Počnimo s razmatranjem rotacije tijela oko fiksne ose, koju ćemo nazvati z-osa (slika 41.1). Linearna brzina elementarne mase jednaka je gdje je udaljenost mase od ose. Stoga se za kinetičku energiju elementarne mase dobije izraz
Kinetička energija tijelo se sastoji od kinetičkih energija njegovih dijelova:
Zbir na desnoj strani ovog omjera je moment inercije tijela 1 oko ose rotacije. Dakle, kinetička energija tijela koje rotira oko fiksne ose je
Neka na masu djeluju unutrašnja i vanjska sila (vidi sliku 41.1). Prema (20.5), ove snage će izvršiti posao
Provodeći cikličku permutaciju faktora u mješovitim produktima vektora (vidi (2.34)), dobijamo:
gdje je N moment unutrašnje sile u odnosu na tačku O, N je analogni moment vanjske sile.
Zbrajajući izraz (41.2) nad svim elementarnim masama, dobijamo elementarni rad koji se izvrši na tijelu za vrijeme dt:
Zbir momenata unutrašnjih sila jednak je nuli (vidi (29.12)). Dakle, označavajući ukupni trenutak spoljne sile kroz N dolazimo do izraza
(koristili smo formulu (2.21)).
Konačno, uzimajući u obzir da postoji ugao za koji se tijelo rotira u vremenu, dobijamo:
Predznak rada zavisi od predznaka, odnosno od predznaka projekcije vektora N na pravac vektora
Dakle, kada se tijelo rotira unutrašnja snaga ne vrše rad, dok je rad vanjskih sila određen formulom (41.4).
Do formule (41.4) se može doći koristeći činjenicu da se rad svih sila primijenjenih na tijelo koristi za povećanje njegove kinetičke energije (vidi (19.11)). Uzimajući diferencijal obje strane jednakosti (41.1), dolazimo do relacije
Prema jednačini (38.8), pa, zamjenom kroz, dolazimo do formule (41.4).
Tabela 41.1
Table 41.1 formule mehanike rotacijskih kretanja upoređuju se sa sličnim formulama mehanike translatorno kretanje(mehanika tačke). Iz ovog poređenja lako je zaključiti da u svim slučajevima ulogu mase ima moment inercije, ulogu sile je moment sile, ulogu impulsa je moment količine gibanja itd.
Formula. (41.1) smo dobili za slučaj kada se tijelo rotira oko fiksne ose učvršćene u tijelu. Sada pretpostavimo da se tijelo rotira na proizvoljan način oko fiksne tačke koja se poklapa sa njegovim centrom mase.
Čvrsto ćemo vezati Dekartov koordinatni sistem za tijelo, čije je ishodište smješteno u centar mase tijela. Brzina i-ta osnovna masa je dakle, za kinetičku energiju tijela, možete napisati izraz
gdje je ugao između vektora Zamjenom a sa i uzimajući u obzir da dobijemo:
Hajde da zapišemo tačkasti proizvodi kroz projekcije vektora na osu koordinatnog sistema povezanog sa tijelom:
Konačno, kombinujući članove sa istim proizvodima komponenata ugaone brzine i uzimajući ove proizvode izvan predznaka zbira, dobijamo: pa formula (41.7) poprima oblik (up. (41.1)). Kada se proizvoljno tijelo rotira oko jedne od glavnih osi inercije, recimo da os i formula (41.7) prelazi u (41.10.
Na ovaj način. kinetička energija rotirajućeg tela jednaka je polovini proizvoda momenta inercije i kvadrata ugaone brzine u tri slučaja: 1) za telo koje rotira oko fiksne ose; 2) za telo koje rotira oko jedne od glavnih osa inercije; 3) za vrh lopte. U drugim slučajevima, kinetička energija je bjelja složene formule(41,5) ili (41,7).
Razmotrimo prvo kruto tijelo koje rotira oko fiksne ose OZ s ugaonom brzinom ω (Slika 5.6). Razbijmo tijelo na elementarne mase. Linearna brzina elementarne mase je jednaka, gdje je njena udaljenost od ose rotacije. Kinetička energija i-th elementarna masa će biti jednaka
.
Dakle, kinetička energija cijelog tijela sastoji se od kinetičkih energija njegovih dijelova
.
S obzirom da zbir na desnoj strani ovog omjera predstavlja moment inercije tijela oko ose rotacije, konačno dobijamo
. (5.30)
Formule za kinetičku energiju rotirajućeg tijela (5.30) slične su odgovarajućim formulama za kinetičku energiju translacijskog kretanja tijela. Dobijaju se iz posljednje formalne zamjene 
.
U opštem slučaju, kretanje krutog tela se može predstaviti kao zbir gibanja - translatornog sa brzinom jednakom brzini centra mase tela, i rotacije sa ugaonom brzinom oko trenutne ose koja prolazi kroz centar mase. U ovom slučaju, izraz za kinetičku energiju tijela poprima oblik
.
Nađimo sada rad koji vrši moment vanjskih sila tokom rotacije krutog tijela. Elementarni rad vanjskih sila u vremenu dt biće jednaka promeni kinetičke energije tela
Uzimanje diferencijala od kinetičke energije rotaciono kretanje, nalazimo njegov prirast
.
