Kad ljudi dugo vremena komuniciraju u okviru određenog polja aktivnosti, počinju tražiti način za optimizaciju komunikacijskog procesa. Sistem matematičkih znakova i simbola je vještački jezik, koji je dizajniran da smanji količinu grafički prenošenih informacija uz potpuno očuvanje značenja poruke.
Svaki jezik zahtijeva učenje, a jezik matematike u tom pogledu nije izuzetak. Da biste razumjeli značenje formula, jednačina i grafikona, potrebno je unaprijed imati određene informacije, razumjeti pojmove, sistem označavanja itd. U nedostatku takvog znanja, tekst će se percipirati kao napisan na nepoznatom stranom jeziku.
U skladu sa potrebama društva, grafički simboli za jednostavnije matematičke operacije (npr. notacija za sabiranje i oduzimanje) razvijeni su ranije nego za složene koncepte poput integrala ili diferencijala. Što je koncept kompleksniji, to više složen znak obično je naznačeno.
Modeli za formiranje grafičkih simbola
U ranim fazama razvoja civilizacije ljudi su povezivali najjednostavnije matematičke operacije sa poznatim konceptima zasnovanim na asocijacijama. Na primjer, u Drevni Egipat sabiranje i oduzimanje bili su označeni uzorkom hodajućih stopala: linije usmjerene u smjeru čitanja označavale su "plus", a u poleđina- "oduzeti".
Brojevi su, možda u svim kulturama, u početku bili označeni odgovarajućim brojem linija. Kasnije su počeli da se koriste za snimanje simboli- ovo je uštedelo vrijeme, kao i prostor na fizičkim medijima. Slova su se često koristila kao simboli: ova strategija je postala široko rasprostranjena u grčkom, latinskom i mnogim drugim jezicima svijeta.
Povijest nastanka matematičkih simbola i znakova poznaje dva najproduktivnija načina stvaranja grafičkih elemenata.
Pretvaranje verbalne reprezentacije
U početku se svaki matematički koncept izražava određenom riječju ili frazom i nema svoj grafički prikaz (osim leksičkog). Međutim, izvođenje proračuna i pisanje formula riječima je dugotrajan postupak i zauzima neopravdano veliku količinu prostora na fizičkom mediju.
Uobičajeni način stvaranja matematičkih simbola je transformacija leksičke reprezentacije koncepta u grafički element. Drugim riječima, riječ koja označava pojam se skraćuje ili transformiše na neki drugi način tokom vremena.
Na primjer, glavna hipoteza za porijeklo znaka plus je njegova skraćenica od latinskog et, čiji je analog na ruskom veznik "i". Postepeno je prvo slovo u kurzivu prestalo da se piše, i t svedeno na krst.
Drugi primjer je znak "x" za nepoznato, koji je izvorno bio skraćenica od arapske riječi za "nešto". Na sličan način, znakovi za označavanje kvadratni korijen, procenat, integral, logaritam itd. U tabeli matematičkih simbola i znakova možete pronaći više od desetak grafičkih elemenata koji su se pojavili na ovaj način.
Prilagođena dodjela znakova
Druga uobičajena opcija za formiranje matematičkih znakova i simbola je dodjela simbola na proizvoljan način. U ovom slučaju riječ i grafička oznaka nisu međusobno povezane - znak se obično odobrava kao rezultat preporuke nekog od članova naučne zajednice.
Na primjer, znakove za množenje, dijeljenje i jednakost predložili su matematičari William Oughtred, Johann Rahn i Robert Record. U nekim slučajevima, nekoliko matematičkih simbola može biti uvedeno u nauku od strane jednog naučnika. Gottfried Wilhelm Leibniz je posebno predložio niz simbola, uključujući integral, diferencijal i derivat.
Najjednostavnije operacije
Svaki školarac poznaje znakove kao što su „plus“ i „minus“, kao i simbole za množenje i dijeljenje, iako postoji nekoliko mogućih grafičkih znakova za posljednje dvije navedene operacije.
Sa sigurnošću se može reći da su ljudi znali sabirati i oduzimati mnogo milenijuma prije naše ere, ali standardizirani matematički znakovi i simboli koji označavaju te radnje i danas poznati pojavili su se tek od 14.-15. stoljeća.
Međutim, uprkos uspostavljanju određenog dogovora u naučnoj zajednici, množenje u našem vremenu može se predstaviti sa tri različita znaka (dijagonalni krst, tačka, zvezdica) i deljenje sa dva (vodoravna linija sa tačkama iznad i ispod). ili kosa crta).
