Počnimo s razmatranjem rotacije tijela oko fiksne ose, koju ćemo nazvati z-osa (slika 41.1). Linearna brzina elementarne mase jednaka je gdje je udaljenost mase od ose. Stoga se za kinetičku energiju elementarne mase dobije izraz

Kinetička energija tijelo se sastoji od kinetičkih energija njegovih dijelova:

Zbir na desnoj strani ovog omjera je moment inercije tijela 1 oko ose rotacije. način, kinetička energija tijela koje rotira okolo fiksna os je jednako sa

Neka na masu djeluju unutrašnja i vanjska sila (vidi sliku 41.1). Prema (20.5), ove snage će izvršiti posao

Provodeći cikličku permutaciju faktora u mješovitim produktima vektora (vidi (2.34)), dobijamo:

gdje je N moment unutrašnje sile u odnosu na tačku O, N je analogni moment vanjske sile.

Zbrajajući izraz (41.2) nad svim elementarnim masama, dobijamo elementarni rad koji se izvrši na tijelu za vrijeme dt:

Zbir trenutaka unutrašnje sile jednaka je nuli (vidi (29.12)). Dakle, označavajući ukupni trenutak spoljne sile kroz N dolazimo do izraza

(koristili smo formulu (2.21)).

Konačno, uzimajući u obzir da postoji ugao za koji se tijelo rotira u vremenu, dobijamo:

Predznak rada zavisi od predznaka, odnosno od predznaka projekcije vektora N na pravac vektora

Dakle, kada se tijelo rotira, unutrašnje sile ne vrše rad, dok se rad vanjskih sila određuje formulom (41.4).

Do formule (41.4) se može doći koristeći činjenicu da se rad svih sila primijenjenih na tijelo koristi za povećanje njegove kinetičke energije (vidi (19.11)). Uzimajući diferencijal obje strane jednakosti (41.1), dolazimo do relacije

Prema jednačini (38.8), pa, zamjenom kroz, dolazimo do formule (41.4).

Tabela 41.1

Table 41.1 formule mehanike rotacijskih kretanja upoređuju se sa sličnim formulama mehanike translatorno kretanje(mehanika tačke). Iz ovog poređenja lako je zaključiti da u svim slučajevima ulogu mase ima moment inercije, ulogu sile je moment sile, ulogu impulsa je moment količine gibanja itd.

Formula. (41.1) smo dobili za slučaj kada se tijelo rotira oko fiksne ose učvršćene u tijelu. Sada pretpostavimo da se tijelo rotira na proizvoljan način oko fiksne tačke koja se poklapa sa njegovim centrom mase.

Čvrsto ćemo vezati Dekartov koordinatni sistem za tijelo, čije je ishodište smješteno u centar mase tijela. I-ta brzina elementarna masa je dakle, za kinetičku energiju tijela možemo napisati izraz

gdje je ugao između vektora Zamjenom a sa i uzimajući u obzir da dobijemo:

Hajde da zapišemo tačkasti proizvodi kroz projekcije vektora na osu koordinatnog sistema povezanog sa tijelom:

Konačno, kombinujući članove sa istim proizvodima komponenata ugaone brzine i uzimajući ove proizvode izvan predznaka zbira, dobijamo: pa formula (41.7) poprima oblik (up. (41.1)). Kada se proizvoljno tijelo rotira oko jedne od glavnih osa inercije, recimo da os i formula (41.7) prelazi u (41.10.

Na ovaj način. kinetička energija rotirajućeg tela jednaka je polovini proizvoda momenta inercije i kvadrata ugaone brzine u tri slučaja: 1) za telo koje rotira oko fiksne ose; 2) za telo koje rotira oko jedne od glavnih osa inercije; 3) za vrh lopte. U drugim slučajevima, kinetička energija je bjelja složene formule(41,5) ili (41,7).

