Šta znači skup prostih brojeva? Prosti brojevi: istorija i činjenice

• Prevod

Svojstva prostih brojeva prvi su proučavali matematičari Ancient Greece. Matematičari Pitagorejske škole (500 - 300 pne) su prvenstveno bili zainteresovani za mistična i numerološka svojstva prostih brojeva. Oni su prvi došli na ideju o savršenim i prijateljskim brojevima.

Savršen broj ima zbir vlastitih djelitelja jednak sebi. Na primjer, pravi djelitelji broja 6 su 1, 2 i 3. 1 + 2 + 3 = 6. Djelitelji broja 28 su 1, 2, 4, 7 i 14. Štaviše, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Brojevi se nazivaju prijateljskim ako je zbir pravih djelitelja jednog broja jednak drugom, i obrnuto - na primjer, 220 i 284. Možemo reći da je savršeni broj prijateljski prema sebi.

U vrijeme Euklidovih elemenata 300. godine p.n.e. nekoliko je već dokazano važne činjenice u vezi prostih brojeva. U IX knjizi Elementi, Euklid je dokazao da postoji beskonačan broj prostih brojeva. Ovo je, inače, jedan od prvih primjera korištenja dokaza kontradikcijom. On također dokazuje osnovnu teoremu aritmetike - svaki cijeli broj može se jedinstveno predstaviti kao proizvod prostih brojeva.

Takođe je pokazao da ako je broj 2n-1 prost, onda će broj 2n-1 * (2n-1) biti savršen. Drugi matematičar, Ojler, uspeo je 1747. da pokaže da je sve ravno savršeni brojevi može se napisati u ovom obliku. Do danas je nepoznato da li postoje neparni savršeni brojevi.

Godine 200. pne. Grčki Eratosten osmislio je algoritam za pronalaženje prostih brojeva nazvan Eratostenovo sito.

A onda je došlo do velikog preloma u istoriji proučavanja prostih brojeva, povezanih sa srednjim vekom.

Sljedeća otkrića je već početkom 17. stoljeća napravio matematičar Fermat. On je dokazao pretpostavku Alberta Girarda da se bilo koji prost broj oblika 4n+1 može jedinstveno napisati kao zbir dva kvadrata, a također je formulirao teoremu da se bilo koji broj može napisati kao zbir četiri kvadrata.

Razvio se nova metoda faktorizaciju velikih brojeva, i to demonstrirao na broju 2027651281 = 44021 × 46061. On je također dokazao Fermatovu malu teoremu: ako je p prost broj, tada će za bilo koji cijeli broj a biti tačno da je a p = a modulo p.

Ova izjava dokazuje polovinu onoga što je bilo poznato kao "kineska pretpostavka" i datira prije 2000 godina: cijeli broj n je prost ako i samo ako je 2 n -2 djeljivo sa n. Drugi dio hipoteze pokazao se netačnim - na primjer, 2.341 - 2 je djeljivo sa 341, iako je broj 341 složen: 341 = 31 × 11.

Fermatova mala teorema poslužila je kao osnova za mnoge druge rezultate u teoriji brojeva i metode za testiranje da li su brojevi prosti brojevi – od kojih se mnogi i danas koriste.

Fermat se mnogo dopisivao sa svojim savremenicima, posebno sa redovnikom po imenu Maren Mersenne. U jednom od svojih pisama, on je pretpostavio da će brojevi oblika 2 n +1 uvijek biti prosti ako je n stepen dva. Testirao je ovo za n = 1, 2, 4, 8 i 16 i bio je uvjeren da u slučaju kada n nije stepen dva, broj nije nužno prost. Ovi brojevi se nazivaju Fermaovi brojevi, a samo 100 godina kasnije Euler je pokazao da je sljedeći broj, 2 32 + 1 = 4294967297, djeljiv sa 641, te stoga nije prost.

Brojevi oblika 2 n - 1 su takođe bili predmet istraživanja, jer je lako pokazati da ako je n složen, onda je i sam broj kompozitan. Ovi brojevi se nazivaju Mersennovi brojevi jer ih je on opširno proučavao.

Ali nisu svi brojevi oblika 2 n - 1, gdje je n prost, prosti. Na primjer, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Ovo je prvi put otkriveno 1536. godine.

Dugi niz godina, brojevi ovog tipa davali su matematičarima najveće poznate brojeve. primarni brojevi. Da je M 19 dokazao Cataldi 1588. godine i 200 godina je bio najveći poznati prost broj, sve dok Ojler nije dokazao da je i M 31 prost. Ovaj rekord je postojao još stotinu godina, a onda je Lucas pokazao da je M 127 prost (a to je već broj od 39 cifara), a nakon toga se istraživanje nastavilo pojavom kompjutera.

Godine 1952. dokazana je jednostavnost brojeva M 521, M 607, M 1279, M 2203 i M 2281.

Do 2005. godine pronađena su 42 Mersenneova prosta broja. Najveći od njih, M 25964951, sastoji se od 7816230 znamenki.

Ojlerov rad imao je ogroman uticaj na teoriju brojeva, uključujući proste brojeve. On je proširio Fermatovu malu teoremu i uveo φ-funkciju. Faktorizirao 5. Fermaov broj 2 32 +1, pronašao 60 parova prijateljskih brojeva i formulisao (ali nije mogao dokazati) kvadratni zakon reciprociteta.

Bio je prvi koji je uveo metode matematičke analize i razvio analitičku teoriju brojeva. On je dokazao da ne samo harmonijski niz ∑ (1/n), već i niz oblika

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Rezultat dobiven zbirom recipročnih vrijednosti prostih brojeva također se razlikuje. Zbir n članova harmonijskog niza raste približno kao log(n), a drugi niz divergira sporije kao log[log(n)]. To znači da će, na primjer, zbir recipročnih vrijednosti svih do sada pronađenih prostih brojeva dati samo 4, iako se niz i dalje razlikuje.

Na prvi pogled, čini se da su prosti brojevi prilično nasumično raspoređeni među cijelim brojevima. Na primjer, među 100 brojeva neposredno prije 10000000 ima 9 prostih brojeva, a među 100 brojeva odmah nakon ove vrijednosti ima samo 2. Ali na velikim segmentima prosti brojevi su raspoređeni prilično ravnomjerno. Legendre i Gauss su se bavili pitanjima njihove distribucije. Gauss je jednom prijatelju rekao da u bilo kojih slobodnih 15 minuta uvijek broji broj prostih brojeva u sljedećih 1000 brojeva. Do kraja života izbrojao je sve proste brojeve do 3 miliona. Legendre i Gauss su jednako izračunali da je za veliko n osnovna gustina 1/log(n). Legendre je procijenio broj prostih brojeva u rasponu od 1 do n kao

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

A Gaus je kao logaritamski integral

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Sa intervalom integracije od 2 do n.

Tvrdnja o gustoći prostih brojeva 1/log(n) poznata je kao teorema distribucije prostih brojeva. Pokušavali su to dokazati tokom cijelog 19. vijeka, a napredak su postigli Čebišev i Riman. Povezali su je s Riemannom hipotezom, još nedokazanom hipotezom o raspodjeli nula Riemannove zeta funkcije. Gustinu prostih brojeva istovremeno su dokazali Adamard i Vallée-Poussin 1896. godine.

