Danas ćemo pogledati koje se količine nazivaju obrnuto proporcionalnim, kako izgleda graf inverzne proporcionalnosti i kako vam sve to može biti od koristi ne samo na časovima matematike, već i van školskih zidova.
Tako različite proporcije
Proporcionalnost navedite dvije veličine koje su međusobno zavisne jedna od druge.
Zavisnost može biti direktna i obrnuta. Stoga odnos između veličina opisuje direktnu i inverznu proporcionalnost.
Direktna proporcionalnost- ovo je takav odnos između dvije veličine, u kojem povećanje ili smanjenje jedne od njih dovodi do povećanja ili smanjenja druge. One. njihov stav se ne menja.
Na primjer, što više truda uložite u pripremu za ispite, to će vam biti veće ocjene. Ili što više stvari ponesete sa sobom na planinarenje, teže je nositi ruksak. One. količina truda utrošenog na pripremu ispita je direktno proporcionalna dobijenim ocjenama. A broj stvari spakovanih u ranac je direktno proporcionalan njegovoj težini.
Inverzna proporcionalnost- to funkcionalna zavisnost, pri čemu smanjenje ili povećanje za nekoliko puta nezavisne vrijednosti (to se zove argument) uzrokuje proporcionalno (tj. za isti iznos) povećanje ili smanjenje zavisne vrijednosti (naziva se funkcija).
Ilustrirajmo jednostavnim primjerom. Želite kupiti jabuke na pijaci. Jabuke na tezgi i količina novca u vašem novčaniku su obrnuto povezani. One. što više jabuka kupite, manje novca vam ostaje.
Funkcija i njen graf
Funkcija inverzne proporcionalnosti može se opisati kao y = k/x. U kojem x≠ 0 i k≠ 0.
Ova funkcija ima sljedeća svojstva:
- Njegov domen definicije je skup svih realnih brojeva osim x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Opseg su svi realni brojevi osim y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Nema maksimalne ili minimalne vrijednosti.
- Neparan je i njegov graf je simetričan u odnosu na ishodište.
- Neperiodično.
- Njegov graf ne prelazi koordinatne ose.
- Nema nule.
- Ako k> 0 (to jest, argument raste), funkcija se proporcionalno smanjuje na svakom od svojih intervala. Ako k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Kako se argument povećava ( k> 0) negativne vrijednosti funkcije su u intervalu (-∞; 0), a pozitivne vrijednosti su u intervalu (0; +∞). Kada se argument smanjuje ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Graf funkcije inverzne proporcionalnosti naziva se hiperbola. Prikazano kako slijedi:
Inverzno proporcionalni problemi
Da bi bilo jasnije, pogledajmo nekoliko zadataka. Nisu previše komplicirane, a njihovo rješenje pomoći će vam da vizualizirate što je inverzni proporcija i kako vam ovo znanje može biti korisno u svakodnevnom životu.
Zadatak broj 1. Automobil se kreće brzinom od 60 km/h. Trebalo mu je 6 sati da stigne na odredište. Koliko će mu trebati da pređe istu udaljenost ako se kreće dvostruko većom brzinom?
Možemo početi tako što ćemo zapisati formulu koja opisuje odnos vremena, udaljenosti i brzine: t = S/V. Slažem se, to nas jako podsjeća na funkciju inverzne proporcionalnosti. I to ukazuje da su vrijeme koje automobil provede na putu i brzina kojom se kreće obrnuto proporcionalni.
Da bismo to potvrdili, pronađimo V 2, koji je, prema uvjetu, 2 puta veći: V 2 = 60 * 2 = 120 km / h. Zatim izračunavamo udaljenost koristeći formulu S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Sada nije teško saznati vrijeme t 2 koje se od nas traži prema uvjetu zadatka: t 2 = 360/120 = 3 sata.
Kao što vidite, vrijeme putovanja i brzina su zaista obrnuto proporcionalni: sa brzinom 2 puta većom od originalne, automobil će provesti 2 puta manje vremena na putu.
Rješenje ovog problema se također može napisati kao proporcija. Zašto pravimo dijagram ovako:
↓ 60 km/h – 6 h
↓120 km/h – x h
Strelice pokazuju inverzni odnos. To također predlažu prilikom sastavljanja proporcije desna strana zapisi moraju biti obrnuti: 60/120 = x/6. Gdje ćemo dobiti x = 60 * 6/120 = 3 sata.
Zadatak broj 2. U radionici je zaposleno 6 radnika koji se sa zadatom količinom posla nose za 4 sata. Ako se broj radnika prepolovi, koliko će vremena trebati preostalim radnicima da završe istu količinu posla?
Zapisujemo uslove zadatka u obliku vizuelna šema:
↓ 6 radnika - 4 sata
↓ 3 radnika - x h
Zapišimo ovo kao proporciju: 6/3 = x/4. I dobijemo x = 6 * 4/3 = 8 sati. Ako ima 2 puta manje radnika, ostali će potrošiti 2 puta više vremena da završe sav posao.
Zadatak broj 3. Dvije cijevi vode do bazena. Kroz jednu cijev voda ulazi brzinom od 2 l/s i puni bazen za 45 minuta. Kroz drugu cijev, bazen će se napuniti za 75 minuta. Koliko brzo voda ulazi u bazen kroz ovu cijev?
Za početak ćemo sve količine koje su nam date prema stanju problema dovesti na iste mjerne jedinice. Da bismo to učinili, izrazimo brzinu punjenja bazena u litrima po minuti: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.
Pošto iz uslova proizilazi da se bazen puni sporije kroz drugu cijev, to znači da je brzina dotoka vode manja. Na licu inverzne proporcije. Izrazimo nam nepoznatu brzinu u terminima x i nacrtajmo sljedeću shemu:
↓ 120 l/min - 45 min
↓ x l/min – 75 min
A onda ćemo napraviti proporciju: 120 / x = 75/45, odakle je x = 120 * 45/75 = 72 l / min.
U zadatku je brzina punjenja bazena izražena u litrima u sekundi, dovedemo naš odgovor u isti oblik: 72/60 = 1,2 l/s.
Zadatak broj 4. Vizit karte se štampaju u maloj privatnoj štampariji. Zaposleni u štampariji radi brzinom od 42 vizit karte na sat i radi puno radno vreme - 8 sati. Ako je radio brže i štampao 48 vizitkarti na sat, koliko bi prije mogao otići kući?
Idemo na dokazan način i sastavljamo dijagram prema stanju problema, označavajući željenu vrijednost kao x:
↓ 42 vizit karte/h – 8 h
↓ 48 vizitkarti/h – xh
Pred nama je obrnuto proporcionalan odnos: koliko puta više vizitkarti zaposleni u štampariji odštampa po satu, toliko će mu vremena trebati da završi isti posao. Znajući ovo, možemo postaviti proporciju:
42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 sati.
Tako bi, nakon što je posao završio za 7 sati, radnik štamparije mogao da ide kući sat ranije.