Prema osnovnoj jednadžbi dinamike za rotaciono kretanje
Uzimajući u obzir ove omjere, donijet ćemo izraz elementarnog rada u formu
gdje je projekcija rezultujućeg momenta vanjskih sila na smjer ose rotacije OZ, je ugao rotacije tijela za razmatrani vremenski interval.
Integracijom (5.31) dobijamo formulu za rad vanjskih sila koje djeluju na rotirajuće tijelo
Ako, onda je formula pojednostavljena
Dakle, rad vanjskih sila pri rotaciji krutog tijela u odnosu na nepokretnu osu određen je djelovanjem projekcije momenta tih sila na ovu osu.
Žiroskop
Žiroskop je brzo rotirajuće simetrično tijelo, čija os rotacije može promijeniti smjer u prostoru. Kako bi se osa žiroskopa mogla slobodno rotirati u prostoru, žiroskop se postavlja u takozvani kardan (slika 5.13). Zamajac žiroskopa rotira u kavezu unutrašnjeg prstena oko ose C 1 C 2 koja prolazi kroz njegovo težište. Unutrašnji kavez se, zauzvrat, može rotirati u vanjskom kavezu oko ose B 1 B 2, okomito na C 1 C 2. Konačno, vanjski kavez se može slobodno rotirati u ležajevima stalka oko ose A 1 A 2, okomito na ose C 1 C 2 i B 1 B 2. Sve tri ose se sijeku u nekoj fiksnoj tački O, koja se naziva središte ovjesa ili uporište žiroskopa. Žiroskop u kardanu ima tri stepena slobode i stoga može napraviti bilo koje okrete oko centra kardanskog zgloba. Ako se centar ovjesa žiroskopa poklapa s njegovim težištem, tada je rezultirajući moment gravitacije svih dijelova žiroskopa u odnosu na centar ovjesa jednak nuli. Takav žiroskop se naziva uravnoteženim.
Razmotrite sada najviše važna svojstvažiroskop, koji mu je našao široku primenu u raznim oblastima.
1) Stabilnost.
Za bilo koje rotacije brojača balansiranog žiroskopa, njegova os rotacije ostaje nepromijenjena u odnosu na laboratorijski referentni okvir. To je zbog činjenice da je moment svih vanjskih sila, jednak momentu sila trenja, vrlo mali i praktično ne uzrokuje promjenu ugaonog momenta žiroskopa, tj.
Budući da je ugaoni moment usmjeren duž ose rotacije žiroskopa, njegova orijentacija mora ostati nepromijenjena.
Ako vanjska sila djeluje kratko vrijeme, tada će integral koji određuje prirast ugaonog momenta biti mali
. (5.34)
To znači da se pod kratkotrajnim utjecajima čak i velikih sila, kretanje uravnoteženog žiroskopa malo mijenja. Žiroskop se, takoreći, odupire svim pokušajima da se promijeni veličina i smjer njegovog ugaonog momenta. To je razlog izuzetne stabilnosti koju kretanje žiroskopa dobija nakon što se dovede u brzu rotaciju. Ovo svojstvo žiroskopa se široko koristi za automatska kontrola kretanje aviona, brodova, projektila i drugih vozila.
Ako djelujemo na žiroskop dugo vrijeme konstantan u smjeru momenta vanjskih sila, tada se osa žiroskopa postavlja, na kraju, u smjeru momenta vanjskih sila. Ovaj fenomen se koristi u žirokompasu. Ovaj uređaj je žiroskop čija se os može slobodno rotirati u horizontalnoj ravni. Zbog dnevne rotacije Zemlje i djelovanja momenta centrifugalnih sila, os žiroskopa se rotira tako da ugao između i postaje minimalan (slika 5.14). Ovo odgovara položaju ose žiroskopa u meridijanskoj ravni.
2). Žiroskopski efekat.
Ako se par sila primeni na rotirajući žiroskop i teži da ga rotira oko ose okomite na os rotacije, tada će on početi da se rotira oko treće ose okomito na prve dve (slika 5.15). Ovo neobično ponašanje žiroskopa naziva se žiroskopski efekat. To se objašnjava činjenicom da je moment para sila usmjeren duž ose O 1 O 1 i promjena vektora za vrijednost će imati isti smjer tokom vremena. Kao rezultat, novi vektor će se rotirati oko ose O 2 O 2. Dakle, ponašanje žiroskopa, na prvi pogled neprirodno, u potpunosti odgovara zakonima dinamike rotacionog kretanja
3). Precesija žiroskopa.
Precesija žiroskopa je konusno kretanje njegove ose. Nastaje kada se moment vanjskih sila, dok ostaje konstantan po veličini, rotira istovremeno sa osom žiroskopa, formirajući s njim sve vrijeme pravi ugao. Da bi se demonstrirala precesija, može se koristiti kotač bicikla sa produženom osovinom, svedenom na brzu rotaciju (slika 5.16).
Ako je točak okačen za produženi kraj osovine, tada će njegova osovina početi da se kreće oko vertikalne ose pod sopstvenom težinom. Brzo rotirajući vrh također može poslužiti kao demonstracija precesije.