Još uvijek postoje mnoga neriješena pitanja u teoriji prostih brojeva, od kojih su neka stara stotinama godina:

• Hipoteza prostih blizanaca je o beskonačnom broju parova prostih brojeva koji se međusobno razlikuju za 2
• Goldbachova pretpostavka: bilo koji paran broj, počevši od 4, može se predstaviti kao zbir dva prosta broja
• Postoji li beskonačan broj prostih brojeva oblika n 2 + 1?
• Da li je uvijek moguće pronaći prost broj između n 2 i (n + 1) 2? (Čebišev je dokazao činjenicu da uvijek postoji prost broj između n i 2n)
• Da li je broj Fermatovih prostih brojeva beskonačan? Ima li Fermatovih prostih brojeva nakon 4?
• postoji li aritmetička progresija uzastopnih prostih brojeva za bilo koju datu dužinu? na primjer, za dužinu 4: 251, 257, 263, 269. Maksimalna pronađena dužina je 26.
• Postoji li beskonačan broj skupova od tri uzastopna prosta broja u aritmetičkoj progresiji?
• n 2 - n + 41 je prost broj za 0 ≤ n ≤ 40. Postoji li beskonačan broj takvih prostih brojeva? Isto pitanje za formulu n 2 - 79 n + 1601. Ovi brojevi su prosti za 0 ≤ n ≤ 79.
• Postoji li beskonačan broj prostih brojeva oblika n# + 1? (n# je rezultat množenja svih prostih brojeva manjih od n)
• Postoji li beskonačan broj prostih brojeva oblika n# -1?
• Postoji li beskonačan broj prostih brojeva oblika n? + 1?
• Postoji li beskonačan broj prostih brojeva oblika n? - 1?
• ako je p prost, da li 2 p -1 uvijek ne sadrži proste kvadrate među svojim faktorima?
• da li Fibonačijev niz sadrži beskonačan broj prostih brojeva?

Najveći prosti brojevi blizanci su 2003663613 × 2 195000 ± 1. Sastoje se od 58711 cifara i otkriveni su 2007. godine.

Najveći faktorijalni prost broj (tipa n! ± 1) je 147855! - 1. Sastoji se od 142891 cifre i pronađen je 2002. godine.

Najveći primarni prost broj (broj oblika n# ± 1) je 1098133# + 1.

Nabrajanje djelitelja. Po definiciji, broj n je prost samo ako nije jednako djeljiv sa 2 i drugim cijelim brojevima osim 1 i samog sebe. Gornja formula uklanja nepotrebne korake i štedi vrijeme: na primjer, nakon provjere da li je broj djeljiv sa 3, nema potrebe provjeravati da li je djeljiv sa 9.

• Funkcija floor(x) zaokružuje x na najbliži cijeli broj koji je manji ili jednak x.

Naučite o modularnoj aritmetici. Operacija "x mod y" (mod je skraćenica od latinske riječi "modulo", odnosno "module") znači "podijeli x sa y i pronađi ostatak." Drugim riječima, u modularnoj aritmetici, po dostizanju određene vrijednosti, koja se zove modul, brojevi se ponovo "okreću" na nulu. Na primjer, sat održava vrijeme s modulom 12: pokazuje 10, 11 i 12 sati, a zatim se vraća na 1.

• Mnogi kalkulatori imaju mod ključ. Kraj ovog odjeljka pokazuje kako ručno procijeniti ovu funkciju za velike brojeve.

Naučite o zamkama Fermatove male teoreme. Svi brojevi za koje nisu ispunjeni uslovi testa su kompozitni, ali su preostali brojevi samo vjerovatno klasifikuju se kao jednostavne. Ako želite izbjeći netačne rezultate, potražite n na listi "Carmichael brojeva" (kompozitni brojevi koji zadovoljavaju ovaj test) i “pseudo-prime Fermatove brojeve” (ovi brojevi odgovaraju uslovima testa samo za određene vrijednosti a).

Ako je zgodno, koristite Miller-Rabin test. Iako je ovaj metod prilično težak za ručno izračunavanje, često se koristi u kompjuterskim programima. Pruža prihvatljivu brzinu i proizvodi manje grešaka od Fermatove metode. Složeni broj neće biti prihvaćen kao prost broj ako se proračuni vrše za više od ¼ vrijednosti a. Ako nasumično odaberete različita značenja a i za sve njih test će dati pozitivan rezultat, možemo pretpostaviti s prilično visokim stepenom povjerenja da n je prost broj.

Za velike brojeve koristite modularnu aritmetiku. Ako nemate pri ruci kalkulator s modom ili vaš kalkulator nije dizajniran za rukovanje tako velikim brojevima, upotrijebite svojstva stepena i modularnu aritmetiku kako biste olakšali izračune. Ispod je primjer za 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mod 50:

• Prepišite izraz u više pogodan oblik: mod 50. Za ručne proračune mogu biti potrebna dodatna pojednostavljenja.
• (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Ovdje smo uzeli u obzir svojstvo modularnog množenja.
• 3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
• (3 25 (\displaystyle (3^(25)) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
• = 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
• = 49 (\displaystyle =49).

Brojevi su različiti: prirodni, racionalni, racionalni, cjelobrojni i razlomak, pozitivni i negativni, složeni i prosti, neparni i parni, realni itd. Iz ovog članka možete saznati šta su prosti brojevi.

Koji se brojevi na engleskom zovu "jednostavni"?

Vrlo često školarci ne znaju kako da odgovore na jedno od najjednostavnijih pitanja u matematici na prvi pogled, o tome šta je prost broj. Često brkaju proste brojeve s prirodnim brojevima (odnosno brojevima koje ljudi koriste prilikom brojanja objekata, dok u nekim izvorima počinju s nulom, a u drugima s jedinicom). Ali ovo su potpuno dva različita koncepta. Prosti brojevi su prirodni brojevi, odnosno cijeli brojevi i pozitivni brojevi koji su veći od jedan i koji imaju samo 2 prirodna djelila. Štaviše, jedan od ovih djelitelja je dati broj, a drugi je jedan. Na primjer, tri je prost broj jer se ne može podijeliti bez ostatka ni sa jednim brojem osim sa samim sobom i jednim.

Kompozitni brojevi

Suprotnost prostim brojevima su složeni brojevi. Oni su također prirodni, također veći od jedan, ali nemaju dva, već veći broj djelitelja. Tako, na primjer, brojevi 4, 6, 8, 9 itd. su prirodni, složeni, ali nisu prosti brojevi. Kao što vidite, to su uglavnom parni brojevi, ali ne svi. Ali "dva" je paran broj i "prvi broj" u nizu prostih brojeva.

Subsequence

Da biste konstruirali niz prostih brojeva, potrebno je odabrati između svih prirodnih brojeva, uzimajući u obzir njihovu definiciju, odnosno morate djelovati kontradiktorno. Potrebno je ispitati svaki od pozitivnih prirodnih brojeva da vidimo da li ima više od dva djelitelja. Pokušajmo da napravimo niz (sekvencu) koji se sastoji od prostih brojeva. Lista počinje sa dva, a zatim slede tri, jer je deljiva samo sa sobom i jednim. Uzmite u obzir broj četiri. Da li ima djelitelje osim četiri i jedan? Da, taj broj je 2. Dakle, četiri nije prost broj. Pet je također prosto (nije djeljivo ni sa jednim drugim brojem, osim 1 i 5), ali šest je djeljivo. I općenito, ako pratite sve parne brojeve, primijetit ćete da osim "dva", nijedan od njih nije prost. Iz ovoga zaključujemo da parni brojevi, osim dva, nisu prosti. Još jedno otkriće: svi brojevi djeljivi sa tri, osim samih tri, bilo da su parni ili neparni, također nisu prosti (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, itd.). Isto važi i za brojeve koji su djeljivi sa pet i sedam. Svo njihovo mnoštvo takođe nije jednostavno. Hajde da sumiramo. Dakle, jednostavni jednocifreni brojevi uključuju sve neparne brojeve osim jedan i devet, a čak i "dva" su parni brojevi. Same desetice (10, 20,... 40, itd.) nisu jednostavne. Dvocifreni, trocifreni itd. prosti brojevi se mogu odrediti na osnovu gornjih principa: ako nemaju djelitelje osim sebe i jedan.