Kinetička energija rotacije

Predavanje 3. Dinamika krutog tijela

Plan predavanja

3.1. Trenutak snage.

3.2. Osnovne jednačine rotaciono kretanje... Moment inercije.

3.3. Kinetička energija rotacije.

3.4. Trenutak impulsa. Zakon održanja ugaonog momenta.

3.5. Analogija translacionog i rotacionog kretanja.

Trenutak snage

Razmotrimo kretanje krutog tijela oko fiksne ose. Neka kruto tijelo ima fiksnu os rotacije OO ( Slika 3.1) i na njega se primjenjuje proizvoljna sila.

Rice. 3.1

Razložimo silu na dvije komponente sile, sila leži u ravni rotacije, a sila je paralelna s osi rotacije. Tada ćemo silu razložiti na dvije komponente: - koja djeluje duž radijus vektora i - okomito na njega.

Neće ga svaka sila primijenjena na tijelo rotirati. Pritišće i stvara pritisak na ležajeve, ali ih nemojte rotirati.

Sila može debalansirati tijelo, a možda i ne, ovisno o tome gdje je u radijus vektoru primijenjena. Stoga se uvodi pojam momenta sile oko ose. Trenutak moći u odnosu na os rotacije naziva se vektorski proizvod radijus vektora i sile.

Vektor je usmjeren duž osi rotacije i određen je pravilom unakrsnog proizvoda ili pravilom desnog zavrtnja, ili pravilom kardana.

Modul momenta

gdje je α ugao između vektora i.

Sa slike 3.1. to je jasno .

r 0- najkraća udaljenost od ose rotacije do linije djelovanja sile i naziva se rame sile. Tada se može napisati moment sile

M = F r 0 . (3.3)

Od sl. 3.1.

gdje F Je li projekcija vektora na smjer, okomito na vektor radijus vektor. U ovom slučaju, moment sile je

. (3.4)

Ako na tijelo djeluje više sila, tada je rezultirajući moment sile jednak vektorskom zbroju momenata pojedinačnih sila, ali budući da su svi momenti usmjereni duž ose, mogu se zamijeniti algebarskim zbirom. Moment će se smatrati pozitivnim ako rotira tijelo u smjeru kazaljke na satu, a negativnim ako se okreće suprotno. Ako su svi momenti sila () jednaki nuli, tijelo će biti u ravnoteži.

Koncept momenta sile može se demonstrirati uz pomoć "kapricne zavojnice". Kalema konca se povlači slobodnim krajem konca ( pirinač. 3.2).

Rice. 3.2

Ovisno o smjeru napetosti konca, špulica se kotrlja na jednu ili drugu stranu. Ako povučete pod uglom α , zatim moment sile oko ose O(okomito na sliku) rotira zavojnicu u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i ona se otkotrlja. U slučaju napetosti pod uglom β obrtni moment je u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i zavojnica se kotrlja naprijed.

Koristeći uvjet ravnoteže (), može se konstruirati jednostavnih mehanizama, koji su "pretvarači" sile, tj. primjenom manje sile može se podići i pomjeriti različite težine tereta. Na ovom principu se zasnivaju poluge, automobili, blokovi. različite vrste koji se široko koriste u građevinarstvu. Za ispunjavanje uslova ravnoteže u izgradnji dizalice za podizanje Za kompenzaciju momenta sile uzrokovanog težinom tereta, uvijek postoji sistem protivtega koji stvara moment sile suprotnog predznaka.

3.2. Osnovna jednačina rotacije
pokret. Moment inercije

Zamislite apsolutno kruto tijelo koje rotira oko fiksne ose OO(Slika 3.3). Hajde da mentalno razbijemo ovo tijelo na elemente sa masama Δ m 1, Δ m 2, …, Δ m n... Kada se rotiraju, ovi elementi će opisivati ​​krugove s polumjerima r 1,r 2 , …,r n... Za svaki element, sile djeluju u skladu s tim F 1,F 2 , …,F n... Rotacija tijela oko ose OO nastaje pod dejstvom punog momenta sila M.

