Deljenje je jedna od četiri osnovne matematičke operacije (sabiranje, oduzimanje, množenje). Deljenje je, kao i druge operacije, važno ne samo u matematici, već i u Svakodnevni život. Na primjer, vi kao cijeli razred (25 ljudi) donirate novac i kupite poklon za nastavnika, ali ne potrošite sve, ostat će kusur. Stoga ćete morati podijeliti promjenu na sve. Operacija podjele dolazi u igru kako bi vam pomogla u rješavanju ovog problema.
Divizija je zanimljiva operacija, kao što ćemo vidjeti u ovom članku!
Dijeljenje brojeva
Dakle, malo teorije, a onda praksa! Šta je podjela? Podjela je razbijanje nečega na jednake dijelove. Odnosno, to može biti vrećica slatkiša koju treba podijeliti na jednake dijelove. Na primjer, u vrećici je 9 bombona, a osoba koja želi da ih primi je tri. Zatim morate podijeliti ovih 9 bombona na tri osobe.
Piše se ovako: 9:3, odgovor će biti broj 3. To jest, dijeljenje broja 9 sa brojem 3 pokazuje broj tri broja sadržana u broju 9. Obrnuta radnja, provjera, bit će množenje. 3*3=9. zar ne? Apsolutno.
Pogledajmo primjer 12:6. Prvo, dajmo naziv svakoj komponenti primjera. 12 – dividenda, tj. broj koji se može podijeliti na dijelove. 6 je djelitelj, ovo je broj dijelova na koje se dijeli dividenda. I rezultat će biti broj koji se zove "količnik".
Podijelimo 12 sa 6, odgovor će biti broj 2. Rješenje možete provjeriti množenjem: 2*6=12. Ispostavilo se da je broj 6 sadržan 2 puta u broju 12.
Podjela s ostatkom
Šta je dijeljenje s ostatkom? Ovo je ista podjela, samo što rezultat nije paran broj, kao što je prikazano gore.
Na primjer, podijelimo 17 sa 5. Pošto je najveći broj djeljiv sa 5 do 17 15, onda će odgovor biti 3, a ostatak 2, a piše se ovako: 17:5 = 3(2).
Na primjer, 22:7. Na isti način određujemo maksimalni broj djeljiv sa 7 na 22. Ovaj broj je 21. Odgovor će tada biti: 3, a ostatak 1. I piše: 22:7 = 3 (1).
Podjela na 3 i 9
Poseban slučaj dijeljenja bi bio dijeljenje brojem 3 i brojem 9. Ako želite saznati da li je broj djeljiv sa 3 ili 9 bez ostatka, trebat će vam:
Pronađite zbir cifara dividende.
Podijelite sa 3 ili 9 (u zavisnosti od toga šta vam treba).
Ako se odgovor dobije bez ostatka, tada će se broj podijeliti bez ostatka.
Na primjer, broj 18. Zbir cifara je 1+8 = 9. Zbir cifara je djeljiv sa 3 i 9. Broj 18:9=2, 18:3=6. Podijeljeno bez ostatka.
Na primjer, broj 63. Zbir cifara je 6+3 = 9. Deljiv i sa 9 i sa 3. 63:9 = 7 i 63:3 = 21. Takve operacije se izvode sa bilo kojim brojem da bi se saznalo da li je djeljiv sa ostatkom sa 3 ili 9, ili ne.
Množenje i dijeljenje
Množenje i dijeljenje su suprotne operacije. Množenje se može koristiti kao test za dijeljenje, a dijeljenje se može koristiti kao test za množenje. Možete saznati više o množenju i savladati operaciju u našem članku o množenju. Koji detaljno opisuje množenje i kako to ispravno uraditi. Tamo ćete naći i tablicu množenja i primjere za obuku.
Evo primjera provjere dijeljenja i množenja. Recimo da je primjer 6*4. Odgovor: 24. Zatim provjerimo odgovor deljenjem: 24:4=6, 24:6=4. Ispravno je odlučeno. U ovom slučaju, provjera se vrši dijeljenjem odgovora jednim od faktora.
Ili je naveden primjer za podjelu 56:8. Odgovor: 7. Tada će test biti 8*7=56. zar ne? Da. IN u ovom slučaju provjera se vrši množenjem odgovora djeliteljem.
Divizija 3 klasa
U trećem razredu tek počinju da prolaze kroz podjelu. Stoga učenici trećeg razreda rješavaju najjednostavnije probleme:
Problem 1. Radnik fabrike dobio je zadatak da ubaci 56 kolača u 8 pakovanja. Koliko torti treba staviti u svako pakovanje da bi se u svakom napravila ista količina?
Problem 2. U novogodišnjoj noći u školi, deci u odeljenju od 15 učenika podeljeno je 75 bombona. Koliko bombona treba da dobije svako dete?
Problem 3. Roma, Saša i Miša ubrali su 27 jabuka sa stabla jabuke. Koliko će jabuka dobiti svaka osoba ako ih treba podijeliti na jednake dijelove?
Problem 4. Četiri prijatelja su kupila 58 kolačića. Ali onda su shvatili da ih ne mogu ravnopravno podijeliti. Koliko dodatnih kolačića djeca trebaju kupiti da bi svako dobila 15?
Divizija 4. razred
Podjela u četvrtom razredu je ozbiljnija nego u trećem. Svi proračuni se vrše metodom dijeljenja stupcima, a brojevi uključeni u podjelu nisu mali. Šta je duga podjela? Odgovor možete pronaći u nastavku:
Podjela kolone
Šta je duga podjela? Ovo je metoda koja vam omogućava da pronađete odgovor na dijeljenje velikih brojeva. Ako primarni brojevi kao 16 i 4, mogu se podijeliti, a odgovor je jasan - 4. To 512:8 u umu nije lako za dijete. I recite nam o tehnici rješenja slični primjeri- naš zadatak.
Pogledajmo primjer, 512:8.
1 korak. Zapišimo dividendu i djelitelj na sljedeći način:
Količnik će na kraju biti zapisan pod djeliteljem, a izračuni pod dividendom.
Korak 2. Počinjemo dijeliti s lijeva na desno. Prvo uzimamo broj 5: 
Korak 3. Broj 5 je manji od broja 8, što znači da neće biti moguće podijeliti. Stoga uzimamo drugu cifru dividende:
Sada je 51 veće od 8. Ovo je nepotpun kvocijent.
Korak 4. Stavili smo tačku ispod djelitelja.
Korak 5. Nakon 51 je još jedan broj 2, što znači da će u odgovoru biti još jedan broj, tj. količnik je dvocifreni broj. Stavimo drugu tačku:
Korak 6. Počinjemo operaciju divizije. Najveći broj, djeljivo sa 8 bez ostatka na 51 – 48. Dijelimo 48 sa 8, dobijemo 6. Napišite broj 6 umjesto prve tačke ispod djelitelja:
Korak 7. Zatim upišite broj tačno ispod broja 51 i stavite znak "-":
Korak 8. Zatim oduzimamo 48 od 51 i dobijemo odgovor 3.
* 9 koraka*. Skinemo broj 2 i upišemo ga pored broja 3:
Korak 10 Dobiveni broj 32 podijelimo sa 8 i dobijemo drugu cifru odgovora – 4.
