Saznati geometrijska vrijednost derivacije, razmotrimo graf funkcije y = f(x). Uzmimo proizvoljnu tačku M sa koordinatama (x, y) i tačku N blizu njoj (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Nacrtajmo ordinate $\overline(M_(1) M)$ i $\overline(N_(1) N)$, a iz tačke M - pravu liniju paralelnu sa OX osom.
Odnos $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ je tangenta ugla $\alpha $1 formiranog sekantom MN sa pozitivnim smjerom ose OX. Kako $\Delta $x teži nuli, tačka N će se približiti M, a granični položaj sekante MN će biti tangenta MT na krivu u tački M. Dakle, izvod f`(x) je jednak tangenti ugla $\alpha $ formiranog tangentom na krivulju u tački M (x, y) sa pozitivnim smjerom na os OX - nagib tangente (slika 1).
Slika 1. Grafikon funkcija
Prilikom izračunavanja vrijednosti pomoću formula (1) važno je ne pogriješiti u predznacima, jer prirast također može biti negativan.
Tačka N koja leži na krivoj može težiti M sa bilo koje strane. Dakle, ako je na slici 1 tangenta data u suprotnom smjeru, ugao $\alpha $ će se promijeniti za iznos $\pi $, što će značajno utjecati na tangentu ugla i, shodno tome, na kutni koeficijent.
Zaključak
Iz toga slijedi da je postojanje derivacije povezano sa postojanjem tangente na krivu y = f(x), a ugaoni koeficijent - tg $\alpha $ = f`(x) je konačan. Prema tome, tangenta ne bi trebala biti paralelna sa OY osom, inače $\alpha $ = $\pi $/2, a tangenta ugla će biti beskonačna.
U nekim tačkama, kontinuirana kriva možda nema tangentu ili ima tangentu paralelnu sa OY osom (slika 2). Tada funkcija ne može imati izvod u ovim vrijednostima. Na krivulji funkcije može biti neograničen broj sličnih tačaka.
Slika 2. Izuzetne tačke krivulje
Razmotrite sliku 2. Neka $\Delta $x teži nuli od negativnih ili pozitivnih vrijednosti:
\[\Delta x\to -0\begin(niz)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(niz)\]
Ako u u ovom slučaju odnosi (1) imaju konačnu granicu, označava se kao:
U prvom slučaju, izvod je lijevo, u drugom je izvod desno.
Postojanje granice ukazuje na ekvivalenciju i jednakost lijevog i desnog izvoda:
Ako su lijevi i desni izvod nejednaki, tada u datoj tački postoje tangente koje nisu paralelne sa OY (tačka M1, sl. 2). U tačkama M2, M3 relacije (1) teže beskonačnosti.
Za tačke N koje leže lijevo od M2, $\Delta $x $
Desno od $M_2$, $\Delta $x $>$ 0, ali izraz je također f(x + $\Delta $x) -- f(x) $
Za tačku $M_3$ na lijevoj strani, $\Delta $x $$ 0 i f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, tj. izrazi (1) i na lijevoj i na desnoj strani su pozitivni i teže +$\infty $ kako se $\Delta $x približava -0 i +0.
Slučaj odsustva izvoda u određenim tačkama prave (x = c) prikazan je na slici 3.
Slika 3. Nema derivata
Primjer 1
Slika 4 prikazuje graf funkcije i tangente na graf u tački apscise $x_0$. Nađite vrijednost derivacije funkcije u apscisi.
Rješenje. Izvod u tački jednak je omjeru prirasta funkcije i priraštaja argumenta. Odaberimo dvije tačke na tangenti sa cjelobrojnim koordinatama. Neka su to, na primjer, tačke F (-3,2) i C (-2,4).
Ciljevi lekcije:
Učenici treba da znaju:
- ono što se zove nagib linije;
- ugao između prave linije i ose Ox;
- šta je geometrijsko značenje derivat;
- jednadžba tangente na graf funkcije;
- metoda za konstruisanje tangente na parabolu;
- biti u stanju primijeniti teorijska znanja u praksi.