M = M 1 + M 2 + ... + M n (3.4)

gdje M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

Prema Newtonovom II zakonu, svaka sila F djelujući na element mase D m, uzrokuje ubrzanje datog elementa a, tj.

F i = D m i a i (3.5)

Zamjenom odgovarajućih vrijednosti u (3.4), dobijamo

Rice. 3.3

Poznavanje odnosa između linearnog kutnog ubrzanja ε () i da je kutno ubrzanje za sve elemente isto, formula (3.6) će imati oblik

M = (3.7)

=I (3.8)

I- moment inercije tijela oko nepokretne ose.

Onda dobijamo

M = I ε (3.9)

Ili u vektorskom obliku

(3.10)

Ova jednadžba je osnovna jednačina za dinamiku rotacijskog kretanja. Po obliku, sličan je jednačini II Newtonovog zakona. Iz (3.10) moment inercije je jednak

Dakle, moment inercije datog tijela je omjer momenta sile i ugaonog ubrzanja uzrokovanog njime. Iz (3.11) se može vidjeti da je moment inercije mjera inercije tijela u odnosu na rotacijsko kretanje. Moment inercije igra istu ulogu kao i masa u translatornom kretanju. Mjerna jedinica u SI [ I] = kg · m 2. Iz formule (3.7) slijedi da moment inercije karakterizira raspodjelu mase čestica tijela u odnosu na os rotacije.

Dakle, moment inercije elementa mase ∆m koji se kreće duž kružnice poluprečnika r jednak je

I = r 2 D m (3.12)

I = (3.13)

U slučaju kontinuirane raspodjele mase, zbir se može zamijeniti integralom

I = ∫ r 2 dm (3.14)

gdje se integracija vrši preko cijele tjelesne mase.

Dakle, može se vidjeti da moment inercije tijela ovisi o masi i njenoj distribuciji u odnosu na os rotacije. Ovo se može pokazati eksperimentalno ( Slika 3.4).

Rice. 3.4

Dva okrugla cilindra, jedan šupalj (na primjer, metalni), drugi čvrsti (drveni) iste dužine, poluprečnika i mase, počinju da se kotrljaju istovremeno. Šuplji cilindar sa veliki trenutak inercije, zaostajaće za čvrstim.

Moment inercije se može izračunati ako je poznata masa m i njegovu distribuciju oko ose rotacije. Najjednostavniji slučaj je prsten, kada se svi elementi mase nalaze podjednako od ose rotacije ( pirinač. 3.5):

I = (3.15)

Rice. 3.5

Izložimo izraze za momente inercije različitih simetričnih tijela s masom m.

1. Moment inercije prstenje, šuplji cilindar tankih zidova oko ose rotacije koja se poklapa sa osom simetrije.

, (3.16)

r- radijus prstena ili cilindra

2. Za čvrsti cilindar i disk, moment inercije oko ose simetrije

(3.17)

3. Trenutak inercije lopte oko ose koja prolazi kroz centar

(3.18)

r- radijus lopte

4. Moment inercije tankog dugačkog štapa l u odnosu na osu okomitu na štap i koja prolazi kroz njegovu sredinu

(3.19)

l Je dužina štapa.

Ako osa rotacije ne prolazi kroz centar mase, tada je moment inercije tijela oko ove ose određen Steinerovom teoremom.

(3.20)

Prema ovoj teoremi, moment inercije oko proizvoljne ose O'O'' ( ) jednak je momentu inercije oko paralelne ose koja prolazi kroz centar mase tijela ( ) plus proizvod tjelesne mase i kvadrata udaljenosti a između osi ( pirinač. 3.6).