Dakle, odgovor je 64, bez ostatka. Ako bismo podijelili broj 513, onda bi ostatak bio jedan.
Podjela tri cifre
Dijeljenje trocifrenih brojeva vrši se metodom dugog dijeljenja, što je objašnjeno u gornjem primjeru. Primjer samo trocifrenog broja.
Podjela razlomaka
Dijeljenje razlomaka nije tako teško kao što se čini na prvi pogled. Na primjer, (2/3):(1/4). Metoda ove podjele je prilično jednostavna. 2/3 je dividenda, 1/4 je djelitelj. Znak dijeljenja (:) možete zamijeniti množenjem ( ), ali da biste to učinili morate zamijeniti brojnik i imenilac djelitelja. To jest, dobijamo: (2/3)(4/1), (2/3)*4, ovo je jednako 8/3 ili 2 cela broja i 2/3. Dajemo još jedan primer, sa ilustracijom za bolje razumevanje. Uzmimo u obzir razlomke (4/7): (2/5):
Kao u prethodnom primjeru, obrnemo djelitelj 2/5 i dobijemo 5/2, zamjenjujući dijeljenje množenjem. Tada dobijamo (4/7)*(5/2). Napravimo smanjenje i odgovorimo: 10/7, a zatim izvadimo cijeli dio: 1 cijeli i 3/7.
Podjela brojeva na klase
Zamislimo broj 148951784296 i podijelimo ga na tri cifre: 148 951 784 296. Dakle, s desna na lijevo: 296 je klasa jedinica, 784 je klasa hiljada, 951 je klasa miliona, 148 je klasa milijardi. Zauzvrat, u svakoj klasi 3 cifre imaju svoju cifru. S desna na lijevo: prva znamenka su jedinice, druga znamenka su desetice, treća su stotine. Na primjer, klasa jedinica je 296, 6 je jedinica, 9 je desetica, 2 je stotine.
Podjela prirodnih brojeva
Division prirodni brojevi– ovo je najjednostavnija podjela opisana u ovom članku. Može biti sa ili bez ostatka. Delitelj i dividenda mogu biti bilo koji nerazlomak, cijeli brojevi. 
Prijavite se na kurs „Ubrzajte mentalnu aritmetiku, NE mentalna aritmetika"da naučite kako brzo i pravilno sabirati, oduzimati, množiti, dijeliti, kvadrirati brojeve, pa čak i uzimati korijene. Za 30 dana naučit ćete koristiti jednostavne tehnike za pojednostavljenje aritmetičkih operacija. Svaka lekcija sadrži nove tehnike, jasne primjere i korisne zadatke.
Prezentacija divizije
Prezentacija je još jedan način za vizualizaciju teme podjele. U nastavku ćemo pronaći link do odlične prezentacije koja dobro objašnjava kako se dijeli, šta je dijeljenje, što su dividenda, djelitelj i količnik. Ne gubite vrijeme, već konsolidirajte svoje znanje!
Primjeri za podjelu
Lagani nivo
Prosječan nivo
Težak nivo
Igre za razvoj mentalne aritmetike
Posebne obrazovne igre razvijene uz učešće ruskih naučnika iz Skolkova pomoći će poboljšanju vještina usmeno brojanje na zanimljiv razigran način.
Igra "Pogodi operaciju"
Igra “Pogodi operaciju” razvija mišljenje i pamćenje. Glavna stvar igre treba izabrati matematički znak tako da je jednakost tačna. Na ekranu su primjeri, pogledajte pažljivo i stavite pravi znak"+" ili "-" tako da je jednakost tačna. Znakovi “+” i “-” nalaze se na dnu slike, odaberite željeni znak i kliknite na željeno dugme. Ako ste tačno odgovorili, osvajate bodove i nastavljate igru.
Igra "Pojednostavljenje"
Igra “Pojednostavljenje” razvija mišljenje i pamćenje. Glavna suština igre je brzo izvođenje matematičke operacije. Učenik je nacrtan na ekranu na tabli i data je matematička operacija; učenik treba da izračuna ovaj primjer i napiše odgovor. Ispod su tri odgovora, izbrojite i kliknite na broj koji vam je potreban pomoću miša. Ako ste tačno odgovorili, osvajate bodove i nastavljate igru.
Igra "Brzo dodavanje"
Igra "Brzo dodavanje" razvija mišljenje i pamćenje. Glavna suština igre je odabrati brojeve čiji je zbir jednak datom broju. U ovoj igri se daje matrica od jedan do šesnaest. Iznad matrice je zapisan dati broj; potrebno je odabrati brojeve u matrici tako da zbir ovih cifara bude jednak datom broju. Ako ste tačno odgovorili, osvajate bodove i nastavljate igru.
Igra vizualne geometrije
Igra "Vizuelna geometrija" razvija mišljenje i pamćenje. Glavna suština igre je brzo izbrojati broj zasjenjenih objekata i odabrati ga sa liste odgovora. U ovoj igri, plavi kvadrati se prikazuju na ekranu nekoliko sekundi, morate ih brzo prebrojati, a zatim se zatvaraju. Ispod tabele su upisana četiri broja, potrebno je odabrati jedan tačan broj i kliknuti na njega mišem. Ako ste tačno odgovorili, osvajate bodove i nastavljate igru.
Igra "Kasica-prasica"
Igra Kasica-prasica razvija razmišljanje i pamćenje. Glavna poenta igre je odabrati koju kasicu prasicu koristiti više novca.U ovoj igri postoje četiri kasice prasice, potrebno je da prebrojite koja kasica ima najviše novca i mišem pokažete ovu kasicu. Ako ste tačno odgovorili, osvajate bodove i nastavljate igru.
Igra "Brzo dodavanje ponovnog punjenja"
Igra “Fast add reboot” razvija razmišljanje, pamćenje i pažnju. Glavna poenta igre je odabrati tačne članove, čiji će zbir biti jednak datom broju. U ovoj igri, na ekranu su data tri broja i zadatak, dodajte broj, ekran pokazuje koji broj treba dodati. Od tri broja birate željene brojeve i pritiskate ih. Ako ste tačno odgovorili, osvajate bodove i nastavljate igru.
Razvoj fenomenalne mentalne aritmetike
Pogledali smo samo vrh ledenog brijega, da bismo bolje razumjeli matematiku - prijavite se za naš kurs: Ubrzavanje mentalne aritmetike - NE mentalne aritmetike.
Na kursu ćete ne samo naučiti desetine tehnika za pojednostavljeno i brzo množenje, sabiranje, množenje, dijeljenje i računanje postotaka, već ćete ih uvježbati u posebnim zadacima i edukativnim igrama! Mentalna aritmetika također zahtijeva puno pažnje i koncentracije, koji se aktivno treniraju prilikom rješavanja zanimljivih zadataka.
Brzo čitanje za 30 dana
Povećajte brzinu čitanja za 2-3 puta u 30 dana. Od 150-200 do 300-600 riječi u minuti ili od 400 do 800-1200 riječi u minuti. Kurs koristi tradicionalne vježbe za razvoj brzog čitanja, tehnike koje ubrzavaju rad mozga, metode za progresivno povećanje brzine čitanja, psihologiju brzog čitanja i pitanja polaznika kursa. Pogodno za djecu i odrasle koji čitaju do 5000 riječi u minuti.