Hajde da saznamo razloge za precesiju žiroskopa. Zamislite neuravnotežen žiroskop čija se osa može slobodno rotirati oko neke tačke O (slika 5.16). Moment gravitacije primijenjen na žiroskop je jednak po veličini
gdje je masa žiroskopa, udaljenost od tačke O do centa mase žiroskopa, ugao koji formira os žiroskopa sa vertikalom. Vektor je usmjeren okomito na vertikalnu ravan koja prolazi kroz osu žiroskopa.
Pod djelovanjem ovog momenta, ugaoni moment žiroskopa (njegov početak je smješten u tački O) će se vremenom povećavati, a vertikalna ravnina koja prolazi kroz osu žiroskopa će se rotirati za ugao. Vektor je okomit na cijelo vrijeme, dakle, bez promjene veličine, vektor se mijenja samo u smjeru. Štaviše, nakon nekog vremena međusobnog dogovora vektora i biće isti kao u početnom trenutku. Kao rezultat toga, os žiroskopa će se kontinuirano rotirati oko vertikale, opisujući konus. Ovo kretanje se naziva precesija.
Odredimo ugaonu brzinu precesije. Prema slici 5.16, ugao rotacije ravni koja prolazi kroz osu stošca i osu žiroskopa je
gdje je ugaoni moment žiroskopa, i njegov prirast tokom vremena.
Dijeljenjem sa, uzimajući u obzir navedene relacije i transformacije, dobijamo ugaonu brzinu precesije
. (5.35)
Za žiroskope koji se koriste u tehnologiji, ugaona brzina precesije je milione puta manja od brzine rotacije žiroskopa.
U zaključku, napominjemo da se fenomen precesije uočava i kod atoma zbog orbitalnog kretanja elektrona.
Primjeri primjene zakona dinamike
Rotaciono kretanje
1. Razmotrimo neke primjere zakona održanja ugaonog momenta, koji se može implementirati pomoću klupe Žukovskog. U najjednostavnijem slučaju, klupa Žukovskog je platforma (stolica) u obliku diska koja se može slobodno rotirati oko vertikalne ose na kugličnim ležajevima (slika 5.17). Demonstrant sjeda ili stane na klupu, nakon čega se dovodi u rotaciju. Zbog činjenice da su sile trenja zbog upotrebe ležajeva vrlo male, ugaoni moment sistema koji se sastoji od klupe i demonstratora u odnosu na osu rotacije ne može se mijenjati u vremenu ako je sistem prepušten sam sebi. Ako demonstrant u rukama drži teške bučice i raširi ruke u stranu, tada će povećati moment inercije sistema, pa se ugaona brzina rotacije mora smanjiti tako da moment zamaha ostane nepromijenjen.
Prema zakonu održanja ugaonog momenta, sastavljamo jednačinu za ovaj slučaj
gdje je moment inercije osobe i klupe, a je moment inercije bučica u prvom i drugom položaju i ugaone brzine sistema.
Ugaona brzina rotacije sistema kada se bučice povuku u stranu bit će jednaka
.
Rad koji obavlja osoba prilikom pokretanja bučica može se odrediti kroz promjenu kinetičke energije sistema
2. Dajemo još jedan eksperiment sa klupom Žukovskog. Demonstrator sjedi ili stoji na klupi i daje mu se brzo rotirajući točak sa okomito orijentiranom osom (slika 5.18). Zatim demonstrant okreće točak za 180 0. U ovom slučaju, promjena momenta impulsa točka se u potpunosti prenosi na klupu i demonstratora. Kao rezultat toga, klupa, zajedno sa demonstratorom, dolazi u rotaciju sa ugaonom brzinom određenom na osnovu zakona održanja ugaonog momenta.
Moment impulsa sistema u početnom stanju određen je samo momentom količine gibanja točka i jednak je
gdje je moment inercije točka, ugaona brzina njegove rotacije.
Nakon okretanja točka za ugao od 180 0, ugaoni moment sistema će već biti određen zbirom ugaonog momenta klupe sa osobom i ugaonog momenta točka. Uzimajući u obzir da je vektor ugaonog momenta točka promijenio smjer u suprotan, a njegova projekcija na okomitu osu postala negativna, dobivamo
,
gdje je moment inercije sistema "čovjek-platforma", ugaona brzina rotacije klupe sa čovjekom.
Prema zakonu održanja ugaonog momenta
i 
.
Kao rezultat, nalazimo brzinu rotacije klupe
3. Tanak štap sa masom m i dužina l rotira ugaonom brzinom ω = 10 s -1 u horizontalnoj ravni oko vertikalne ose koja prolazi kroz sredinu štapa. Nastavljajući da se rotira u istoj ravni, šipka se pomiče tako da os rotacije sada prolazi kroz kraj šipke. Pronađite ugaonu brzinu u drugom slučaju.
U ovom problemu, zbog činjenice da se distribucija mase šipke u odnosu na os rotacije mijenja, mijenja se i moment inercije šipke. U skladu sa zakonom održanja ugaonog momenta izolovanog sistema, imamo
Ovdje je moment inercije štapa u odnosu na osu koja prolazi kroz sredinu štapa; 
- moment inercije štapa oko ose koja prolazi kroz njegov kraj i nalazi se Steinerovom teoremom.
