Važne napomene!
1. Ako vidite gobbledygook umjesto formula, obrišite keš memoriju. Kako to da uradite u vašem pretraživaču piše ovde:
2. Prije nego počnete čitati članak, obratite pažnju na naš navigator za najkorisnije resurse za

Zamislimo ravan put koji prolazi kroz brdsko područje. Odnosno, ide gore-dolje, ali ne skreće desno ili lijevo. Ako je os usmjerena vodoravno duž ceste i okomito, tada će linija ceste biti vrlo slična grafu neke kontinuirane funkcije:

Osa je određeni nivo nulte nadmorske visine u životu kao nju koristimo nivo mora.

Kako se krećemo naprijed takvim putem, tako se krećemo gore ili dolje. Takođe možemo reći: kada se promijeni argument (kretanje duž ose apscise), mijenja se vrijednost funkcije (kretanje duž ose ordinate). Sada razmislimo o tome kako odrediti "strminu" našeg puta? Kakva bi ovo mogla biti vrijednost? Vrlo je jednostavno: koliko će se visina promijeniti pri kretanju naprijed na određenu udaljenost. Zaista, na različitim dionicama puta, krećući se naprijed (duž x-ose) za jedan kilometar, mi ćemo se podizati ili spuštati za različite količine metara u odnosu na nivo mora (duž ordinatne ose).

Označimo napredak (čitaj "delta x").

Grčko slovo (delta) se obično koristi u matematici kao prefiks koji znači "promjena". To jest - ovo je promjena količine, - promjena; šta je onda? Tako je, promjena veličine.

Važno: izraz je jedna cjelina, jedna varijabla. Nikada ne odvajajte “delta” od “x” ili bilo koje drugo slovo!

To je, na primjer, .

Dakle, krenuli smo naprijed, horizontalno, mimo. Ako uporedimo liniju puta sa grafom funkcije, kako onda označavamo uspon? Svakako, . Odnosno, kako idemo naprijed, dižemo se više.

Vrijednost je lako izračunati: ako smo na početku bili na visini, a nakon kretanja našli smo se na visini, onda. Ako je krajnja tačka niža od početne, bit će negativna - to znači da se ne penjemo, već se spuštamo.

Pretpostavimo da se na nekom dijelu puta, pri kretanju naprijed za kilometar, put uzdiže za kilometar. Tada je nagib na ovom mjestu jednak. A ako se put, dok se kreće naprijed za m, spusti za km? Tada je nagib jednak.

Pogledajmo sada vrh brda. Ako uzmete početak dionice pola kilometra prije vrha, a kraj pola kilometra nakon njega, možete vidjeti da je visina gotovo ista.

Odnosno, prema našoj logici, ispada da je nagib ovdje gotovo jednak nuli, što očito nije tačno. Na udaljenosti od nekoliko kilometara mnogo toga se može promijeniti. Potrebno je razmotriti manje površine radi adekvatnije i preciznije procjene strmine. Na primjer, ako izmjerite promjenu visine dok se krećete jedan metar, rezultat će biti mnogo precizniji. Ali ni ta preciznost nam možda neće biti dovoljna – uostalom, ako postoji stub na sredini puta, možemo ga jednostavno proći. Koju udaljenost onda da izaberemo? Centimetar? Milimetar? Manje je više!

IN pravi život Mjerenje udaljenosti do najbližeg milimetra je više nego dovoljno. Ali matematičari uvijek teže savršenstvu. Stoga je koncept izmišljen infinitezimal, to jest, apsolutna vrijednost je manja od bilo kojeg broja koji možemo imenovati. Na primjer, kažete: trilionti dio! Koliko manje? I podijelite ovaj broj sa - i bit će još manje. I tako dalje. Ako želimo da zapišemo da je veličina beskonačno mala, pišemo ovako: (čitamo „x teži nuli“). Veoma je važno razumjeti da ovaj broj nije nula! Ali vrlo blizu tome. To znači da možete podijeliti s tim.

Koncept suprotan infinitezimalnom je beskonačno velik (). Vjerovatno ste već naišli na to kada ste radili na nejednačinama: ovaj broj je modulo veći od bilo kojeg broja kojeg možete zamisliti. Ako dođete do najvećeg mogućeg broja, samo ga pomnožite sa dva i dobit ćete još veći broj. A beskonačnost je čak i veća od onoga što se dešava. U stvari, beskonačno veliki i beskonačno mali su inverzni jedno drugom, to jest at, i obrnuto: at.

Sada se vratimo na naš put. Idealno izračunati nagib je nagib izračunat za beskonačno mali segment puta, odnosno:

Napominjem da će s beskonačno malim pomakom promjena visine također biti beskonačno mala. Ali da vas podsjetim da infinitezimalno ne znači jednako nuli. Ako podijelite beskonačno male brojeve jedni s drugima, možete dobiti potpuno običan broj, na primjer, . To jest, jedna mala vrijednost može biti tačno puta veća od druge.

čemu sve ovo? Put, strmina... Ne idemo na auto rally, ali predajemo matematiku. A u matematici je sve potpuno isto, samo se drugačije zove.

Koncept derivata

Derivat funkcije je omjer prirasta funkcije i inkrementa argumenta za beskonačno mali prirast argumenta.

Postepeno u matematici nazivaju promjenom. Poziva se stepen do kojeg se argument () mijenja dok se kreće duž ose povećanje argumenta i označava se koliko se funkcija (visina) promijenila pri kretanju naprijed duž ose za rastojanje povećanje funkcije i određen je.

Dakle, derivacija funkcije je omjer kada. Izvod označavamo istim slovom kao i funkcija, samo sa prostim brojem u gornjem desnom uglu: ili jednostavno. Dakle, napišimo formulu derivacije koristeći ove oznake:

Kao iu analogiji sa cestom, i ovdje kada se funkcija povećava, derivacija je pozitivna, a kada se smanjuje negativna.

Može li izvod biti jednak nuli? Svakako. Na primjer, ako vozimo po ravnom horizontalnom putu, strmina je nula. I istina je, visina se uopšte ne menja. Tako je i sa izvodom: izvod konstantne funkcije (konstante) jednak je nuli:

budući da je prirast takve funkcije jednak nuli za bilo koju.