Pisma
Tokom mnogih vekova, naučna zajednica je isključivo koristila latinski za prenošenje informacija, a mnogi matematički termini i simboli potiču iz ovog jezika. U nekim slučajevima grafički elementi su bili rezultat skraćivanja riječi, rjeđe - njihove namjerne ili slučajne transformacije (na primjer, zbog greške u kucanju).
Oznaka procenta (“%)” najvjerovatnije dolazi od pogrešno napisane skraćenice SZO(cento, tj. "stoti dio"). Na sličan način nastao je znak plus, čija je povijest gore opisana.
Mnogo više je nastalo namjernim skraćivanjem riječi, iako to nije uvijek očigledno. Ne prepoznaje svaka osoba slovo u znaku kvadratnog korijena R, tj. prvi znak u riječi Radix (“korijen”). Integralni simbol također predstavlja prvo slovo riječi Summa, ali intuitivno izgleda kao veliko slovo f bez horizontalne linije. Inače, u prvoj publikaciji izdavači su napravili upravo takvu grešku štampajući f umjesto ovog simbola.
grčka slova
As grafičkih simbola Za različite koncepte koriste se ne samo latinski, već iu tablici matematičkih simbola možete pronaći niz primjera takvih imena.
Broj Pi, koji je omjer obima kruga i njegovog prečnika, dolazi od prvog slova grčka riječ, označavajući krug. Postoji nekoliko drugih manje poznatih iracionalni brojevi, označena slovima grčke abecede.
Izuzetno uobičajen znak u matematici je "delta", koji odražava količinu promjene vrijednosti varijabli. Drugi često korišteni znak je "sigma", koji funkcionira kao znak zbira.
Štoviše, gotovo sva grčka slova se na ovaj ili onaj način koriste u matematici. Međutim, ovi matematički znakovi i simboli i njihovo značenje poznati su samo ljudima koji se profesionalno bave naukom. U svakodnevnom životu i Svakodnevni životčoveku ovo znanje nije potrebno.
Znakovi logike
Čudno je da su mnogi intuitivni simboli izmišljeni nedavno.
Konkretno, horizontalna strelica koja zamjenjuje riječ „dakle“ predložena je tek 1922. Kvantifikatori postojanja i univerzalnosti, odnosno znakovi koji glase: „postoji...“ i „za bilo koje...“, uvedeni su 1897. godine i 1935. odnosno.
Simboli iz oblasti teorije skupova izmišljeni su 1888-1889. I precrtani krug, koji je danas poznat svakom studentu srednja škola kao znak praznog skupa, pojavio se 1939. godine.
Dakle, simboli za tako složene koncepte kao što su integral ili logaritam izmišljeni su stoljećima ranije od nekih intuitivnih simbola koji se lako percipiraju i uče čak i bez prethodne pripreme.
Matematički simboli na engleskom
Zbog činjenice da je značajan dio pojmova opisan u naučnim radovima na latinskom jeziku, brojni nazivi matematičkih znakova i simbola na engleskom i ruskom jeziku su isti. Na primjer: plus, Integral, Delta funkcija, Okomito, Paralelno, Null.
Neki koncepti u dva jezika nazivaju se različito: na primjer, dijeljenje je dijeljenje, množenje je množenje. U rijetkim slučajevima, engleski naziv za matematički znak postaje donekle raširen u ruskom: na primjer, kosa crta u poslednjih godinačesto se naziva "kosa crta".
tablica simbola
Najjednostavniji i zgodan način upoznajte se sa listom matematičkih znakova - pogledajte posebnu tabelu koja sadrži znakove operacija, simbole matematička logika, teorija skupova, geometrija, kombinatorika, matematička analiza, linearna algebra. Ova tabela predstavlja osnovne matematičke simbole na engleskom jeziku.
Matematički simboli u uređivaču teksta
Prilikom obavljanja raznih vrsta poslova često je potrebno koristiti formule koje koriste znakove kojih nema na tastaturi računara.
Poput grafičkih elemenata iz gotovo bilo kojeg područja znanja, matematički znakovi i simboli u Wordu mogu se pronaći na kartici „Umetanje“. U verzijama programa 2003 ili 2007 postoji opcija „Ubaci simbol“: kada kliknete na dugme na desnoj strani panela, korisnik će videti tabelu koja predstavlja sve potrebne matematičke simbole, grčka mala i velika slova pisma, različite vrste zagrade i još mnogo toga.
U verzijama programa objavljenim nakon 2010. godine razvijena je pogodnija opcija. Kada kliknete na dugme „Formula“, idete u dizajner formula koji omogućava upotrebu razlomaka, unos podataka ispod korena, promenu registra (da biste označili stepene ili serijski brojevi varijable). Sve znakove iz gornje prikazane tabele možete pronaći i ovdje.