Zaključak
Čini nam se da su ovi problemi inverzne proporcionalnosti zaista jednostavni. Nadamo se da ih sada i vi smatrate takvima. I što je najvažnije, znanje o obrnuto proporcionalnoj zavisnosti količina može vam zaista biti korisno više puta.
Ne samo na časovima matematike i ispitima. Ali čak i tada, kada idete na put, u kupovinu, odlučite da zaradite nešto novca tokom praznika itd.
Recite nam u komentarima koje primjere inverzne i direktne proporcionalnosti primjećujete oko sebe. Neka ovo bude igra. Vidjet ćete kako je uzbudljivo. Ne zaboravite podijeliti ovaj članak na društvenim mrežama tako da i vaši prijatelji i drugovi iz razreda mogu da se igraju.
blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.
Završio: Čepkasov Rodion
učenik 6 "B" razreda
MBOU "Srednja škola br. 53"
Barnaul
Rukovodilac: Bulykina O.G.
nastavnik matematike
MBOU "Srednja škola br. 53"
Barnaul
Uvod. jedan
Odnosi i proporcije. 3
Direktno i obrnuto proporcionalne zavisnosti. 4
Primjena direktne i inverzne proporcionalnosti 6
zavisnosti u rešavanju raznih problema.
Zaključak. jedanaest
Književnost. 12
Uvod.
Reč proporcija dolazi od latinske reči proporcija, što znači opšta proporcionalnost, ravnomernost delova (određeni odnos delova jedan prema drugom). U antičko doba pitagorejci su visoko cijenili doktrinu o proporcijama. Proporcijama su povezivali misli o redu i ljepoti u prirodi, o suglasničkim akordima u muzici i harmoniji u svemiru. Neke vrste proporcija nazivaju muzičkim ili harmonijskim.
Čovek je još u antičko doba otkrio da su sve pojave u prirodi međusobno povezane, da je sve u stalnom kretanju, menjanju i, kada se izrazi u brojevima, otkriva zadivljujuće obrasce.
Pitagorejci i njihovi sljedbenici tražili su numerički izraz za sve što postoji na svijetu. Oni su pronašli; šta matematičke proporcije su osnova muzike (odnos dužine žice i visine, odnos između intervala, odnos zvukova u akordima koji daju harmonijski zvuk). Pitagorejci su pokušali matematički potkrijepiti ideju o jedinstvu svijeta, tvrdili su da je osnova svemira simetrična geometrijski oblici. Pitagorejci su tražili matematičko opravdanje za lepotu.
Slijedeći pitagorejce, srednjovjekovni učenjak Augustin nazvao je ljepotu "numeričkom jednakošću". Šolastički filozof Bonaventura je napisao: "Nema ljepote i zadovoljstva bez proporcionalnosti, dok proporcionalnost prvenstveno postoji u brojevima. Neophodno je da sve bude izračunljivo." Leonardo da Vinci je pisao o upotrebi proporcije u umetnosti u svojoj raspravi o slikarstvu: "Slikar u obliku proporcije utjelovljuje iste zakone koji vrebaju u prirodi koje naučnik poznaje u obliku numeričkog zakona."
Proporcije su korištene u rješavanju raznih problema kako u antici tako iu srednjem vijeku. Određene vrste problema sada se lako i brzo rješavaju korištenjem proporcija. Proporcije i proporcionalnost se koriste i koriste se ne samo u matematici, već iu arhitekturi i umjetnosti. Proporcionalnost u arhitekturi i umjetnosti znači održavanje određenih proporcija između veličina. različitim dijelovima zgrade, figure, skulpture ili druga umjetnička djela. Proporcionalnost je u takvim slučajevima uslov za ispravnu i lepu konstrukciju i sliku
U svom radu pokušao sam da razmotrim upotrebu direktnih i inverzno proporcionalnih zavisnosti u različitim oblastima okolnog života, da pratim vezu sa akademski predmeti kroz zadatke.
Odnosi i proporcije.
Zove se količnik dva broja stav ove brojevi.
Attitude Shows, koliko je puta prvi broj veći od drugog, ili koji dio je prvi broj od drugog.
Zadatak.
U prodavnicu je uvezeno 2,4 tone krušaka i 3,6 tona jabuka. Koji dio uvoznog voća čine kruške?
Rješenje . Pronađite koliko je voća ukupno doneseno: 2,4 + 3,6 = 6 (t). Da bismo saznali koji dio donesenih plodova čine kruške, napravićemo omjer 2,4:6 =. Odgovor se može napisati i kao decimalni ili kao procenat: = 0,4 = 40%.
međusobno inverzno pozvao brojevi, čiji su proizvodi jednaki 1. Dakle odnos se naziva inverznim odnosom.
Razmotrite dva jednaka omjera: 4,5:3 i 6:4. Stavimo znak jednakosti između njih i dobijemo proporciju: 4,5:3=6:4.
Proporcija je jednakost dvije relacije: a : b =c :d ili = 
, gdje su a i d ekstremne proporcije, c i b srednji članovi(svi članovi proporcije su različiti od nule).
Osnovno svojstvo proporcije:
u pravom omjeru, proizvod ekstremnih članova jednak je proizvodu srednjih članova.
Primjenom komutativnog svojstva množenja, dobijamo da u pravom omjeru možete zamijeniti ekstremne ili srednje članove. Rezultirajuće proporcije će također biti ispravne.
Koristeći osnovno svojstvo proporcije, može se pronaći njen nepoznati član ako su poznati svi ostali članovi.
Da bi se pronašao nepoznati ekstremni član proporcije, potrebno je srednje članove pomnožiti i podijeliti sa poznatim ekstremnim članom. x : b = c : d , x = 
Da bi se pronašao nepoznati srednji član proporcije, potrebno je pomnožiti ekstremne članove i podijeliti sa poznatim srednjim članom. a : b = x : d , x = 
.
Direktne i inverzne proporcije.
Vrijednosti dvije različite veličine mogu međusobno ovisiti jedna o drugoj. Dakle, površina kvadrata zavisi od dužine njegove stranice, i obrnuto - dužina stranice kvadrata zavisi od njegove površine.
Za dvije veličine se kaže da su proporcionalne ako se povećavaju
(smanjenje) jednog od njih za nekoliko puta, drugog se povećava (smanjuje) za isti iznos.
Ako su dvije veličine direktno proporcionalne, tada su omjeri odgovarajućih vrijednosti ovih veličina jednaki.
Primjer direktno proporcionalni odnos .
Na benzinskoj pumpi 2 litre benzina teže 1,6 kg. Koliko će biti teški 5 litara benzina?
Rješenje:
Težina kerozina je proporcionalna njegovoj zapremini.
2l - 1,6 kg
5l - x kg
2:5=1,6:x,
x = 5 * 1,6 x \u003d 4
Odgovor: 4 kg.
Ovdje omjer težine i zapremine ostaje nepromijenjen.
Dvije veličine se nazivaju obrnuto proporcionalne ako se jedna od njih poveća (smanji) nekoliko puta, a druga smanji (pove) za isti iznos.