Razvoj pamćenja i pažnje kod djeteta od 5-10 godina
Kurs uključuje 30 lekcija sa korisnim savjetima i vježbama za razvoj djece. U svakoj lekciji koristan savjet, nekoliko zanimljivih vježbi, zadatak za lekciju i dodatni bonus na kraju: edukativna mini-igra našeg partnera. Trajanje kursa: 30 dana. Kurs je koristan ne samo za djecu, već i za njihove roditelje.
Super memorija za 30 dana
Zapamti potrebne informacije brzo i dugo. Pitate se kako da otvorite vrata ili operete kosu? Sigurna sam da nije, jer je ovo dio našeg života. Lagane i jednostavne vježbe za trening pamćenja mogu postati dio vašeg života i raditi ih malo tokom dana. Ako se pojede dnevna norma obroke odjednom, ili možete jesti u porcijama tokom dana.
Tajne kondicije mozga, treninga pamćenja, pažnje, razmišljanja, brojanja
Mozak, kao i tijelo, treba kondiciju. Fizičke vježbe jačaju tijelo, mentalne vježbe razvijaju mozak. 30 dana korisnih vježbi i edukativnih igara za razvoj pamćenja, koncentracije, inteligencije i brzog čitanja ojačat će mozak i pretvoriti ga u tvrd orah.
Novac i način razmišljanja milionera
Zašto postoje problemi sa novcem? U ovom kursu ćemo detaljno odgovoriti na ovo pitanje, pogledati duboko u problem i razmotriti naš odnos s novcem sa psihološke, ekonomske i emocionalne tačke gledišta. Iz kursa ćete naučiti šta trebate učiniti da riješite sve svoje finansijske poteškoće, počnite štedjeti novac i ulagati ga u budućnost.
Poznavanje psihologije novca i načina rada s njim čini osobu milionerom. 80% ljudi uzima sve više kredita kako im prihod raste, postajući još siromašniji. S druge strane, milioneri koji su sami napravili će ponovo zaraditi milione za 3-5 godina ako počnu od nule. Ovaj kurs vas uči kako pravilno raspodijeliti prihode i smanjiti troškove, motivira vas na učenje i postizanje ciljeva, uči vas kako uložiti novac i prepoznati prevaru.
Razmotrimo koncept podjele u problemu:
U korpi je bilo 12 jabuka. Šestoro djece je sortiralo jabuke. Svako dijete je dobilo isti broj jabuka. Koliko jabuka ima svako dijete?
Rješenje:
Treba nam 12 jabuka da podijelimo na šestero djece. Zapišimo problem 12:6 matematički.
Ili možete reći drugačije. Sa kojim brojem treba pomnožiti broj 6 da bi se dobio broj 12? Zapišimo problem u obliku jednačine. Ne znamo broj jabuka, pa ih označimo kao varijablu x.
Za pronalaženje nepoznatog x potrebno nam je 12:6=2
Odgovor: 2 jabuke za svako dijete.
Pogledajmo bliže primjer 12:6=2:
Zove se broj 12 djeljiv. Ovo je broj koji se dijeli.
Zove se broj 6 razdjelnik. Ovo je broj koji je podijeljen sa.
I rezultat dijeljenja broja 2 se zove privatni. Kvocijent pokazuje koliko je puta dividenda veća od djelitelja.
U doslovnom obliku, podjela izgleda ovako:
a:b=c
a– djeljivo,
b- razdjelnik,
c– privatno.
Dakle, šta je podjela?
Division- ovo je inverzno djelovanje jednog faktora, možemo naći drugi faktor.
Dijeljenje se provjerava množenjem, odnosno:
a:
b=
c, provjerite sa⋅b=
a
18:9=2, ček 2⋅9=18
Nepoznati množitelj.
Hajde da razmotrimo problem:
Svako pakovanje sadrži 3 komada božićnih kuglica. Za ukrašavanje jelke potrebno nam je 30 kuglica. Koliko paketa božićnih kuglica nam je potrebno?
Rješenje:
x – nepoznat broj paketa loptica.
3 – komada u jednom pakovanju balona.
30 – ukupno lopti.
x⋅3=30 trebamo uzeti 3 toliko puta da dobijemo ukupno 30. x je nepoznat faktor. To je, Da biste pronašli nepoznato, proizvod morate podijeliti s poznatim faktorom.
x=30:3
x=10.
Odgovor: 10 pakovanja balona.
Nepoznata dividenda.
Hajde da razmotrimo problem:
Svako pakovanje sadrži 6 olovaka u boji. Ima ukupno 3 pakovanja. Koliko je olovaka bilo ukupno prije nego što su stavljene u pakete?
Rješenje:
x – ukupno olovke,
6 olovaka u svakom pakovanju,
3 – pakovanja olovaka.
Zapišimo jednačinu problema u obliku dijeljenja.
x:6=3
x je nepoznata dividenda. Da biste pronašli nepoznatu dividendu, morate pomnožiti količnik sa djeliteljem.
x=3⋅6
x=18
Odgovor: 18 olovaka.
Nepoznati djelitelj.
Pogledajmo problem:
U radnji je bilo 15 lopti. U toku dana u radnju je došlo 5 kupaca. Kupci su kupili jednak broj balona. Koliko balona je svaki kupac kupio?
Rješenje:
x – broj loptica koje je kupio jedan kupac,
5 – broj kupaca,
15 – broj loptica.
Zapišimo jednačinu problema u obliku dijeljenja:
15:x=5
x – u ovoj jednačini je nepoznati djelitelj. Da bismo pronašli nepoznati djelitelj, dijelimo dividendu s količnikom.
x=15:5
x=3
Odgovor: 3 lopte za svakog kupca.
Svojstva dijeljenja prirodnog broja s jednim.
Pravilo podjele:
Bilo koji broj podijeljen sa 1 rezultira istim brojem.
7:1=7
a:1=
a
Svojstva dijeljenja prirodnog broja sa nulom.
Pogledajmo primjer: 6:2=3, možete provjeriti da li smo podijelili ispravno množenjem 2⋅3=6.
Ako smo 3:0, onda nećemo moći provjeriti, jer će svaki broj pomnožen sa nulom biti nula. Stoga, snimanje 3:0 nema smisla.
Pravilo podjele:
Ne možete dijeliti sa nulom.
Svojstva dijeljenja nule prirodnim brojem.
0:3=0 ovaj unos ima smisla. Ako nešto podijelimo na tri dijela, nećemo dobiti ništa.
0:
a=0
Pravilo podjele:
Kada se 0 podijeli bilo kojim prirodnim brojem koji nije jednak nuli, rezultat će uvijek biti 0.
Svojstvo dijeljenja identičnih brojeva.
3:3=1
a:
a=1
Pravilo podjele:
Kada podijelite bilo koji broj sam sa sobom koji nije jednak nuli, rezultat će biti 1.
Pitanja na temu “Podjela”:
U unosu a:b=c, koji je ovdje količnik?
Odgovor: a:b i c.
Šta je privatno?
Odgovor: količnik pokazuje koliko je puta dividenda veća od djelitelja.