Vrijedi li učiti matematičke simbole?
Sistem matematičke notacije je veštački jezik koji samo pojednostavljuje proces pisanja, ali ne može spoljašnjem posmatraču doneti razumevanje subjekta. Dakle, pamćenje znakova bez proučavanja pojmova, pravila i logičkih veza između pojmova neće dovesti do ovladavanja ovim područjem znanja.
Ljudski mozak lako uči znakove, slova i skraćenice - matematička notacija pamte se sami kada proučavaju predmet. Razumijevanje značenja svake konkretne radnje stvara tako jake znakove da znakovi koji označavaju pojmove, a često i formule povezane s njima, ostaju u sjećanju dugi niz godina, pa čak i desetljeća.
Konačno
Budući da je svaki jezik, pa i onaj umjetni, otvoren za izmjene i dopune, broj matematičkih znakova i simbola će vremenom sigurno rasti. Moguće je da će neki elementi biti zamijenjeni ili prilagođeni, dok će drugi biti standardizirani u jedinom mogućem obliku, koji je relevantan, na primjer, za znakove množenja ili dijeljenja.
Sposobnost korištenja matematičkih simbola na nivou punog školskog kursa je in savremeni svet praktično neophodno. U kontekstu brzog razvoja informacione tehnologije i nauke, raširenu algoritmizaciju i automatizaciju, ovladavanje matematičkim aparatom treba uzeti kao datost, a ovladavanje matematičkim simbolima kao njen sastavni dio.
Budući da se proračuni koriste i u humanitarnoj sferi, i u ekonomiji, i u prirodnim naukama, i, naravno, u oblasti tehnologije i visoke tehnologije, razumijevanje matematičkih koncepata i poznavanje simbola bit će korisno za svakog stručnjaka.
od dva), 3 > 2 (tri je više od dva) itd.Razvoj matematičke simbolike bio je usko povezan sa opšti razvoj pojmove i metode matematike. Prvo Matematički znakovi postojali su znakovi za prikazivanje brojeva - brojevi , čija je pojava, po svemu sudeći, prethodila pisanju. Najstariji sistemi brojeva - babilonski i egipatski - pojavili su se već u 3 1/2 milenijuma pre nove ere. e.
Prvo Matematički znakovi jer su se proizvoljne količine pojavile mnogo kasnije (počevši od 5.-4. vijeka prije Krista) u Grčkoj. Količine (površine, zapremine, uglovi) su prikazane u obliku segmenata, a proizvod dve proizvoljne homogene veličine prikazan je u obliku pravougaonika izgrađenog na odgovarajućim segmentima. u "Principi" Euklid (3. vek pne) količine se označavaju sa dva slova – početnim i završnim slovom odgovarajućeg segmenta, a ponekad i samo jednim. U Arhimed (3. vek pne) potonji metod postaje uobičajen. Takva oznaka je sadržavala mogućnosti za razvoj slovnog računa. Međutim, u klasičnoj antičkoj matematici, račun slova nije stvoren.
Počeci alfabetskog predstavljanja i računanja pojavili su se u kasnoj helenističkoj eri kao rezultat oslobađanja algebre od geometrijski oblik. Diofant (vjerovatno 3. stoljeće) zabilježeno nepoznato ( X) i njegov stepen sa sljedećim znakovima:
[ - od grčkog izraza dunamiV (dynamis - sila), koji označava kvadrat nepoznatog, - od grčkog cuboV (k_ybos) - kocka]. Desno od nepoznatog ili njegovih moći, Diofant je napisao koeficijente, na primjer 3 x 5 je prikazano
(gdje je = 3). Prilikom sabiranja, Diofant je pripisivao pojmove jedni drugima i koristio poseban znak za oduzimanje; Diofant je označavao jednakost slovom i [od grčkog isoV (isos) - jednak]. Na primjer, jednadžba
(x 3 + 8x) - (5x 2 + 1) =X
Diofant bi to napisao ovako:
(Ovdje
znači da jedinica nema množitelj u obliku stepena nepoznate).
Nekoliko vekova kasnije, Indijanci su uveli razne Matematički znakovi za nekoliko nepoznanica (skraćenice za nazive boja koje označavaju nepoznanice), kvadrat, kvadratni korijen, oduzet. Dakle, jednačina
3X 2 + 10x - 8 = x 2 + 1
U snimku Brahmagupta (7. vek) bi izgledalo ovako:
Ya va 3 ya 10 ru 8
Ya va 1 ya 0 ru 1
(ya - od yavat - tavat - nepoznato, va - od varga - kvadratni broj, ru - od rupa - novčić rupija - slobodan pojam, tačka iznad broja označava broj koji se oduzima).