Ako su količine obrnuto proporcionalne, tada je omjer vrijednosti jedne veličine jednak inverznom omjeru odgovarajućih vrijednosti druge veličine.
P primjerobrnuto proporcionalni odnos.
Dva pravougaonika imaju istu površinu. Dužina prvog pravougaonika je 3,6 m, a širina 2,4 m. Dužina drugog pravougaonika je 4,8 m. Odredi širinu drugog pravougaonika.
Rješenje:
1 pravougaonik 3,6 m 2,4 m
2 pravougaonika 4,8 m x m
3,6 m x m
4,8 m 2,4 m
x = 3,6 * 2,4 \u003d 1,8 m
Odgovor: 1,8 m.
Kao što vidite, problemi s proporcionalnim količinama mogu se riješiti korištenjem proporcija.
Nisu svake dvije veličine direktno proporcionalne ili obrnuto proporcionalne. Na primjer, visina djeteta raste sa porastom starosti, ali ove vrijednosti nisu proporcionalne, jer kada se starost udvostruči, visina djeteta se ne udvostručuje.
Praktična upotreba direktnu i inverznu proporcionalnost.
Zadatak #1
V školska biblioteka 210 udžbenika matematike, što čini 15% ukupnog bibliotečkog fonda. Koliko knjiga ima u bibliotečkom fondu?
Rješenje:
Ukupno udžbenika - ? - stotinu%
Matematičari - 210 -15%
15% 210 računa
X \u003d 100 * 210 \u003d 1400 udžbenika
100% x račun. 15
Odgovor: 1400 udžbenika.
Zadatak #2
Biciklista prijeđe 75 km za 3 sata. Koliko će biciklistu trebati da pređe 125 km istom brzinom?
Rješenje:
3 h – 75 km
H - 125 km
Vrijeme i udaljenost su direktno proporcionalni, dakle
3: x = 75: 125,
x= 
,
x=5.
Odgovor: 5 sati.
Zadatak #3
8 identične cijevi napunite bazen za 25 minuta. Koliko će minuta trebati 10 takvih cijevi da napune bazen?
Rješenje:
8 cijevi - 25 minuta
10 cijevi - ? minuta
Broj cijevi je obrnuto proporcionalan vremenu, dakle
8:10 = x:25,
x = 
x = 20
Odgovor: 20 minuta.
Zadatak #4
Tim od 8 radnika obavi zadatak za 15 dana. Koliko radnika može obaviti zadatak za 10 dana, radeći istom produktivnošću?
Rješenje:
8 radnih - 15 dana
Radni - 10 dana
Broj radnika je obrnuto proporcionalan broju dana, dakle
x: 8 = 15: 10,
x= 
,
x=12.
Odgovor: 12 radnika.
Zadatak broj 5
Od 5,6 kg paradajza dobije se 2 litra sosa. Koliko litara sosa se može dobiti od 54 kg paradajza?
Rješenje:
5,6 kg - 2 l
54 kg - ? l
Dakle, broj kilograma paradajza je direktno proporcionalan količini dobijenog sosa
5,6: 54 = 2: x,
x = 
,
x = 19 .
Odgovor: 19 l.
Zadatak broj 6
Za grijanje školske zgrade ugalj se vadio 180 dana po stopi potrošnje
0,6 tona uglja dnevno. Koliko će dana trajati ova rezerva ako se dnevno troši 0,5 tona?
Rješenje:
Broj dana
Stopa potrošnje
Broj dana je obrnuto proporcionalan stopi potrošnje uglja, dakle
180: x = 0,5: 0,6,
x \u003d 180 * 0,6: 0,5,
x = 216.
Odgovor: 216 dana.
Zadatak broj 7
V željezna ruda 7 delova gvožđa čine 3 dela nečistoća. Koliko tona nečistoća ima u rudi koja sadrži 73,5 tona željeza?
Rješenje:
Broj komada
Težina
Iron
73,5
nečistoće
Broj dijelova je direktno proporcionalan masi, dakle
7: 73,5 = 3: x.
x \u003d 73,5 * 3: 7,
x = 31,5.
Odgovor: 31,5 tona
Zadatak broj 8
Auto je prešao 500 km, potrošivši 35 litara benzina. Koliko litara benzina vam je potrebno da pređete 420 km?
Rješenje:
Udaljenost, km
Benzin, l
Udaljenost je direktno proporcionalna potrošnji benzina, dakle
500: 35 = 420: x,
x \u003d 35 * 420: 500,
x = 29,4.
Odgovor: 29,4 litara
Zadatak broj 9
U 2 sata uhvatili smo 12 karaša. Koliko će šarana biti uhvaćeno za 3 sata?
Rješenje:
Broj karaša ne zavisi od vremena. Ove količine nisu ni direktno proporcionalne ni obrnuto proporcionalne.
Odgovor: Nema odgovora.
Zadatak broj 10
Rudarsko preduzeće treba da kupi 5 novih mašina za određeni iznos novca po ceni od 12 hiljada rubalja po jednoj. Koliko takvih automobila preduzeće može kupiti ako cijena jednog automobila postane 15 hiljada rubalja?
Rješenje:
Broj automobila, kom.
Cijena, hiljada rubalja
Broj automobila je obrnuto proporcionalan cijeni, dakle
5:x=15:12,
x= 5*12:15,
x=4.
Odgovor: 4 automobila.
Zadatak broj 11
U gradu N, na trgu P postoji radnja, čiji je vlasnik toliko strog da odbija 70 rubalja od plate za 1 kašnjenje dnevno. U jednom odjelu rade dvije djevojčice Julia i Natasha. Njihova nadnica zavisi od broja radnih dana. Julia je za 20 dana dobila 4.100 rubalja, a Nataša je trebala dobiti više za 21 dan, ali je kasnila 3 dana zaredom. Koliko će rubalja dobiti Nataša?
Rješenje:
Radni dan
Plata, rub.
Julia
4100
Natasha
Dakle, plata je direktno proporcionalna broju radnih dana
20: 21 = 4100: x,
x= 4305.
4305 rub. Natasha je trebala.
4305 - 3 * 70 = 4095 (rub.)
Odgovor: Natasha će dobiti 4095 rubalja.
Zadatak broj 12
Udaljenost između dva grada na karti je 6 cm. Pronađite udaljenost između ovih gradova na tlu ako je razmjer karte 1:250000.
Rješenje:
Označimo udaljenost između gradova na tlu kroz x (u centimetrima) i pronađemo omjer dužine segmenta na karti i udaljenosti na tlu, koja će biti jednaka mjerilu karte: 6: x \ u003d 1: 250000,
x \u003d 6 * 250000,
x = 1500000.
1500000 cm = 15 km
Odgovor: 15 km.
Zadatak broj 13
4000 g rastvora sadrži 80 g soli. Kolika je koncentracija soli u ovoj otopini?
Rješenje:
Težina, g
Koncentracija, %
Rješenje
4000
Sol
4000: 80 = 100: x,
x = 
,
x = 2.
