sjećate li se uvlačivih antena na prvim modelima? Ometali su se, povećavali veličinu uređaja i na kraju često lomili. Vjerujemo da su zauvijek potonuli u zaborav, a dio razloga za to su... fraktali.

Fraktalni obrasci fasciniraju svojim šarama. Definitivno podsjećaju na slike kosmičkih objekata - magline, jata galaksija i tako dalje. Stoga je sasvim prirodno da kada je Mandelbrot iznio svoju teoriju fraktala, njegovo istraživanje je izazvalo povećan interes među onima koji su proučavali astronomiju. Jedan od ovih amatera po imenu Nathan Cohen, nakon što je prisustvovao predavanju Benoita Mandelbrota u Budimpešti, dobio je ideju praktična primjena stečeno znanje. Istina, učinio je to intuitivno, a slučaj je odigrao važnu ulogu u njegovom otkriću. Kao radio-amater, Nathan je nastojao stvoriti antenu sa najvećom mogućom osjetljivošću.

Jedini način da se poboljšaju parametri antene, koji je tada bio poznat, bio je povećanje njenih geometrijskih dimenzija. Međutim, vlasnik nekretnine u centru Bostona koju je Nathan iznajmio bio je kategorički protiv postavljanja velikih uređaja na krov. Tada je Nathan počeo eksperimentirati razne forme antene, pokušavajući postići maksimalni rezultat sa minimalne veličine. Inspiriran idejom fraktalnih formi, Cohen je, kako kažu, nasumično napravio jedan od najpoznatijih fraktala od žice - "Koch pahuljicu". Švedski matematičar Helge von Koch osmislio je ovu krivu još 1904. godine. Dobiva se podjelom segmenta na tri dijela i zamjenom srednjeg segmenta jednakostraničnim trouglom bez stranice koja se poklapa s tim segmentom. Definiciju je malo teško razumjeti, ali na slici je sve jasno i jednostavno.

Postoje i druge varijacije Kochove krive, ali približan oblik krivulje ostaje sličan

Kada je Nathan spojio antenu na radio prijemnik, bio je veoma iznenađen - osjetljivost se dramatično povećala. Nakon niza eksperimenata, budući profesor na Univerzitetu u Bostonu shvatio je da antena napravljena po fraktalnom uzorku ima visoku efikasnost i pokriva mnogo širi frekventni opseg u odnosu na klasična rješenja. Osim toga, oblik antene u obliku fraktalne krivulje omogućava značajno smanjenje geometrijskih dimenzija. Nathan Cohen je čak smislio teoremu koja dokazuje da je za stvaranje širokopojasne antene dovoljno dati joj oblik samoslične fraktalne krive.

Autor je patentirao svoje otkriće i osnovao kompaniju za razvoj i dizajn fraktalnih antena Fractal Antenna Systems, s pravom vjerujući da će se u budućnosti, zahvaljujući njegovom otkriću, mobiteli moći riješiti glomaznih antena i postati kompaktniji.

U principu, to se dogodilo. Istina, Nathan je do danas u pravnoj bitci s velikim korporacijama koje nezakonito koriste njegovo otkriće za proizvodnju kompaktnih komunikacijskih uređaja. Neki poznati proizvođači mobilnih uređaja, kao što je Motorola, već su postigli prijateljski sporazum sa izumiteljem fraktalne antene.

⇡ Fraktalne dimenzije: ne možete to razumjeti svojim umom

Benoit je ovo pitanje posudio od poznatog američkog naučnika Edwarda Kasnera.