Sjetimo se primjera na vrhu brda. Pokazalo se da je moguće rasporediti krajeve segmenta na suprotnim stranama vrha na takav način da visina na krajevima bude ista, odnosno da je segment paralelan s osi:

Ali veliki segmenti su znak netačnog mjerenja. Naš segment ćemo podići paralelno sa sobom, a zatim će se njegova dužina smanjiti.

Na kraju, kada smo beskonačno blizu vrha, dužina segmenta će postati beskonačno mala. Ali u isto vrijeme, ostao je paralelan s osom, odnosno visinska razlika na njegovim krajevima jednaka je nuli (ne teži, već je jednaka). Dakle, derivat

Ovo se može shvatiti ovako: kada stojimo na samom vrhu, mali pomak ulijevo ili udesno neznatno mijenja našu visinu.

Postoji i čisto algebarsko objašnjenje: lijevo od vrha funkcija raste, a desno opada. Kao što smo ranije saznali, kada se funkcija povećava, izvod je pozitivan, a kada se smanjuje negativan. Ali mijenja se glatko, bez skokova (pošto put nigdje naglo ne mijenja nagib). Dakle, između negativnih i pozitivne vrijednosti sigurno mora postojati. To će biti tamo gdje se funkcija niti povećava niti smanjuje - u tački vrha.

Isto vrijedi i za korito (područje gdje se funkcija s lijeve strane smanjuje, a na desnoj povećava):

Još malo o inkrementima.

Dakle, mijenjamo argument u veličinu. Mi mijenjamo od koje vrijednosti? Šta je to (argument) sada postalo? Možemo izabrati bilo koju tačku, a sada ćemo plesati iz nje.

Zamislite tačku sa koordinatama. Vrijednost funkcije u njemu je jednaka. Zatim radimo isti inkrement: povećavamo koordinatu za. Šta je sada argument? Vrlo lako: . Koja je sada vrijednost funkcije? Gdje ide argument, ide i funkcija: . Šta je sa povećanjem funkcije? Ništa novo: ovo je još uvijek iznos za koji se funkcija promijenila:

Vježbajte pronalaženje inkremenata:

1. Pronađite prirast funkcije u tački kada je prirast argumenta jednak.
2. Isto vrijedi i za funkciju u jednoj tački.

rješenja:

U različitim točkama s istim prirastom argumenta, inkrement funkcije će biti različit. To znači da je derivacija u svakoj tački drugačija (o tome smo razgovarali na samom početku - strmina puta je različita u različitim tačkama). Stoga, kada pišemo derivat, moramo naznačiti u kojoj točki:

Funkcija napajanja.

Funkcija snage je funkcija u kojoj je argument u određenoj mjeri (logičan, zar ne?).

Štaviše - u bilo kojoj mjeri: .

Najjednostavniji slučaj je kada je eksponent:

Nađimo njen derivat u jednoj tački. Prisjetimo se definicije derivata:

Dakle, argument se mijenja od do. Koliki je prirast funkcije?

Prirast je ovo. Ali funkcija u bilo kojoj tački jednaka je svom argumentu. zato:

Izvod je jednak:

Derivat od je jednak:

b) Sada razmotrite kvadratna funkcija (): .

A sada da se prisjetimo toga. To znači da se vrijednost prirasta može zanemariti, jer je beskonačno mala, a samim tim i beznačajna na pozadini drugog pojma:

Dakle, došli smo do još jednog pravila:

c) Nastavljamo logički niz: .

Ovaj izraz se može pojednostaviti na različite načine: otvoriti prvu zagradu koristeći formulu za skraćeno množenje kocke zbira, ili faktorizirati cijeli izraz koristeći formulu razlike kocki. Pokušajte to učiniti sami koristeći bilo koju od predloženih metoda.

Dakle, dobio sam sledeće:

I opet da se prisjetimo toga. To znači da možemo zanemariti sve pojmove koji sadrže:

Dobijamo: .

d) Slična pravila se mogu dobiti za velike snage:

e) Ispada da se ovo pravilo može generalizirati na funkcija snage sa proizvoljnim eksponentom, čak ni cijelim brojem:

(2)

Pravilo se može formulirati riječima: "stepen se iznosi naprijed kao koeficijent, a zatim se smanjuje za ."

Ovo pravilo ćemo dokazati kasnije (skoro na samom kraju). Pogledajmo sada nekoliko primjera. Pronađite izvod funkcija:

1. (na dva načina: formulom i korištenjem definicije derivacije - izračunavanjem prirasta funkcije);

Trigonometrijske funkcije.

Ovdje ćemo koristiti jednu činjenicu iz višu matematiku:

Sa izrazom.

Dokaz ćete naučiti na prvoj godini instituta (a da biste tamo stigli, potrebno je dobro položiti Jedinstveni državni ispit). Sada ću to samo grafički prikazati:

Vidimo da kada funkcija ne postoji - tačka na grafu je izrezana. Ali što je bliža vrijednosti, to je funkcija bliža.

Osim toga, ovo pravilo možete provjeriti pomoću kalkulatora. Da, da, ne stidite se, uzmite kalkulator, nismo još na Jedinstvenom državnom ispitu.

Dakle, pokušajmo: ;

Ne zaboravite da prebacite svoj kalkulator u način rada radijana!

itd. Vidimo da što je manji, to je bliža vrijednost omjera.

a) Razmotrite funkciju. Kao i obično, pronađimo njegov prirast:

Pretvorimo razliku sinusa u proizvod. Da bismo to učinili, koristimo formulu (zapamtite temu “”): .

Sada derivat:

Napravimo zamjenu: . Tada je za infinitezimalno također infinitezimalno: . Izraz za ima oblik:

I sada se toga sećamo sa izrazom. I takođe, šta ako se beskonačno mala količina može zanemariti u zbiru (to jest, at).