Stvaranje modernog algebarskog simbolizma datira iz 14.-17. vijeka; određen je uspjesima praktične aritmetike i proučavanja jednačina. IN raznim zemljama pojavljuju spontano Matematički znakovi za neke radnje i za moći nepoznate veličine. Mnogo decenija, pa čak i vekova, prođu pre nego što se razvije jedan ili drugi pogodan simbol. Dakle, krajem 15. i. N. Shuke i L. Pacioli koristili znakove sabiranja i oduzimanja
(od latinskog plus i minus), njemački matematičari uveli su moderni + (vjerovatno skraćenica od latinskog et) i -. Još u 17. veku. možete izbrojati desetak Matematički znakovi za akciju množenja.
Bilo je i različitih Matematički znakovi nepoznata i njeni stepeni. U 16. - ranom 17. vijeku. više od deset notacija se takmičilo samo za kvadrat nepoznatog, npr. se(iz popisa - latinski izraz koji je služio kao prijevod grčkog dunamiV, Q(od kvadrata), , A (2), , Aii, aa, a 2 itd. Dakle, jednačina
x 3 + 5 x = 12
italijanski matematičar G. Cardano (1545) imao bi oblik:
od njemačkog matematičara M. Stiefela (1544):
od italijanskog matematičara R. Bombellija (1572):
Francuski matematičar F. Vieta (1591.):
od engleskog matematičara T. Harriota (1631.):
U 16. i ranom 17. vijeku. koriste se znaci jednakosti i zagrade: kvadrat (R. Bombelli , 1550), krug (N. Tartaglia , 1556), figurirano (F. Viet , 1593). U 16. veku moderan izgled prihvata zapis razlomaka.
Značajan korak naprijed u razvoju matematičkog simbolizma bilo je uvođenje Vieta (1591.) Matematički znakovi za proizvoljne konstantne veličine u obliku velikih suglasničkih slova latinice B, D, što mu je dalo priliku po prvi put da zapiše algebarske jednačine sa proizvoljnim koeficijentima i operiše njima. Viet je prikazao nepoznate sa samoglasnicima velikim slovima A, E,... Na primjer, Vietov snimak
U našim simbolima to izgleda ovako:
x 3 + 3bx = d.
Viet je bio tvorac algebarskih formula. R. Descartes (1637) dao je znakovima algebre moderan izgled, označavajući nepoznanice posljednjim slovima lat. abeceda x, y, z, i proizvoljne vrijednosti podataka - početnim slovima a, b, c. Trenutni rekord diplome pripada njemu. Descartesove notacije imale su veliku prednost u odnosu na sve prethodne. Stoga su ubrzo dobili univerzalno priznanje.
Dalji razvoj Matematički znakovi bio je usko povezan sa stvaranjem infinitezimalne analize, za razvoj simbolike čiji je temelj već uveliko pripremljen u algebri.
Datumi nastanka nekih matematičkih simbola
| sign | značenje | Ko je ušao | Kada se unese |
| Znakovi pojedinačnih objekata | |||
| ¥ | beskonačnost | J. Wallis | 1655 |
| e | baza prirodnih logaritama | L. Euler | 1736 |
| str | odnos obima i prečnika | W. Jones L. Euler | 1706 |
| i | kvadratni korijen od -1 | L. Euler | 1777. (štampano 1794.) |
| i j k | jedinični vektori, jedinični vektori | W. Hamilton | 1853 |
| P(a) | ugao paralelizma | N.I. Lobachevsky | 1835 |
| Znakovi varijabilnih objekata | |||
| x,y,z | nepoznate ili promenljive količine | R. Descartes | 1637 |
| r | vektor | O. Cauchy | 1853 |
| Znakovi pojedinačne transakcije | |||
| + | dodatak | njemački matematičari | Krajem 15. vijeka |
| – | oduzimanje |
||
| ´ | množenje | W. Outred | 1631 |
| × | množenje | G. Leibniz | 1698 |
| : | divizije | G. Leibniz | 1684 |
| a 2 , a 3 ,…, a n | stepeni | R. Descartes | 1637 |
| I. Newton | 1676 |
||
| | korijenje | K. Rudolph | 1525 |
| A. Girard | 1629 |
||
| Dnevnik | logaritam | I. Kepler | 1624 |
| log | B. Cavalieri | 1632 |
|
| grijeh | sinus | L. Euler | 1748 |
| cos | kosinus |
||
| tg | tangenta | L. Euler | 1753 |
| arc.sin | arcsinus | J. Lagrange | 1772 |