Odgovor: Koncentracija soli je 2%.
Zadatak broj 14
Banka daje kredit sa 10% godišnje. Dobili ste zajam od 50.000 rubalja. Koliko morate da vratite banci za godinu dana?
Rješenje:
50 000 rub.
100%
x rub.
50000: x = 100: 10,
x= 50000*10:100,
x=5000.
5000 rub. iznosi 10%.
50.000 + 5000=55.000 (rubalji)
Odgovor: za godinu dana banci će biti vraćeno 55.000 rubalja.
Zaključak.
Kao što možemo vidjeti iz gornjih primjera, direktni i inverzno proporcionalni odnosi su primjenjivi u različitim područjima života:
Ekonomija,
trgovina,
u proizvodnji i industriji,
kuhanje,
Građevinarstvo i arhitektura.
sport,
stočarstvo,
topografija,
fizičari,
hemija itd.
Na ruskom jeziku postoje i poslovice i izreke koje uspostavljaju direktne i inverzne veze:
Kako dođe, tako će i odgovoriti.
Što je panj viši, to je viša sjena.
Što više ljudi, to je manje kiseonika.
I spreman, da glupo.
Matematika je jedna od najstarijih nauka, nastala je na osnovu potreba i potreba čovečanstva. Prošavši kroz istoriju formiranja od tada Ancient Greece, i dalje ostaje relevantan i neophodan u Svakodnevni život bilo koje osobe. Koncept direktne i inverzne proporcionalnosti poznat je od davnina, jer su zakoni proporcije pokretali arhitekte tokom bilo koje izgradnje ili stvaranja bilo koje skulpture.
Poznavanje proporcija se široko koristi u svim sferama ljudskog života i aktivnosti - bez njih se ne može pri slikanju slika (pejzaži, mrtve prirode, portreti itd.), Rasprostranjena su i među arhitektima i inženjerima - općenito je teško zamisliti stvaranje bilo čega bez upotrebe znanja o proporcijama i njihovom odnosu.
Književnost.
Matematika-6, N.Ya. Vilenkin i drugi.
Algebra -7, G.V. Dorofejev i drugi.
Matematika-9, GIA-9, urednik F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov
Matematika-6, didaktički materijali, P.V. Chulkov, A.B. Uedinov
Zadaci iz matematike za 4-5 razred, I.V. Baranova i dr., M. "Prosvjeta" 1988.
Zbirka zadataka i primjera iz matematike 5-6 razred, N.A. Tereshin,
T.N. Terešina, M. "Akvarijum" 1997
Primjer
1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 itd.Faktor proporcionalnosti
Konstantni odnos proporcionalnih veličina se naziva koeficijent proporcionalnosti. Koeficijent proporcionalnosti pokazuje koliko jedinica jedne veličine pada na jedinicu druge.
Direktna proporcionalnost
Direktna proporcionalnost- funkcionalna zavisnost, u kojoj neka veličina zavisi od druge veličine na način da njihov odnos ostaje konstantan. Drugim riječima, ove varijable se mijenjaju proporcionalno, u jednakim udjelima, to jest, ako se argument dvaput promijenio u bilo kojem smjeru, tada se i funkcija mijenja dvaput u istom smjeru.
Matematički, direktna proporcionalnost se piše kao formula:
f(x) = ax,a = const
Inverzna proporcionalnost
Inverzna proporcija- ovo je funkcionalna zavisnost, u kojoj povećanje nezavisne vrijednosti (argumenta) uzrokuje proporcionalno smanjenje zavisne vrijednosti (funkcije).
Matematički, inverzna proporcionalnost se piše kao formula:
Svojstva funkcije:
Izvori
Wikimedia fondacija. 2010 .
Osnovni ciljevi:
- uvesti pojam direktne i inverzno proporcionalne zavisnosti veličina;
- naučiti kako rješavati probleme koristeći ove ovisnosti;
- promovirati razvoj vještina rješavanja problema;
- učvrstiti vještinu rješavanja jednačina korištenjem proporcija;
- ponovite korake sa običnim i decimale;
- razvijati logičko razmišljanje studenti.
TOKOM NASTAVE
I. Samoopredjeljenje za aktivnost(Organiziranje vremena)
- Momci! Danas ćemo se u lekciji upoznati sa problemima koji se rješavaju korištenjem proporcija.
II. Ažuriranje znanja i otklanjanje poteškoća u aktivnostima
2.1. usmeni rad (3 min)
- Pronađite značenje izraza i saznajte koja je riječ šifrirana u odgovorima.
14 - s; 0,1 - i; 7 - l; 0,2 - a; 17 - u; 25 - do
- Pročulo se - snaga. Dobro urađeno!
- Moto naše današnje lekcije: Moć je u znanju! Tražim - znači učim!
- Napravite proporciju dobijenih brojeva. (14:7=0,2:0,1 itd.)
2.2. Razmotrite odnos između poznatih veličina (7 min)
- putanja koju automobil pređe konstantnom brzinom, i vrijeme njegovog kretanja: S = v t ( s povećanjem brzine (vremena), put se povećava);
- brzina automobila i vrijeme provedeno na putu: v=S:t(sa povećanjem vremena za putovanje stazom, brzina se smanjuje);
–
trošak robe kupljene po jednoj cijeni i njena količina:
C \u003d a n (s povećanjem (smanjenjem) cijene, trošak kupovine se povećava (smanjuje);
- cijena proizvoda i njegova količina: a \u003d C: n (s povećanjem količine, cijena se smanjuje)
– površina pravougaonika i njegova dužina (širina): S = a · b (kako se dužina (širina) povećava, površina se povećava;
- dužina pravougaonika i širina: a = S: b (sa povećanjem dužine širina se smanjuje;
- broj radnika koji obavljaju neki posao sa istom produktivnošću rada, i vrijeme potrebno da se ovaj posao završi: t = A: n (sa povećanjem broja radnika, vrijeme utrošeno na rad se smanjuje), itd.
Dobili smo zavisnosti u kojima se, s povećanjem jedne vrijednosti za nekoliko puta, druga odmah povećava za isti iznos (prikazano strelicama za primjer) i zavisnosti u kojima se, s povećanjem jedne vrijednosti nekoliko puta, druga vrijednost smanjuje za isti broj puta.
Takvi odnosi se nazivaju direktnim i inverznim proporcijama.
Direktno proporcionalna zavisnost- zavisnost u kojoj se sa povećanjem (smanjenjem) jedne vrijednosti nekoliko puta, druga vrijednost povećava (smanjuje) za isti iznos.
Obrnuti proporcionalni odnos- zavisnost u kojoj se sa povećanjem (smanjenjem) jedne vrijednosti nekoliko puta, druga vrijednost smanjuje (povećava) za isti iznos.
III. Iskaz zadatka učenja
Koji je problem sa kojim se suočavamo? (Naučite razlikovati prave linije i obrnutih zavisnosti)
- Ovo - svrha naša lekcija. Sada formulirajte tema lekcija. (Direktna i inverzna proporcionalnost).