Tako da dobijamo sledeće pravilo:derivacija sinusa je jednaka kosinsu:

Ovo su osnovne (“tabelarne”) izvedenice. Evo ih na jednoj listi:

Kasnije ćemo im dodati još nekoliko, ali ovo su najvažnije, jer se najčešće koriste.

vježbajte:

1. Pronađite derivaciju funkcije u tački;
2. Pronađite izvod funkcije.

rješenja:

Eksponent i prirodni logaritam.

U matematici postoji funkcija čiji je izvod za bilo koju vrijednost u isto vrijeme jednak vrijednosti same funkcije. Zove se “eksponent” i eksponencijalna je funkcija

Osnova ove funkcije je konstanta - ona je beskonačna decimalni, odnosno iracionalan broj (kao što je). Zove se "Eulerov broj", zbog čega je označen slovom.

Dakle, pravilo:

Vrlo lako za pamćenje.

Pa, da ne idemo daleko, pogledajmo to odmah inverzna funkcija. Koja je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji? logaritam:

U našem slučaju, osnova je broj:

Takav logaritam (tj. logaritam s bazom) naziva se „prirodnim“, a za njega koristimo posebnu notaciju: umjesto toga pišemo.

Čemu je to jednako? Naravno.

Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:

primjeri:

1. Pronađite izvod funkcije.
2. Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponencijalni i prirodni logaritam su jedinstveno jednostavne funkcije iz perspektive derivata. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, koji ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferencijacije.

Pravila diferencijacije

Pravila čega? Opet novi mandat, opet?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja derivacije.

To je sve. Kako još jednom riječju možete nazvati ovaj proces? Nije derivacija... Matematičari diferencijal nazivaju istim prirastom funkcije u. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia - razlika. Evo.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila, koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također će nam trebati formule za njihove priraštaje:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta se izvlači iz predznaka derivacije.

Ako - neki konstantni broj (konstanta), onda.

Očigledno, ovo pravilo radi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka bude, ili jednostavnije.

Primjeri.

Pronađite izvode funkcija:

1. u jednom trenutku;
2. u jednom trenutku;
3. u jednom trenutku;
4. u tački.

rješenja:

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvedemo novu funkciju i pronađemo njen prirast:

Derivat:

primjeri:

1. Naći izvode funkcija i;
2. Pronađite izvod funkcije u tački.

rješenja:

Derivat eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenata (jeste li već zaboravili šta je to?).

Dakle, gdje je neki broj.

Već znamo derivaciju funkcije, pa pokušajmo svesti našu funkciju na novu bazu:

Za ovo ćemo koristiti jednostavno pravilo: . onda:

Pa, upalilo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Je li uspjelo?

Evo, uvjerite se sami:

Ispostavilo se da je formula vrlo slična izvedenici eksponenta: onakva kakva je bila, ostala je ista, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.

primjeri:
Pronađite derivate funkcija:

odgovori:

Derivat logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate derivaciju prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljni logaritam s različitom bazom, na primjer:

Ovaj logaritam moramo svesti na bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Tek sada ćemo umjesto toga napisati:

Imenilac je jednostavno konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod se dobija vrlo jednostavno:

Derivati ​​eksponencijalnih i logaritamskih funkcija gotovo se nikada ne nalaze u Jedinstvenom državnom ispitu, ali neće biti suvišno poznavati ih.

Derivat kompleksne funkcije.

Šta je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (mada ako vam je logaritam težak, pročitajte temu “Logaritmi” i biće vam dobro), ali sa matematičke tačke gledišta, riječ “složeno” ne znači “teško”.

Zamislite malu pokretnu traku: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže trakom. Rezultat je kompozitni predmet: čokoladica umotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate učiniti obrnutim koracima obrnutim redoslijedom.

Napravimo sličan matematički cevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim kvadrirati rezultirajući broj. Dakle, dat nam je broj (čokolada), ja pronađem njegov kosinus (omotač), a onda kvadriraš ono što sam dobio (zaveži ga vrpcom). sta se desilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njenu vrijednost, izvršimo prvu akciju direktno s promjenljivom, a zatim drugu akciju s onim što je rezultat prve.

Lako možemo napraviti iste korake obrnutim redoslijedom: prvo ga kvadriraš, a ja onda tražim kosinus rezultirajućeg broja: . Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna karakteristika složene funkcije: Kada se promijeni redoslijed radnji, funkcija se mijenja.

drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za prvi primjer, .

Drugi primjer: (ista stvar). .

Akcija koju radimo posljednja će biti pozvana "vanjsku" funkciju, a radnja izvedena prva - prema tome "interne" funkcije(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutrašnja:

odgovori: Razdvajanje unutrašnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji

Mijenjamo varijable i dobijamo funkciju.

Pa, sada ćemo izvaditi našu čokoladicu i potražiti derivat. Procedura je uvijek obrnuta: prvo tražimo izvod vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s izvodom unutrašnje funkcije. U odnosu na originalni primjer, to izgleda ovako:

Drugi primjer:

Dakle, hajde da konačno formulišemo zvanično pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

Čini se jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

DERIVAT. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Derivat funkcije- omjer povećanja funkcije i inkrementa argumenta za beskonačno mali prirast argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila diferencijacije:

Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije:

Derivat sume:

Derivat proizvoda:

Derivat količnika:

Derivat kompleksne funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

1. Definiramo “internu” funkciju i nalazimo njen izvod.
2. Definiramo “vanjsku” funkciju i nalazimo njen izvod.
3. Množimo rezultate prve i druge tačke.

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, to znači da ste veoma cool.

Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada najvažnija stvar.

Razumjeli ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za šta?

Za uspešan polaganje Jedinstvenog državnog ispita, za upis na fakultet na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara još mnogo mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju biti... sretniji?

STVARITE SE RJEŠAVANJEM PROBLEMA NA OVU TEMU.

Od vas se neće tražiti teorija tokom ispita.

Trebaće ti rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - morate to ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gde god želite, obavezno sa rešenjima, detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (opciono) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Da biste bolje koristili naše zadatke, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 499 RUR

Da, u našem udžbeniku imamo 99 takvih članaka i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za CIJELI vijek trajanja stranice.