Teorije o svojstvima prostih brojeva

Postoji nauka koja proučava svojstva cijelih brojeva, uključujući proste brojeve. Ovo je grana matematike koja se zove viša. Osim svojstava cijelih brojeva, bavi se i algebarskim i transcendentalnim brojevima, kao i funkcijama različitog porijekla vezanim za aritmetiku ovih brojeva. U ovim studijama, pored elementarnih i algebarskih metoda, koriste se i analitičke i geometrijske. Konkretno, “Teorija brojeva” se bavi proučavanjem prostih brojeva.

Prosti brojevi su "građevinski blokovi" prirodnih brojeva

U aritmetici postoji teorema koja se zove fundamentalna teorema. Prema njemu, svaki prirodan broj, osim jednog, može se predstaviti kao proizvod čiji su faktori prosti brojevi, a redoslijed faktora je jedinstven, što znači da je način predstavljanja jedinstven. To se zove faktoring prirodnog broja u proste faktore. Postoji još jedan naziv za ovaj proces - faktorizacija brojeva. Na osnovu toga, prosti brojevi se mogu nazvati „građevinskim materijalom“, „blokovima“ za konstruisanje prirodnih brojeva.

Traži proste brojeve. Testovi jednostavnosti

Mnogi naučnici iz različitih vremena pokušavali su da pronađu neke principe (sisteme) za pronalaženje liste prostih brojeva. Nauka poznaje sisteme koji se zovu Atkin sito, Sundartamovo sito i Eratostenovo sito. Međutim, oni ne daju nikakve značajne rezultate, a za pronalaženje prostih brojeva koristi se jednostavan test. Matematičari su takođe kreirali algoritme. Obično se nazivaju testovima primarnosti. Na primjer, postoji test koji su razvili Rabin i Miller. Koriste ga kriptografi. Tu je i Kayal-Agrawal-Sasquena test. Međutim, uprkos dovoljnoj preciznosti, veoma je teško izračunati, što umanjuje njen praktični značaj.

Ima li skup prostih brojeva ograničenje?

Drevni grčki naučnik Euklid napisao je u svojoj knjizi "Elementi" da je skup prostih brojeva beskonačan. Rekao je ovo: „Zamislimo na trenutak da prosti brojevi imaju ograničenje. Zatim ih pomnožimo jedno s drugim i dodamo jedan proizvodu. Broj dobijen kao rezultat ovih jednostavnih radnji ne može se podijeliti ni sa jednim od nizova prostih brojeva, jer će ostatak uvijek biti jedan. To znači da postoji još neki broj koji još nije uključen u listu prostih brojeva. Dakle, naša pretpostavka nije tačna i ovaj skup ne može imati granicu. Pored Euklidovog dokaza, postoji modernija formula koju je dao švajcarski matematičar Leonhard Euler iz osamnaestog veka. Prema njemu, zbir recipročan zbroju prvih n brojeva raste neograničeno kako se broj n povećava. A evo formule teoreme o raspodjeli prostih brojeva: (n) raste kao n/ln (n).

Koji je najveći prost broj?

Isti Leonard Ojler je uspeo da pronađe najveći prosti broj svog vremena. Ovo je 2 31 - 1 = 2147483647. Međutim, do 2013. godine izračunat je još jedan najprecizniji najveći na listi prostih brojeva - 2 57885161 - 1. Zove se Mersenov broj. Sadrži oko 17 miliona decimalnih cifara. Kao što vidite, broj koji je pronašao naučnik iz osamnaestog veka je nekoliko puta manji od ovog. Trebalo je da bude tako, jer je Ojler ovaj proračun izvršio ručno, dok je našem savremeniku verovatno pomogao kompjuter. Štaviše, ovaj broj je dobijen na Matematičkom fakultetu na jednom od američkih odsjeka. Brojevi nazvani po ovom naučniku prolaze Luc-Lemaireov test primarnosti. Međutim, nauka ne želi stati na tome. Electronic Frontier Foundation, koja je osnovana 1990. godine u Sjedinjenim Američkim Državama (EFF), ponudila je novčanu nagradu za pronalaženje velikih prostih brojeva. A ako bi se do 2013. nagrada dodjeljivala onim naučnicima koji bi ih pronašli između 1 i 10 miliona decimalni brojevi, tada je danas ova cifra dostigla sa 100 miliona na 1 milijardu. Nagrade se kreću od 150 do 250 hiljada američkih dolara.

Nazivi specijalnih prostih brojeva

Oni brojevi koji su pronađeni zahvaljujući algoritmima koje su kreirali određeni naučnici i koji su prošli test jednostavnosti nazivaju se posebnim. Evo nekih od njih:

1. Merssen.

4. Cullen.

6. Mills et al.

Jednostavnost ovih brojeva, nazvanih po gore navedenim naučnicima, utvrđuje se pomoću sljedećih testova:

1. Luc-Lemaire.

2. Pepina.

3. Riesel.

4. Billhart - Lemaire - Selfridge i drugi.

Moderna nauka tu ne staje, a vjerovatno će u bliskoj budućnosti svijet saznati imena onih koji su uspjeli da osvoje nagradu od 250.000 dolara pronalazeći najveći prosti broj.

Podjela prirodnih brojeva na proste i složene brojeve pripisuje se starogrčkom matematičaru Pitagori. A ako slijedite Pitagoru, tada se skup prirodnih brojeva može podijeliti u tri klase: (1) - skup koji se sastoji od jednog broja - jedan; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) – skup prostih brojeva; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) – skup složenih brojeva.

Drugi set krije mnogo različitih misterija. Ali prvo, hajde da shvatimo šta je prost broj. Otvaramo „Matematički enciklopedijski rečnik“ (Ju. V. Prohorov, izdavačka kuća „Sovjetska enciklopedija“, 1988) i čitamo:

„Prost broj je pozitivan cijeli broj veći od jedan, koji nema djelitelja osim sebe i jedinice: 2,3,5,7,11,13,

Koncept jednostavnog broja je fundamentalan u proučavanju djeljivosti prirodnih brojeva; naime, fundamentalna teorema aritmetike kaže da se svaki pozitivan cijeli broj osim 1 može jedinstveno razložiti u proizvod prostih brojeva (redoslijed faktora se ne uzima u obzir). Postoji beskonačno mnogo prostih brojeva (ova tvrdnja, nazvana Euklidov teorem, bila je poznata drevnim grčkim matematičarima; njen dokaz se može naći u 9. knjizi Euklidovih elemenata). P. Dirichlet (1837) je ustanovio da je u aritmetičkoj progresiji a + bx za x = 1. ,2,c sa međusobno prostim cijelim brojevima a i b također sadrži beskonačno mnogo prostih brojeva.