Na kojoj vrijednosti m je unos 0⋅m=5?
Odgovor: kada se pomnoži sa nulom, odgovor će uvijek biti 0. Unos nema smisla.
Postoji li takvo n da je 0⋅n=0?
Odgovor: Da, unos ima smisla. Kada se bilo koji broj pomnoži sa 0, biće 0, tako da je n bilo koji broj.
Primjer #1:
Pronađite vrijednost izraza: a) 0:41 b) 41:41 c) 41:1
Odgovor: a) 0:41=0 b) 41:41=1 c) 41:1=41
Primjer #2:
Za koje vrijednosti varijabli vrijedi jednakost: a) x:6=8 b) 54:x=9
a) x – u ovom primjeru je djeljiv. Da biste pronašli dividendu, morate pomnožiti količnik sa djeliteljem.
x – nepoznata dividenda,
6 – djelitelj,
8 – količnik.
x=8⋅6
x=48
b) 54 – dividenda,
x je delilac,
9 – količnik.
Da biste pronašli nepoznati djelitelj, trebate podijeliti dividendu s količnikom.
x=54:9
x=6
Zadatak #1:
Saša ima 15, a Miša 45. Koliko puta više maraka ima Miša od Saše?
Rješenje:
Problem se može riješiti na dva načina. prvi način:
15+15+15=45
Potrebna su 3 broja 15 da dobijete 45, dakle, Miša ima 3 puta više bodova od Saše.
drugi način:
45:15=3
Odgovor: Miša ima 3 puta više maraka od Saše.
MATEMATIKA
5 CLASS
DJELA PRIRODNIH BROJEVA.
Plan - sažetak lekcije “Djeljenje prirodnih brojeva”.
Stavka: matematike
Klasa: 5
Tema lekcije: Deljenje prirodnih brojeva.
Broj lekcije u temi: Lekcija 4 od 7
Osnovni tutorijal: Matematika. 5. razred: udžbenik za
obrazovne ustanove / N.Ya.Vilenkin, V.I.Zhokhov, A.S.Chesnokov, S.I.Shvartsburd. – 25. izdanje, izbrisano. – M.: Mnemosyne, 2009
Svrha lekcije: stvaraju uslove za reprodukciju i prilagođavanje potrebnih znanja i vještina, analizirajući zadatke i metode njihovog izvršavanja; samostalno izvršavanje zadataka; eksternu i unutrašnju kontrolu.
Kao rezultat, studenti bi trebali:
znati dijeliti prirodne brojeve;
biti u stanju rješavati jednačine i riječne zadatke;
biti u stanju izvući zaključke;
biti u stanju razviti algoritam akcija;
koristiti matematički pismen jezik;
prikazati sadržaj radnji koje se izvode u govoru;
procijenite sebe i svoje drugove.
Oblici studentskog rada: frontalni, parna soba, individualna.
Neophodno Tehnička oprema: kompjuter, multimedijalni projektor, udžbenici matematike, materijali (za mentalno računanje, za rad na času, za domaći), elektronska prezentacija izrađena u Power Pointu.
Routing lekcija.
| Faza lekcije | Zadaci | Vrijeme | Indikatori učinka zadatka |
|
| nastavnici | student |
|||
| Faza 1. Organizacijski. | Provjera spremnosti razreda. | Kratko trajanje trenutka. |
||
| Faza 2. Provjera domaćeg. | Učitelj skuplja sveske sa domaćim zadacima. | Učenici predaju svoje sveske. | Prije lekcije. | Domaći zadatak će biti provjeren za svakog učenika. |
| Faza 3. Ažuriranje znanja. | Uvodni govor nastavnika. Verbalno brojanje. Igra "Matematički loto". Istorijska referenca. | Riješite primjere mentalnog računanja. Odgovorite na pitanje nastavnika. Rade u parovima. | Razvoj vještina grupnog rada. Testirano je osnovno znanje učenika. |
|
| Faza 4. | Zajedno sa učenicima određuje svrhu časa. | Odredite svrhu lekcije. | Cilj lekcije je postavljen. |
|
| Faza 5. | Usmjerava rad učenika. | Riješite zadatke koji uključuju izračunavanje vrijednosti numeričkih izraza, jednadžbi i zadataka. Izvršite samoprovjere i donesite zaključke. | Utvrđivanje ispravnosti i svijesti proučavanja teme. Identifikacija razumijevanja i ispravljanje identifikovanih praznina. |
|
| Faza 6. Fizičke vježbe. | Upravlja prezentacijom. | Promjena aktivnosti pružila je emocionalno olakšanje učenicima. |
||
| Faza 7. | Usmjerava rad učenika. | Samostalno obavljati testne zadatke. | Utvrđuje se ispravnost i svijest o proučavanoj temi. |
|
| Faza 8. | Samoprocjena aktivnosti. |
|||
| Faza 9. | Učenici zapisuju zadatak u svoj dnevnik. | Učenici su razumjeli svrhu, sadržaj i metode izrade domaćih zadataka. |
||
Opis proceduralnog dijela časa.
| Faza lekcije | Aktivnosti nastavnika | Aktivnost učenika |
| Faza 1. Organizacijski. | Nastavnik dočekuje učenike i provjerava njihovu spremnost za čas. | Pozdravite učitelja i sjednite. |
| Faza 2. Provjera domaćeg. | Nastavnik provjerava dostupnost sveske za domaće zadatke. | Svi učenici su predali svoje sveske na provjeru. |
| Faza 3. Ažuriranje znanja. | Teško je savladati bilo koju temu iz matematike bez sposobnosti brzog i preciznog brojanja, stoga, kao i uvijek, lekciju počinjemo mentalnim proračunom. (Raditi u parovima). Držite se za ruke i pokažite da ste par. Na vašim stolovima su koverte za mentalne proračune. Usmeno riješi primjere i obloži ih karticom s odgovorom. Pomoću ključa (slajd br. 1) zamijenite rezultirajuće brojeve odgovarajuća slova. Pročitaj zadatu riječ. | Riješite jedan od 3 zadatka. 42-d; 22nd; 10-l; 15th; 37th; 19-o; 39th; 9-t; 700 l; 20-satni; 16-a; 1-s; 36-n; 110o; 22. Dobio riječi: dividenda, djelilac, količnik. |
| Faza 4. Postavljanje ciljeva, ciljeva časa, motivacione aktivnosti učenika. | Na koju radnju se odnose svi ovi pojmovi? Da, danas ćemo nastaviti rad na dijeljenju prirodnih brojeva. Ovo nije prva lekcija na ovu temu. Koji cilj možete sebi postaviti za ovu lekciju? U međuvremenu, malo Dodatne informacije. Učenici su pripremili izvještaje na ovu temu. (Slajdovi br. 2, br. 3, br. 4). №2 . Vladimir Ivanovič Dal - autor „Objašnjavajući rečnik živog velikoruskog jezika“ u svom rečniku piše: Podijeliti - razbiti na dijelove, zdrobiti, fragmentirati, napravi sekciju. Podijelite jedan broj drugim - saznajte koliko puta je jedan sadržan u drugačijem. №3. U početku nije bilo znaka za ovu akciju. Pisali su riječju, indijski matematičari - prvim slovom naziva radnje. Znak debelog crijeva za označavanje podjele ušao je u upotrebu krajem 17. stoljeća. (1684. godine) zahvaljujući poznatom njemačkom matematičaru Gottfriedu Wilhelmu Leibnizu. №4. Koji drugi znak predstavlja podjelu? /(kosa crta). Ovaj znak je prvi upotrebio italijanski naučnik iz 13. veka Fibonači. . | Odgovor: na podjelu. Odgovor: Ojačajte svoje znanje o temi. Slušajte poruke učenika. |