Zamjenom ovih izraza u zakon održanja ugaonog momenta, dobijamo
,
.
4. Dužina štapa L= 1,5 m i masa m 1= 10 kg zakretno visi na gornjem kraju. Metak mase pogađa sredinu štapa m 2= 10 g, leti horizontalno brzinom od 500 m/s, i zaglavi se u štapu. Pod kojim uglom će se štap skrenuti nakon udara?
Predstavimo na sl. 5.19. sistem međudjelujućih tijela "šip-metak". Momenti vanjskih sila (gravitacija, reakcija ose) u trenutku udara jednaki su nuli, stoga možemo koristiti zakon održanja ugaonog momenta
Moment momenta gibanja sistema prije udara jednak je momentu impulsa metka u odnosu na tačku ovjesa
Moment impulsa sistema nakon neelastičnog udara određuje se formulom
,
gdje je moment inercije štapa u odnosu na tačku ovjesa, moment inercije metka i ugaona brzina štapa sa metkom neposredno nakon udara.
Rješavajući rezultirajuću jednadžbu nakon zamjene, nalazimo
.
Koristimo sada zakon održanja mehaničke energije. Izjednačimo kinetičku energiju štapa nakon što ga je pogodio metak njegove potencijalne energije na najvišoj tački podizanja:
,
gdje je visina uspona centra mase datog sistema.
Nakon što izvršimo potrebne transformacije, dobijamo
Ugao otklona šipke povezan je sa vrijednošću omjerom
.
Nakon izračunavanja, dobijamo = 0,1p = 18 0.
5. Odrediti ubrzanje tijela i napetost niti na Atwood mašini, uz pretpostavku da je (slika 5.20). Moment inercije bloka u odnosu na os rotacije je I, radijus bloka r... Zanemarite težinu konca.
Posložimo sve sile koje djeluju na opterećenje i blok i sastavimo za njih jednadžbe dinamike
Ako nema klizanja niti duž bloka, tada su linearno i kutno ubrzanje međusobno povezane omjerom
Rješavajući ove jednačine dobijamo
Tada nalazimo T 1 i T 2.
6. Na remenicu Oberbeckovog krsta (Sl.5.21) je pričvršćen navoj na koji je okačen uteg M= 0,5 kg. Odredite koliko je teretu potrebno da se spusti s visine h= 1 m do donje pozicije. Radijus remenice r= 3 cm Četiri utega m= 250 g svaki na udaljenosti R= 30 cm od svoje ose. Moment inercije krsta i samog remenice treba zanemariti u poređenju sa momentom inercije utega.
Izraz za kinetičku energiju rotirajućeg tijela, uzimajući u obzir da je linearna brzina proizvoljne materijalne tačke koja čini tijelo, u odnosu na os rotacije jednaka
gdje je moment inercije tijela u odnosu na odabranu os rotacije, njegova ugaona brzina u odnosu na ovu osu, ugaoni moment tijela u odnosu na os rotacije.
Ako tijelo vrši translacijsko rotacijsko kretanje, tada proračun kinetičke energije ovisi o izboru pola u odnosu na koji se opisuje kretanje tijela. Krajnji rezultat će biti isti. Dakle, ako se za okruglo tijelo koje se kotrlja brzinom v bez klizanja poluprečnika R i koeficijenta inercije k uzme se pol u svom CM, u tački C, tada se njegov moment inercije i kutna brzina rotacije oko C osa. Zatim kinetička energija tijela.
Ako se pol uzme u tački O kontakta između tijela i površine kroz koju prolazi trenutna os rotacije tijela, tada će njegov moment inercije oko ose O postati jednak 
... Tada će kinetička energija tijela, uzimajući u obzir da su ugaone brzine rotacije tijela iste u odnosu na paralelne ose i da tijelo vrši čistu rotaciju oko ose O, biti jednaka. Rezultat je isti.
Teorema kinetičke energije za tijelo koje radi složeno kretanje, imat će isti oblik kao i za njegovo translacijsko kretanje: 
.
Primjer 1. Tijelo mase m vezano je za kraj konca namotanog na cilindrični blok polumjera R i mase M. Tijelo se podiže na visinu h i oslobađa (Sl. 65). Nakon neelastičnog trzanja niti, tijelo i blok odmah počinju da se kreću zajedno. Koliko toplote će se proizvesti tokom trzaja? Koliko će biti ubrzanje kretanja tijela i napetost niti nakon trzaja? Kolika će biti brzina tijela i put koji je prešao nakon povlačenja niti za vrijeme t?
Dato: M, R, m, h, g, t. Nađi: Q - ?, a -?, T -?, V - ?, s -?
Rješenje: Brzina tijela prije povlačenja pređe. Nakon povlačenja konca, blok i tijelo će doći u rotacijsko kretanje u odnosu na os bloka O i ponašat će se kao tijela s momentima inercije oko ove ose jednakim i. Njihov ukupni moment inercije oko ose rotacije.