Pronalaženje prostih brojeva od 1 do x poznato je iz 3. stoljeća. BC e. Eratostenova metoda sita. Ispitivanje niza (*) prostih brojeva od 1 do x pokazuje da kako se x povećava on postaje, u prosjeku, rjeđi. Postoje proizvoljno dugi segmenti niza prirodnih brojeva, među kojima nema ni jednog prostog broja (teorema 4). Istovremeno, postoje takvi prosti brojevi, razlika između kojih je jednaka 2 (tzv. blizanci). Još uvijek nije poznato (1987) da li je skup takvih blizanaca konačan ili beskonačan. Tabele prostih brojeva unutar prvih 11 miliona prirodnih brojeva pokazuju prisustvo vrlo velikih blizanaca (na primjer, 10.006.427 i 10.006.429).

Pronalaženje raspodjele prostih brojeva u prirodnim nizovima brojeva vrlo je težak problem u teoriji brojeva. Formulira se kao proučavanje asimptotičkog ponašanja funkcije koja označava broj prostih brojeva koji ne prelazi pozitivan broj X. Iz Euklidove teoreme jasno je da kada. L. Euler je uveo zeta funkciju 1737. godine.

Dokazao je i to kada

Pri čemu se zbrajanje vrši nad svim prirodnim brojevima, a proizvod se preuzima na svim prostim brojevima. Ovaj identitet i njegove generalizacije igraju fundamentalnu ulogu u teoriji raspodjele prostih brojeva. Na osnovu toga, L. Euler je dokazao da red i proizvod u odnosu na prosti p divergiraju. Štaviše, L. Euler je ustanovio da postoji “mnogo” prostih brojeva, jer

A u isto vreme, skoro sve cijeli brojevi su kompozitni, jer na.

i, za bilo koje (tj., ono što raste kao funkcija). Hronološki, sljedeći značajan rezultat koji precizira Čebiševljevu teoremu je tzv. asimptotski zakon raspodjele prostih brojeva (J. Hadamard, 1896, C. La Vallée Poussin, 1896), koji je tvrdio da je granica omjera na jednaka 1. Potom su značajni napori matematičara usmjereni na pojašnjenje asimptotike zakon raspodjele prostih brojeva. Pitanja raspodjele prostih brojeva proučavaju se korištenjem i elementarnih metoda i metoda matematičke analize.”

Ovdje ima smisla pružiti dokaz neke od teorema navedenih u članku.

Lema 1. Ako je gcd(a, b)=1, tada postoje cijeli brojevi x, y takvi da.

Dokaz. Neka su a i b relativno prosti brojevi. Razmotrimo skup J svih prirodnih brojeva z, reprezentabilnih u obliku, i izaberimo najmanji broj d u njemu.

Dokažimo da je a deljivo sa d. Podijelite a sa d ostatkom: i neka. Pošto ima oblik, dakle,

Vidimo to.

Pošto smo pretpostavili da je d najmanji broj u J, dobijamo kontradikciju. To znači da je a djeljivo sa d.

Dokažimo na isti način da je b deljivo sa d. Dakle, d=1. Lema je dokazana.

Teorema 1. Ako su brojevi a i b međusobno prosti i proizvod bx je djeljiv sa a, tada je x djeljiv sa a.

Dokaz1. Moramo dokazati da je ax djeljiv sa b i gcd(a,b)=1, tada je x djeljiv sa b.

Prema lemi 1, postoje x, y takvi da. Tada je očigledno deljivo sa b.

Dokaz 2. Razmotrimo skup J svih prirodnih brojeva z tako da je zc djeljiv sa b. Neka je d najmanji broj u J. To je lako vidjeti. Slično dokazu Leme 1, dokazano je da je a deljivo sa d, a b deljivo sa d

Lema 2. Ako su brojevi q,p1,p2,pn prosti i proizvod je djeljiv sa q, tada je jedan od brojeva pi jednak q.

Dokaz. Prije svega, primijetite da ako je prost broj p djeljiv sa q, onda je p=q. Ovo odmah slijedi tvrdnju leme za n=1. Za n=2 to slijedi direktno iz teoreme 1: ako je p1p2 djeljiv prostim brojem q i tada je p2 djeljiv sa q(tj.).

Dokazaćemo lemu za n=3 na sledeći način. Neka je p1 p2 p3 podijeljeno sa q. Ako je p3 =q, onda je sve dokazano. Ako je, prema teoremi 1, p1 p2 djeljivo sa q. Tako smo slučaj n=3 sveli na već razmatrani slučaj n=2.

Na isti način, od n=3 možemo ići na n=4, zatim na n=5, i općenito, pod pretpostavkom da je n=k izjava leme dokazana, možemo je lako dokazati za n=k+ 1. Ovo nas uvjerava da je lema tačna za sva n.

Osnovna teorema aritmetike. Svaki prirodan broj može se faktorizirati na jedinstven način.

Dokaz. Pretpostavimo da postoje dvije dekompozicije broja a na proste faktore:

Jer desni deo je djeljiva sa q1, tada lijeva strana jednakosti mora biti djeljiva sa q1. Prema lemi 2, jedan od brojeva je jednak q1. Poništimo obje strane jednakosti sa q1.

Provedimo isto razmišljanje za q2, zatim za q3, za qi. Na kraju će se svi faktori desno poništiti i ostati 1. Naravno, na lijevoj strani neće ostati ništa osim jednog. Iz ovoga zaključujemo da se dvije ekspanzije i mogu razlikovati samo po redoslijedu faktora. Teorema je dokazana.

Euklidov teorem. Niz prostih brojeva je beskonačan.

Dokaz. Pretpostavimo da je niz prostih brojeva konačan, a posljednji prost broj označavamo slovom N. Sastavimo proizvod

Dodajmo tome 1. Dobijamo:

Ovaj broj, budući da je cijeli broj, mora sadržavati barem jedan prost faktor, tj. mora biti djeljiv sa najmanje jednim prostim brojem. Ali svi prosti brojevi, prema pretpostavci, ne prelaze N, a broj M+1 nije djeljiv bez ostatka ni sa jednim od prostih brojeva manjim ili jednakim N - svaki put kada je ostatak 1. Teorema je dokazana.

Teorema 4. Sekcije složenih brojeva između prostih brojeva mogu biti bilo koje dužine. Sada ćemo dokazati da se niz sastoji od n uzastopnih složenih brojeva.

Ovi brojevi dolaze direktno jedan iza drugog u prirodnom nizu, jer je svaki sljedeći za 1 veći od prethodnog. Ostaje dokazati da su svi oni kompozitni.

Prvi broj

Parni, budući da oba njegova člana sadrže faktor 2. I svaki paran broj veći od 2 je složen.

Drugi broj se sastoji od dva člana, od kojih je svaki višekratnik 3. To znači da je ovaj broj složen.

Na isti način utvrđujemo da je sljedeći broj višekratnik 4, itd. Drugim riječima, svaki broj u našem nizu sadrži faktor različit od jedinice i samog sebe; stoga je kompozitna. Teorema je dokazana.

Nakon što smo proučili dokaze teorema, nastavljamo s razmatranjem članka. Njegov tekst spominje Eratostenovu metodu sita kao način pronalaženja prostih brojeva. Pročitajmo o ovoj metodi iz istog rječnika:

“Eratosthenovo sito je metoda koju je razvio Eratosten i koja vam omogućava da procijedite kompozitni brojevi iz prirodnog raspona. Suština Eratostenovog sita je sljedeća. Jedinica je precrtana. Broj dva je prost. Precrtani su svi prirodni brojevi djeljivi sa 2. Broj 3 – prvi neprecrtani broj će biti prost. Zatim se precrtavaju svi prirodni brojevi koji su djeljivi sa 3. Broj 5 - sljedeći neprecrtani broj - bit će prost. Nastavljajući slične proračune, možete pronaći proizvoljno dug segment niza prostih brojeva. Eratostenovo sito kao teorijska metoda Studiju teorije brojeva razvio je V. Brun (1919).