| Faza 5. Razumijevanje sadržaja i redoslijeda primjene praktičnih radnji pri izvršavanju predstojećih zadataka. | Otvorite sveske, zapišite datum i temu lekcije. (Slajd br. 5) Vodi rad učenika u ovoj fazi. Zadatak br. 1 . Otvorite udžbenik na strani 76, broj 481 (a,b,). Samostalno rješavaju, 2 učenika rješavaju zadatak na pojedinačnim tablama. Na kartici se nalazi dodatni zadatak. Zadatak br. 2 . Riješite jednačinu i odaberite ispravno rješenje od 2 predložena. Objasnite ispravno rješenje i navedite grešku u drugom .(slajd br. 7) | Zapišite datum i temu lekcije. a) 7585: 37 + 95 = 300 1) 7585:37=205 2) 205+95=300 b)(6738 – 834) : 123= 48 1) 6738-834=5904 2) 5904:123=48 Samoprovjerite, izvucite zaključke. Individualna refleksija. Dodatno: 1440:12:24=5 1)1440:12=120 2) 120:24=5 Riješite jednačinu (x-15)*7=70 1 rješenje. x-15=70:7 x=25 Odgovor: 25 2. rješenje. x-15=70:7 |
| Faza 6. Fizičke vježbe. | Slajd broj 8. | Radite vježbe za ruke i oči. |
| Nastavak 5. faze. | Zadatak br. 3 . Riješite problem: Jedan tim fabrike proizveo je 636 delova, što je 3 puta više od 2. tima i 4 puta više od 3. tima. Koliko dijelova su svi timovi zajedno proizveli? Učenik rješava na tabli, ostalo u svesci. Dodatni zadatak: Voz je prešao 450 km za x sati. Pronađite brzinu voza. Napišite izraz i izračunajte ako je x = 9; x=15. Zadatak br. 4 (Slajd broj 10). Donijeli su 100 kg jabuka, x kg u svakoj kutiji, i 120 kg krušaka, y kg u svakoj kutiji. Šta izraz znači: a) 100:x b) 120:y c) 100:x+120:y d) 120:y-100:x | №3. Pročitajte problem i popravite se kratka napomena, algoritam rješenja, nacrtati rješenje problema u bilježnici. Rješenje. 1) 636:3=212(d) je proizvela 2. brigada 2) 636:4=159(d) je proizvela 3. brigada 3) 636+212+159=1007(d) su proizvele 3 brigade zajedno Odgovor: 1007 dijelova. Dodatni zadatak. 450:x (km/h) - brzina voza. Ako je x=9, onda 450:9=50 (km/h) Ako je x=15, onda 450:15=30 (km/h) Odgovori : 50 (km/h), 30 (km/h) Dajte usmene odgovore. a) broj kutija jabuka c) ukupan broj kutija d) koliko ima više kutija sa kruškama nego sa jabukama? |
| Faza 7. Samoizvršenje učeničkih zadataka. | Usmjerava rad učenika. | Samostalno obavljati testne zadatke. Listovi se predaju na verifikaciju. A1. Kako se zovu komponente podjele? 1) faktori 2) količnik 3) dividenda i djelitelj 4) uslovi A2. U jednoj zgradi ima 240 stanova, au drugoj 2 puta manje stanova. Koliko stanova ima u drugoj zgradi? 480 2) 138 3) 120 4) 242 A3. Prvog dana turisti su prepješačili 15 km, što je 3 puta više nego drugog dana. Koliko su kilometara turisti prepješačili drugog dana? 1) 5km 2) 45km 3)12km 4)18km A4. Unesite broj koji nije djeljiv sa 7. 1) 56 2) 48 3) 35 4) 21 U 1. Koji je broj 2 puta veći od 36? Zapišite ovaj broj. U 2. Koliko je puta 890 veće od 178? Zapišite ovaj broj. C1. Koliko se parnih trocifrenih brojeva može sastaviti od brojeva 4, 5, 6? (brojevi se mogu ponavljati) |
| Faza 8. Sumiranje lekcije. Refleksija. | Sažima rad učenika i daje ocjene. | Analizirajte njihov rad na času. Odgovaraju na postavljena pitanja. |
| Faza 9. Informacije o zadaća, uputstva za njegovu implementaciju. | Postavlja različite domaće zadatke. | Učenici zapisuju zadatak u svoj dnevnik. Oni nose kartice sa zadacima kući. Potreban zadatak: №1. Izračunajte: 2001:69 + 58884:84 №2. Riješite jednačinu: a) x:17=34 b) (x – 8) *12=132 Dodatni zadatak: U nedjelju je muzej posjetilo m ljudi, u ponedjeljak 4 puta manje nego u nedjelju, a u utorak - 33 osobe manje nego u nedjelju. Koliko je ljudi posjetilo muzej tokom ova tri dana? Napravite izraz i izračunajte za m =48, m = 100. |
književnost:
Matematika. 5. razred: udžbenik za obrazovne ustanove / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. – 25. izdanje, izbrisano. – M.: Mnemosyne, 2009;
Ispitivanje i mjerenje materijala. Matematika: 5. razred / Sastavila L.V. Popova.-M.: VAKO, 2011;
Česnokov A.S., Neškov K.I. Didaktički materijali iz matematike za 5. razred. M.: Classic Style, 2007.
U ovom članku ćemo pogledati pravila i algoritme za dijeljenje prirodnih brojeva. Odmah da primijetimo da ovdje gledamo samo podjelu u cjelini, odnosno bez ostatka. Pročitajte o dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom u našem zasebnom materijalu.
Prije nego što formulirate pravilo za dijeljenje prirodnih brojeva, morate razumjeti vezu između dijeljenja i množenja. Nakon što uspostavimo ovu vezu, uzastopno ćemo razmotriti najjednostavnije slučajeve: dijeljenje prirodnog broja samim sobom i jednim. Zatim ćemo analizirati dijeljenje pomoću tablice množenja, dijeljenje uzastopnim oduzimanjem, dijeljenje brojevima koji su višekratnici 10, različite potencije 10.
Za svaki slučaj dat ćemo i detaljno razmotriti primjere. Na kraju članka ćemo pokazati kako provjeriti rezultat dijeljenja.
Odnos dijeljenja i množenja
Da biste pratili vezu između dijeljenja i množenja, zapamtite da je dijeljenje predstavljeno kao dijeljenje originalnog djeljivog skupa na nekoliko identičnih skupova. Množenje uključuje kombinovanje nekoliko identičnih skupova u jedan.