Povlačenje niti je brz proces i pri trzaju se odvija zakon održanja ugaone količine gibanja sistema blok-telo, koji zbog činjenice da se telo i blok odmah nakon trzaja počnu kretati zajedno, ima oblik:. Odatle početna ugaona brzina rotacije bloka 
, i početnu linearnu brzinu tijela 
.
Kinetička energija sistema zbog očuvanja njegovog ugaonog momenta neposredno nakon prekida pređe je Toplota koja se oslobađa tokom trzaja prema zakonu održanja energije
Dinamičke jednačine kretanja tijela sistema nakon trzaja ne zavise od njihove početne brzine. Za blok, ima oblik 
ili, ali za telo. Sabiranjem ove dvije jednačine dobijamo 
.
Odakle dolazi ubrzanje kretanja tijela. Napetost niti 
Kinematske jednadžbe kretanja tijela nakon trzaja imat će oblik 
gde su svi parametri poznati.
odgovor: . 
.
Primjer 2... Dva okrugla tijela sa koeficijentima inercije (šuplji cilindar) i (lopta) smještena u bazi kosoj ravni sklon α izvesti iste početne brzine usmjerene prema gore duž nagnute ravni. Na koju visinu i koliko dugo će se tijela dizati do te visine? Kolika su ubrzanja tijela koja se dižu? Koliko se puta razlikuju visine, vremena i ubrzanja tijela koja se dižu? Tijela se kreću duž nagnute ravni bez klizanja.
Dato: ... Nađi:
Rješenje: Na tijelo utiču: gravitacija m g, odziv nagnute ravni N, i sila trenja prianjanja (sl. 67). Normalni reakcioni rad i sila trenja prianjanja (nema klizanja i ne oslobađa se toplota na tački prianjanja tela i ravni) jednaki su nuli: 
, dakle, za opisivanje kretanja tijela, moguće je primijeniti zakon održanja energije:. Gdje .
Vremena i ubrzanja kretanja tijela nalaze se iz kinematičkih jednačina 
.
Gdje 
, 
... Omjer visina, vremena i ubrzanja tijela koja se dižu:
Odgovori: , , , 
.
Primjer 3... Metak mase, koji leti velikom brzinom, udari u centar lopte mase M i poluprečnika R, pričvršćene za kraj štapa mase m i dužine l, obješenog u tački O svojim drugim krajem, i izleti van od toga brzinom (sl. 68). Odrediti ugaonu brzinu rotacije sistema štap-lopta neposredno nakon udarca i ugao otklona štapa nakon udarca metka.
Dato: 
. Nađi:
Rješenje: Momenti inercije štapa i lopte u odnosu na tačku O suspenzije štapa prema Steinerovoj teoremi: i 
.
Ukupni moment inercije sistema štap-lopta .
Udar metka je brz proces, a primjenjuje se zakon održanja ugaonog momenta sistema metak-šip-lopta (tela nakon sudara dolaze u rotaciono kretanje):. Odakle je ugaona brzina kretanja sistema štap-lopta neposredno nakon udara.
Položaj CM sistema štap-lopta u odnosu na tačku ovjesa O: 
... Zakon održanja energije za CM sistema nakon udara, uzimajući u obzir zakon održanja ugaonog momenta sistema tokom udara, ima oblik. Gdje raste visina CM sistema nakon udara 
... Ugao otklona šipke nakon udara određen je uvjetom 
.
odgovor: , , .
Primjer 4... Na okruglo tijelo mase m i poluprečnika R, koeficijenta inercije k, koje se okreće ugaonom brzinom, blok se pritiska silom N (Sl. 69). Koliko će vremena trebati da se cilindar zaustavi i koliko toplote će se osloboditi kada se pločica za to vrijeme trenje o cilindar? Koeficijent trenja između pločice i cilindra je.
Dato: Nađi:
Rješenje: Rad sile trenja prije zaustavljanja tijela prema teoremi kinetičke energije je 
... Toplota koja se oslobađa tokom rotacije 
.
Jednačina rotacionog kretanja tijela ima oblik. Odakle dolazi kutno ubrzanje njegove usporene rotacije? . Vrijeme rotacije tijela prije nego što se zaustavi.
Odgovori: , .
Primjer 5... Okruglo tijelo mase m i polumjera R s koeficijentom inercije k odmotava se do ugaone brzine u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i postavlja na horizontalnu površinu koja je spojena s okomitim zidom (slika 70). Koliko će vremena trebati tijelu da se zaustavi i koliko će okretaja napraviti prije nego što se zaustavi? Koliko će biti jednaka toplini koja se oslobađa prilikom trenja tijela o površinu za to vrijeme? Koeficijent trenja tijela o površinu jednak je.
Dato: . Nađi:
Rješenje: Toplota koja se oslobađa prilikom rotacije tijela prije nego što se zaustavi jednaka je radu sila trenja, što se može naći teoremom o kinetičkoj energiji tijela. Imamo.
Reakcija u horizontalnoj ravni. Sile trenja koje djeluju na tijelo sa horizontalne i vertikalne površine jednake su: i 
Iz sistema ove dvije jednačine dobijamo i.
Uzimajući u obzir ove odnose, jednačina rotacionog kretanja tijela ima oblik
Odgovori: , , , .