Evo najveći broj, koji je trenutno poznat kao jednostavan:

Ovaj broj ima oko sedam stotina decimalnih mjesta. Proračuni pomoću kojih je ustanovljeno da je ovaj broj prost, obavljeni su na savremenim računarima.

“Rimannova zeta funkcija, -funkcija, je analitička funkcija kompleksne varijable, za σ>1 određena apsolutno i uniformno konvergentnim Dirichletovim redom:

Za σ>1 vrijedi reprezentacija u obliku Eulerovog proizvoda:

(2) gdje p prolazi kroz sve proste brojeve.

Identitet serije (1) i proizvoda (2) jedno je od glavnih svojstava zeta funkcije. Omogućava nam da dobijemo različite odnose koji povezuju zeta funkciju sa najvažnijim teoretskim funkcijama brojeva. Stoga zeta funkcija igra veliku ulogu u teoriji brojeva.

Zeta funkciju je kao funkciju realne varijable uveo L. Euler (1737, objavljen 1744), koji je naznačio njenu lokaciju u proizvodu (2). Zatim je zeta funkciju razmatrao P. Dirichlet i posebno uspješno P. L. Čebišev u vezi sa proučavanjem zakona raspodjele prostih brojeva. Međutim, najdublja svojstva zeta funkcije otkrivena su nakon rada B. Riemanna, koji je prvi put 1859. godine razmatrao zeta funkciju kao funkciju kompleksne varijable, uveo je i naziv "zeta funkcija" i oznaka “””.

Ali postavlja se pitanje: šta praktična upotreba postoji za sav ovaj rad na prostim brojevima? Zaista, od njih gotovo da nema nikakve koristi, ali postoji jedno područje gdje se prosti brojevi i njihova svojstva koriste do danas. Ovo je kriptografija. Ovdje se prosti brojevi koriste u sistemima šifriranja bez prijenosa ključeva.

Nažalost, ovo je sve što se zna o prostim brojevima. Ostalo je još mnogo misterija. Na primjer, nije poznato da li je skup prostih brojeva koji se mogu predstaviti kao dva kvadrata beskonačan.

"TEŠKI PRIMES".

Odlučio sam da malo istražim kako bih pronašao odgovore na neka pitanja o prostim brojevima. Prije svega, sastavio sam program koji proizvodi sve uzastopne proste brojeve manje od 1 000 000 000. Osim toga, sastavio sam program koji određuje da li je uneseni broj prost. Da bih proučavao probleme prostih brojeva, napravio sam graf koji pokazuje zavisnost vrijednosti prostog broja od serijski broj Kao daljnji plan istraživanja odlučio sam koristiti članak I. S. Zeltsera i B. A. Kordemskog „Zanimljiva jata prostih brojeva“. Autori su identifikovali sledeće istraživačke puteve:

1. 168 mjesta u prvih hiljadu prirodnih brojeva zauzimaju prosti brojevi. Od njih je 16 palindromskih - svaki je jednak svom inverzu: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 799, 919, .

Postoji samo 1061 četvorocifreni prosti broj i nijedan od njih nije palindromski.

Postoji mnogo petocifrenih prostih palindromskih brojeva. Oni uključuju takve ljepote: 13331, 15551, 16661, 19991. Bez sumnje, postoje jata ovog tipa: ,. Ali koliko primjeraka ima u svakom takvom jatu?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

Vidi se da je zbir cifara brojeva djeljiv sa 3, pa su i sami ovi brojevi također djeljivi sa 3.

Što se tiče brojeva u obliku, među njima su prosti brojevi 72227, 75557, 76667, 78887, 79997.

2. U prvih hiljadu brojeva nalazi se pet "kvarteta" koji se sastoje od uzastopnih prostih brojeva, čije posljednje cifre čine niz 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109 ), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

Koliko takvih kvarteta ima među n-cifrenim prostim brojevima za n›3?

Koristeći program koji sam napisao, pronađen je kvartet koji je promašen autorima: (479, 467, 463, 461) i kvarteti za n = 4, 5, 6. Za n = 4 postoji 11 kvarteta

3. Jato od devet prostih brojeva: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 privlačno je ne samo zbog onoga što predstavlja aritmetička progresija sa razlikom od 210, ali i sposobnošću da stane u devet ćelija tako da se formira magični kvadrat sa konstantom jednakom razlici dva prosta broja: 3119 – 2:

Sljedeći, deseti član progresije koja se razmatra, 2089, također je prost broj. Ako uklonite broj 199 iz jata, ali uključite 2089, tada čak i u ovom sastavu jato može formirati čarobni kvadrat - temu za pretraživanje.

Treba napomenuti da postoje i drugi magični kvadrati koji se sastoje od prostih brojeva:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

Predloženi trg je zanimljiv jer

1. To je magični kvadrat 7x7;

2. Sadrži magični kvadrat 5x5;

3. Magični kvadrat 5x5 sadrži magični kvadrat 3x3;

4. Svi ovi kvadrati imaju jedan zajednički centralni broj - 3407;

5. Svih 49 brojeva uključenih u kvadrat 7x7 završavaju se brojem 7;

6. Svih 49 brojeva uključenih u kvadrat 7x7 su prosti brojevi;

7. Svaki od 49 brojeva uključenih u kvadrat 7x7 može se predstaviti kao 30n + 17.

Korištene programe sam napisao u programskom jeziku Dev-C++ i njihove tekstove dajem u dodatku (pogledajte datoteke sa ekstenzijom .srr). Pored svega navedenog, napisao sam program koji razlaže uzastopne prirodne brojeve na proste činioce (videti Delitelje 1. srr) i program koji razlaže samo uneti broj na proste faktore (vidi Delitelje 2. srr). Pošto ovi programi zauzimaju previše prostora u kompajliranom obliku, daju se samo njihovi tekstovi. Međutim, svako ih može kompajlirati ako ima pravi program.

BIOGRAFIJE NAUČNIKA UKLJUČENIH U PROBLEM PRIMOVA

EUCLIDES

(oko 330. pne – oko 272. pne)

O životu najpoznatijeg antičkog matematičara sačuvano je vrlo malo pouzdanih podataka. Vjeruje se da je studirao u Atini, što objašnjava njegovo briljantno ovladavanje geometrijom koju je razvila Platonova škola. Međutim, po svemu sudeći, nije bio upoznat sa djelima Aristotela. Predavao je u Aleksandriji, gdje je zadobio visoke pohvale za svoje nastavničke aktivnosti za vrijeme vladavine Ptolomeja I Sotera. Postoji legenda da je ovaj kralj tražio od njega da otkrije način za brzi uspjeh u matematici, na što je Euklid odgovorio da u geometriji nema kraljevskih puteva (slična priča se, međutim, priča i o Menchemu, kojeg su navodno pitali za isto od Aleksandra Velikog). Tradicija je sačuvala uspomenu na Euklida kao dobroćudnu i skromnu osobu. Euklid je autor rasprava o raznim temama, ali njegovo ime se uglavnom vezuje za jednu od rasprava pod nazivom Elementi. Riječ je o zbirci radova matematičara koji su radili prije njega (najpoznatiji od njih je bio Hipokrat sa Kosa), čije je rezultate doveo do savršenstva zahvaljujući svojoj sposobnosti uopštavanja i marljivom radu.