Rice. 3.6

Kinetička energija rotacije

Razmotrimo rotaciju apsolutno krutog tijela oko fiksne ose OO sa ugaonom brzinom ω (pirinač. 3.7). Hajde da razbijemo čvrsti deo n elementarne mase ∆ m i... Svaki element mase rotira u krugu radijusa r i sa linearnom brzinom (). Kinetička energija se sastoji od kinetičkih energija pojedinih elemenata.

(3.21)

Rice. 3.7

Podsjetimo iz (3.13) da - moment inercije oko ose OO.

Dakle, kinetička energija rotirajućeg tijela

E k = (3.22)

Razmatrali smo kinetičku energiju rotacije oko fiksne ose. Ako tijelo sudjeluje u dva kretanja: translacijskom i rotacionom, tada se kinetička energija tijela sastoji od kinetičke energije translacijskog kretanja i kinetičke energije rotacije.

Na primjer, lopta s masom m valjanje; centar mase lopte kreće se translatorno brzinom u (pirinač. 3.8).

Rice. 3.8

Ukupna kinetička energija lopte bit će jednaka

(3.23)

3.4. Trenutak impulsa. Zakon o konzervaciji
ugaoni moment

Fizička veličina jednaka proizvodu momenta inercije I ugaona brzina ω , nazvan ugaoni moment (kutni moment) L oko ose rotacije.

- ugaoni moment je vektorska veličina i poklapa se u smjeru sa smjerom kutne brzine.

Diferencirajući jednadžbu (3.24) s obzirom na vrijeme, dobijamo

gdje, M- ukupan moment spoljnih sila. U izolovanom sistemu, moment spoljnih sila je odsutan ( M= 0) i

Pošto je čvrsta materija poseban slučaj sistemi materijalne tačke, tada će kinetička energija tijela pri rotaciji oko fiksne ose Z biti jednaka zbiru kinetičkih energija svih njegovih materijalnih tačaka, tj.

U ovom slučaju, sve materijalne tačke krutog tijela rotiraju po kružnicama s polumjerima i istim ugaonim brzinama. Linearna brzina svake materijalne tačke krutog tijela jednaka je. Kinetička energija čvrste tvari će poprimiti oblik

Zbir na desnoj strani ovog izraza, u skladu sa (4.4), je moment inercije ovog tijela u odnosu na datu os rotacije. Stoga će formula za izračunavanje kinetičke energije krutog tijela koje rotira oko fiksne ose poprimiti svoj konačni oblik:

. (4.21)

Ovdje se uzima u obzir da

Proračun kinetičke energije krutog tijela u slučaju proizvoljnog kretanja postaje mnogo složeniji. Razmislite o kretanju u ravnini kada se nalaze putanje svih materijalnih tačaka tijela paralelne ravni... Brzina svake materijalne tačke krutog tijela, prema (1.44), može se predstaviti u obliku

,

gdje za trenutnu os rotacije biramo os koja prolazi kroz centar inercije tijela okomitu na ravan putanje bilo koje tačke tijela. U ovom slučaju, u posljednjem izrazu, to je brzina centra inercije tijela, - polumjeri kružnica duž kojih se tačke tijela rotiraju ugaonom brzinom oko ose koja prolazi kroz centar njegove inercije. Pošto kod takvog kretanja ^, tada vektor, jednak, leži u ravni putanje tačke.

Na osnovu navedenog, kinetička energija tijela na svom ravno kretanje je jednako sa

.

Podižući izraz u zagradama na kvadrat i uzimajući konstantne vrijednosti za sve tačke tijela izvan znaka zbira, dobijamo

Ovdje se uzima u obzir da ^.