Potonji je, kao i mnogi drugi poznati matematičari, volio komunicirati s djecom, postavljati im pitanja i dobijati neočekivane odgovore. Ponekad je to dovelo do iznenađujućih posljedica. Na primjer, devetogodišnji nećak Edwarda Kasnera smislio je sada već dobro poznatu riječ "googol", što znači jedan iza kojeg slijedi sto nula. No, vratimo se fraktalima. Američki matematičar volio je da postavlja pitanje koliko je duga američka obala. Nakon što je saslušao mišljenje svog sagovornika, sam Edvard je izgovorio tačan odgovor. Ako mjerite dužinu na karti koristeći izlomljene segmente, rezultat će biti netačan, jer obala ima veliki broj nepravilnosti. Šta se događa ako izmjerimo što je moguće preciznije? Morat ćete uzeti u obzir dužinu svake neravnine - morat ćete izmjeriti svaki rt, svaku uvalu, stijenu, dužinu stjenovite platforme, kamena na njoj, zrno pijeska, atom i tako dalje. Budući da broj nepravilnosti teži beskonačnosti, izmjerena dužina obalne linije će se povećavati do beskonačnosti prilikom mjerenja svake nove nepravilnosti.

Što je manja mjera pri mjerenju, to je izmjerena dužina duža

Zanimljivo je da su djeca, slijedeći Edwardove upute, bila mnogo brža od odraslih u izgovaranju ispravnog rješenja, dok su ovi imali problema s prihvatanjem tako nevjerovatnog odgovora.

Koristeći ovaj problem kao primjer, Mandelbrot je predložio korištenje novi pristup do merenja. Budući da je obalna linija blizu fraktalne krivulje, to znači da se na nju može primijeniti karakterizirajući parametar - takozvana fraktalna dimenzija.

Svakome je jasno šta je regularna dimenzija. Ako je dimenzija jednaka jedan, dobijamo ravnu liniju, ako je dvije - ravna figura, tri - volumen. Međutim, ovo razumijevanje dimenzije u matematici ne funkcionira s fraktalnim krivuljama, gdje ovaj parametar ima frakcijsku vrijednost. Fraktalna dimenzija u matematici se konvencionalno može smatrati „hrapavošću“. Što je veća hrapavost krivulje, veća je njena fraktalna dimenzija. Kriva koja, prema Mandelbrotu, ima fraktalnu dimenziju veću od svoje topološke dimenzije, ima približnu dužinu koja ne zavisi od broja dimenzija.

Trenutno naučnici pronalaze sve više oblasti za primjenu teorije fraktala. Koristeći fraktale, možete analizirati fluktuacije berzanskih cijena, proučavati sve vrste prirodnih procesa, kao što su fluktuacije u broju vrsta, ili simulirati dinamiku tokova. Fraktalni algoritmi se mogu koristiti za kompresiju podataka, kao što je kompresija slike. I usput, da biste dobili prekrasan fraktal na ekranu vašeg kompjutera, ne morate imati doktorat.

⇡ Fraktal u pretraživaču

Možda je jedan od najlakših načina da dobijete fraktalni uzorak korištenje online vektorskog uređivača mladog talentiranog programera Tobyja Schachmana. Alati ovog jednostavnog grafičkog uređivača zasnovani su na istom principu samosličnosti.

Na raspolaganju su vam samo dva najjednostavnija oblika - četverokut i krug. Možete ih dodati na platno, skalirati (za skaliranje duž jedne od osi, držite pritisnutu tipku Shift) i rotirati ih. Preklapajući se prema principu Booleovih operacija sabiranja, ovi najjednostavniji elementi formiraju nove, manje trivijalne forme. Ovi novi oblici se zatim mogu dodati projektu, a program će ponavljati generisanje ovih slika do beskonačnosti. U bilo kojoj fazi rada na fraktalu, možete se vratiti na bilo koju komponentu složenog oblika i urediti njen položaj i geometriju. Zabavna aktivnost, posebno ako uzmete u obzir da je jedini alat koji trebate kreirati pretraživač. Ako ne razumijete princip rada s ovim rekurzivnim uređivačem vektora, savjetujemo vam da pogledate video na službenoj web stranici projekta koji detaljno prikazuje cijeli proces stvaranja fraktala.