EULER LEONARD

(Bazel, Švicarska 1707. – Sankt Peterburg, 1783.)

Matematičar, mehaničar i fizičar. Rođen u porodici siromašnog pastora, Paul Euler. Obrazovanje je stekao prvo od oca, a 1720–24. na Univerzitetu u Bazelu, gde je slušao predavanja iz matematike kod I. Bernulija.

Krajem 1726. Ojler je pozvan u Petrogradsku akademiju nauka, au maju 1727. stigao je u Sankt Peterburg. U novoorganizovanoj akademiji, Euler je pronašao povoljnim uslovima za naučne aktivnosti, što mu je omogućilo da odmah počne studirati matematiku i mehaniku. Tokom 14 godina prvog peterburškog perioda svog života, Ojler je pripremio oko 80 dela za objavljivanje i objavio preko 50. U Sankt Peterburgu je studirao ruski jezik.

Ojler je učestvovao u mnogim oblastima aktivnosti Sankt Peterburške akademije nauka. Predavao je studentima na akademskom univerzitetu, učestvovao u raznim tehničkim ispitima, radio na sastavljanju karata Rusije i napisao javno dostupan „Priručnik za aritmetiku“ (1738–40). Po posebnim uputstvima Akademije, Ojler je pripremio za publikaciju „Nautička nauka” (1749), temeljno delo o teoriji brodogradnje i navigacije.

Ojler je 1741. prihvatio ponudu pruskog kralja Fridrika II da se preseli u Berlin, gde je trebalo da se izvrši reorganizacija Akademije nauka. Na Berlinskoj akademiji nauka Ojler je preuzeo mesto direktora matematičke klase i člana odbora, a nakon smrti njenog prvog predsednika P. Maupertuisa, nekoliko godina (od 1759.) je zapravo vodio akademiju. Tokom 25 godina svog života u Berlinu, pripremio je oko 300 radova, među kojima i niz velikih monografija.

Dok je živeo u Berlinu, Ojler nije prestao da intenzivno radi za Sankt Peterburgsku akademiju nauka, zadržavajući titulu njenog počasnog člana. Vodio je obimnu naučnu i naučno-organizacijsku korespondenciju, a posebno se dopisivao sa M. Lomonosovim, kojeg je veoma cenio. Ojler je uređivao matematičko odeljenje ruskog akademskog naučnog tela, gde je za to vreme objavio skoro isto toliko članaka kao u „Memoarima“ Berlinske akademije nauka. Aktivno je učestvovao u obuci ruskih matematičara; Budući akademici S. Kotelnikov, S. Rumovski i M. Sofronov poslani su u Berlin na studije pod njegovim vodstvom. Ojler je pružio veliku pomoć Petrogradskoj akademiji nauka, nabavivši za nju naučna literatura i opreme, pregovaranje sa kandidatima za radna mjesta na akademiji itd.

17. (28.) jula 1766. Ojler se sa porodicom vratio u Sankt Peterburg. Uprkos poodmaklim godinama i gotovo potpunoj sljepoći koja ga je zadesila, produktivno je radio do kraja života. Tokom 17 godina svog drugog boravka u Sankt Peterburgu, pripremio je oko 400 radova, uključujući nekoliko velikih knjiga. Ojler je nastavio da učestvuje u organizacioni rad akademija. Godine 1776. bio je jedan od stručnjaka na projektu jednolučnog mosta preko Neve, koji je predložio I. Kulibin, a od cijele komisije jedini je pružio široku podršku projektu.

Ojlerove zasluge kao velikog naučnika i organizatora naučno istraživanje dobio visoke pohvale tokom svog života. Pored peterburške i berlinske akademije, bio je član najvećih naučnih institucija: Pariske akademije nauka, Londonskog kraljevskog društva i drugih.

Jedan od karakterističnih aspekata Eulerovog rada je njegova izuzetna produktivnost. Samo za njegovog života objavljeno je oko 550 njegovih knjiga i članaka (popis Ojlerovih dela sadrži oko 850 naslova). Godine 1909., Švicarsko društvo za prirodne nauke počelo je objavljivati ​​kompletna Ojlerova djela, koja je završena 1975. godine; sastoji se od 72 sveske. Ojlerova kolosalna naučna prepiska (oko 3.000 pisama) također je od velikog interesa, do sada je samo djelimično objavljena.

Ojlerov opseg aktivnosti bio je neuobičajeno širok, pokrivajući sve odseke savremene matematike i mehanike, teorije elastičnosti, matematičke fizike, optike, teorije muzike, teorije mašina, balistike, nauke o moru, osiguranja itd. Oko 3/5 Ojlerovih radova se odnosi na na matematiku, a preostalih 2/5 uglavnom na njene primjene. Naučnik je sistematizovao svoje rezultate i rezultate koje su drugi dobili u nizu klasičnih monografija, napisanih sa neverovatnom jasnoćom i opremljenih vrijedni primjeri. To su, na primjer, “Mehanika, ili nauka o kretanju, objašnjena analitički” (1736), “Uvod u analizu” (1748), “Diferencijalni račun” (1755), “Teorija kretanja solidan(1765), „Univerzalna aritmetika“ (1768–69), koja je doživjela oko 30 izdanja na 6 jezika, „Integralni račun“ (1768–94) itd. U 18.st. , a dijelom i u 19. vijeku. Javno dostupna “Pisma o raznim fizičkim i filozofskim pitanjima, napisana određenoj njemačkoj princezi”, postala su izuzetno popularna. (1768–74), koja je doživjela preko 40 izdanja na 10 jezika. Većina sadržaja Ojlerovih monografija tada je uključena u obrazovne priručnike za visoko obrazovanje i djelimično srednja škola. Nemoguće je navesti sve Ojlerove teoreme, metode i formule koje su još u upotrebi, od kojih se samo nekoliko pojavljuje u literaturi pod njegovim imenom [na primjer, Ojlerova metoda izlomljene linije, Ojlerove zamjene, Ojlerova konstanta, Ojlerove jednačine, Ojlerove formule, Ojlerova funkcija, Ojlerovi brojevi, Ojlerova formula - Maclaurin, Euler–Fourierove formule, Ojlerova karakteristika, Ojlerovi integrali, Ojlerovi uglovi].

U Mehanici, Ojler je prvi ocrtao dinamiku tačke koristeći matematičku analizu: slobodno kretanje tačke pod uticajem različitih sila kako u praznini tako i u sredini sa otporom; kretanje tačke duž date linije ili površine; kretanje pod uticajem centralnih sila. Godine 1744. prvi je ispravno formulirao mehanički princip najmanjeg djelovanja i pokazao njegove prve primjene. U Teoriji kretanja krutog tijela, Euler je razvio kinematiku i dinamiku krutog tijela i dao jednačine za njegovu rotaciju oko fiksne tačke, postavljajući temelje za teoriju žiroskopa. U svojoj teoriji broda, Euler je dao vrijedan doprinos teoriji stabilnosti. Ojlerova otkrića bila su značajna u nebeskoj mehanici (na primjer, u teoriji kretanja Mjeseca), mehanici kontinuuma (osnovne jednačine kretanja idealnog fluida u Ojlerovom obliku i u tzv. Lagrangeovim varijablama, oscilacije plina u cijevima , itd.). U optici, Euler je dao (1747) formulu za bikonveksno sočivo i predložio metodu za izračunavanje indeksa prelamanja medija. Ojler se pridržavao talasne teorije svetlosti. On je u to vjerovao različite boje dopisivati ​​se različite dužine talasi svetlosti. Ojler je predložio načine za uklanjanje hromatskih aberacija sočiva i dao metode za proračun optičkih komponenti mikroskopa. Ojler je posvetio opsežan niz radova, započet 1748. godine, matematičkoj fizici: problemi vibracije žice, ploče, membrane, itd. Sve ove studije potaknule su razvoj teorije diferencijalnih jednačina, aproksimativnih metoda analize i posebnih tehnika. . funkcije, diferencijalnu geometriju, itd. Mnoga Eulerova matematička otkrića sadržana su u ovim radovima.