- Dobro urađeno! Zapišite temu lekcije u svoje sveske. (Nastavnik zapisuje temu na tabli.)
IV. "Otkriće" novih znanja(10 min)
Hajde da analiziramo probleme broj 199.
1. Štampač štampa 27 stranica za 4,5 minuta. Koliko će vremena biti potrebno za štampanje 300 stranica?
27 strana - 4,5 min.
300 str. - x?
2. U kutiji je 48 pakovanja čaja, po 250 g. Koliko pakovanja od 150g će izaći iz ovog čaja?
48 pakovanja - 250 g.
X? - 150 g.
3. Auto je prešao 310 km, potrošivši 25 litara benzina. Koliko daleko automobil može preći s punim rezervoarom od 40 litara?
310 km - 25 l
X? – 40 l
4. Jedan od zupčanika kvačila ima 32 zuba, a drugi 40. Koliko će okretaja napraviti drugi zupčanik dok će prvi napraviti 215 okretaja?
32 zuba - 315 o/min
40 zuba - x?
Da biste nacrtali proporciju, potreban je jedan smjer strelica; za to se, u obrnutoj proporciji, jedan omjer zamjenjuje obrnutim.
Na tabli učenici pronalaze vrijednost veličina, na terenu učenici rješavaju jedan zadatak po svom izboru.
– Formulirajte pravilo za rješavanje zadataka s direktnom i obrnutom proporcionalnošću.
Na tabli se pojavljuje tabela:
V. Primarna konsolidacija u vanjskom govoru(10 min)
Zadaci na listovima:
- Od 21 kg sjemena pamuka dobijeno je 5,1 kg ulja. Koliko će se ulja dobiti iz 7 kg sjemena pamuka?
- Za izgradnju stadiona, 5 buldožera je očistilo teren za 210 minuta. Koliko bi trebalo 7 buldožera da raščiste ovo područje?
VI. Samostalan rad sa samotestiranjem prema standardu(5 minuta)
Dva učenika samostalno rade zadatke br. 225 skrivene ploče a ostalo u sveskama. Zatim provjeravaju rad prema algoritmu i upoređuju ga sa rješenjem na ploči. Greške se ispravljaju, razjašnjavaju se njihovi uzroci. Ako je zadatak obavljen, desno, onda pored učenika stavite znak "+" za sebe.
Studenti koji griješe u samostalnom radu mogu koristiti konsultante.
VII. Uključivanje u sistem znanja i ponavljanje№ 271, № 270.
Za tablom radi šest ljudi. Nakon 3–4 minuta učenici koji su radili za tablom iznose svoja rješenja, a ostali provjeravaju zadatke i učestvuju u njihovoj diskusiji.
VIII. Odraz aktivnosti (rezultat lekcije)
- Šta ste novo naučili na lekciji?
- Šta si ponovio?
Koji je algoritam za rješavanje problema proporcija?
Jesmo li postigli svoj cilj?
- Kako ocjenjujete svoj rad?
§ 129. Preliminarna pojašnjenja.
Čovjek se neprestano bavi velikim brojem veličina. Zaposleni i radnik pokušavaju da dođu do servisa, da rade do određenog vremena, pešak žuri da stigne do određenog mesta najkraćim putem, lomač parno grijanje brine da temperatura u kotlu polako raste, poslovni menadžer planira smanjenje troškova proizvodnje itd.
Moglo bi se navesti bilo koji broj takvih primjera. Vrijeme, udaljenost, temperatura, cijena - sve su to razne količine. U prvom i drugom dijelu ove knjige upoznali smo se sa nekim posebno uobičajenim veličinama: površina, zapremina, težina. U proučavanju fizike i drugih nauka susrećemo se sa mnogim veličinama.
Zamislite da ste u vozu. S vremena na vrijeme pogledate na sat i primijetite koliko ste dugo već na putu. Vi kažete, na primjer, da je od polaska vašeg voza prošlo 2, 3, 5, 10, 15 sati itd. Ovi brojevi označavaju različite vremenske periode; nazivaju se vrijednostima ove količine (vrijeme). Ili gledate kroz prozor i pratite stubove puta za udaljenost koju vaš voz putuje. Pred vama trepere brojevi 110, 111, 112, 113, 114 km. Ovi brojevi označavaju različite udaljenosti koje je voz prešao od tačke polaska. Nazivaju se i vrijednostima, ovaj put s drugom vrijednošću (puta ili udaljenost između dvije točke). Dakle, jedna vrijednost, na primjer, vrijeme, udaljenost, temperatura, može poprimiti bilo koju različita značenja.
Obratite pažnju na to da osoba gotovo nikada ne razmatra samo jednu vrijednost, već je uvijek povezuje sa nekim drugim vrijednostima. On mora istovremeno da radi sa dve, tri i više količina. Zamislite da treba da stignete u školu do 9 sati. Pogledate na sat i vidite da imate 20 minuta. Onda brzo odlučite da li da idete tramvajem ili ćete imati vremena da prošetate do škole. Nakon razmišljanja, odlučujete da prošetate. Imajte na umu da ste u vrijeme kada ste razmišljali rješavali neki problem. Ovaj zadatak je postao jednostavan i poznat, jer takve probleme rješavate svaki dan. U njemu ste brzo uporedili nekoliko vrijednosti. Gledali ste na sat, što znači da ste vodili računa o vremenu, zatim ste mentalno zamišljali udaljenost od kuće do škole; na kraju ste uporedili dvije veličine: brzinu vašeg koraka i brzinu tramvaja i zaključili da ćete za određeno vrijeme (20 minuta) imati vremena za hodanje. Od ovoga jednostavan primjer vidite da su u našoj praksi neke veličine međusobno povezane, odnosno zavise jedna od druge
U dvanaestom poglavlju rečeno je o odnosu homogenih veličina. Na primjer, ako je jedan segment 12 m, a drugi 4 m, tada će omjer ovih segmenata biti 12: 4.
Rekli smo da je to omjer dvije homogene veličine. Drugim riječima, to je omjer dva broja jedno ime.
Sada kada smo se bolje upoznali s količinama i uveli koncept vrijednosti količine, možemo redefinirati definiciju relacije. Zaista, kada smo razmatrali dva segmenta 12 m i 4 m, govorili smo o jednoj vrijednosti - dužini, a 12 m i 4 m - to su bila samo dva različita značenja ovu vrijednost.
Stoga ćemo u budućnosti, kada počnemo govoriti o omjeru, razmatrati dvije vrijednosti jedne od nekih veličina, a omjer jedne vrijednosti veličine prema drugoj vrijednosti iste količine zvati će se količnik dijeljenja prvu vrijednost po drugu.
§ 130. Količine su direktno proporcionalne.
Razmotrimo problem čiji uvjet uključuje dvije veličine: udaljenost i vrijeme.
Zadatak 1. Tijelo koje se kreće pravolinijski i jednoliko prijeđe 12 cm u svakoj sekundi Odrediti put koji tijelo pređe za 2, 3, 4, ..., 10 sekundi.