⇡ XaoS: fraktali za svaki ukus

Mnogi grafički uređivači imaju ugrađene alate za kreiranje fraktalnih uzoraka. Međutim, ovi alati su obično sekundarni i ne dozvoljavaju fino podešavanje generiranog fraktalnog uzorka. U slučajevima kada je potrebno konstruisati matematički tačan fraktal, u pomoć će priskočiti cross-platform editor XaoS. Ovaj program omogućava ne samo izgradnju samoslične slike, već i obavljanje raznih manipulacija s njom. Na primjer, u realnom vremenu možete napraviti „šetnju“ duž fraktala mijenjajući njegovu skalu. Animirano kretanje duž fraktala može se sačuvati kao XAF datoteka i zatim reproducirati u samom programu.

XaoS može učitati nasumični skup parametara, a također može koristiti različite filtere za naknadnu obradu slike - dodati efekat zamućenog pokreta, izgladiti oštre prijelaze između fraktalnih tačaka, simulirati 3D sliku i tako dalje.

⇡ Fraktalni zumer: kompaktni fraktalni generator

U poređenju sa drugim generatorima fraktalnih slika, ima nekoliko prednosti. Prvo, vrlo je male veličine i ne zahtijeva instalaciju. Drugo, implementira sposobnost određivanja paleta boja crtanje. Možete birati nijanse u RGB, CMYK, HVS i HSL modelima boja.

Također je vrlo zgodno koristiti opciju nasumičnog odabira nijansi boja i funkciju invertiranja svih boja na slici. Za podešavanje boje postoji funkcija cikličkog odabira nijansi - kada uključite odgovarajući način rada, program animira sliku, ciklički mijenjajući boje na njoj.

Fractal Zoomer može vizualizirati 85 različitih fraktalnih funkcija, a formule su jasno prikazane u meniju programa. U programu postoje filteri za naknadnu obradu slike, iako u malim količinama. Svaki dodijeljeni filter može se otkazati u bilo kojem trenutku.

⇡ Mandelbulb3D: 3D fraktalni uređivač

Kada se koristi izraz "fraktal", najčešće se odnosi na ravnu, dvodimenzionalnu sliku. Međutim, fraktalna geometrija prevazilazi 2D dimenziju. U prirodi možete pronaći i primjere ravnih fraktalnih oblika, recimo, geometrija munje, i trodimenzionalne volumetrijske figure. Fraktalne površine mogu biti trodimenzionalne, i jedna od samih vizuelne ilustracije 3D fraktali u svakodnevnom životu - glavica kupusa. Možda je najbolji način da vidite fraktale u sorti Romanesco, hibridu karfiola i brokule.

Takođe možete jesti ovaj fraktal

Program Mandelbulb3D može kreirati trodimenzionalne objekte sličnog oblika. Da bi dobili 3D površinu koristeći fraktalni algoritam, autori ove aplikacije, Daniel White i Paul Nylander, pretvorili su Mandelbrotov skup u sferne koordinate. Program Mandelbulb3D koji su kreirali je pravi trodimenzionalni uređivač koji modelira fraktalne površine različitih oblika. Budući da često promatramo fraktalne obrasce u prirodi, umjetno stvoreni fraktalni trodimenzionalni objekt izgleda nevjerovatno realistično, pa čak i „živo“.

Može ličiti na biljku, može ličiti na čudnu životinju, planetu ili nešto drugo. Ovaj efekat je poboljšan naprednim algoritmom za renderovanje, koji omogućava dobijanje realističnih refleksija, izračunavanje prozirnosti i senki, simulaciju efekta dubine polja i tako dalje. Mandelbulb3D ima ogroman broj postavki i opcija renderiranja. Možete kontrolirati nijanse izvora svjetlosti, odabrati pozadinu i nivo detalja simuliranog objekta.

Incendia fraktal editor podržava dvostruko izglađivanje slike, sadrži biblioteku od pedeset različitih trodimenzionalnih fraktala i ima poseban modul za uređivanje osnovnih oblika.

Aplikacija koristi fraktalne skripte, pomoću kojih možete samostalno opisati nove tipove fraktalnih dizajna. Incendia ima uređivače tekstura i materijala, a mehanizam za renderiranje vam omogućava da koristite volumetrijske efekte magle i razne shadere. Program implementira opciju čuvanja bafera tokom dugotrajnog renderovanja i podržava kreiranje animacije.