Ciljevi lekcije:
Obrazovni: stvoriti uslove da učenici ovladaju sistemom znanja, vještina i sposobnosti sa pojmovima mehaničkog i geometrijskog značenja derivata.
Vaspitni: formirati naučni pogled na svijet kod učenika.
Razvojni: razvijati kod učenika kognitivni interes, kreativnost, volju, pamćenje, govor, pažnju, maštu, percepciju.
Metode organizovanja obrazovnih i kognitivnih aktivnosti:
- vizualni;
- praktičan;
- po mentalnoj aktivnosti: induktivna;
- prema asimilaciji materijala: djelimično traženi, reproduktivni;
- po stepenu samostalnosti: laboratorijski rad;
- stimulativno: ohrabrenje;
- kontrola: usmeno frontalno ispitivanje.
Plan lekcije
- Usmene vježbe (naći izvedenicu)
- Poruka učenika na temu „Uzroci matematička analiza”.
- Učenje novog gradiva
- Phys. Samo minut.
- Rješavanje zadataka.
- Laboratorijski rad.
- Sumiranje lekcije.
- Komentarišući zadaća.
Oprema: multimedijalni projektor (prezentacija), kartice ( laboratorijski rad).
Tokom nastave
“Čovek postiže nešto samo tamo gde veruje u svoju snagu”
L. Feuerbach
I. Organizacioni momenat.
Organizacija časa tokom čitavog časa, spremnost učenika za čas, red i disciplina.
Postavljanje ciljeva učenja za učenike, kako za cijeli čas tako i za njegove pojedinačne faze.
Odrediti značaj gradiva koje se proučava kako u ovoj temi tako iu cijelom predmetu.
Verbalno brojanje
1. Pronađite derivate:
" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "
2. Logički test.
a) Unesite izraz koji nedostaje.
| 5x 3 -6x | 15x 2 -6 | 30x |
| 2sinx | 2cosx… | |
| cos2x | … … |
II. Poruka učenika na temu “Razlozi nastanka matematičke analize.”
Opšti pravac razvoja nauke u konačnici je određen zahtjevima ljudske djelatnosti. Postojanje drevnih država sa složenim hijerarhijskim sistemom upravljanja bilo bi nemoguće bez dovoljnog razvoja aritmetike i algebre, jer su ubiranje poreza, organizovanje vojnog snabdevanja, izgradnja palata i piramida i stvaranje sistema za navodnjavanje zahtevali složene proračune. Tokom renesanse proširile su se veze između različitih dijelova srednjovjekovnog svijeta, razvila se trgovina i zanatstvo. Počinje nagli porast tehničkog nivoa proizvodnje, a industrijski se koriste novi izvori energije koji nisu povezani s mišićnim naporima ljudi ili životinja. U XI-XII veku pojavile su se mašine za punjenje i tkanje, a sredinom XV - štamparska presa. Zbog potrebe za brzim razvojem društvene proizvodnje u ovom periodu promijenila se suština prirodnih nauka, koje su od antičkih vremena bile deskriptivne. Cilj prirodnih nauka je dubinska studija prirodni procesi, a ne objekti. Matematika, koja je radila sa konstantnim količinama, odgovarala je deskriptivnoj prirodnoj nauci antike. Bilo je potrebno stvoriti matematički aparat koji bi opisivao ne rezultat procesa, već prirodu njegovog toka i njegove inherentne obrasce. Kao rezultat toga, do kraja 12. vijeka, Newton u Engleskoj i Leibniz u Njemačkoj završili su prvu fazu stvaranja matematičke analize. Šta je "matematička analiza"? Kako se mogu okarakterizirati i predvidjeti karakteristike bilo kojeg procesa? Koristiti ove funkcije? Da prodre dublje u suštinu određene pojave?
III. Učenje novog gradiva.
Pratimo put Newtona i Leibniza i vidimo kako možemo analizirati proces, smatrajući ga funkcijom vremena.