Napravimo tabelu pomoću koje bi bilo moguće pratiti promjenu vremena i udaljenosti.
Tabela nam daje priliku da uporedimo ove dvije serije vrijednosti. Iz toga vidimo da kada se vrijednosti prve količine (vrijeme) postepeno povećavaju za 2, 3, ..., 10 puta, onda se vrijednosti druge veličine (udaljenosti) također povećavaju za 2, 3, ..., 10 puta. Dakle, kada se vrijednosti jedne veličine povećaju nekoliko puta, vrijednosti druge veličine rastu za isti iznos, a kada se vrijednosti jedne veličine smanje nekoliko puta, vrijednosti druge veličine se smanjuju za isti iznos.
Razmotrimo sada problem koji uključuje dvije takve veličine: količinu materije i njenu cijenu.
Zadatak 2. 15 m tkanine košta 120 rubalja. Izračunajte cijenu ove tkanine za nekoliko drugih količina metara navedenih u tabeli.
Iz ove tabele možemo vidjeti kako se vrijednost robe postepeno povećava u zavisnosti od povećanja njene količine. Uprkos činjenici da se u ovom problemu pojavljuju potpuno različite količine (u prvom problemu - vrijeme i udaljenost, a ovdje - količina robe i njena cijena), ipak se može pronaći velika sličnost u ponašanju ovih količina.
Zaista, u gornjem redu tabele nalaze se brojevi koji označavaju broj metara tkanine, ispod svakog od njih je napisan broj koji izražava trošak odgovarajuće količine robe. Čak i letimičan pogled na ovu tabelu pokazuje da se brojevi u gornjim i donjim redovima povećavaju; pažljivijim pregledom tabele i upoređivanjem pojedinih kolona, ispostavlja se da se u svim slučajevima vrednosti druge veličine povećavaju za isti faktor kao i vrednosti prve veličine, odnosno ako se vrednost prve veličine povećala se, recimo, 10 puta, onda je vrijednost druge vrijednosti također porasla 10 puta.
Ako skeniramo tabelu s desna na lijevo, to ćemo pronaći naznačene vrednosti vrijednosti će se smanjiti u isti broj jednom. U tom smislu postoji bezuslovna sličnost između prvog i drugog zadatka.
Parovi veličina koje smo sreli u prvom i drugom zadatku nazivaju se direktno proporcionalno.
Dakle, ako su dvije veličine međusobno povezane na način da s povećanjem (smanjenjem) vrijednosti jedne od njih nekoliko puta, vrijednost druge raste (smanjuje) za isti iznos, tada se takve veličine nazivaju direktno proporcionalne.
Oni također kažu o takvim količinama da su međusobno povezane direktno proporcionalnom ovisnošću.
U prirodi i životu oko nas ima mnogo takvih količina. Evo nekoliko primjera:
1. Vrijeme rad (dan, dva dana, tri dana, itd.) i zarade tokom ovog vremena primao dnevnice.
2. Volume bilo koji predmet napravljen od homogenog materijala, i težina ovu stavku.
§ 131. Svojstvo direktno proporcionalnih veličina.
Uzmimo problem koji uključuje sljedeće dvije veličine: radno vrijeme i zarade. Ako je dnevna zarada 20 rubalja, onda će zarada za 2 dana biti 40 rubalja, itd. Najpogodnije je napraviti tabelu u kojoj određeni broj dana će odgovarati određenoj zaradi.
Gledajući ovu tabelu, vidimo da su obje veličine imale 10 različitih vrijednosti. Svaka vrijednost prve vrijednosti odgovara određenoj vrijednosti druge vrijednosti, na primjer, 40 rubalja odgovara 2 dana; 5 dana odgovara 100 rubalja. U tabeli su ovi brojevi upisani jedan ispod drugog.
Već znamo da ako su dvije veličine direktno proporcionalne, onda se svaka od njih, u procesu promjene, povećava za isti iznos kao što se povećava i druga. Iz ovoga odmah slijedi: ako uzmemo omjer bilo koje dvije vrijednosti prve veličine, onda će on biti jednak omjeru dvije odgovarajuće vrijednosti druge veličine. Zaista:
Zašto se ovo dešava? Ali pošto su ove vrijednosti direktno proporcionalne, odnosno kada se jedna od njih (vrijeme) poveća za 3 puta, onda se druga (zarada) poveća za 3 puta.
Stoga smo došli do sljedećeg zaključka: ako uzmemo bilo koje dvije vrijednosti prve veličine i podijelimo ih jednu s drugom, a zatim jednu s drugom podijelimo odgovarajuće vrijednosti druge veličine, tada u oba slučaja dobiće se jedan te isti broj, tj. ista relacija. To znači da se dva odnosa koja smo gore napisali mogu povezati znakom jednakosti, tj.
Nema sumnje da bismo, kada bismo uzeli ne ove odnose, već druge, i to ne tim redoslijedom, već u suprotnom smjeru, dobili i jednakost odnosa. Zaista, razmotrit ćemo vrijednosti naših količina s lijeva na desno i uzeti treću i devetu vrijednost:
60:180 = 1 / 3 .
Tako da možemo napisati:
To implicira sljedeći zaključak: ako su dvije veličine direktno proporcionalne, tada je omjer dvije proizvoljno uzete vrijednosti prve veličine jednak omjeru dvije odgovarajuće vrijednosti druge veličine.
§ 132. Formula direktne proporcionalnosti.
Napravimo tabelu troškova raznih količina slatkiša, ako 1 kg njih košta 10,4 rubalja.
Uradimo to na ovaj način. Uzmimo bilo koji broj drugog reda i podijelimo ga odgovarajućim brojem prvog reda. Na primjer:
Vidite da se u količniku stalno dobija isti broj. Stoga, za dati par direktno proporcionalnih veličina, količnik dijeljenja bilo koje vrijednosti jedne veličine sa odgovarajućom vrijednošću druge veličine je konstantan broj (tj. ne mijenja se). U našem primjeru, ovaj količnik je 10,4. Ovaj konstantni broj naziva se faktor proporcionalnosti. V ovaj slučaj izražava cijenu jedinice mjere, odnosno jednog kilograma robe.
Kako pronaći ili izračunati faktor proporcionalnosti? Da biste to učinili, morate uzeti bilo koju vrijednost jedne količine i podijeliti je s odgovarajućom vrijednošću druge.
Označimo ovu proizvoljnu vrijednost jedne veličine slovom at , i odgovarajuću vrijednost druge količine - slovo X , zatim koeficijent proporcionalnosti (označavamo ga TO) pronađite dijeljenjem:
U ovoj jednakosti at - djeljiv X - razdjelnik i TO- količnik, a pošto je po svojstvu dijeljenja dividenda jednaka djelitelju pomnoženom s količnikom, možemo napisati:
y= K x
Rezultirajuća jednakost se zove formula direktne proporcionalnosti. Koristeći ovu formulu, možemo izračunati bilo koji broj vrijednosti jedne od direktno proporcionalnih veličina, ako znamo odgovarajuće vrijednosti druge veličine i koeficijent proporcionalnosti.