Razmotrimo svaki pojam s desne strane posljednjeg izraza posebno. Prvi pojam, na osnovu očigledne jednakosti, jeste

Drugi član je jednak nuli, jer zbir određuje radijus vektor centra inercije (3.5), koji u u ovom slučaju leži na osi rotacije. Posljednji član, uzimajući u obzir (4.4), poprima oblik. Sada, konačno, kinetička energija za proizvoljno, ali ravno kretanje krutog tijela može se predstaviti kao zbir dva člana:

, (4.23)

gdje prvi član predstavlja kinetičku energiju materijalne tačke čija je masa jednaka masi tijela i koja se kreće brzinom koju ima centar mase tijela;

drugi pojam je kinetička energija tijela koje rotira oko ose (kreće se brzinom) koja prolazi kroz njegovo središte inercije.

Zaključci: Dakle, kinetička energija krutog tijela prilikom njegove rotacije oko fiksne ose može se izračunati pomoću jedne od relacija (4.21), a u slučaju kretanja u ravnini pomoću (4.23).

Kontrolna pitanja.

4.4. U kojim slučajevima (4.23) ulazi u (4.21)?

4.5. Kako će izgledati formula za kinetičku energiju tijela u njegovom kretanju u ravnini ako trenutna os rotacije ne prolazi kroz centar inercije? Koje je značenje količina uključenih u formulu?

4.6. Pokazati da je rad unutrašnjih sila pri rotaciji krutog tijela jednak nuli.

Zamislite apsolutno kruto tijelo koje rotira oko fiksne ose. Hajde da mentalno razbijemo ovo tijelo na beskonačno male komade beskonačno malih veličina i masa m v t., t 3,... na udaljenostima R v R 0, R 3, ... od ose. Kinetička energija rotirajućeg tijela nalazimo kao zbir kinetičkih energija njegovih malih dijelova:

- moment inercije kruto tijelo u odnosu na datu osu 00 ,. Iz poređenja formula za kinetičku energiju translacionog i rotacionog kretanja, očigledno je da moment inercije u rotacionom kretanju je analogan masi u translatornom kretanju. Formula (4.14) je pogodna za izračunavanje momenta inercije sistema koji se sastoji od pojedinačnih materijalnih tačaka. Da bismo izračunali moment inercije čvrstih tijela, koristeći definiciju integrala, možemo ga transformirati u oblik

Lako je uočiti da moment inercije zavisi od izbora ose i da se menja sa njenim paralelnim translacijom i rotacijom. Nađimo vrijednosti momenata inercije za neka homogena tijela.

Iz formule (4.14) je očigledno da moment inercije materijalne tačke je jednako sa

gdje T - tačka mase; R - udaljenost do ose rotacije.

Lako je izračunati moment inercije i za šuplji cilindar tankih zidova(ili poseban slučaj cilindra male visine - tanak prsten) radijus R oko ose simetrije. Udaljenost do ose rotacije svih tačaka za takvo tijelo je ista, jednaka je poluprečniku i može se izvaditi ispod znaka zbira (4.14):

Rice. 4.5

Čvrsti cilindar(ili poseban slučaj cilindra male visine - disk) radijus R za izračunavanje momenta inercije oko ose simetrije potrebno je izračunavanje integrala (4.15). Unaprijed se može shvatiti da je masa u ovom slučaju u prosjeku koncentrirana nešto bliže osi nego u slučaju šupljeg cilindra, a formula će biti slična (4.17), ali će koeficijent manji od jedan pojaviti u njemu. Nađimo ovaj koeficijent. Neka čvrsti cilindar ima gustinu p i visinu A. Dijelimo ga na šuplje cilindre (tanke cilindrične površine) debljine dr(Slika 4.5 prikazuje projekciju okomitu na os simetrije). Zapremina takvog šupljeg cilindra polumjera r jednaka površini površina pomnožena debljinom: dV = 2nrhdr, težina: dm = 2nphdrr, i moment inercije u skladu sa formulom (4.17): dj =

= r 2 dm = 2lr /?G Wr. Ukupni moment inercije čvrstog cilindra dobija se integrisanjem (zbirom) momenata inercije šupljih cilindara:

Slično se traži moment inercije tanke šipke dužina L i mase T, ako je os rotacije okomita na šipku i prolazi kroz njenu sredinu. Hajde da ga razbijemo

Uzimajući u obzir činjenicu da je masa čvrstog cilindra formulom povezana s gustinom t = nR 2 ks, konačno imamo moment inercije čvrstog cilindra:

Rice. 4.6

štap u skladu sa sl. 4,6 na komade debljine dl. Masa takvog komada je dm = mdl / L, i moment inercije u skladu sa formulom (4.6): dj = l 2 dm = l 2 mdl / L. Ukupni moment inercije tankog štapa dobije se integracijom (zbrajanjem) momenata inercije dijelova:

Uzimanje elementarnog integrala daje moment inercije tankog štapa dužine L i mase T

Rice. 4.7

Integral se uzima nešto teže prilikom pretraživanja moment inercije homogene lopte radijus R i mase / 77 oko ose simetrije. Neka čvrsta lopta ima gustinu p. Razložimo ga prema sl. 4.7 za šuplje tanke cilindre debljine dr,čija se os simetrije poklapa sa osom rotacije lopte. Zapremina takvog šupljeg cilindra radijusa G jednaka površini puta debljini:

gdje je visina cilindra h pronađeno pomoću Pitagorine teoreme:

Tada je lako pronaći masu šupljeg cilindra:

kao i moment inercije u skladu sa formulom (4.15):

Ukupni moment inercije čvrste kugle dobija se integrisanjem (zbirom) momenata inercije šupljih cilindara:

Uzimajući u obzir činjenicu da je masa čvrste lopte povezana sa gustinom oblika - 4.

loy T = -npR A y konačno imamo moment inercije oko ose

simetrija homogene lopte poluprečnika R mase T:

Odredite kinetičku energiju čvrsto telo rotirajući oko fiksne ose. Razbijmo ovo tijelo na n materijalnih tačaka. Svaka tačka se kreće linearnom brzinom υ i = ωr i, tada kinetička energija tačke

ili

Ukupna kinetička energija rotirajućeg čvrstog tijela jednaka je zbroju kinetičkih energija svih njegovih materijalnih tačaka:

(3.22)

(J je moment inercije tijela oko ose rotacije)

Ako putanje svih tačaka leže u paralelnim ravnima (kao cilindar koji se kotrlja iz kosoj ravni, svaka tačka se kreće u svojoj ravni (sl.), to je ravno kretanje... U skladu sa Ojlerovim principom, kretanje u ravnini se uvek može razložiti na translaciono i rotaciono na beskonačan broj načina. Ako lopta padne ili klizi duž nagnute ravni, kreće se samo translatorno; kada se lopta kotrlja, ona se takođe okreće.

Ako tijelo istovremeno vrši translacijske i rotacijske kretnje, tada je njegova ukupna kinetička energija jednaka

(3.23)

Iz poređenja formula kinetičke energije za translaciono i rotaciono kretanje, može se videti da je mera inercije pri rotacionom kretanju moment inercije tela.

§ 3.6 Rad vanjskih sila tokom rotacije krutog tijela

Kada se kruto tijelo rotira, njegova potencijalna energija se ne mijenja, stoga je elementarni rad vanjskih sila jednak porastu kinetičke energije tijela:

dA = dE ili

Uzimajući u obzir da je Jβ = M, ωdr = dφ, imamo α tijela pod konačnim uglom φ jednakim

(3.25)

Kada se kruto tijelo rotira oko fiksne ose, rad vanjskih sila određen je djelovanjem momenta tih sila u odnosu na datu osu. Ako je moment sila oko ose jednak nuli, tada te sile ne proizvode rad.

Primjeri rješavanja problema

Primjer 2.1. Masa zamašnjakam= 5kg i radijusr= 0,2 m rotira oko horizontalne ose sa frekvencijomν 0 = 720 min -1 i kada se kočenje zaustavi zat= 20 s. Pronađite kočioni moment i broj okretaja za zaustavljanje.