Hajde da predstavimo nekoliko koncepata koji će nam dalje pomoći.
Grafikon linearne funkcije y=kx+ b je prava linija, broj k se naziva nagib prave linije. k=tg, gdje je ugao prave linije, odnosno ugao između ove prave i pozitivnog smjera ose Ox.
Slika 1
Razmotrimo graf funkcije y=f(x). Nacrtajmo sekansu kroz bilo koje dvije tačke, na primjer, sekantu AM. (Sl.2)
Ugaoni koeficijent sekante k=tg. U pravokutnom trokutu AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.
Slika 2
Slika 3
Sam pojam „brzina“ karakterizira ovisnost promjene jedne veličine od promjene druge, a potonja ne mora nužno biti vrijeme.
Dakle, tangenta ugla nagiba sekansa tg = .
Zanima nas zavisnost promjena količina u kraćem vremenskom periodu. Usmjerimo inkrement argumenta na nulu. Tada je desna strana formule derivacija funkcije u tački A (objasni zašto). Ako je x -> 0, tada se tačka M kreće duž grafika do tačke A, što znači da se prava AM približava nekoj pravoj liniji AB, što je tangenta na graf funkcije y = f(x) u tački A. (Sl.3)
Ugao nagiba sekanse teži kutu nagiba tangente.
Geometrijsko značenje izvoda je da je vrijednost derivacije u tački jednaka nagibu tangente na graf funkcije u tački.
Mehaničko značenje izvedenice.
Tangent ugla tangente je vrijednost koja pokazuje trenutnu brzinu promjene funkcije u datoj tački, odnosno novu karakteristiku procesa koji se proučava. Leibniz je ovu veličinu nazvao derivat, a Newton je rekao da se sam izvod naziva trenutnim brzina.
IV. Minut fizičkog vaspitanja.
V. Rješavanje problema.
br. 91(1) strana 91 – pokazati na tabli.
Ugaoni koeficijent tangente na krivu f(x) = x 3 u tački x 0 – 1 je vrijednost derivacije ove funkcije u x = 1. f’(1) = 3x 2 ; f’(1) = 3.
br. 91 (3,5) – diktat.
br. 92(1) – na tabli po želji.
br. 92 (3) – samostalno uz usmeno testiranje.
br. 92 (5) – na tabli.
Odgovori: 45 0, 135 0, 1,5 e 2.
VI. Laboratorijski rad.
Cilj: razviti koncept „mehaničkog značenja derivata“.
Primjena derivata u mehanici.
Dat je zakon pravolinijskog kretanja tačke x = x(t), t.
- Prosječna brzina kretanja u određenom vremenskom periodu;
- Brzina i ubrzanje u trenutku t 04
- Trenuci zaustavljanja; da li se tačka nakon trenutka zaustavljanja nastavlja kretati u istom smjeru ili počinje da se kreće u suprotnom smjeru;
- Najveća brzina kretanja u određenom vremenskom periodu.
Rad se izvodi prema 12 opcija, zadaci su diferencirani po stepenu složenosti (prva opcija je najniži nivo teškoće).
Prije početka rada obaviti razgovor o sljedećim pitanjima:
- Šta fizičko značenje derivat pomaka? (Brzina).
- Da li je moguće pronaći derivaciju brzine? Da li se ova količina koristi u fizici? Kako se zove? (Ubrzanje).
- Trenutačna brzina jednaka nuli. Šta se može reći o kretanju tijela u ovom trenutku? (Ovo je trenutak zaustavljanja).
- Koje je fizičko značenje sljedećih iskaza: derivacija kretanja jednaka je nuli u tački t 0; mijenja li derivacija predznak kada prolazi kroz tačku t 0? (Tijelo se zaustavlja; smjer kretanja se mijenja u suprotan).
Uzorak studentskog rada.
x(t)= t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.
Slika 4
U suprotnom smjeru.