Incendia vam omogućava da izvezete fraktalni model u popularne 3D grafičke formate - OBJ i STL. Incendia uključuje mali uslužni program pod nazivom Geometrica, poseban alat za podešavanje izvoza fraktalne površine u 3D model. Koristeći ovaj uslužni program, možete odrediti rezoluciju 3D površine i odrediti broj fraktalnih iteracija. Izvezeni modeli se mogu koristiti u 3D projektima kada radite sa 3D uređivačima kao što su Blender, 3ds max i drugi.

Nedavno je rad na projektu Incendia donekle usporen. Trenutno autor traži sponzore koji će mu pomoći da razvije program.

Ako nemate dovoljno mašte da nacrtate prekrasan trodimenzionalni fraktal u ovom programu, nema veze. Koristite biblioteku parametara koja se nalazi u folderu INCENDIA_EX\parameters. Koristeći PAR datoteke, možete brzo pronaći najneobičnije fraktalne oblike, uključujući i animirane.

⇡ Slušni: kako fraktali pjevaju

Obično ne govorimo o projektima na kojima se tek radi, ali u ovom slučaju moramo napraviti izuzetak, jer se radi o vrlo neobičnoj aplikaciji. Projekat, nazvan Aural, izmislila je ista osoba koja je stvorila Incendia. Međutim, ovaj put program ne vizualizuje fraktalni skup, već ga ozvučuje, pretvarajući ga u elektronsku muziku. Ideja je vrlo interesantna, posebno s obzirom na neobična svojstva fraktala. Aural je audio uređivač koji generiše melodije pomoću fraktalnih algoritama, odnosno u suštini je audio sintisajzer-sekvencer.

Redoslijed zvukova koji proizvodi ovaj program je neobičan i... lijep. Može biti korisno za pisanje modernih ritmova i, čini nam se, posebno je pogodno za kreiranje zvučnih zapisa za screensaver televizijskih i radijskih programa, kao i "petlje" pozadinske muzike za kompjuterske igrice. Ramiro još nije dao demo svog programa, ali obećava da kada to učini, da biste radili sa Auralom, nećete morati da proučavate teoriju fraktala - samo ćete se morati igrati s parametrima algoritma za generiranje niza nota. Poslušajte kako fraktali zvuče i.

Fraktali: muzička pauza

Zapravo, fraktali vam mogu pomoći da pišete muziku čak i bez njih softver. Ali to može učiniti samo neko ko je istinski prožet idejom prirodnog sklada i ko se nije pretvorio u nesretnog "šmokljana". Ima smisla slijediti primjer muzičara po imenu Jonathan Coulton, koji, između ostalog, piše kompozicije za časopis Popular Science. I za razliku od drugih izvođača, Colton objavljuje sva svoja djela pod Creative Commons Attribution-Nekomercijalna licenca, koja (kada se koristi u nekomercijalne svrhe) omogućava besplatno kopiranje, distribuciju, prijenos djela na druge, kao i njegovu modifikaciju ( stvaranje izvedenih radova) tako da ga prilagodite svojim zadacima.

Jonathan Colton, naravno, ima pjesmu o fraktalima.

⇡ Zaključak

U svemu što nas okružuje često vidimo haos, ali u stvari to nije slučajnost, već idealna forma, koju nam fraktali pomažu da razaznamo. Priroda je najbolji arhitekta, idealan graditelj i inženjer. Strukturiran je vrlo logično, a ako negdje ne vidimo obrazac, to znači da ga trebamo tražiti u drugoj skali. Ljudi to sve bolje razumiju, pokušavajući na mnogo načina oponašati prirodne oblike. Inženjeri dizajniraju sisteme zvučnika u obliku školjke, kreiraju antene u obliku pahuljice i tako dalje. Sigurni smo da fraktali i dalje sadrže mnoge tajne, a mnoge od njih ljudi tek treba da otkriju.

Povratak