Za određivanje momenta kočenja primjenjujemo osnovnu jednačinu dinamike rotacijskog kretanja

gdje je I = mr 2 moment inercije diska; Δω = ω - ω 0, gdje je ω = 0 konačna ugaona brzina, ω 0 = 2πν 0 je početna. M je moment kočenja sila koje djeluju na disk.

Poznavajući sve količine, moguće je odrediti kočioni moment

Mr 2 2πν 0 = MΔt (1)

(2)

Iz kinematike rotacionog kretanja, ugao rotacije tokom rotacije diska pre zaustavljanja može se odrediti formulom

(3)

gdje je β kutno ubrzanje.

Po uslovu zadatka: ω = ω 0 - βΔt, pošto je ω = 0, ω 0 = βΔt

Tada se izraz (2) može zapisati kao:

Primjer 2.2. Dva zamašnjaka u obliku diskova istih poluprečnika i mase su zavrtjena do brzine rotacijen= 480 o/min i prepušteni sami sebi. Pod dejstvom sila trenja vratila o ležajeve, prvi se zaustavio nakont= 80 s, a drugi jesteN= 240 obrtaja za zaustavljanje. Koji zamašnjak je imao moment sila trenja osovine o ležajeve i za koliko puta.

Moment sila trna M 1 prvog zamašnjaka nalazimo koristeći osnovnu jednačinu dinamike rotacionog kretanja

M 1 Δt = Iω 2 - Iω 1

gdje je Δt vrijeme djelovanja momenta sila trenja, I = mr 2 je moment inercije zamašnjaka, ω 1 = 2πν i ω 2 = 0 su početna i konačna ugaona brzina zamašnjaka

Onda

Moment sila trenja M 2 drugog zamašnjaka izražava se kroz vezu između rada A sila trenja i promjene njegove kinetičke energije ΔE na:

gdje je Δφ = 2πN ugao rotacije, N je broj okretaja zamašnjaka.

Onda, odakle

O omjer će biti

Moment trenja drugog zamajca je 1,33 puta veći.

Primjer 2.3. Masa homogenog čvrstog diska m, masa tereta m 1 i m 2 (sl. 15). Nema klizanja i trenja navoja u osi cilindra. Pronađite ubrzanje utega i omjer napetosti nitiu procesu kretanja.

Nema klizanja niti, dakle, kada m 1 i m 2 vrše translatorno kretanje, cilindar će se rotirati oko ose koja prolazi kroz tačku O. Pretpostavimo za određenost da je m 2 > m 1.

Tada se težina m 2 spušta i cilindar se okreće u smjeru kazaljke na satu. Zapišimo jednačine kretanja tijela uključenih u sistem

Prve dvije jednadžbe su napisane za tijela s masama m 1 i m 2, koja vrše translacijsko kretanje, a treća jednačina je za rotirajući cilindar. U trećoj jednadžbi lijevo je ukupan moment sila koje djeluju na cilindar (moment sile T 1 uzima se sa predznakom minus, jer sila T 1 teži da okrene cilindar u smjeru suprotnom od kazaljke na satu). Desno I je moment inercije cilindra oko ose O, koji je jednak

gdje je R polumjer cilindra; β je ugaono ubrzanje cilindra.

Pošto nema klizanja niti,
... Uzimajući u obzir izraze za I i β, dobijamo:

Sabiranjem jednačina sistema dolazimo do jednačine

Odavde nalazimo ubrzanje a tereta

Iz dobijene jednačine se vidi da će napetost niti biti ista, tj. = 1 ako je masa cilindra mnogo manja od mase utega.