Dijeljenje je inverzno djelovanje množenja. Šta to znači? Hajde da damo analogiju. Zamislimo da imamo b skupova, od kojih svaki sadrži c objekata. Ukupan broj objekata u svim skupovima je a. Množenje je unija svih skupova u jedan. Matematički će to biti napisano ovako:
Obrnuti proces particioniranja rezultirajućeg opšteg skupa na b skupova objekata, svaki odgovara podjeli:
Na osnovu rečenog, možemo preći na sljedeću izjavu:
Ako je proizvod prirodnih brojeva c i b jednak a, tada je količnik a i b jednak c. Hajde da to prepišemo u obliku slova.
Ako je b c = a, onda je a ÷ b = c
Koristeći komutativno svojstvo množenja, možemo napisati:
Također slijedi da je a ÷ c = b.
Na osnovu rečenog može se formulisati opšti zaključak. Ako je proizvod brojeva c i b jednak a, tada su količniki a ÷ b i a ÷ c jednaki c i b, respektivno.
Hajde da sumiramo sve gore navedeno i damo definiciju dijeljenja prirodnih brojeva.
Podjela prirodnih brojeva
Podjela - pronalaženje nepoznatog faktora iz poznatog proizvoda i drugog poznatog faktora.
Ova definicija će postati osnova na kojoj ćemo graditi pravila i metode za dijeljenje prirodnih brojeva.
Dijeljenje sekvencijalnim oduzimanjem
Upravo smo pričali o podjeli u kontekstu množenja. Na osnovu ovog znanja može se izvršiti operacija podjele. Međutim, postoji još jedan pristup koji je prilično jednostavan i vrijedan pažnje - podjela sekvencijalnim oduzimanjem. Ova metoda je intuitivna, pa pogledajmo je na primjeru, bez davanja teoretskih proračuna.
Naslov
Koliko je 12 podijeljeno sa 4?
Drugim riječima, ovaj problem se može formulirati na sljedeći način: postoji 12 objekata (na primjer, narandže), i treba ih podijeliti u jednake grupe od 4 predmeta (složiti u kutije od 4 komada). Koliko će biti takvih grupa ili kutija od po četiri narandže?
Korak po korak oduzimat ćemo 4 narandže od prvobitne količine i formirati grupe po 4 dok naranče ne ponestane. Broj koraka koje moramo poduzeti bit će odgovor na izvorno pitanje.
Od 12 narandži, prve četiri stavite u kutiju. Nakon toga, 12 - 4 = 8 agruma ostaje u originalnoj gomili narandži. Od ovih osam, još 4 stavljamo u drugu kutiju. Sada je ostalo 8 - 4 = 4 narandže u originalnoj gomili narandži. Od ova četiri komada možete samo formirati još jednu, zasebnu treću kutiju, nakon čega će 4 - 4 = 0 narandži ostati na originalnoj hrpi.
Dakle, dobili smo 3 kutije, po 4 artikla. Drugim riječima, podijelili smo 12 sa 4, a rezultat je bio 3.
Kada radite s brojevima, ne morate svaki put povlačiti analogiju s objektima. Šta smo uradili sa dividendom i djeliteljem? Od dividende smo sukcesivno oduzimali djelitelj sve dok nismo dobili nulti ostatak.
Bitan!
Kada se dijeli metodom sekvencijalnog oduzimanja, broj operacija oduzimanja dok se ne dobije nulti ostatak je količnik dijeljenja.
Da bismo to potvrdili, pogledajmo još jedan, složeniji primjer.
Primjer 1: Podjela sekvencijalnim oduzimanjem
Izračunajmo rezultat dijeljenja broja 108 sa 27 metodom sekvencijalnog oduzimanja.
Prva akcija: 108 - 27 = 81.
Druga akcija: 81 - 27 = 54.
Treća akcija: 54 - 27 = 27.
Četvrta akcija: 27 - 27 = 0.
Nisu potrebne dodatne radnje. Dobili smo odgovor:
Imajte na umu da je ova metoda prikladna samo u slučajevima kada potreban iznos uzastopna oduzimanja su mala. U drugim slučajevima, preporučljivo je primijeniti pravila podjele, koja ćemo razmotriti u nastavku.
Podjela jednakih prirodnih brojeva
Prema svojstvima prirodnih brojeva formuliramo pravilo kako dijelimo jednake prirodne brojeve.
Podjela jednakih prirodnih brojeva
Količnik prirodnog broja podijeljen njegovim jednakim prirodnim brojem jednak je jedan!
Na primjer:
1 ÷ 1 = 1 ; 141 ÷ 141 = 1; 2589 ÷ 2589 = 1; 100000000 ÷ 100000000 = 1.
Podjela na jedan
Na osnovu svojstava prirodnih brojeva možemo formulisati i pravilo za dijeljenje prirodnog broja sa jedan.
Dijeljenje prirodnog broja sa jednim
Količnik bilo kojeg prirodnog broja podijeljenog s jedan jednak je broju koji se dijeli.
Na primjer:
1 ÷ 1 = 1 ; 141 ÷ 1 = 141 ; 2589 ÷ 1 = 2589 ; 100000000 ÷ 1 = 100000000.
tablica množenja - zgodan alat, koji vam omogućava da pronađete proizvode jednovrijednih prirodnih brojeva. Međutim, može se koristiti i za podjelu.
Tablica množenja vam omogućava da pronađete ne samo rezultat proizvoda faktora, već i faktor iz poznatog proizvoda i drugog faktora. Kao što smo ranije saznali, podjela je upravo pronalaženje nepoznatog faktora iz poznatog proizvoda i drugog faktora.
Koristeći tablicu množenja, možete podijeliti bilo koji broj na žutoj pozadini bilo kojim jednocifrenim prirodnim brojem. Pokazat ćemo vam kako to učiniti. Postoje dvije metode, čiju ćemo upotrebu razmotriti na primjerima.
Podijelite 48 sa 6.
Prvi metod.
U koloni čija gornja ćelija sadrži djelitelj 6 nalazimo dividendu 48. Rezultat podjele je u krajnjoj lijevoj ćeliji reda koji sadrži dividendu. Zaokružena je plavom bojom.
Metod dva.
Prvo, u redu sa djeliteljem 6 nalazimo dividendu 48. Rezultat podjele je u najgornjoj ćeliji kolone koja sadrži dividendu. Zaokružena je plavom bojom.
Tako smo podijelili 48 sa 6 i dobili smo 8. Rezultat je pronađen korištenjem tablice množenja na dva načina. Obje metode su apsolutno identične.
Da bismo ovo potvrdili, pogledajmo još jedan primjer. Podijelite 7 sa 1. Evo nekoliko slika koje ilustruju proces podjele.
Kao rezultat dijeljenja broja 7 sa 1, pogađate, dobija se broj 7. Prilikom dijeljenja pomoću tablice množenja, vrlo je važno znati ovu tablicu napamet, jer je nije uvijek moguće imati pri ruci.
Podjela na 10, 100, 1000 itd.
Odmah formulirajmo pravilo za dijeljenje prirodnih brojeva sa 10, 100, 1000 itd. Pretpostavimo odmah da je dijeljenje bez ostatka moguće.
Podjela na 10, 100, 1000 itd.
Rezultat dijeljenja prirodnog broja sa 10, 100, 1000 itd. je prirodan broj čija se notacija dobija iz zapisa dividende ako se 1, 2, 3, itd. odbace desno od njega. nule.