I u zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Ako slijedite definiciju, onda je derivacija funkcije u tački granica omjera prirasta funkcije Δ y na prirast argumenta Δ x:

Čini se da je sve jasno. Ali pokušajte koristiti ovu formulu da izračunate, recimo, derivaciju funkcije f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x grijeh x. Ako sve radite po definiciji, onda ćete nakon nekoliko stranica proračuna jednostavno zaspati. Stoga postoje jednostavniji i efikasniji načini.

Za početak, napominjemo da iz čitavog niza funkcija možemo razlikovati takozvane elementarne funkcije. Riječ je o relativno jednostavnim izrazima čiji su derivati ​​odavno izračunati i tabelarizirani. Takve funkcije je prilično lako zapamtiti - zajedno sa njihovim derivatima.

Derivati ​​elementarnih funkcija

Osnovne funkcije su sve one navedene u nastavku. Izvodi ovih funkcija moraju se znati napamet. Štaviše, nije ih uopće teško zapamtiti - zato su elementarni.

Dakle, derivati ​​elementarnih funkcija:

Ime	Funkcija	Derivat
Konstantno	f(x) = C, C ∈ R	0 (da, nula!)
Potencija sa racionalnim eksponentom	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = grijeh x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	−sin x(minus sinus)
Tangenta	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/grijeh 2 x
Prirodni logaritam	f(x) = log x	1/x
Proizvoljni logaritam	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Eksponencijalna funkcija	f(x) = e x	e x(ništa se nije promijenilo)

Ako se elementarna funkcija pomnoži sa proizvoljnom konstantom, onda se derivacija nove funkcije također lako izračunava:

(C · f)’ = C · f ’.

Generalno, konstante se mogu izvući iz predznaka izvoda. na primjer:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Očigledno, elementarne funkcije se mogu dodavati jedna drugoj, množiti, dijeliti - i još mnogo toga. Tako će se pojaviti nove funkcije, više ne posebno elementarne, ali i diferencirane po određenim pravilima. Ova pravila su razmotrena u nastavku.

Derivat zbira i razlike

Neka su funkcije zadane f(x) I g(x), čiji su nam derivati ​​poznati. Na primjer, možete uzeti elementarne funkcije o kojima smo gore govorili. Tada možete pronaći derivaciju zbira i razlike ovih funkcija:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Dakle, derivacija zbira (razlike) dvije funkcije jednaka je zbiru (razlici) izvoda. Možda ima više termina. Na primjer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strogo govoreći, u algebri ne postoji koncept „oduzimanja“. Postoji koncept „negativnog elementa“. Stoga razlika f − g može se prepisati kao zbir f+ (−1) g, a onda ostaje samo jedna formula - derivacija sume.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) je zbir dvije elementarne funkcije, dakle:

f ’(x) = (x 2 + sin x)’ = (x 2)’ + (grijeh x)’ = 2x+ cos x;

Slično razmišljamo o funkciji g(x). Samo što već postoje tri pojma (sa stanovišta algebre):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

odgovor:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat proizvoda

Matematika je logička nauka, tako da mnogi ljudi vjeruju da ako je derivacija zbroja jednaka zbroju izvoda, onda derivacija proizvoda štrajk">jednak umnošku derivata. Ali jebi se! Derivat proizvoda se računa po potpuno drugoj formuli. Naime:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula je jednostavna, ali se često zaboravlja. I ne samo školarci, već i studenti. Rezultat su pogrešno riješeni problemi.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkcija f(x) je proizvod dvije elementarne funkcije, tako da je sve jednostavno:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− sin x) = x 2 (3cos x − x grijeh x)

Funkcija g(x) prvi množitelj je malo složeniji, ali se opća shema ne mijenja. Očigledno, prvi faktor funkcije g(x) je polinom i njegov izvod je izvod zbira. imamo:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

odgovor:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x grijeh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Imajte na umu da na poslednji korak derivat je faktorizovan. Formalno, to ne treba da se radi, ali većina derivata se ne izračunavaju sami, već da se ispita funkcija. To znači da će se dalje derivacija izjednačiti sa nulom, odrediti njeni predznaci i tako dalje. Za takav slučaj, bolje je imati izraz faktoriziran.

Ako postoje dvije funkcije f(x) I g(x), i g(x) ≠ 0 na skupu koji nas zanima, možemo definirati novu funkciju h(x) = f(x)/g(x). Za takvu funkciju možete pronaći i izvod:

Nije slabo, zar ne? Odakle minus? Zašto g 2? I tako! Ovo je jedna od najsloženijih formula - ne možete je shvatiti bez boce. Stoga je bolje da se na tome prouči konkretnim primjerima.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija:

Brojnik i nazivnik svakog razlomka sadrže elementarne funkcije, tako da sve što nam treba je formula za izvod količnika:

Prema tradiciji, hajde da faktorizujemo brojilac - ovo će uvelike pojednostaviti odgovor:

Složena funkcija nije nužno formula duga pola kilometra. Na primjer, dovoljno je uzeti funkciju f(x) = grijeh x i zamijenite varijablu x, recimo, na x 2 + ln x. To će uspjeti f(x) = grijeh ( x 2 + ln x) - ovo je složena funkcija. Takođe ima derivat, ali ga neće biti moguće pronaći koristeći pravila o kojima smo gore govorili.

šta da radim? U takvim slučajevima, zamjena varijable i formule za izvod složene funkcije pomaže:

f ’(x) = f ’(t) · t', Ako x je zamijenjen sa t(x).

U pravilu je situacija s razumijevanjem ove formule još tužnija nego s izvodom količnika. Stoga je i to bolje objasniti konkretnim primjerima, s detaljan opis svaki korak.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = grijeh ( x 2 + ln x)

Imajte na umu da ako je u funkciji f(x) umjesto izraza 2 x+ 3 će biti lako x, onda će uspjeti elementarna funkcija f(x) = e x. Stoga pravimo zamjenu: neka 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Tražimo derivat kompleksne funkcije koristeći formulu:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

A sada - pažnja! Vršimo obrnutu zamjenu: t = 2x+ 3. Dobijamo:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Pogledajmo sada funkciju g(x). Očigledno ga treba zamijeniti x 2 + ln x = t. imamo:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (grijeh t)’ · t’ = cos t · t ’

Obrnuta zamjena: t = x 2 + ln x. onda:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

To je to! Kao što se može vidjeti iz posljednjeg izraza, cijeli problem je sveden na izračunavanje sume derivata.

odgovor:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Vrlo često u svojim lekcijama umjesto izraza „derivat“ koristim riječ „prime“. Na primjer, hod zbroja jednak je zbroju poteza. Je li to jasnije? Pa, to je dobro.