Nacrtajmo šematski dijagram brzine. Najveća brzina se postiže u tački
t=10, v (10) =3· 10 2 -4· 10 =300-40=260
Slika 5
VII. Sumiranje lekcije
1) Koje je geometrijsko značenje izvedenice?
2) Koje je mehaničko značenje izvedenice?
3) Izvucite zaključak o svom radu.
VIII. Komentarišući domaći zadatak.
Strana 90. 91(2,4,6), br.92(2,4,6,), str.92 br.112.
Korištene knjige
- Udžbenik Algebra i počeci analize.
Autori: Yu.M. Koljagin, M.V. Tkačeva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunina.
Uredio A. B. Zhizhchenko. - Algebra 11. razred. Planovi lekcija na osnovu udžbenika Š. A. Alimova, Yu. M. Koljagina, Yu. V. Sidorova. Dio 1.
- Internet resursi:
Abstract otvorena lekcija nastavnik GBPOU" Teachers College br. 4 Sankt Peterburg"
Martuševič Tatjana Olegovna
Datum: 29.12.2014.
Tema: Geometrijsko značenje izvedenica.
Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.
Nastavne metode: vizuelno, delimično pretraživanje.
Svrha lekcije.
Uvedite pojam tangente na graf funkcije u nekoj tački, saznajte koje je geometrijsko značenje derivacije, izvedite jednadžbu tangente i naučite kako je pronaći.
Obrazovni ciljevi:
Postići razumijevanje geometrijskog značenja izvedenice; izvođenje jednačine tangente; naučiti rješavati osnovne probleme;
obezbijediti ponavljanje materijala na temu „Definicija izvedenice“;
stvoriti uslove za kontrolu (samokontrolu) znanja i vještina.
Razvojni zadaci:
promoviraju formiranje vještina primjene tehnika poređenja, generalizacije i isticanja glavne stvari;
nastaviti razvoj matematičkih horizonata, mišljenja i govora, pažnje i pamćenja.
Edukativni zadaci:
promovirati interesovanje za matematiku;
obrazovanje aktivnosti, mobilnosti, komunikacijskih vještina.
Vrsta lekcije – kombinovani čas koristeći IKT.
Oprema – multimedijalna instalacija, prezentacijaMicrosoftSnagaPoenta.
Faza lekcije
Vrijeme
Aktivnosti nastavnika
Aktivnost učenika
1. Organizacioni momenat.
Navedite temu i svrhu lekcije.
Tema: Geometrijsko značenje izvedenica.
Svrha lekcije.
Uvedite pojam tangente na graf funkcije u nekoj tački, saznajte koje je geometrijsko značenje derivacije, izvedite jednadžbu tangente i naučite kako je pronaći.
Priprema učenika za rad na času.
Priprema za rad na času.
Razumijevanje teme i svrhe lekcije.
Bilješke.
2. Priprema za učenje novog gradiva kroz ponavljanje i ažuriranje osnovnih znanja.
Organizacija ponavljanja i ažuriranja osnovnih znanja: definicija izvedenice i formulacija njenog fizičkog značenja.
Formulisanje definicije derivata i formulisanje njegovog fizičkog značenja. Ponavljanje, ažuriranje i učvršćivanje osnovnih znanja.
Organizacija ponavljanja i razvijanje vještine pronalaženja izvedenice funkcija snage i elementarne funkcije.
Pronalaženje izvoda ovih funkcija pomoću formula.
Ponavljanje svojstava linearna funkcija.
Ponavljanje, percepcija crteža i iskaza nastavnika
3. Rad s novim materijalom: objašnjenje.
Objašnjenje značenja odnosa između prirasta funkcije i prirasta argumenta
Objašnjenje geometrijskog značenja derivacije.
Uvođenje novog materijala kroz verbalna objašnjenja pomoću slika i vizuelnih pomagala: multimedijalna prezentacija sa animacijom.
Percepcija objašnjenja, razumijevanja, odgovora na pitanja nastavnika.