Glavni Ojlerov rad kao matematičar bio je razvoj matematičke analize. On je postavio temelje nekoliko matematičkih disciplina, koje su bile samo u svom rudimentarnom obliku ili su bile potpuno odsutne u računanju infinitezimala I. Newtona, G. Leibniza i braće Bernoulli. Tako je Euler prvi uveo funkcije kompleksnog argumenta i istražio svojstva osnovnih elementarnih funkcija kompleksne varijable (eksponencijalne, logaritamske i trigonometrijske funkcije); posebno je izveo formule povezivanja trigonometrijske funkcije sa demonstrativnom. Ojlerov rad u ovom pravcu postavio je temelj za teoriju funkcija kompleksne varijable.

Ojler je bio tvorac varijacionog računa, izloženog u radu „Metoda nalaženja krivih linija koje imaju svojstva maksimuma ili minimuma. (1744.). Metoda kojom je Ojler 1744. izveo neophodan uslov za ekstremum funkcionala – Ojlerova jednačina – bila je prototip direktnih metoda varijacionog računa 20. veka. Euler je stvorio teoriju običnih diferencijalnih jednadžbi kao nezavisnu disciplinu i postavio temelje za teoriju parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Ovdje posjeduje ogroman broj otkrića: klasičan način rješenja linearne jednačine sa konstantnim koeficijentima, metodom varijacije proizvoljnih konstanti, pojašnjenjem osnovnih svojstava Rikatijevske jednačine, integracijom linearnih jednadžbi sa promenljivim koeficijentima korišćenjem beskonačnih nizova, kriterijumima za posebna rešenja, doktrinom integracionog faktora, raznim aproksimativnim metodama i broj tehnika za rješavanje parcijalnih diferencijalnih jednačina. Ojler je prikupio značajan dio ovih rezultata u svom “Integralnom proračunu”.

Ojler je takođe obogatio diferencijalni i integralni račun u užem smislu te reči (na primer, doktrina promena varijabli, teorema o homogenim funkcijama, koncept dvostrukog integrala i računanje mnogih specijalnih integrala). U “Diferencijalnom računu” Euler je izrazio i primjerima potkrijepio svoje uvjerenje u preporučljivost upotrebe divergentnih redova i predložio metode za generalizirano zbrajanje redova, anticipirajući ideje moderne stroge teorije divergentnih redova, nastale na prijelazu iz 19. 20. vijeka. Osim toga, Euler je dobio mnoge konkretne rezultate u teoriji serija. Otkrio je tzv. Euler-Maclaurin formula za sumiranje, predložio transformaciju niza koji nosi njegovo ime, odredio zbrojeve ogromnog broja nizova i uveo nove u matematiku važne vrste serije (na primjer, trigonometrijske serije). Ovo takođe uključuje Eulerovo istraživanje o teoriji kontinuiranih razlomaka i drugih beskonačnih procesa.

Euler je osnivač teorije specijalnih funkcija. On je bio prvi koji je smatrao sinus i kosinus kao funkcije, a ne kao segmente u krugu. Dobio je gotovo sva klasična proširenja elementarnih funkcija u beskonačne serije i proizvode. Njegovi radovi stvorili su teoriju γ-funkcije. Proučavao je svojstva eliptičkih integrala, hiperboličke i cilindrične funkcije, ζ-funkcije, neke θ-funkcije, integralni logaritam i važne klase specijalnih polinoma.

Prema P. Čebiševu, Ojler je postavio temelje za sva istraživanja koja čine opšti deo teorije brojeva. Tako je Euler dokazao brojne tvrdnje P. Fermata (na primjer, Fermatova mala teorema), razvio temelje teorije ostataka snage i teorije kvadratne forme, otkrio (ali nije dokazao) kvadratni zakon reciprociteta i proučavao niz problema u Diofantskoj analizi. U svojim radovima o podjeli brojeva na pojmove i o teoriji prostih brojeva, Ojler je prvi koristio metode analize, čime je postao tvorac analitičke teorije brojeva. Posebno je uveo ζ-funkciju i dokazao tzv. Ojlerov identitet koji povezuje proste brojeve sa svim prirodnim brojevima.

Ojler je takođe postigao velika dostignuća u drugim oblastima matematike. U algebri je pisao radove o rješavanju jednačina viših stupnjeva u radikalima i o jednačinama sa dvije nepoznanice, kao i tzv. Ojlerov identitet od četiri kvadrata. Ojler je značajno unapredio analitičku geometriju, posebno doktrinu površina drugog reda. U diferencijalnoj geometriji detaljno je proučavao svojstva geodetskih linija, prvi je primijenio prirodne jednadžbe krivulja, i što je najvažnije, postavio je temelje teorije površina. Uveo je koncept glavnih pravaca u tački na površini, dokazao njihovu ortogonalnost, izveo formulu za zakrivljenost bilo kojeg normalnog presjeka, započeo proučavanje površina koje se mogu razviti, itd.; u jednom posthumno objavljenom radu (1862) djelimično je anticipirao istraživanje K. Gaussa o unutrašnjoj geometriji površina. Euler se također bavio određenim pitanjima topologije i dokazao, na primjer, važnu teoremu o konveksnim poliedrima. Matematičar Euler se često opisuje kao briljantan „kalkulator“. Zaista, bio je nenadmašan majstor formalnih rasporeda i transformacija; u njegovim djelima mnogi matematičke formule i primljene simbole moderan izgled(na primjer, on posjeduje notaciju za e i π). Međutim, Ojler je u nauku uneo i niz dubokih ideja, koje su danas striktno utemeljene i služe kao primer dubine prodiranja u predmet istraživanja.

Prema P. Laplaceu, Ojler je bio učitelj matematičara drugog polovina XVIII V.

DIRICHLET PETER GUSTAV

(Düren, sada Njemačka, 1805. - Göttingen, ibid., 1859.)

Studirao je u Parizu i održavao prijateljske odnose sa istaknutim matematičarima, posebno sa Fourierom. Po sticanju akademske diplome, bio je profesor na univerzitetima u Breslau (1826 - 1828), Berlinu (1828 - 1855) i Getingenu, gde je postao šef katedre za matematiku nakon smrti naučnika Karla Fridriha Gausa. Njegov najistaknutiji doprinos nauci tiče se teorije brojeva, prvenstveno proučavanja nizova. To mu je omogućilo da razvije teoriju serija koju je predložio Fourier. Napravio je vlastitu verziju dokaza Fermatove teoreme, koristio analitičke funkcije za rješavanje aritmetičkih problema i uveo kriterije konvergencije za nizove. U oblasti matematičke analize poboljšao je definiciju i koncept funkcije, a u oblasti teorijske mehanike fokusirao se na proučavanje stabilnosti sistema i na Newtonov koncept potencijala.