Sh | hiperbolički sinus | V. Riccati | 1757 |
Ch | hiperbolički kosinus |
||
| dx, ddx, … | diferencijal | G. Leibniz | 1675. (štampano 1684.) |
d 2 x, d 3 x,… |
|||
| | integral | G. Leibniz | 1675. (štampano 1686.) |
| | derivat | G. Leibniz | 1675 |
| ¦¢x | derivat | J. Lagrange | 1770, 1779 |
| y' |
|||
| ¦¢(x) |
|||
| Dx | razlika | L. Euler | 1755 |
| | parcijalni derivat | A. Legendre | 1786 |
| | definitivni integral | J. Fourier | 1819-22 |
| | suma | L. Euler | 1755 |
| P | rad | K. Gauss | 1812 |
| ! | faktorijel | K. Crump | 1808 |
| |x| | modul | K. Weierstrass | 1841 |
| lim | limit | W. Hamilton, mnogi matematičari | 1853, početkom 20. veka |
| lim |
|||
| n = ¥ |
|||
| lim |
|||
| n ® ¥ |
|||
| x | zeta funkcija | B. Riemann | 1857 |
| G | gama funkcija | A. Legendre | 1808 |
| IN | beta funkcija | J. Binet | 1839 |
| D | delta (Laplaceov operator) | R. Murphy | 1833 |
| Ñ | nabla (Hamilton kamerman) | W. Hamilton | 1853 |
| Znakovi varijabilnih operacija | |||
| jx | funkcija | I. Bernouli | 1718 |
| f(x) | L. Euler | 1734 |
|
| Znakovi individualnih odnosa | |||
| = | jednakost | R. Zapis | 1557 |
| > | više | T. Garriott | 1631 |
| < | manje |
||
| º | uporedivost | K. Gauss | 1801 |
| | paralelizam | W. Outred | 1677 |
| ^ | okomitost | P. Erigon | 1634 |
I. Newton u svojoj metodi fluksija i fluenta (1666. i naredne godine) uveo je znakove za uzastopne fluksije (izvode) veličine (u obliku
i za beskonačno mali prirast o. Nešto ranije J. Wallis (1655) predložio je znak beskonačnosti ¥.
Tvorac modernog simbolizma diferencijalnog i integralnog računa je G. Leibniz . Konkretno, on posjeduje trenutno korištene Matematički znakovi diferencijali
dx,d 2 x,d 3 x
i integralni
Ogromne zasluge za stvaranje simbolike moderne matematike pripadaju L. Euler . On je (1734) uveo u opću upotrebu prvi znak promjenljive operacije, odnosno znak funkcije f(x) (od latinskog functio). Nakon Eulerovog rada, znaci za mnoge pojedinačne funkcije, kao što su trigonometrijske funkcije, postali su standardni. Ojler je autor notacije za konstante e(baza prirodnih logaritama, 1736), p [vjerovatno od grčkog perijereia (periphereia) - krug, periferija, 1736], imaginarna jedinica
(od francuskog imaginaire - imaginarni, 1777, objavljen 1794).
U 19. vijeku uloga simbolike je sve veća. U ovom trenutku pojavljuju se predznaci apsolutne vrijednosti |x|. (TO. Weierstrass , 1841), vektor (O. Cauchy , 1853), odrednica
(A. Cayley , 1841), itd. Mnoge teorije koje su nastale u 19. veku, na primer tenzorski račun, nisu se mogle razviti bez odgovarajuće simbolike.
Zajedno sa navedenim procesom standardizacije Matematički znakovi u modernoj književnosti se često može naći Matematički znakovi, koju koriste pojedinačni autori samo u okviru ove studije.
Sa stanovišta matematičke logike, među Matematički znakovi Mogu se izdvojiti sljedeće glavne grupe: A) znakovi objekata, B) znaci operacija, C) znaci odnosa. Na primjer, znaci 1, 2, 3, 4 predstavljaju brojeve, odnosno objekte koje proučava aritmetika. Znak sabiranja + sam po sebi ne predstavlja nikakav objekat; prima sadržaj predmeta kada se naznači koji se brojevi sabiraju: oznaka 1 + 3 predstavlja broj 4. Znak > (veći od) je znak odnosa između brojeva. Znak relacije dobija potpuno određen sadržaj kada se naznači između kojih objekata se odnos razmatra. Na navedene tri glavne grupe Matematički znakovi pored četvrtog: D) pomoćni znakovi koji uspostavljaju redosled kombinacije glavnih znakova. Dovoljnu ideju o takvim znakovima daju zagrade koje označavaju redoslijed radnji.