Stoga se izračunavanje derivata svodi na oslobađanje od tih istih poteza prema pravilima o kojima smo gore govorili. As posljednji primjer Vratimo se deriviranoj potenciji sa racionalnim eksponentom:

(x n)’ = n · x n − 1

Malo ljudi to zna u ulozi n može biti razlomak. Na primjer, korijen je x 0.5. Šta ako postoji nešto fensi ispod korijena? Opet, rezultat će biti složena funkcija - oni vole davati takve konstrukcije testovi i ispite.

Zadatak. Pronađite derivaciju funkcije:

Prvo, prepišimo korijen kao stepen s racionalnim eksponentom:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sada pravimo zamjenu: neka x 2 + 8x − 7 = t. Izvod pronalazimo pomoću formule:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Uradimo obrnutu zamjenu: t = x 2 + 8x− 7. Imamo:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Konačno, povratak korijenima:

Šta je derivat?
Definicija i značenje derivacijske funkcije

Mnogi će biti iznenađeni neočekivanim smještajem ovog članka u moj autorski kurs o derivaciji funkcije jedne varijable i njenim primjenama. Uostalom, kao što je bilo još od škole: standardni udžbenik prije svega daje definiciju derivacije, njenu geometrijsku, mehanički smisao. Zatim učenici pronalaze derivate funkcija po definiciji i, zapravo, tek tada usavršavaju tehniku ​​diferencijacije koristeći derivativne tabele.

Ali sa moje tačke gledišta, sledeći pristup je pragmatičniji: pre svega, preporučljivo je DOBRO RAZUMEVATI granica funkcije, a posebno, beskonačno male količine. Poenta je u tome definicija derivata je zasnovana na konceptu granice, što se slabo razmatra u školskom kursu. Zato značajan dio mladih potrošača granita znanja ne razumije samu suštinu derivata. Dakle, ako imate malo znanja o diferencijalnom računu ili imate mudar mozak za dugi niz godina uspješno se riješio ovog prtljaga, počnite s ograničenja funkcije. Istovremeno, savladajte/zapamtite njihovo rješenje.

Isti praktični smisao nalaže da je prvo korisno naučite pronaći derivate, uključujući derivati ​​složenih funkcija. Teorija je teorija, ali, kako kažu, uvijek se želi razlikovati. S tim u vezi, bolje je proraditi kroz navedene osnovne lekcije, a možda majstor diferencijacije a da nisu ni shvatili suštinu svojih postupaka.

Preporučujem da počnete s materijalima na ovoj stranici nakon čitanja članka. Najjednostavniji problemi sa izvedenicama, gdje se posebno razmatra problem tangente na graf funkcije. Ali možete čekati. Činjenica je da mnoge primjene izvedenice ne zahtijevaju njeno razumijevanje, i nije iznenađujuće da se teorijska lekcija pojavila prilično kasno - kada sam trebao objasniti pronalaženje rastućih/opadajućih intervala i ekstrema funkcije. Štaviše, bio je na toj temi dosta dugo. Funkcije i grafovi“, sve dok konačno nisam odlučio da to stavim ranije.

Stoga, dragi čajnici, nemojte žuriti da upijate esenciju derivata poput gladnih životinja, jer će zasićenje biti neukusno i nepotpuno.

Koncept povećanja, smanjenja, maksimuma, minimuma funkcije

Mnogi nastavna sredstva doveo do koncepta izvedenice koristeći neke praktične probleme, a ja sam također došao do toga zanimljiv primjer. Zamislite da nam predstoji put do grada do kojeg se može doći na različite načine. Hajdemo odmah da odbacimo zakrivljene vijugave staze i razmotrimo samo ravne autoputeve. Međutim, pravolinijski pravci su takođe različiti: do grada možete stići glatkim autoputem. Ili uz brdovitu magistralu - gore-dolje, gore-dolje. Drugi put ide samo uzbrdo, a drugi stalno ide nizbrdo. Ekstremni entuzijasti će izabrati rutu kroz klisuru sa strmom liticom i strmim usponom.

Ali bez obzira na vaše želje, preporučljivo je znati područje ili ga barem locirati topografska karta. Šta ako takve informacije nedostaju? Uostalom, možete odabrati, na primjer, glatku stazu, ali kao rezultat naići na skijašku stazu s veselim Fincima. Nije činjenica da će navigator ili čak satelitski snimak pružiti pouzdane podatke. Stoga bi bilo lijepo formalizirati reljef puta pomoću matematike.

Pogledajmo neki put (pogled sa strane):

Za svaki slučaj, podsjećam vas na elementarnu činjenicu: putovanje se odvija s lijeva na desno. Radi jednostavnosti, pretpostavljamo da je funkcija kontinuirano na području koje se razmatra.

Koje su karakteristike ovog grafikona?

U intervalima funkcija povećava, odnosno svaku sledeću njegovu vrednost više prethodni. Grubo govoreći, raspored je u toku odozdo prema gore(penjemo se na brdo). I na intervalu funkcija smanjuje– svaka sljedeća vrijednost manje prethodni, a naš raspored je u toku odozgo prema dolje(spuštamo se niz padinu).

Obratimo pažnju i na posebne tačke. Na tački do koje stižemo maksimum, odnosno postoji takav dio putanje gdje će vrijednost biti najveća (najviša). U istoj tački to se postiže minimum, And postoji njegovu okolinu u kojoj je vrijednost najmanja (najniža).

U nastavi ćemo pogledati strožiju terminologiju i definicije. o ekstremima funkcije, ali za sada proučimo još jednu važna karakteristika: u intervalima funkcija se povećava, ali se povećava različitim brzinama. I prva stvar koja vam upada u oči je da graf raste u toku intervala mnogo kul, nego na intervalu . Da li je moguće izmjeriti strminu puta pomoću matematičkih alata?