Primjer 6... Okruglo tijelo sa koeficijentom inercije k kotrlja se bez klizanja sa vrha polukugle polumjera R, stojeći na horizontalnoj površini (slika 71). Na kojoj visini i kojom brzinom će se odvojiti od hemisfere i kojom brzinom će pasti na horizontalnu površinu?
Dato: k, g, R. Nađi:
Rješenje: Na tijelo djeluju sile .
Radi i 0, (nema klizanja i toplota se ne oslobađa u tački prianjanja hemisfere i lopte), stoga je za opisivanje kretanja tela moguće primeniti zakon održanja energije. Njutnov drugi zakon za CM tela u tački njegovog odvajanja od hemisfere, uzimajući u obzir da u ovoj tački ima oblik, odakle 
.
Zakon održanja energije za početnu tačku i tačku razdvajanja tijela ima oblik. Otuda su visina i brzina odvajanja tela od hemisfere jednake, 
.
Nakon odvajanja tijela od hemisfere mijenja se samo njegova translacijska kinetička energija, pa zakon održanja energije za tačke razdvajanja i pada tijela na tlo ima oblik. Odakle, uzimajući u obzir, dobijamo 
... Za tijelo koje klizi po površini hemisfere bez trenja, k = 0 i,,.
odgovor: , , .
Zamislite apsolutno kruto tijelo koje rotira oko fiksne ose. Hajde da mentalno razbijemo ovo tijelo na beskonačno male komade beskonačno malih veličina i masa m v t., t 3,... na udaljenostima R v R 0, R 3, ... od ose. Kinetička energija rotirajućeg tijela nalazimo kao zbir kinetičkih energija njegovih malih dijelova:
- moment inercije kruto tijelo u odnosu na datu osu 00 ,. Iz poređenja formula za kinetičku energiju translacionog i rotacionog kretanja, očigledno je da moment inercije u rotacionom kretanju je analogan masi u translatornom kretanju. Formula (4.14) je pogodna za izračunavanje momenta inercije sistema koji se sastoji od pojedinačnih materijalne tačke... Da bismo izračunali moment inercije čvrstih tijela, koristeći definiciju integrala, možemo ga transformirati u oblik
Lako je uočiti da moment inercije zavisi od izbora ose i da se menja sa njenim paralelnim translacijom i rotacijom. Nađimo vrijednosti momenata inercije za neka homogena tijela.
Iz formule (4.14) je očigledno da moment inercije materijalne tačke je jednako sa
gdje T - tačka mase; R - udaljenost do ose rotacije.
Lako je izračunati moment inercije i za šuplji cilindar tankih zidova(ili poseban slučaj cilindra male visine - tanak prsten) radijus R oko ose simetrije. Udaljenost do ose rotacije svih tačaka za takvo tijelo je ista, jednaka je poluprečniku i može se izvaditi ispod znaka zbira (4.14):
Rice. 4.5
Čvrsti cilindar(ili poseban slučaj niska visina cilindra - disk) radijus R za izračunavanje momenta inercije oko ose simetrije potrebno je izračunavanje integrala (4.15). Unaprijed se može shvatiti da je masa u ovom slučaju u prosjeku koncentrirana nešto bliže osi nego u slučaju šupljeg cilindra, a formula će biti slična (4.17), ali će koeficijent manji od jedan pojaviti u njemu. Nađimo ovaj koeficijent. Neka čvrsti cilindar ima gustinu p i visinu A. Dijelimo ga na šuplje cilindre (tanke cilindrične površine) debljine dr(Slika 4.5 prikazuje projekciju okomitu na os simetrije). Zapremina takvog šupljeg cilindra polumjera r jednaka površini površina pomnožena debljinom: dV = 2nrhdr, težina: dm = 2nphdrr, i moment inercije u skladu sa formulom (4.17): dj =
= r 2 dm = 2lr /?G Wr. Ukupni moment inercije čvrstog cilindra dobija se integrisanjem (zbirom) momenata inercije šupljih cilindara:
Slično se traži moment inercije tanke šipke dužina L i mase T, ako je os rotacije okomita na šipku i prolazi kroz njenu sredinu. Hajde da ga razbijemo
Uzimajući u obzir činjenicu da je masa čvrstog cilindra formulom povezana s gustinom t = nR 2 ks, konačno imamo moment inercije čvrstog cilindra:
Rice. 4.6
štap u skladu sa sl. 4,6 na komade debljine dl. Masa takvog komada je dm = mdl / L, i moment inercije u skladu sa formulom (4.6): dj = l 2 dm = l 2 mdl / L. Ukupni moment inercije tankog štapa dobije se integracijom (zbrajanjem) momenata inercije dijelova:
Uzimanje elementarnog integrala daje moment inercije tankog štapa dužine L i mase T
Rice. 4.7
Integral se uzima nešto teže prilikom pretraživanja moment inercije homogene lopte radijus R i mase / 77 oko ose simetrije. Neka čvrsta lopta ima gustinu p. Razložimo ga prema sl. 4.7 za šuplje tanke cilindre debljine dr,čija se os simetrije poklapa sa osom rotacije lopte. Zapremina takvog šupljeg cilindra radijusa G jednaka površini puta debljini:
gdje je visina cilindra h pronađeno pomoću Pitagorine teoreme:
Tada je lako pronaći masu šupljeg cilindra:
kao i moment inercije u skladu sa formulom (4.15):
Ukupni moment inercije čvrste kugle dobija se integracijom (zbirom) momenata inercije šupljih cilindara:
Uzimajući u obzir činjenicu da je masa čvrste lopte povezana sa gustinom oblika - 4.