Znakovi svake od tri grupe A), B) i C) su dvije vrste: 1) pojedinačni znakovi dobro definiranih objekata, operacija i odnosa, 2) uobičajeni znakovi“nepromjenjivi” ili “nepoznati” objekti, operacije i veze.
Primjeri znakova prve vrste mogu poslužiti (vidi i tabelu):
A 1) Oznaka prirodni brojevi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; transcendentalni brojevi e i p; imaginarna jedinica i.
B 1) Znakovi aritmetičke operacije+, -, ·, ´,:; vađenje korijena, diferencijacija
znaci zbira (unije) È i proizvoda (presjeka) Ç skupova; ovo uključuje i znakove pojedinačnih funkcija sin, tg, log, itd.
1) Znaci jednakosti i nejednakosti =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.
Znakovi druge vrste prikazuju proizvoljne objekte, operacije i odnose određene klase ili objekte, operacije i odnose koji podliježu nekim unaprijed dogovorenim uvjetima. Na primjer, kada pišete identitet ( a + b)(a - b) = a 2 - b 2 slova A I b predstavljaju proizvoljne brojeve; prilikom proučavanja funkcionalne zavisnosti at = X 2 slova X I y - proizvoljni brojevi povezani datom relacijom; prilikom rješavanja jednačine
X označava bilo koji broj koji zadovoljava ovu jednadžbu (kao rezultat rješavanja ove jednadžbe saznajemo da samo dvije moguće vrijednosti +1 i -1 odgovaraju ovom uvjetu).
Sa logičke tačke gledišta, legitimno je takve opšte znakove nazvati znacima varijabli, kao što je uobičajeno u matematičkoj logici, ne plašeći se činjenice da se „domen promene“ varijable može ispostaviti da se sastoji od jednog jedinog objekt ili čak „prazan“ (na primjer, u slučaju jednačina, bez rješenja). Daljnji primjeri ove vrste znakova mogu biti:
A 2) Oznake tačaka, pravih, ravni i složenijih geometrijskih figura slovima u geometriji.
B 2) Oznake f, , j za funkcije i zapis operatorskog računa, kada je sa jednim slovom L predstavljaju, na primjer, proizvoljan operator u obliku:
Oznake za „relacije varijabli” su manje uobičajene; koriste se samo u matematičkoj logici (vidi. Algebra logike ) iu relativno apstraktnim, uglavnom aksiomatskim, matematičkim studijama.
Lit.: Cajori., Istorija matematičkih notacija, v. 1-2, Chi., 1928-29.
Članak o riječi " Matematički znakovi" u Velikoj sovjetskoj enciklopediji pročitan je 39.764 puta
Kurs koristi geometrijski jezik, sastavljen od notacija i simbola usvojenih na kursu matematike (naročito u novom predmetu geometrije u srednjoj školi).
Čitav niz oznaka i simbola, kao i veze između njih, mogu se podijeliti u dvije grupe:
grupa I - oznake geometrijskih figura i odnosi između njih;
grupa II oznake logičkih operacija koje čine sintaksičku osnovu geometrijskog jezika.
Ispod je kompletna lista matematičkih simbola koji se koriste u ovom kursu. Posebna pažnja posvećena je simbolima koji se koriste za označavanje projekcija geometrijskih figura.
Grupa I
SIMBOLI KOJI UKAZUJU GEOMETRIJSKE FIGURE I ODNOSE IZMEĐU NJIH
A. Označavanje geometrijskih figura
1. Geometrijska figura je označena - F.
2. Bodovi su označeni velikim slovima latinične abecede ili arapskim brojevima:
A, B, C, D, ... , L, M, N, ...
1,2,3,4,...,12,13,14,...
3. Linije koje se proizvoljno nalaze u odnosu na ravni projekcije označene su malim slovima latinice:
a, b, c, d, ... , l, m, n, ...
Linije nivoa su označene: h - horizontalno; f- prednji.
Sljedeće oznake se također koriste za prave linije:
(AB) - prava linija koja prolazi kroz tačke A i B;
[AB) - zraka sa početkom u tački A;
[AB] - segment prave linije omeđen tačkama A i B.
4. Površine su označene malim slovima grčke abecede:
α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...
Da bi se naglasio način na koji je površina definirana, treba naznačiti geometrijske elemente pomoću kojih je definirana, na primjer:
α(a || b) - ravan α određena je paralelnim pravima a i b;
β(d 1 d 2 gα) - površinu β određuju vodilice d 1 i d 2, generator g i ravan paralelizma α.
5. Uglovi su naznačeni:
∠ABC - ugao sa vrhom u tački B, kao i ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...
6. Ugao: vrijednost (mjera stepena) je označena znakom koji se postavlja iznad ugla:
Veličina ugla ABC;
Veličina ugla φ.