CHEBYSHEV PAFNUTY LVOVICH

Ruski matematičar, osnivač naučne škole u Sankt Peterburgu, akademik Petrogradske akademije nauka (1856). Čebiševljevi radovi postavili su temelje za razvoj mnogih novih grana matematike.

Najbrojniji Čebiševljevi radovi su iz oblasti matematičke analize. Posebno mu je posvećena disertacija za pravo držanja predavanja, u kojoj je Čebišev proučavao integrabilnost određenih iracionalnih izraza u algebarskim funkcijama i logaritmima. Čebišev je takođe posvetio niz drugih radova integraciji algebarskih funkcija. U jednom od njih (1853) dobijena je dobro poznata teorema o uslovima integrabilnosti u elementarne funkcije diferencijalni binom. Važna oblast istraživanja na matematička analizačine njegov rad na izgradnji opšta teorija ortogonalni polinomi. Razlog za njegovo stvaranje bila je parabolična interpolacija metodom najmanjih kvadrata. Čebiševljevo istraživanje o problemu momenata i kvadraturnih formula susjedno je ovom istom rasponu ideja. U cilju smanjenja proračuna, Čebišev je predložio (1873) da se razmatraju kvadraturne formule sa jednakim koeficijentima (približna integracija). Istraživanja kvadraturnih formula i teorije interpolacije bila su usko povezana sa zadacima koji su Čebiševu postavljani u artiljerijskom odjelu vojno-naučnog komiteta.

U teoriji vjerovatnoće, Čebiševu se pripisuje sistematsko uvođenje slučajne varijable i stvaranje nove tehnike za dokazivanje graničnih teorema u teoriji vjerovatnoće – tzv. metoda momenata (1845, 1846, 1867, 1887). On je dokazao zakon velikih brojeva u vrlo opštem obliku; Štaviše, njegov dokaz je upečatljiv po svojoj jednostavnosti i elementarnosti. Čebišev nije doveo proučavanje uslova za konvergenciju funkcija distribucije suma nezavisnih slučajnih varijabli normalnom zakonu do potpunog završetka. Međutim, kroz neki dodatak Čebiševljevim metodama, A. A. Markov je to uspio. Bez strogih zaključaka, Čebišev je takođe ukazao na mogućnost pojašnjenja ove granične teoreme u obliku asimptotičkih proširenja funkcije raspodele zbira nezavisnih članova po stepenu n21/2, gde je n broj članova. Čebiševljevi radovi na teoriji vjerovatnoće iznose važna faza u njegovom razvoju; osim toga, oni su bili osnova na kojoj je izrasla ruska škola teorije vjerovatnoće, koja se u početku sastojala od Čebiševljevih direktnih učenika.

RIEMANN GEORG FRIEDRIGG BERNHARD

(Breselenz, Donja Saksonija, 1826 - Selaska, blizu Intre, Italija 66)

nemački matematičar. Godine 1846. upisao je Univerzitet u Getingenu: slušao je predavanja K. Gaussa, čije je mnoge ideje kasnije razvio. 1847–49. pohađao je predavanja na Univerzitetu u Berlinu; 1849. vratio se u Getingen, gde se zbližio sa Gaussovim saradnikom, fizičarem W. Weberom, koji je u njemu pobudio duboko interesovanje za pitanja matematičke nauke.

Godine 1851. odbranio je doktorsku disertaciju „Osnove opšte teorije funkcija jedne kompleksne varijable“. Od 1854. bio je privatni docent, a od 1857. profesor na Univerzitetu u Getingenu.

Rimanovo delo je imalo veliki uticaj na razvoj matematike 2 polovina 19. veka V. i u 20. veku. U svojoj doktorskoj disertaciji, Riemann je postavio temelje za geometrijski pravac teorije analitičkih funkcija; uveo je takozvane Rimanove površine, koje su važne u proučavanju višeznačnih funkcija, razvio teoriju konformnih preslikavanja i, u vezi s tim, dao osnovne ideje topologije, proučavao uslove za postojanje analitičkih funkcija. unutar domena razne vrste(tzv. Dirichletov princip) itd. Metode koje je razvio Riemann imale su široku primenu u njegovim daljim radovima o teoriji algebarskih funkcija i integrala, o analitičkoj teoriji diferencijalnih jednadžbi (posebno, jednadžbi koje definišu hipergeometrijske funkcije), na analitička teorija brojeva (na primjer, Riemann je ukazao na vezu između raspodjele prostih brojeva i svojstava ζ-funkcije, posebno s raspodjelom njenih nula u kompleksnom području - tzv. Riemannova hipoteza, čija valjanost još nije dokazano) itd.

Riemann je u nizu radova proučavao dekompozibilnost funkcija u trigonometrijske redove i s tim u vezi odredio potrebne i dovoljne uslove za integrabilnost u Rimanovom smislu, što je bilo važno za teoriju skupova i funkcija realne varijable. Riemann je također predložio metode za integraciju parcijalnih diferencijalnih jednadžbi (na primjer, korištenjem tzv. Riemannovih invarijanti i Riemannove funkcije).

U svom čuvenom predavanju iz 1854. „O hipotezama u osnovi geometrije“ (1867.), Riemann je dao opšta ideja matematički prostor (po njegovim riječima, „mnogostrukosti“), uključujući funkcionalne i topološke prostore. Ovdje je geometriju u širem smislu razmatrao kao proučavanje kontinuiranih n-dimenzionalnih mnogostrukosti, tj. zbirki bilo kojih homogenih objekata i, generalizirajući Gaussove rezultate o unutrašnjoj geometriji površine, dao je opšti koncept linearni element (diferencijal udaljenosti između tačaka mnogostrukosti), čime se definiše ono što se naziva Finslerovim prostorima. Riman je detaljnije ispitivao takozvane Rimanove prostore, generalizujući prostore Euklidove, Lobačevskog i Rimanove eliptičke geometrije, koje karakteriše poseban tip linearni element, i razvio doktrinu o njihovoj zakrivljenosti. Raspravljajući o primjeni svojih ideja na fizički prostor, Riemann je postavio pitanje "uzroka metričkih svojstava" tog prostora, kao da predviđa ono što je učinjeno u općoj teoriji relativnosti.

Ideje i metode koje je predložio Riemann otvorile su nove puteve u razvoju matematike i našle primenu u mehanici i opštoj teoriji relativnosti. Naučnik je umro 1866. od tuberkuloze.

Prost broj je prirodan broj koji je djeljiv samo sa sobom i jedinicom.

Preostali brojevi se nazivaju složeni brojevi.

Prosti prirodni brojevi

Ali nisu svi prirodni brojevi prosti brojevi.

Prosti prirodni brojevi su samo oni koji su djeljivi samo sobom i jedinicom.

Primjeri prostih brojeva:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

Prom Integers

Iz toga slijedi da su samo prirodni brojevi prosti brojevi.

To znači da su prosti brojevi nužno prirodni brojevi.

Ali svi prirodni brojevi su također cijeli brojevi.

Dakle, svi prosti brojevi su cijeli brojevi.

Primjeri prostih brojeva:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

Čak i prosti brojevi

Postoji samo jedan paran prost broj - broj dva.

Svi ostali prosti brojevi su neparni.

Zašto paran broj veći od dva ne može biti prost broj?

Ali zato što će svaki paran broj veći od dva biti djeljiv sam po sebi, a ne s jednim i sa dva, to jest, takav broj će uvijek imati tri djelitelja, a moguće i više.

Povratak