Formulisanje pitanja nastavniku u slučaju poteškoća.
Percepcija novih informacija, njihovo primarno razumijevanje i razumijevanje.
Formulisanje pitanja nastavniku u slučaju poteškoća.
Kreiranje bilješke.
Formulacija geometrijskog značenja derivacije.
Razmatranje tri slučaja.
Pravljenje beleški, crtanje.
4. Rad sa novim materijalom.
Primarno razumijevanje i primjena proučenog gradiva, njegova konsolidacija.
U kojim je tačkama derivacija pozitivna?
Negativno?
Jednako nuli?
Obuka za pronalaženje algoritma za odgovore na postavljena pitanja prema rasporedu.
Razumijevanje, osmišljavanje i primjena novih informacija za rješavanje problema.
5. Primarno razumijevanje i primjena proučenog gradiva, njegovo učvršćivanje.
Poruka o uslovima zadatka.
Snimanje uslova zadatka.
Formulisanje pitanja nastavniku u slučaju poteškoća
6. Primena znanja: samostalan rad nastavnog karaktera.
Sami riješite problem:
Primena stečenog znanja.
Samostalan rad o rješavanju zadatka nalaženja izvodnice iz crteža. Diskusija i provjera odgovora u parovima, formulacija pitanja nastavniku u slučaju poteškoća.
7. Rad s novim materijalom: objašnjenje.
Izvođenje jednadžbe tangente na graf funkcije u tački.
Detaljno objašnjenje izvođenje jednačine tangente na graf funkcije u tački koristeći multimedijalnu prezentaciju radi jasnoće, odgovarajući na pitanja učenika.
Izvođenje tangentne jednačine zajedno sa nastavnikom. Odgovori na pitanja nastavnika.
Pravljenje beleški, kreiranje crteža.
8. Rad s novim materijalom: objašnjenje.
U dijalogu sa studentima, izvođenje algoritma za pronalaženje jednačine tangente na graf date funkcije u datoj tački.
U dijalogu sa nastavnikom izvedite algoritam za pronalaženje jednačine tangente na graf date funkcije u datoj tački.
Bilješke.
Poruka o uslovima zadatka.
Osposobljavanje za primjenu stečenih znanja.
Organiziranje potrage za načinima rješavanja problema i njihova implementacija. detaljna analiza rješenja sa obrazloženjem.
Snimanje uslova zadatka.
Stvaranje pretpostavki o mogući načini rješavanje problema prilikom implementacije svake tačke akcionog plana. Rješavanje problema zajedno sa nastavnikom.
Zapisivanje rješenja problema i odgovora.
9. Primena znanja: samostalan rad nastavnog karaktera.
Individualna kontrola. Savjetovanje i pomoć studentima po potrebi.
Provjerite i objasnite rješenje koristeći prezentaciju.
Primena stečenog znanja.
Samostalan rad na rješavanju zadatka nalaženja izvodnice iz crteža. Diskusija i provjera odgovora u parovima, formulacija pitanja nastavniku u slučaju poteškoća
10. Domaći.
§48, zadaci 1 i 3, razumjeti rješenje i zapisati ga u svesku, sa crtežima.
№ 860 (2,4,6,8),
Poruka za domaći zadatak sa komentarima.
Snimanje domaće zadaće.
11. Sumiranje.
Ponovili smo definiciju izvedenice; fizičko značenje izvedenice; svojstva linearne funkcije.
Naučili smo koje je geometrijsko značenje derivacije.
Naučili smo kako da izvedemo jednadžbu tangente na graf date funkcije u datoj tački.
Ispravka i pojašnjenje rezultata časa.
Navođenje rezultata lekcije.
12. Refleksija.
1. Tebi je lekcija: a) laka; b) obično; c) teško.
a) savladao sam ga u potpunosti, mogu ga primijeniti;
b) naučili su je, ali vam je teško primijeniti;
c) nije razumeo.