Pravi ugao je označen kvadratom sa tačkom unutra
7. Udaljenosti između geometrijskih figura su označene sa dva vertikalna segmenta - ||.
Na primjer:
|AB| - rastojanje između tačaka A i B (dužina segmenta AB);
|Aa| - udaljenost od tačke A do prave a;
|Aα| - udaljenosti od tačke A do površine α;
|ab| - rastojanje između linija a i b;
|αβ| udaljenost između površina α i β.
8. Za ravni projekcije prihvaćene su sljedeće oznake: π 1 i π 2, gdje je π 1 horizontalna ravan projekcije;
π 2 - ravan frontalne projekcije.
Prilikom zamjene ravni projekcije ili uvođenja novih ravni, ove posljednje se označavaju π 3, π 4, itd.
9. Osi projekcije su označene: x, y, z, gdje je x osa apscise; y - ordinatna osa; z - aplicirana osa.
Mongeov konstantni pravolinijski dijagram je označen sa k.
10. Projekcije tačaka, pravih, površina, bilo koje geometrijske figure označene su istim slovima (ili brojevima) kao i original, uz dodatak superskripta koji odgovara projekcijskoj ravni na kojoj su dobijeni:
A", B", C", D", ... , L", M", N", horizontalne projekcije tačaka; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... frontalne projekcije tačaka; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - horizontalne projekcije pravih; a" , b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... frontalne projekcije linija; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... horizontalne projekcije površina; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... frontalne projekcije površina.
11. Tragovi ravni (površina) označavaju se istim slovima kao horizontalni ili frontalni, uz dodatak indeksa 0α, naglašavajući da ove prave leže u ravni projekcije i pripadaju ravni (površini) α.
Dakle: h 0α - horizontalni trag ravni (površine) α;
f 0α - frontalni trag ravni (površine) α.
12. Tragovi pravih linija (linija) označavaju se velikim slovima, kojima počinju riječi koje određuju naziv (u latiničnoj transkripciji) ravni projekcije koju linija seče, sa indeksom koji označava pripadnost liniji.
Na primjer: H a - horizontalni trag prave (linije) a;
F a - frontalni trag prave (linije) a.
13. Niz tačaka, linija (bilo koja figura) označen je indeksima 1,2,3,...,n:
A 1, A 2, A 3,..., A n;
a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;
α 1, α 2, α 3,...,α n;
F 1, F 2, F 3,..., F n, itd.
Pomoćna projekcija tačke, dobijena kao rezultat transformacije da bi se dobila stvarna vrijednost geometrijske figure, označena je istim slovom sa indeksom 0:
A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...
Aksonometrijske projekcije
14. Aksonometrijske projekcije tačaka, pravih, površina označavaju se istim slovima kao i priroda sa dodatkom superskripta 0:
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...
a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...
α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...
15. Sekundarne projekcije su označene dodavanjem superskripta 1:
A 1 0, B 1 0, C 1 0, D 1 0, ...
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...
a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...
α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...
Radi lakšeg čitanja crteža u udžbeniku, prilikom oblikovanja ilustrativnog materijala koristi se nekoliko boja, od kojih svaka ima određeno semantičko značenje: crne linije (tačke) označavaju izvorne podatke; zelena boja se koristi za linije pomoćnih grafičkih konstrukcija; crvene linije (tačke) prikazuju rezultate konstrukcija ili onih geometrijskih elemenata na koje treba obratiti posebnu pažnju.