Odbacuje se onoliko nula koliko ih ima u unosu djelitelja!
Na primjer, 30 ÷ 10 = 3. Uklonili smo jednu nulu sa broja 30.
Količnik od 120000 ÷ 1000 jednak je 120 - od broja 120000 odbacujemo tri nule na desnoj strani, koliko ih je sadržano u djelitelju.
Opravdanje za pravilo je zasnovano na pravilu za množenje prirodnog broja sa 10, 100, 1000 itd. Dajemo primjer. Recimo da trebamo podijeliti 10200 sa 100.
10200 = 102 100
10200 ÷ 100 = 102 100 100 = 102.
Predstavljanje dividende kao proizvoda
Prilikom dijeljenja prirodnih brojeva ne zaboravite na svojstvo dijeljenja proizvoda dva broja prirodnim brojem. Ponekad se dividenda može predstaviti kao proizvod, jedan od faktora u kojem je podijeljen djeliteljem.
Pogledajmo tipične slučajeve.
Primjer 2. Predstavljanje dividende kao proizvoda
Podijelite 30 sa 3.
Dividenda 30 se može predstaviti kao proizvod 30 = 3 10.
Imamo: 30 ÷ 3 = 3 10 ÷ 3
Koristeći svojstvo dijeljenja proizvoda dva broja, dobijamo:
3 10 ÷ 3 = 3 ÷ 3 10 = 1 10 = 10
Navedimo još nekoliko sličnih primjera.
Primjer 3. Predstavljanje dividende kao proizvoda
Izračunajmo količnik 7200 ÷ 72.
Dividendu predstavljamo kao 7200 = 72 100. U ovom slučaju, rezultat podjele će biti sljedeći:
7200 ÷ 72 = 72 100 ÷ 72 = 72 ÷ 72 ÷ 100 = 100
Primjer 4. Predstavljanje dividende kao proizvoda
Izračunajmo količnik: 1600000 ÷ 160.
1600000 = 160 10000
1600000 ÷ 160 = 160 10000 ÷ 160 = 160 ÷ 160 10000 = 10000
U više složeni primjeri Pogodno je koristiti tablicu množenja. Hajde da to ilustrujemo.
Primjer 5. Predstavljanje dividende kao proizvoda
Podijelite 5400 sa 9.
Tablica množenja nam govori da je 54 djeljivo sa 9, pa je preporučljivo dividendu predstaviti kao proizvod:
5400 = 54 100.
Sada da završimo podjelu:
5400 ÷ 9 = 54 100 ÷ 9 = 54 ÷ 9 100 = 6 100 = 600
Za osiguranje ovog materijala Pogledajmo još jedan primjer, bez detaljnih verbalnih objašnjenja.
Primjer 6. Predstavljanje dividende kao proizvoda
Izračunajmo koliko je 120 podijeljeno sa 4.
120 ÷ 4 = 12 10 ÷ 4 = 12 ÷ 4 10 = 3 10 = 30
Dijeljenje prirodnih brojeva koji završavaju nulom
Prilikom dijeljenja brojeva koji završavaju na 0, korisno je zapamtiti svojstvo dijeljenja prirodnog broja umnoškom dva broja. U ovom slučaju, djelitelj je predstavljen kao proizvod dva faktora, nakon čega se ovo svojstvo koristi u kombinaciji sa tablicom množenja.
Kao i uvijek, objasnit ćemo ovo primjerima.
Primjer 7. Dijeljenje prirodnih brojeva koji se završavaju na 0
Podijelite 490 sa 70.
Zapišimo 70 kao:
Koristeći svojstvo dijeljenja prirodnog broja proizvodom, možemo napisati:
490 ÷ 70 = 490 ÷ 7 10 = 490 ÷ 10 ÷ 7.
Već smo raspravljali o podjeli sa 10 u prethodnom paragrafu.
490 ÷ 10 ÷ 7 = 49 ÷ 7 = 7
Da bismo to potvrdili, pogledajmo još jedan, složeniji primjer.
Primjer 8: Dijeljenje prirodnih brojeva koji se završavaju na 0
Uzmimo brojeve 54000 i 5400 i podijelimo ih.
54000 ÷ 5400 = ?
Predstavimo 5400 kao 54 100 i napišimo:
54000 ÷ 5400 = 54000 ÷ 54 100 = 54000 ÷ 100 ÷ 54 = 540 ÷ 54.
Sada predstavljamo dividendu 540 kao 54 10 i pišemo:
540 ÷ 54 = 54 10 ÷ 54 = 54 ÷ 54 10 = 10
54000 ÷ 5400 = 10.
Hajde da rezimiramo ono što je navedeno u ovom paragrafu.
Bitan!
Ako unosi za dividendu i djelitelj sadrže nule na desnoj strani, tada se morate riješiti istog broja nula i u dividendi i u djelitelju. Nakon toga podijelite rezultirajuće brojeve.
Na primjer, dijeljenje brojeva 64000 i 8000 će se svesti na dijeljenje brojeva 64 i 8.
Metoda privatne selekcije
Prije razmatranja ove metode podjele, uvodimo neke uslove.
Neka su brojevi a i b djeljivi jedan s drugim, a proizvod b · 10 daje broj veći od a. U ovom slučaju, količnik a ÷ b je jednoznačni prirodni broj. Drugim riječima, to je broj od 1 do 9. Ovo je tipična situacija kada je metoda odabira kvocijenta pogodna i primjenjiva. Uzastopno množenje djelitelja sa 1, 2, 3, . . , 9 i upoređujući rezultat sa dividendom, možete pronaći količnik.
Pogledajmo primjer.
Primjer 9. Izbor privatnog
Podijelite 108 sa 27.
Lako je vidjeti da je 27 · 10 = 270; 270 > 108 .
Počnimo s odabirom privatnog.
27 1 = 27 27 2 = 54 27 3 = 81 27 4 = 108
Bingo! Kvocijent je pronađen metodom selekcije:
Imajte na umu da je u slučajevima kada je b · 10 > a pogodno pronaći količnik metodom sekvencijalnog oduzimanja.
Predstavljanje dividende kao sume
Drugi način koji može pomoći u pronalaženju kvocijenta je predstavljanje dividende kao sume nekoliko prirodnih brojeva, od kojih je svaki lako djeljiv djeliteljem. Nakon toga, trebat će nam svojstvo dijeljenja zbira prirodnih brojeva brojem. Zajedno sa primjerom razmotrit ćemo algoritam i odgovoriti na pitanje: u obliku kojih pojmova treba da predstavljamo dividendu?
Neka je dividenda 8551, a djelitelj 17.
- Izračunajmo koliko više cifara ima u zapisu dividende nego u zapisu djelitelja. U našem slučaju, djelitelj sadrži dva znaka, a dividenda sadrži četiri. To znači da dividenda ima još dva decimalna mjesta. Zapamtite broj 2.
- Dodajte dvije nule desno od djelitelja. Zašto dva? U prethodnom pasusu smo upravo odredili ovaj broj. Međutim, ako se dobijeni broj pokaže da je veći od djelitelja, potrebno je oduzeti 1 od broja dobivenog u prethodnom paragrafu. U našem primjeru, dodavanjem nula djelitelju, dobili smo broj 1700< 8551 . Таким образом, отнимать единицу из двойки, полученной в первом пункте, не нужно. В памяти так же оставляем число 2 .