3. Multimedijalna prezentacija na času:
a) pomogao u savladavanju gradiva; b) nije pomoglo u savladavanju gradiva;
c) ometaju asimilaciju materijala.
Provođenje refleksije.
Derivat funkcije.
1. Definicija derivata, njegovo geometrijsko značenje.
2. Derivat kompleksne funkcije.
3. Derivat inverzne funkcije.
4. Derivati višeg reda.
5. Parametarski definirane funkcije i implicitno.
6. Diferencijacija funkcija specificiranih parametarski i implicitno.
Uvod.
Poreklo diferencijalnog računa bila su dva pitanja koja su pokrenuli zahtevi nauke i tehnologije u 17. veku.
1) Pitanje o izračunavanju brzine za proizvoljno dat zakon kretanja.
2) Pitanje pronalaženja (pomoću proračuna) tangente na proizvoljno datu krivu.
Problem povlačenja tangente na neke krive riješio je starogrčki naučnik Arhimed (287-212 pne), koristeći metodu crtanja.
Ali tek u 17. i 18. veku, u vezi sa napretkom prirodne nauke i tehnike, ova pitanja su dobila odgovarajući razvoj.
Jedno od važnih pitanja prilikom studiranja fizički fenomen Obično je pitanje o brzini, brzini pojave koja se javlja.
Brzina kojom se kreće avion ili automobil uvijek služi najvažniji pokazatelj njegova djela. Stopa rasta stanovništva pojedine države jedna je od glavnih karakteristika njenog društvenog razvoja.
Originalna ideja brzine svima je jasna. Međutim, za rješavanje većine praktičnih problema ovoga opšta ideja nije dovoljno. Neophodno je imati takvu kvantitativnu definiciju ove veličine, koju nazivamo brzinom. Potreba za takvim preciznim kvantitativnim određivanjem istorijski je služila kao jedan od glavnih podsticaja za stvaranje matematičke analize. Čitav dio matematičke analize posvećen je rješavanju ovog osnovnog problema i izvođenju zaključaka iz ovog rješenja. Prelazimo na proučavanje ovog odjeljka.
Definicija derivacije, njeno geometrijsko značenje.
Neka je data funkcija koja je definirana u određenom intervalu (a,c) i kontinuirano u njemu.
1. Dajemo argument X increment , tada će funkcija dobiti
povećanje:
2. Kreirajmo vezu 
.
3. Prelazak do granice na i, pod pretpostavkom da je granica
postoji, dobijamo količinu tzv
izvod funkcije u odnosu na argument X.
Definicija. Derivat funkcije u tački je granica omjera prirasta funkcije i priraštaja argumenta kada je →0.
Vrijednost derivacije očito zavisi od tačke X, u kojem se nalazi, stoga je derivacija funkcije, zauzvrat, neka funkcija od X. Označeno sa .
Po definiciji imamo
ili (3)
Primjer. Pronađite izvod funkcije.
1. ; 
Vrsta posla: 7
Stanje
Prava linija y=3x+2 tangenta je na grafik funkcije y=-12x^2+bx-10. Naći b, s obzirom da je apscisa tangentne tačke manje od nule.
Pokaži rješenjeRješenje
Neka je x_0 apscisa tačke na grafu funkcije y=-12x^2+bx-10 kroz koju prolazi tangenta na ovaj graf.
Vrijednost derivacije u tački x_0 jednaka je nagibu tangente, odnosno y"(x_0)=-24x_0+b=3. S druge strane, tačka tangentnosti pripada istovremeno oba grafika funkcija i tangenta, odnosno -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Dobijamo sistem jednadžbi \begin(slučajevi) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(slučajevi)
Rješavajući ovaj sistem, dobijamo x_0^2=1, što znači ili x_0=-1 ili x_0=1. Prema uslovu apscise, tangente su manje od nule, pa je x_0=-1, zatim b=3+24x_0=-21.