Brzina promjene funkcije

Ideja je sledeća: hajde da uzmemo neku vrednost (čitaj "delta x"), koje ćemo nazvati povećanje argumenta, i počnimo "isprobavati" na različitim točkama na našem putu:

1) Pogledajmo krajnju lijevu tačku: prelazeći razdaljinu, penjemo se uz padinu do visine (zelena linija). Količina se zove povećanje funkcije, i u u ovom slučaju ovaj prirast je pozitivan (razlika u vrijednostima duž ose je veće od nule). Hajde da napravimo omjer koji će biti mjera strmine našeg puta. Očigledno, ovo je vrlo specifičan broj, a budući da su oba prirasta pozitivna, onda .

Pažnja! Oznake su JEDAN simbol, to jest, ne možete "otkinuti" "deltu" od "X" i razmotriti ova slova odvojeno. Naravno, komentar se odnosi i na simbol povećanja funkcije.

Istražimo prirodu rezultujućeg razlomka smislenije. Budimo u početku na visini od 20 metara (na lijevoj crnoj tački). Prešavši udaljenost od metara (lijeva crvena linija), naći ćemo se na visini od 60 metara. Tada će inkrement funkcije biti metara (zelena linija) i: . dakle, na svakom metru ovom dijelu puta visina se povećava u prosjeku za 4 metra...zaboravio si opremu za penjanje? =) Drugim riječima, konstruirani odnos karakterizira PROSJEČNU STOPU PROMJENE (u ovom slučaju rast) funkcije.

Napomena : Numeričke vrijednosti dotičnog primjera odgovaraju samo proporcijama crteža.

2) Sada idemo na istu udaljenost od krajnje desne crne tačke. Ovdje je porast postupniji, tako da je prirast (crvena linija) relativno mali, a omjer u odnosu na prethodni slučaj će biti vrlo skroman. Relativno govoreći, metara i stopa rasta funkcije je . Odnosno, ovdje ima za svaki metar staze u prosjeku pola metra uspona.

3) Mala avantura na planini. Pogledajmo vrh crna tačka, koji se nalazi na osi ordinata. Pretpostavimo da je ovo oznaka od 50 metara. Ponovo savladavamo udaljenost, zbog čega se nalazimo niže - na nivou od 30 metara. S obzirom da je pokret izveden odozgo prema dolje(u "kontra" smjeru ose), zatim konačni prirast funkcije (visine) će biti negativan: metara (smeđi segment na crtežu). A u ovom slučaju već govorimo stopa smanjenja Karakteristike: , odnosno za svaki metar puta ove dionice visina se smanjuje u prosjeku za 2 metra. Vodite računa o svojoj odjeći na petoj tački.

Sada se zapitajmo: koja je najbolja vrijednost "standarda mjerenja" za korištenje? Potpuno je razumljivo, 10 metara je jako grubo. Na njih može lako stati desetak humoka. Zašto ima izbočina, možda ih ima dolje? duboka klisura, a nakon nekoliko metara - njegova druga strana sa daljnjim strmim usponom. Dakle, sa deset metara nećemo dobiti razumljiv opis ovakvih dionica puta kroz omjer .

Iz gornje rasprave slijedi sljedeći zaključak: kako manje vrijednosti , to ćemo preciznije opisati topografiju puta. Štaviše, istinite su sljedeće činjenice:

– Za bilo koga tačke podizanja možete odabrati vrijednost (čak i ako je vrlo mala) koja se uklapa u granice određenog porasta. To znači da će odgovarajući prirast visine biti zajamčeno pozitivan, a nejednakost će ispravno ukazati na rast funkcije u svakoj tački ovih intervala.

- Isto tako, za bilo koji tačka nagiba postoji vrijednost koja će u potpunosti stati na ovu padinu. Prema tome, odgovarajuće povećanje visine je jasno negativno, a nejednakost će ispravno pokazati smanjenje funkcije u svakoj tački datog intervala.

– Posebno je zanimljiv slučaj kada je brzina promjene funkcije nula: . Prvo, nulti porast visine () je znak glatke putanje. I drugo, postoje i druge zanimljive situacije čije primjere vidite na slici. Zamislite da nas je sudbina dovela do samog vrha brda sa orlovima koji lebde ili na dno jaruge sa graktanjem žaba. Ako napravite mali korak u bilo kojem smjeru, promjena visine će biti zanemariva, a možemo reći da je stopa promjene funkcije zapravo nula. Upravo je to slika koja je uočena na tačkama.

Tako smo došli do nevjerovatne prilike da savršeno precizno okarakteriziramo brzinu promjene funkcije. Uostalom matematička analiza omogućava vam da usmjerite povećanje argumenta na nulu: , to jest, napravite ga infinitezimal.

Kao rezultat toga, postavlja se još jedno logično pitanje: da li je moguće pronaći cestu i njen raspored druga funkcija, koji će nas obavijestiti o svim ravnim dijelovima, usponima, padinama, vrhovima, dolinama, kao i stopi rasta/padanja na svakoj tački na putu?

Šta je derivat? Definicija derivata.
Geometrijsko značenje derivacije i diferencijala

Pročitajte pažljivo i ne prebrzo - materijal je jednostavan i dostupan svima! U redu je ako na nekim mjestima nešto nije jasno, uvijek se možete vratiti na članak kasnije. Reći ću više, korisno je proučiti teoriju nekoliko puta kako bi se sve stvari temeljno razumjele (savjet je posebno relevantan za „tehničke“ studente, kojima viša matematika igra značajnu ulogu u obrazovnom procesu).

Naravno, u samoj definiciji derivacije u jednoj tački zamjenjujemo je sa:

Do čega smo došli? I došli smo do zaključka da za funkciju po zakonu je u skladu druga funkcija, koji se zove derivirajuća funkcija(ili samo derivat).

Izvod karakteriše stopa promjene funkcije Kako? Ideja teče kao crvena nit od samog početka članka. Hajde da razmotrimo neku tačku domenu definicije funkcije Neka je funkcija diferencibilna u datoj tački. onda:

1) Ako , tada se funkcija povećava u točki . I očigledno postoji interval(čak i vrlo mali), koji sadrži tačku u kojoj funkcija raste, a njen graf ide „odozdo prema vrhu“.