loy T = -npR A y konačno imamo moment inercije oko ose
simetrija homogene lopte poluprečnika R mase T:
Odredite kinetičku energiju čvrsto telo rotirajući oko fiksne ose. Razbijmo ovo tijelo na n materijalnih tačaka. Svaka tačka se kreće linearnom brzinom υ i = ωr i, tada kinetička energija tačke
ili 
Ukupna kinetička energija rotirajućeg čvrstog tijela jednaka je zbroju kinetičkih energija svih njegovih materijalnih tačaka:
(3.22)
(J je moment inercije tijela oko ose rotacije)
Ako putanje svih tačaka leže u paralelnim ravninama (kao cilindar koji se kotrlja iz nagnute ravni, svaka tačka se kreće u svojoj ravni, sl.), ovo je ravno kretanje... U skladu sa Ojlerovim principom, kretanje u ravnini se uvek može razložiti na translaciono i rotaciono na beskonačan broj načina. Ako lopta padne ili klizi duž nagnute ravni, kreće se samo translatorno; kada se lopta kotrlja, ona se takođe rotira.
Ako tijelo istovremeno vrši translacijske i rotacijske kretnje, tada je njegova ukupna kinetička energija jednaka
(3.23)
Iz poređenja formula kinetičke energije za translaciono i rotaciono kretanje, može se videti da je mera inercije pri rotacionom kretanju moment inercije tela.
§ 3.6 Rad vanjskih sila tokom rotacije krutog tijela
Kada se kruto tijelo rotira, njegova potencijalna energija se ne mijenja, stoga je elementarni rad vanjskih sila jednak porastu kinetičke energije tijela:
dA = dE ili 
Uzimajući u obzir da je Jβ = M, ωdr = dφ, imamo α tijela pod konačnim uglom φ jednakim
(3.25)
Kada se kruto tijelo rotira oko fiksne ose, rad vanjskih sila određen je djelovanjem momenta tih sila u odnosu na datu osu. Ako je moment sila oko ose jednak nuli, tada te sile ne proizvode rad.
Primjeri rješavanja problema
Primjer 2.1. Masa zamašnjakam= 5kg i radijusr= 0,2 m rotira oko horizontalne ose sa frekvencijomν 0 = 720 min -1 i kada se kočenje zaustavi zat= 20 s. Pronađite kočioni moment i broj okretaja za zaustavljanje.
Za određivanje momenta kočenja primjenjujemo osnovnu jednačinu dinamike rotacijskog kretanja
gdje je I = mr 2 moment inercije diska; Δω = ω - ω 0, gdje je ω = 0 konačna ugaona brzina, ω 0 = 2πν 0 je početna. M je moment kočenja sila koje djeluju na disk.
Poznavajući sve količine, moguće je odrediti kočioni moment
Mr 2 2πν 0 = MΔt (1)
(2)
Iz kinematike rotacionog kretanja, ugao rotacije tokom rotacije diska pre zaustavljanja može se odrediti formulom
(3)
gdje je β kutno ubrzanje.
Po uslovu zadatka: ω = ω 0 - βΔt, pošto je ω = 0, ω 0 = βΔt
Tada se izraz (2) može zapisati kao:
Primjer 2.2. Dva zamašnjaka u obliku diskova istih poluprečnika i mase su zavrtjena do brzine rotacijen= 480 o/min i prepušteni sami sebi. Pod dejstvom sila trenja osovina o ležajeve, prvi se zaustavio nakont= 80 s, a drugi jesteN= 240 obrtaja za zaustavljanje. Koji zamašnjak je imao moment sila trenja osovine o ležajeve i za koliko puta.
Moment sila trna M 1 prvog zamašnjaka nalazimo koristeći osnovnu jednačinu dinamike rotacionog kretanja
M 1 Δt = Iω 2 - Iω 1
gdje je Δt vrijeme djelovanja momenta sila trenja, I = mr 2 je moment inercije zamašnjaka, ω 1 = 2πν i ω 2 = 0 su početna i konačna ugaona brzina zamašnjaka
Onda 
Moment sila trenja M 2 drugog zamašnjaka izražava se kroz vezu između rada A sila trenja i promjene njegove kinetičke energije ΔE na:
gdje je Δφ = 2πN ugao rotacije, N je broj okretaja zamašnjaka.
Onda, odakle
O 
omjer će biti
Moment trenja drugog zamajca je 1,33 puta veći.
Primjer 2.3.
Masa homogenog čvrstog diska m, masa tereta m 1
i m 2
(sl. 15). Nema klizanja i trenja navoja u osi cilindra. Pronađite ubrzanje utega i omjer napetosti niti
u procesu kretanja.
Nema klizanja niti, dakle, kada m 1 i m 2 vrše translatorno kretanje, cilindar će se rotirati oko ose koja prolazi kroz tačku O. Pretpostavimo za određenost da je m 2 > m 1.