Primjer. Iz fizike znamo da je težina R bilo kojeg tijela jednaka je njegovoj specifičnoj težini d pomnoženo sa zapreminom ovog tela V, tj. R = d V.
Uzmite pet željeznih ingota različitih veličina; znajući specifična gravitacija gvožđa (7,8), možemo izračunati težine ovih praznina koristeći formulu:
R = 7,8 V.
Poređenje ove formule sa formulom at = TO X , vidimo to y= R, x = V, i koeficijent proporcionalnosti TO= 7.8. Formula je ista, samo se slova razlikuju.
Koristeći ovu formulu, napravimo tabelu: neka zapremina 1. praznine bude 8 kubnih metara. cm, tada je njegova težina 7,8 8 \u003d 62,4 (g). Zapremina 2. blanka je 27 kubnih metara. cm Njegova težina je 7,8 27 \u003d 210,6 (g). Tabela će izgledati ovako:
Izračunajte sami brojeve koji nedostaju u ovoj tabeli koristeći formulu R= d V.
§ 133. Drugi načini rešavanja zadataka sa direktno proporcionalnim veličinama.
U prethodnom pasusu smo riješili zadatak čiji su uvjeti uključivali direktno proporcionalne veličine. U tu svrhu smo prethodno izveli formulu direktne proporcionalnosti, a zatim primijenili ovu formulu. Sada ćemo pokazati još dva načina rješavanja sličnih problema.
Napravimo zadatak prema brojčanim podacima datim u tabeli prethodnog paragrafa.
Zadatak. Prazan sa zapreminom od 8 kubnih metara. cm teži 62,4 g. Koliko će težiti prazan prostor zapremine 64 kubna metra? cm?
Rješenje. Težina gvožđa, kao što znate, proporcionalna je njegovoj zapremini. Ako 8 cu. cm težine 62,4 g, zatim 1 cu. cm će težiti 8 puta manje, tj.
62,4: 8 = 7,8 (g).
Prazan sa zapreminom od 64 kubna metra. cm će težiti 64 puta više od praznog komada od 1 cu. cm, tj.
7,8 64 = 499,2 (g).
Naš problem smo riješili svođenjem na jedinstvo. Značenje ovog naziva opravdano je činjenicom da smo, da bismo ga riješili, morali pronaći težinu jedinične zapremine u prvom pitanju.
2. Metoda proporcije. Rešimo isti problem metodom proporcija.
Pošto su težina gvožđa i njegova zapremina direktno proporcionalne veličine, odnos dve vrednosti jedne količine (volumena) jednak je odnosu dve odgovarajuće vrednosti druge količine (težine), tj.
(pismo R označili smo nepoznatu težinu praznine). Odavde:
(G).
Problem se rješava metodom proporcija. To znači da je za njegovo rješavanje proporcija sastavljena od brojeva uključenih u uvjet.
§ 134. Količine su obrnuto proporcionalne.
Razmotrite sljedeći problem: „Pet zidara može dodati zidovi od cigle kod kuće sa 168 dana. Odredite za koliko dana bi 10, 8, 6 itd. zidari mogli obaviti isti posao.
Ako bi 5 zidara srušilo zidove kuće za 168 dana, tada bi (uz istu produktivnost rada) 10 zidara to moglo uraditi duplo brže, jer u prosjeku 10 ljudi radi duplo više posla od 5 ljudi.
Napravimo tabelu po kojoj bi bilo moguće pratiti promjenu broja radnih sati i radnih sati.
Na primjer, da biste saznali koliko je dana potrebno 6 radnika, prvo morate izračunati koliko je dana potrebno jednom radniku (168 5 = 840), a zatim šest radnika (840: 6 = 140). Gledajući ovu tabelu, vidimo da su obje veličine imale šest različitih vrijednosti. Svaka vrijednost prve veličine odgovara određenije; vrijednost druge vrijednosti, na primjer, 10 odgovara 84, broj 8 - broj 105, itd.
Ako razmotrimo vrijednosti obje vrijednosti s lijeva na desno, vidjet ćemo da se vrijednosti gornje vrijednosti povećavaju, a vrijednosti donje smanjuju. Povećanje i smanjenje podliježe sljedećem zakonu: vrijednosti broja radnika rastu onoliko puta koliko se smanjuju vrijednosti utrošenog radnog vremena. Još jednostavnije, ova ideja se može izraziti na sljedeći način: što je više radnika zaposleno u bilo kojem poslu, manje im je vremena potrebno da završe određeni posao. Dvije veličine na koje smo naišli u ovom problemu nazivaju se obrnuto proporcionalno.
Dakle, ako su dvije veličine međusobno povezane tako da se s povećanjem (smanjenjem) vrijednosti jedne od njih nekoliko puta, vrijednost druge smanjuje (povećava) za isti iznos, tada se takve veličine nazivaju obrnuto proporcionalne.
Mnogo je takvih stvari u životu. Navedimo primjere.
1. Ako za 150 rubalja. potrebno je kupiti nekoliko kilograma slatkiša, tada će broj slatkiša ovisiti o cijeni jednog kilograma. Što je cijena veća, tim novcem se može kupiti manje robe; ovo se vidi iz tabele:
Sa povećanjem cijene slatkiša nekoliko puta, broj kilograma slatkiša koji se mogu kupiti za 150 rubalja smanjuje se za isti iznos. U ovom slučaju, dvije količine (težina proizvoda i njegova cijena) su obrnuto proporcionalne.
2. Ako je udaljenost između dva grada 1.200 km, onda se može preći različita vremena zavisno od brzine kretanja. Postoji Različiti putevi prevoz: pješice, na konju, biciklom, čamcem, automobilom, vozom, avionom. Što je brzina manja, to je više vremena potrebno za kretanje. Ovo se može videti iz tabele:
Sa povećanjem brzine nekoliko puta, vrijeme kretanja se smanjuje za isti iznos. Dakle, pod datim uslovima, brzina i vrijeme su obrnuto proporcionalni.
§ 135. Svojstvo obrnuto proporcionalnih veličina.
Uzmimo drugi primjer, koji smo razmotrili u prethodnom pasusu. Tu smo imali posla sa dvije veličine – brzinom kretanja i vremenom. Ako uzmemo u obzir vrijednosti ovih veličina s lijeva na desno u tabeli, vidjet ćemo da se vrijednosti prve veličine (brzine) povećavaju, a vrijednosti druge (vrijeme) smanjuju, a brzina raste za isti faktor kako se vrijeme smanjuje. Lako je shvatiti da ako napišete omjer nekih vrijednosti jedne veličine, onda on neće biti jednak omjeru odgovarajućih vrijednosti druge veličine. Zaista, ako uzmemo omjer četvrte vrijednosti gornje i sedme vrijednosti (40:80), onda neće biti jednak omjeru četvrte i sedme vrijednosti donje vrijednosti (30:15 ). Može se napisati ovako:
40:80 nije jednako 30:15, ili 40:80 =/= 30:15.