2) Ako , tada funkcija opada u točki . I postoji interval koji sadrži tačku u kojoj funkcija opada (grafikon ide od vrha do dna).

3) Ako , onda beskonačno blizu blizu tačke funkcija održava konstantnu brzinu. To se događa, kao što je navedeno, sa konstantnom funkcijom i na kritičnim tačkama funkcije, posebno na minimalnim i maksimalnim tačkama.

Malo semantike. Šta znači glagol „diferencirati“ u širem smislu? Razlikovati znači istaknuti osobinu. Diferenciranjem funkcije „izoliramo“ stopu njene promjene u obliku derivacije funkcije. Šta se, inače, podrazumeva pod rečju „derivacija“? Funkcija dogodilo od funkcije.

Pojmovi se vrlo uspješno tumače mehaničkim značenjem izvedenice :
Razmotrimo zakon promjene koordinata tijela, ovisno o vremenu, i funkciju brzine kretanja datog tijela. Funkcija karakterizira brzinu promjene koordinata tijela, stoga je prvi izvod funkcije s obzirom na vrijeme: . Da koncept "pokretanja tijela" ne postoji u prirodi, onda ga ne bi bilo derivat koncept "brzine tijela".

Ubrzanje tijela je brzina promjene brzine, dakle: . Da prvobitni koncepti "kretanja tijela" i "brzine tijela" ne postoje u prirodi, onda ne bi postojali derivat koncept “ubrzanja tijela”.

U ovom članku ćemo dati osnovne koncepte na kojima će se temeljiti sva daljnja teorija na temu derivacije funkcije jedne varijable.

Putanja x je argument funkcije f(x) i mali je broj različit od nule.

(čitaj “delta x”) se zove povećavajući argument funkcije. Na slici, crvena linija prikazuje promjenu argumenta sa vrijednosti x na vrijednost (otuda suština naziva "inkrement" argumenta).

Prilikom pomicanja sa vrijednosti argumenta na vrijednosti funkcije se u skladu s tim mijenjaju od do, pod uvjetom da je funkcija monotona na intervalu. Razlika se zove prirast funkcije f(x), što odgovara ovom prirastu argumenta. Na slici je povećanje funkcije prikazano plavom linijom.

Pogledajmo ove koncepte koristeći poseban primjer.

Uzmimo, na primjer, funkciju . Popravimo tačku i prirast argumenta. U ovom slučaju, prirast funkcije pri pomicanju od do će biti jednak

Negativan prirast ukazuje na smanjenje funkcije na segmentu.

Grafička ilustracija

Određivanje derivacije funkcije u tački.

Neka je funkcija f(x) definirana na intervalu (a; b) i neka su tačke ovog intervala. Derivat funkcije f(x) u tački naziva se granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta na . Određeno .

Kada posljednja granica poprimi određenu konačnu vrijednost, govorimo o postojanju konačan izvod u tački. Ako je granica beskonačna, onda to kažu izvod je beskonačan u datoj tački. Ako granica ne postoji, onda derivacija funkcije u ovoj tački ne postoji.

Poziva se funkcija f(x). diferencibilan u tački, kada ima konačni izvod u sebi.

Ako je funkcija f(x) diferencijabilna u svakoj tački određenog intervala (a; b), tada se funkcija naziva diferencijabilna na tom intervalu. Dakle, bilo kojoj tački x iz intervala (a; b) može se pridružiti vrijednost derivacije funkcije u ovoj tački, odnosno imamo priliku definirati novu funkciju, koja se zove izvod funkcije f(x) na intervalu (a; b).

Operacija pronalaženja derivacije se zove diferencijaciju.

Napravimo razliku u prirodi pojmova izvoda funkcije u tački i na intervalu: derivacija funkcije u tački je broj, a derivacija funkcije na intervalu je funkcija.

Pogledajmo ovo na primjerima kako bi slika bila jasnija. Prilikom diferenciranja koristit ćemo se definicijom derivacije, odnosno preći ćemo na pronalaženje granica. Ako se pojave poteškoće, preporučujemo da pogledate teorijski dio.

Primjer.

Nađite izvod funkcije u tački koristeći definiciju.

Rješenje.

Pošto tražimo derivaciju funkcije u tački, odgovor mora sadržavati broj. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta i koristimo trigonometrijske formule:

Datum: 20.11.2014

Šta je derivat?

Tabela derivata.

Derivat je jedan od glavnih koncepata više matematike. U ovoj lekciji ćemo predstaviti ovaj koncept. Upoznajmo se, bez strogih matematičkih formulacija i dokaza.

Ovo poznanstvo će vam omogućiti da:

Razumjeti suštinu jednostavnih zadataka s izvedenicama;

Uspješno riješite ove najjednostavnije zadatke;

Pripremite se za ozbiljnije lekcije o izvedenicama.

Prvo - prijatno iznenađenje.)

Stroga definicija derivacije zasniva se na teoriji granica i stvar je prilično komplikovana. Ovo je uznemirujuće. Ali praktična primjena derivata, u pravilu, ne zahtijeva tako opsežno i duboko znanje!

Da biste uspješno obavili većinu zadataka u školi i na fakultetu, dovoljno je znati samo nekoliko termina- razumjeti zadatak, i samo nekoliko pravila- da to rešim. To je sve. Ovo me čini srećnim.

Hajde da počnemo da se upoznajemo?)

Termini i oznake.

U osnovnoj matematici postoji mnogo različitih matematičkih operacija. Zbrajanje, oduzimanje, množenje, stepenovanje, logaritam itd. Ako ovim operacijama dodate još jednu operaciju, elementarna matematika postaje viša. Ova nova operacija se zove diferencijaciju. O definiciji i značenju ove operacije raspravljat ćemo u zasebnim lekcijama.

Ovdje je važno razumjeti da je diferencijacija jednostavna matematička operacija preko funkcije. Mi preuzimamo bilo koju funkciju i, prema određena pravila, transformišite ga. Rezultat će biti nova funkcija. Ova nova funkcija se zove: derivat.