| br. od por. | Oznaka | Sadržaj | Primjer simboličke notacije |
|---|---|---|---|
| 1 | ≡ | Match | (AB)≡(CD) - prava linija koja prolazi kroz tačke A i B, poklapa se sa pravom koja prolazi kroz tačke C i D |
| 2 | ≅ | Kongruentno | ∠ABC≅∠MNK - ugao ABC je kongruentan uglu MNK |
| 3 | ∼ | Slično | ΔAVS∼ΔMNK - trouglovi AVS i MNK su slični |
| 4 | || | Paralelno | α||β - ravan α je paralelna ravni β |
| 5 | ⊥ | Okomito | a⊥b - prave a i b su okomite |
| 6 | Crossbreed | c d - prave c i d se seku | |
| 7 | Tangente | t l - prava t je tangenta na pravu l. βα - ravan β tangenta na površinu α |
|
| 8 | → | Prikazan | F 1 →F 2 - slika F 1 je mapirana na sliku F 2 |
| 9 | S | Projekcioni centar. Ako je centar projekcije neispravna tačka, tada je njegov položaj označen strelicom, koji označava pravac projekcije | - |
| 10 | s | Smjer projekcije | - |
| 11 | P | Paralelna projekcija | r s α Paralelna projekcija - paralelna projekcija na α ravan u pravcu s |
| br. od por. | Oznaka | Sadržaj | Primjer simboličke notacije | Primjer simboličke notacije u geometriji |
|---|---|---|---|---|
| 1 | M,N | Setovi | - | - |
| 2 | A,B,C,... | Elementi seta | - | - |
| 3 | { ... } | Sadrži... | F(A, B, C,...) | F(A, B, C,...) - figura F sastoji se od tačaka A, B, C, ... |
| 4 | ∅ | Prazan set | L - ∅ - skup L je prazan (ne sadrži elemente) | - |
| 5 | ∈ | Pripada, je element | 2∈N (gdje je N skup prirodnih brojeva) - broj 2 pripada skupu N | A ∈ a - tačka A pripada pravoj a (tačka A leži na pravoj a) |
| 6 | ⊂ | Uključuje, sadrži | N⊂M - skup N je dio (podskup) skupa M svih racionalnih brojeva | a⊂α - prava a pripada ravni α (shvaćeno u smislu: skup tačaka prave a je podskup tačaka ravni α) |
| 7 | ∪ | Udruženje | C = A U B - skup C je unija skupova A i B; (1, 2. 3, 4.5) = (1,2,3)∪(4.5) | ABCD = ∪ [VS] ∪ - izlomljena linija, ABCD je kombinovanje segmenata [AB], [BC], |
| 8 | ∩ | Raskrsnica mnogih | M=K∩L - skup M je presek skupova K i L (sadrži elemente koji pripadaju i skupu K i skupu L). M ∩ N = ∅ - presek skupova M i N je prazan skup (skupovi M i N nemaju zajedničke elemente) | a = α ∩ β - prava linija a je presek ravni α i β a ∩ b = ∅ - prave a i b se ne seku (nemaju zajedničke tačke) |
| br. od por. | Oznaka | Sadržaj | Primjer simboličke notacije |
|---|---|---|---|
| 1 | ∧ | Vezivanje rečenica; odgovara vezniku "i". Rečenica (p∧q) je istinita ako i samo ako su i p i q tačni | α∩β = (K:K∈α∧K∈β) Presjek površina α i β je skup tačaka (prava), koja se sastoji od svih onih i samo onih tačaka K koje pripadaju i površini α i površini β |
| 2 | ∨ | Disjunkcija rečenica; odgovara vezniku "ili". Rečenica (p∨q) istina kada je barem jedna od rečenica p ili q tačna (tj. ili p ili q, ili oboje). | - |
| 3 | ⇒ | Implikacija je logična posljedica. Rečenica p⇒q znači: "ako je p, onda q" | (a||c∧b||c)⇒a||b. Ako su dvije prave paralelne s trećom, onda su paralelne jedna s drugom |
| 4 | ⇔ | Rečenica (p⇔q) se razumije u smislu: "ako je p, onda i q; ako q, onda i p" | A∈α⇔A∈l⊂α. Tačka pripada ravni ako pripada nekoj pravoj koja pripada ovoj ravni. Tačan je i suprotan iskaz: ako tačka pripada određenoj pravoj, pripada ravni, onda pripada samoj ravni |
| 5 | ∀ | Opšti kvantifikator glasi: za svakoga, za svakoga, za bilo koga. Izraz ∀(x)P(x) znači: “za svaki x: vrijedi svojstvo P(x)” | ∀(ΔAVS)( = 180°) Za bilo koji (za bilo koji) trokut, zbir vrijednosti njegovih uglova na vrhovima jednaka 180° |
| 6 | ∃ | Egzistencijalni kvantifikator glasi: postoji. Izraz ∃(x)P(x) znači: "postoji x koji ima svojstvo P(x)" | (∀α)(∃a). Za bilo koju ravan α postoji prava a koja ne pripada ravni α i paralelno sa ravninom α |
| 7 | ∃1 | Kvantifikator jedinstvenosti postojanja glasi: postoji samo jedan (-i, -th)... Izraz ∃1(x)(Rh) znači: „postoji samo jedan (samo jedan) x, ima svojstvo Px" | (∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Za bilo koje dvije različite točke A i B postoji jedinstvena prava linija a, prolazeći kroz ove tačke. |
| 8 | (Px) | Negacija iskaza P(x) | ab(∃α)(α⊃a, b). Ako se prave a i b sijeku, onda ne postoji ravan a koja ih sadrži |
| 9 | \ | Negacija znaka | ≠ -segment [AB] nije jednak segmentu .a?b - prava a nije paralelna pravoj b |