Ali ako umjesto jednog od ovih omjera uzmemo suprotno, onda ćemo dobiti jednakost, tj. iz ovih omjera će biti moguće napraviti proporciju. Na primjer:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
Na osnovu prethodno navedenog možemo izvući sljedeći zaključak: ako su dvije veličine obrnuto proporcionalne, tada je omjer dvije proizvoljno uzete vrijednosti jedne veličine jednak inverznom omjeru odgovarajućih vrijednosti druge veličine.
§ 136. Formula obrnute proporcionalnosti.
Razmotrite problem: „Postoji 6 komada svilene tkanine različite veličine i različite sorte. Svi komadi su iste cijene. U komadu 100 m tkanine po cijeni od 20 rubalja. po metru. Koliko metara ima svaki od ostalih pet komada, ako metar tkanine u ovim komadima košta 25, 40, 50, 80, 100 rubalja, respektivno? Kreirajmo tabelu za rješavanje ovog problema:
Moramo popuniti prazne ćelije u gornjem redu ove tabele. Pokušajmo prvo da odredimo koliko metara ima drugi komad. To se može uraditi na sljedeći način. Iz uslova zadatka je poznato da je cijena svih komada ista. Trošak prvog komada je lako odrediti: ima 100 m i svaki metar košta 20 rubalja, što znači da je u prvom komadu svile 2.000 rubalja. Budući da drugi komad svile sadrži isti broj rubalja, onda, podijeljeno na 2.000 rubalja. po cijeni jednog metra, odnosno 25, nalazimo vrijednost drugog komada: 2.000 : 25 = 80 (m). Na isti način ćemo pronaći veličinu svih ostalih komada. Tabela će izgledati ovako:
Lako je uočiti da postoji inverzna veza između broja metara i cijene.
Ako sami izvršite potrebne proračune, primijetit ćete da svaki put morate podijeliti broj 2000 sa cijenom 1 m. Obrnuto, ako sada počnete množiti veličinu komada u metrima s cijenom od 1 m, uvijek će dobiti broj 2000. i to je bilo za očekivati, pošto svaki komad košta 2000 rubalja.
Iz ovoga možemo izvući sljedeći zaključak: za dati par obrnuto proporcionalnih veličina, proizvod bilo koje vrijednosti jedne veličine na odgovarajuću vrijednost druge veličine je konstantan broj (tj. ne mijenja se).
U našem zadatku ovaj proizvod je jednak 2000. Provjerite da je u prethodnom zadatku, koji je govorio o brzini kretanja i vremenu potrebnom za prelazak iz jednog grada u drugi, postojao konstantan broj za taj zadatak (1200).
Uzimajući u obzir sve što je rečeno, lako je izvesti formulu obrnute proporcionalnosti. Označite slovom neku vrijednost jedne veličine X , i odgovarajuću vrijednost druge vrijednosti - slovo at . Zatim, na osnovu gore navedenog rada X na at mora biti jednaka nekoj konstantnoj vrijednosti, koju označavamo slovom TO, tj.
x y = TO.
U ovoj jednakosti X - množitelj, at - množitelj i K- posao. Po svojstvu množenja, množitelj je jednak proizvodu podijeljenom množenjem. znači,
Ovo je formula obrnute proporcionalnosti. Koristeći ga, možemo izračunati bilo koji broj vrijednosti jedne od obrnuto proporcionalnih veličina, znajući vrijednosti druge i konstantan broj TO.
Razmotrite još jedan problem: „Autor jednog eseja izračunao je da bi njegova knjiga u uobičajenom formatu imala 96 stranica, ali da je džepni format, onda bi imala 300 stranica. Pokušao je različite varijante, počeo sa 96 stranica, a onda je dobio 2.500 slova po stranici. Zatim je uzeo broj stranica naveden u donjoj tabeli i ponovo izračunao koliko bi slova bilo na stranici.
Pokušajmo izračunati koliko će slova biti na stranici ako knjiga ima 100 stranica.
U cijeloj knjizi ima 240.000 slova, pošto je 2.500 96 = 240.000.
Uzimajući ovo u obzir, koristimo formulu obrnute proporcionalnosti ( at - broj slova po stranici X - broj stranica):
U našem primjeru TO= 240.000, dakle,
Dakle, na stranici ima 2.400 slova.
Slično tome, saznajemo da ako knjiga ima 120 stranica, tada će broj slova na stranici biti:
Naša tabela će izgledati ovako:
Ostale ćelije popunite sami.
§ 137. Drugi načini rješavanja zadataka sa obrnuto proporcionalnim veličinama.
U prethodnom pasusu smo rješavali probleme koji su uključivali obrnuto proporcionalne veličine. Prethodno smo izveli formulu inverzne proporcionalnosti, a zatim primijenili ovu formulu. Sada ćemo pokazati još dva načina rješavanja takvih problema.
1. Metoda svođenja na jedinstvo.
Zadatak. 5 strugara može obaviti neke poslove za 16 dana. Za koliko dana 8 strugara može završiti ovaj posao?
Rješenje. Postoji inverzna veza između broja okretača i radnog vremena. Ako 5 strugara obavi posao za 16 dana, onda će jednoj osobi za to trebati 5 puta više vremena, tj.
5 strugara obavi posao za 16 dana,
1 strugar će ga završiti za 16 5 = 80 dana.
Problem se pita za koliko dana će 8 strugara završiti posao. Očigledno, oni će posao obaviti 8 puta brže od 1 tokara, tj
80: 8 = 10 (dana).
Ovo je rješenje problema metodom svođenja na jedinstvo. Ovdje je, prije svega, bilo potrebno odrediti vrijeme za obavljanje posla od strane jednog radnika.
2. Metoda proporcije. Rešimo isti problem na drugi način.
Pošto postoji inverzna veza između broja radnika i radnog vremena, možemo napisati: trajanje rada 5 strugara novi broj strugara (8) trajanje rada 8 strugara bivši broj strugara (5 ) Označimo slovom željeno trajanje rada X i zamijeni u omjeru izraženom riječima, potrebni brojevi:
Isti problem rješava se metodom proporcija. Da bismo ga riješili, morali smo napraviti proporciju brojeva uključenih u uslov zadatka.
Bilješka. U prethodnim paragrafima razmatrali smo pitanje direktne i inverzne proporcionalnosti. Priroda i život nam daju mnogo primjera direktnih i inverznih proporcija količina. Međutim, treba napomenuti da su ove dvije vrste ovisnosti samo najjednostavnije. Uz njih, postoje i drugi, složeniji odnosi između veličina. Osim toga, ne treba misliti da ako se bilo koje dvije veličine istovremeno povećavaju, onda između njih nužno postoji direktna proporcionalnost. Ovo je daleko od istine. Na primjer, cijena karte za željeznica raste s rastojanjem: što dalje idemo, više plaćamo, ali to ne znači da je plaćanje proporcionalno udaljenosti.