Odgovori
Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenica. Tangenta na graf funkcije
Stanje
Prava linija y=-3x+4 je paralelna sa tangentom na graf funkcije y=-x^2+5x-7. Pronađite apscisu tangentne tačke.
Pokaži rješenjeRješenje
Ugaoni koeficijent prave linije na graf funkcije y=-x^2+5x-7 u proizvoljnoj tački x_0 jednak je y"(x_0). Ali y"=-2x+5, što znači y" (x_0)=-2x_0+5 Ugaoni koeficijent prave y=-3x+4 specificiran u uslovu je jednak -3. Paralelne prave imaju isti padinama. Stoga, nalazimo vrijednost x_0 takvu da je =-2x_0 +5=-3.
Dobijamo: x_0 = 4.
Odgovori
Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenica. Tangenta na graf funkcije
Stanje
Pokaži rješenjeRješenje
Sa slike utvrđujemo da tangenta prolazi kroz tačke A(-6; 2) i B(-1; 1). Označimo sa C(-6; 1) tačku preseka pravih x=-6 i y=1, a sa \alpha ugao ABC (na slici možete videti da je oštar). Tada prava linija AB formira ugao \pi -\alpha sa pozitivnim smjerom ose Ox, koja je tupa.
Kao što je poznato, tg(\pi -\alpha) će biti vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x_0. primeti, to tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Odavde, koristeći formule redukcije, dobijamo: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.
Odgovori
Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenica. Tangenta na graf funkcije
Stanje
Prava linija y=-2x-4 tangenta je na grafik funkcije y=16x^2+bx+12. Naći b, s obzirom da je apscisa tangentne tačke Iznad nule.
Pokaži rješenjeRješenje
Neka je x_0 apscisa tačke na grafu funkcije y=16x^2+bx+12 kroz koju
je tangenta na ovaj graf.
Vrijednost derivacije u tački x_0 jednaka je nagibu tangente, odnosno y"(x_0)=32x_0+b=-2. S druge strane, tačka tangente pripada istovremeno oba grafika funkcija i tangenta, odnosno 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Dobijamo sistem jednadžbi \begin(slučajevi) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(slučajevi)
Rješavajući sistem, dobijamo x_0^2=1, što znači ili x_0=-1 ili x_0=1. Prema uslovu apscise, tangente su veće od nule, pa je x_0=1, zatim b=-2-32x_0=-34.
Odgovori
Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenica. Tangenta na graf funkcije
Stanje
Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x), definirane na intervalu (-2; 8). Odrediti broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna pravoj liniji y=6.
Rješenje
Prava linija y=6 je paralelna sa Ox osom. Dakle, nalazimo tačke u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna sa Ox osom. On ovaj grafikon takve tačke su tačke ekstrema (maksimalne ili minimalne tačke). Kao što vidite, postoje 4 ekstremne tačke.
Odgovori
Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenica. Tangenta na graf funkcije
Stanje
Prava y=4x-6 je paralelna sa tangentom na graf funkcije y=x^2-4x+9. Pronađite apscisu tangentne tačke.
Pokaži rješenjeRješenje
Nagib tangente na graf funkcije y=x^2-4x+9 u proizvoljnoj tački x_0 jednak je y"(x_0). Ali y"=2x-4, što znači y"(x_0)= 2x_0-4 Nagib tangente y =4x-7, specificiran u uslovu, jednak je 4. Paralelne prave imaju iste ugaone koeficijente. Dakle, nalazimo vrijednost x_0 takvu da je 2x_0-4 = 4. dobiti: x_0 = 4.
Odgovori
Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenica. Tangenta na graf funkcije
Stanje
Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangente na nju u tački sa apscisom x_0. Pronađite vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x_0.
Rješenje
Sa slike utvrđujemo da tangenta prolazi kroz tačke A(1; 1) i B(5; 4). Označimo sa C(5; 1) tačku preseka pravih x=5 i y=1, a sa \alpha ugao BAC (na slici možete videti da je oštar). Tada prava linija AB formira ugao \alpha sa pozitivnim smjerom ose Ox.