Tada se težina m 2 spušta i cilindar se okreće u smjeru kazaljke na satu. Zapišimo jednačine kretanja tijela uključenih u sistem
Prve dvije jednadžbe su napisane za tijela s masama m 1 i m 2, koja vrše translacijsko kretanje, a treća jednačina je za rotirajući cilindar. U trećoj jednadžbi lijevo je ukupan moment sila koje djeluju na cilindar (moment sile T 1 uzima se sa predznakom minus, jer sila T 1 teži da okrene cilindar u smjeru suprotnom od kazaljke na satu). Desno I je moment inercije cilindra oko ose O, koji je jednak
gdje je R polumjer cilindra; β je ugaono ubrzanje cilindra.
Pošto nema klizanja niti, 
... Uzimajući u obzir izraze za I i β, dobijamo:
Sabiranjem jednačina sistema dolazimo do jednačine
Odavde nalazimo ubrzanje a tereta
Iz dobijene jednačine se vidi da će napetost niti biti ista, tj. 
= 1 ako je masa cilindra mnogo manja od mase utega.
Primjer 2.4.
Šuplja kugla mase m = 0,5 kg ima vanjski polumjer R = 0,08 m i unutrašnji radijus r = 0,06 m. Lopta se rotira oko ose koja prolazi kroz njen centar. U određenom trenutku na loptu počinje djelovati sila, uslijed čega se kut rotacije lopte mijenja prema zakonu
... Odredite moment primijenjene sile.
Zadatak rješavamo korištenjem osnovne jednadžbe dinamike rotacijskog kretanja 
... Glavna poteškoća je odrediti moment inercije šuplje sfere, a kutno ubrzanje β nalazi se kao 
... Moment inercije I šuplje lopte jednak je razlici između momenata inercije lopte poluprečnika R i lopte poluprečnika r:
gdje je ρ gustina materijala kugle. Gustinu nalazimo, znajući masu šuplje lopte
Odavde određujemo gustinu materijala kugle
Za moment sile M dobijamo sledeći izraz:
Primjer 2.5. Tanak štap težak 300 g i dugačak 50 cm rotira ugaonom brzinom od 10 s -1 u horizontalnoj ravni oko vertikalne ose koja prolazi kroz sredinu šipke. Pronađite ugaonu brzinu ako se tokom rotacije u istoj ravni šipka pomiče tako da osa rotacije prolazi kroz kraj šipke.
Koristimo zakon održanja ugaonog momenta
(1)
(J i je moment inercije štapa u odnosu na os rotacije).
Za izolovani sistem tela, vektorski zbir ugaonog momenta ostaje konstantan. Zbog činjenice da je raspodjela mase štapa u odnosu na os rotacije, moment inercije štapa se također mijenja u skladu sa (1):
J 0 ω 1 = J 2 ω 2. (2)
Poznato je da je moment inercije štapa u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase i okomita na štap jednak
J 0 = mℓ 2/12. (3)
Po Steinerovoj teoremi
J = J 0 + m a 2
(J-moment inercije štapa oko proizvoljne ose rotacije; J 0 - moment inercije oko paralelne ose koja prolazi kroz centar mase; a je udaljenost od centra mase do odabrane ose rotacije).
Nađimo moment inercije oko ose koja prolazi kroz njen kraj i okomita na šipku:
J 2 = J 0 + m a 2, J 2 = mℓ 2/12 + m (ℓ / 2) 2 = mℓ 2/3. (4)
Zamijenite formule (3) i (4) u (2):
mℓ 2 ω 1/12 = mℓ 2 ω 2/3
ω 2 = ω 1/4 ω 2 = 10 s-1/4 = 2,5 s -1
Primjer 2.6 ... Čovek u masim= 60 kg, stoji na rubu platforme mase M = 120 kg, rotira po inerciji oko fiksne vertikalne ose sa frekvencijom ν 1 = 12min -1 , ide u njegov centar. Razmatrajući platformu kao okrugli homogeni disk, a osobu kao tačkastu masu, odredite s kojom frekvencijom ν 2 platforma će se tada rotirati.
Dato: m = 60 kg, M = 120 kg, ν 1 = 12 min -1 = 0,2 s -1 .
Nađi:ν 1
Rješenje: Prema stanju zadatka, platforma sa osobom se rotira po inerciji, tj. rezultujući moment svih sila primenjenih na rotirajući sistem je nula. Dakle, za sistem "platforma-čovek" zakon održanja ugaonog momenta je ispunjen
I 1 ω 1 = I 2 ω 2
gdje 
- moment inercije sistema kada osoba stoji na ivici platforme (uzeli smo u obzir da je moment inercije platforme jednak 
(R - poluprečnik n 
platforma), moment inercije osobe na ivici platforme jednak je mR 2).
- moment inercije sistema kada osoba stoji u centru platforme (uzeli smo u obzir da je momenat osobe koja stoji u centru platforme jednak nuli). Ugaona brzina ω 1 = 2π ν 1 i ω 1 = 2π ν 2.
Zamjenom pisanih izraza u formulu (1) dobijamo
odakle je tražena brzina
Odgovori: ν 2 = 24 min -1.