Diferencijacija- radnja na funkciji.

Derivat- rezultat ove akcije.

Baš kao npr. suma- rezultat sabiranja. Or privatni- rezultat podjele.

Poznavajući pojmove, možete barem razumjeti zadatke.) Formulacije su sljedeće: pronaći derivaciju funkcije; uzeti derivat; razlikovati funkciju; izračunaj derivat itd. Ovo je sve jedno te isto. Naravno, postoje i složeniji zadaci, gdje će nalaženje derivacije (diferencijacije) biti samo jedan od koraka u rješavanju problema.

Izvod je označen crticom u gornjem desnom uglu funkcije. ovako: y" ili f"(x) ili S"(t) i tako dalje.

Čitanje igrik stroke, ef stroke from x, es stroke from te, pa razumes...)

Promet također može ukazivati ​​na derivaciju određene funkcije, na primjer: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" itd. Često se derivati ​​označavaju pomoću diferencijala, ali nećemo razmatrati takvu notaciju u ovoj lekciji.

Pretpostavimo da smo naučili da razumijemo zadatke. Ostaje samo da naučite kako ih riješiti.) Da vas podsjetim još jednom: pronalaženje derivacije je transformacija funkcije prema određenim pravilima. Iznenađujuće, vrlo je malo ovih pravila.

Da biste pronašli derivaciju funkcije, trebate znati samo tri stvari. Tri stuba na kojima stoji sva diferencijacija. Evo ova tri stuba:

1. Tabela derivacija (formule diferencijacije).

3. Derivat kompleksne funkcije.

Počnimo redom. U ovoj lekciji ćemo pogledati tabelu izvedenica.

Tabela derivata.

Na svijetu postoji beskonačan broj funkcija. Među ovom raznolikošću postoje funkcije koje su najvažnije praktična primjena. Ove funkcije se nalaze u svim zakonima prirode. Od ovih funkcija, kao od cigli, možete konstruirati sve ostale. Ova klasa funkcija se zove elementarne funkcije. Upravo se ove funkcije izučavaju u školi - linearne, kvadratne, hiperbola itd.

Razlikovanje funkcija "od nule", tj. Na osnovu definicije derivata i teorije granica, ovo je prilično radno intenzivna stvar. I matematičari su ljudi, da, da!) Pa su pojednostavili svoj (i nama) život. Izračunali su izvode elementarnih funkcija prije nas. Rezultat je tabela derivata, gdje je sve spremno.)

Evo ga, ova ploča za najpopularnije funkcije. Lijevo je elementarna funkcija, desno je njen izvod.

	Funkcija y	Derivat funkcije y y"
1	C (konstantna vrijednost)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - bilo koji broj)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	sin x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x ( a = e)

Preporučujem da obratite pažnju na treću grupu funkcija u ovoj tabeli derivata. Derivat funkcije stepena je jedna od najčešćih formula, ako ne i najčešća! Razumijete li nagovještaj?) Da, preporučljivo je znati tablicu izvedenica napamet. Usput, ovo nije tako teško kao što se čini. Pokušajte da odlučite više primjera, sama tabela će se pamtiti!)

Pronalaženje tablične vrijednosti derivacije, kao što razumijete, nije najteži zadatak. Stoga vrlo često u takvim zadacima postoje dodatni čipovi. Ili u tekstu zadatka, ili u originalnoj funkciji, koje kao da nema u tabeli...

Pogledajmo nekoliko primjera:

1. Naći izvod funkcije y = x 3

Ne postoji takva funkcija u tabeli. Ali postoji derivat funkcije snage u opšti pogled(treća grupa). U našem slučaju n=3. Zato zamjenjujemo tri umjesto n i pažljivo zapisujemo rezultat:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

To je to.

odgovor: y" = 3x 2

2. Pronađite vrijednost izvoda funkcije y = sinx u tački x = 0.

Ovaj zadatak znači da prvo morate pronaći derivaciju sinusa, a zatim zamijeniti vrijednost x = 0 u ovu istu izvedenicu. Upravo tim redosledom! U suprotnom, desi se da odmah zamjene nulu u originalnu funkciju... Od nas se traži da pronađemo ne vrijednost originalne funkcije, već vrijednost njen derivat. Izvod je, da vas podsjetim, nova funkcija.

Pomoću tablete nalazimo sinus i odgovarajuću derivaciju:

y" = (sin x)" = cosx

Zamjenjujemo nulu u izvod:

y"(0) = cos 0 = 1

Ovo će biti odgovor.

3. Razlikujte funkciju:

Šta, nadahnjuje?) Ne postoji takva funkcija u tabeli izvedenica.

Dozvolite mi da vas podsjetim da je diferenciranje funkcije jednostavno pronaći izvod ove funkcije. Ako zaboravite elementarnu trigonometriju, traženje derivacije naše funkcije je prilično problematično. Tabela ne pomaže...

Ali ako vidimo da je naša funkcija dvostruki ugaoni kosinus, onda sve ide na bolje odmah!

Da, da! Zapamtite to transformiranje originalne funkcije prije diferencijacije sasvim prihvatljivo! I dešava se da život čini mnogo lakšim. Koristeći kosinusnu formulu dvostrukog ugla:

One. naša lukava funkcija nije ništa drugo do y = cosx. a ovo je - funkcija tablice. Odmah dobijamo:

odgovor: y" = - sin x.

Primjer za napredne maturante i studente:

4. Pronađite izvod funkcije:

U tabeli derivata, naravno, nema takve funkcije. Ali ako se sećate osnovne matematike, akcije sa stepenima... Tada je sasvim moguće pojednostaviti ovu funkciju. ovako:

A x na stepen jedne desetine je već tabelarna funkcija! Treća grupa, n=1/10. Pišemo direktno prema formuli:

To je to. Ovo će biti odgovor.

Nadam se da je sve jasno sa prvim stubom diferencijacije - tabelom izvedenica. Ostaje da se pozabavimo sa dva preostala kita. U sljedećoj lekciji naučit ćemo pravila diferencijacije.

Povratak