Primjer 2.4. Šuplja kugla mase m = 0,5 kg ima vanjski polumjer R = 0,08 m i unutrašnji radijus r = 0,06 m. Lopta se rotira oko ose koja prolazi kroz njen centar. U određenom trenutku na loptu počinje djelovati sila, uslijed čega se kut rotacije lopte mijenja prema zakonu
... Odredite moment primijenjene sile.

Zadatak rješavamo korištenjem osnovne jednadžbe dinamike rotacijskog kretanja
... Glavna poteškoća je odrediti moment inercije šuplje sfere, a kutno ubrzanje β nalazi se kao
... Moment inercije I šuplje lopte jednak je razlici između momenata inercije lopte poluprečnika R i lopte poluprečnika r:

gdje je ρ gustina materijala kugle. Gustinu nalazimo, znajući masu šuplje lopte

Odavde određujemo gustinu materijala kugle

Za moment sile M dobijamo sledeći izraz:

Primjer 2.5. Tanak štap težak 300 g i dugačak 50 cm rotira ugaonom brzinom od 10 s -1 u horizontalnoj ravni oko vertikalne ose koja prolazi kroz sredinu šipke. Pronađite ugaonu brzinu ako se tokom rotacije u istoj ravni šipka pomiče tako da osa rotacije prolazi kroz kraj šipke.

Koristimo zakon održanja ugaonog momenta

(1)

(J i je moment inercije štapa u odnosu na os rotacije).

Za izolovani sistem tela, vektorski zbir ugaonog momenta ostaje konstantan. Zbog činjenice da je raspodjela mase štapa u odnosu na os rotacije, moment inercije štapa se također mijenja u skladu sa (1):

J 0 ω 1 = J 2 ω 2. (2)

Poznato je da je moment inercije štapa u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase i okomita na štap jednak

J 0 = mℓ 2/12. (3)

Po Steinerovoj teoremi

J = J 0 + m a 2

(J-moment inercije štapa oko proizvoljne ose rotacije; J 0 - moment inercije oko paralelne ose koja prolazi kroz centar mase; a je udaljenost od centra mase do odabrane ose rotacije).

Nađimo moment inercije oko ose koja prolazi kroz njen kraj i okomita na šipku:

J 2 = J 0 + m a 2, J 2 = mℓ 2/12 + m (ℓ / 2) 2 = mℓ 2/3. (4)

Zamijenite formule (3) i (4) u (2):

mℓ 2 ω 1/12 = mℓ 2 ω 2/3

ω 2 = ω 1/4 ω 2 = 10 s-1/4 = 2,5 s -1

Primjer 2.6 ... Čovek u masim= 60 kg, stoji na rubu platforme mase M = 120 kg, rotira po inerciji oko fiksne vertikalne ose sa frekvencijom ν 1 = 12min -1 , ide u njegov centar. Razmatrajući platformu kao okrugli homogeni disk, a osobu kao tačkastu masu, odredite s kojom frekvencijom ν 2 platforma će se tada rotirati.

Dato: m = 60 kg, M = 120 kg, ν 1 = 12 min -1 = 0,2 s -1 .

Nađi:ν 1

Rješenje: Prema stanju zadatka, platforma sa osobom se rotira po inerciji, tj. rezultujući moment svih sila primenjenih na rotirajući sistem je nula. Dakle, za sistem "platforma-čovek" zakon održanja ugaonog momenta je ispunjen

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

gdje
- moment inercije sistema kada osoba stoji na ivici platforme (uzeli smo u obzir da je moment inercije platforme jednak (R - poluprečnik n
platforma), moment inercije osobe na ivici platforme jednak je mR 2).

- moment inercije sistema kada osoba stoji u centru platforme (uzeli smo u obzir da je momenat osobe koja stoji u centru platforme jednak nuli). Ugaona brzina ω 1 = 2π ν 1 i ω 1 = 2π ν 2.

Zamjenom pisanih izraza u formulu (1) dobijamo

odakle je tražena brzina

Odgovori: ν 2 = 24 min -1.

Povratak