- Broju 1 desno dodjeljujemo nule u iznosu određeni broj iz prethodnog stava. Tako dobijamo radna jedinica kategoriju, sa kojom ćemo dalje poslovati. U našem slučaju, dvije nule su dodijeljene jednoj. Radna kategorija - stotine.
- Uzastopno množimo djelitelj sa 1, 2, 3, itd. jedinice radne cifre dok ne dobijemo broj veći od dividende. 17 100 = 1700; 17 · 200 = 3400 ; 17 · 300 = 5100 ; 17 · 400 = 6400 ; 17 · 500 = 8500 ; 17 · 600 = 10200 Zanima nas pretposljednji rezultat, jer je sljedeći rezultat proizvoda nakon njega veći od dividende. Broj 8500, koji je dobijen u pretposljednjem koraku množenja, je prvi sabirak. Zapamtite jednakost koju ćemo dalje koristiti: 8500 = 17 500.
- Izračunavamo razliku između dividende i pronađenog člana. Ako nije jednako nuli, vraćamo se na prvu tačku i započinjemo traženje drugog člana, koristeći već dobijenu razliku umjesto dividende. Ponavljamo korake dok rezultat ne bude nula. U našem primjeru razlika je 8551 - 8500 = 51. 51 ≠ 0, dakle, prijeđite na tačku 1.
Ponavljamo algoritam:
- Upoređujemo broj cifara u novoj dividendi 51 i djelitelju 17. Oba unosa imaju dvije cifre, razlika u broju znakova je nula. Zapamtite broj 0.
- Pošto pamtimo broj 0, nema potrebe dodavati dodatne nule djelitelju.
- Također nećemo dodavati nule na jedan. Opet, zato što smo u prvom pasusu zapamtili broj 0. Dakle, naša radna cifra su jedinice
- Sukcesivno množimo 17 sa 1, 2, 3, . . itd. Dobijamo: 17 · 1 = 17 ; 17 · 2 = 34 ; 17 3 = 51.
- Očigledno, u trećem koraku dobili smo broj jednak djelitelju. Ovo je drugi mandat. Pošto je 51 - 51 = 0, u ovoj fazi zaustavljamo pretragu pojmova - ona je završena.
Sada sve što ostaje je pronaći količnik. Predstavili smo dividendu 8551 kao zbir 8500 + 51. Hajde da zapišemo:
8500 + 51 ÷ 17 = 8500 ÷ 17 + 51 ÷ 17.
Rezultati podjela u zagradama poznati su nam iz prethodnih akcija.
8500 + 51 ÷ 17 = 8500 ÷ 17 + 51 ÷ 17 = 500 + 3 = 503.
Rezultat dijeljenja: 8551 ÷ 17 = 503.
Pogledajmo još nekoliko primjera, a da ne komentarišemo svaku radnju tako detaljno.
Primjer 10. Podjela prirodnih brojeva
Nađimo količnik: 64 ÷ 2.
1. Dividenda ima jedan znak više od djelitelja. Zapamtite broj 1.
2. Dodjeljujemo jednu nulu desno od djelitelja.
3. Broju 1 dodamo jednu nulu i dobijemo jedinicu radne cifre - 10. Radna kategorija je dakle desetke.
4. Započinjemo sekvencijalno množenje djelitelja jedinicama radne znamenke. 2 · 10 = 20 ; 2 20 = 40 ; 2 · 30 = 60 ; 2 · 40 = 80 ; 80 > 64 .
Prvi pronađeni pojam je broj 60.
Jednakost 60 ÷ 2 = 30 će nam biti od koristi u budućnosti.
5. Tražimo drugi mandat. Da biste to učinili, izračunajte razliku 64 - 60 = 4. Broj 4 je djeljiv sa 2 bez ostatka, očigledno je ovo drugi član.
Sada nalazimo količnik:
64 ÷ 2 = 60 + 4 ÷ 2 = 60 ÷ 2 + 4 ÷ 2 = 30 + 2 = 32.
Primjer 11. Podjela prirodnih brojeva
Rešimo: 1178 ÷ 31 = ?
1. Vidimo da dividenda ima dvije cifre više od djelitelja. Zapamtite broj 2.
2. Dodajte dvije nule djelitelju na desnoj strani. Dobijamo broj 3100.
3100 > 1178, tako da memorisan broj 2 iz prve tačke treba smanjiti za jedan.
3. Onoj desnoj dodamo jednu nulu i dobijemo radnu cifru - desetice.
4. Pomnožite 31 sa 10, 20, 30, . . itd.
31 · 10 = 310 ; 31 · 20 = 620; 31 · 30 = 930 ; 31 40 = 1240
1240 > 1178, dakle, prvi pojam je broj 930.
5. Izračunajte razliku 1178 - 930 = 248. Sa brojem 248 umjesto dividende, počinjemo tražiti drugi termin.
1. Broj 248 ima jednu cifru više od broja 31. Zapamtite broj 1.
2. Na 31 dodajemo jednu nulu desno. Budući da je 310 > 248, smanjujemo jedinicu dobivenu u prethodnom pasusu i kao rezultat imamo broj 0.
3. Pošto pamtimo broj 0, nema potrebe dodavati dodatne nule jedinici, a cifra jedinica je radna znamenka.
4. Dosljedno množite 31 sa 1, 2, 3, . . itd., poredeći rezultat sa dividendom.
31 · 1 = 31 ; 31 · 2 = 62; 31 · 3 = 93; 31 · 4 = 124 ; 31 · 5 = 155; 31 · 6 = 186; 31 · 7 = 217; 31 8 = 248
Dakle, broj 248 je drugi član, koji je djeljiv sa 31.
5. Razlika 248 - 248 je nula. Završimo traženje pojmova, zapamtimo omjer 248 ÷ 31 = 8 i pronađemo količnik.
1178 ÷ 31 = 930 + 248 ÷ 31 = 930 ÷ 31 + 248 ÷ 31 = 30 + 8 = 38.
Postepeno povećavamo složenost primjera.
Primjer 12. Podjela prirodnih brojeva
Podijelite 13984 sa 32.
U ovom slučaju, gore opisani algoritam će se morati primijeniti tri puta. Nećemo dati sve proračune, samo ćemo naznačiti u obliku kojih članova će biti predstavljen djelitelj. Možete sami testirati i sami napraviti proračune.
Prvi član je jednak 12800.
12800 ÷ 32 = 400.
Drugi član je jednak 960.
960 ÷ 32 = 30.
Treći član je jednak 224.
rezultat:
13984 ÷ 32 = 12800 + 960 + 224 ÷ 32 = 12800 ÷ 32 + 960 ÷ 32 + 224 ÷ 32 = 400 + 30 + 7 = 437.
Čini se da smo uzeli u obzir gotovo sve mogući načini podjela prirodnih brojeva. U ovom trenutku, tema se može smatrati zatvorenom. Međutim, postoji metoda koja u nekim slučajevima omogućava da se podjela izvrši brže i racionalnije.
Pogledajmo to poslednji put.
Predstavljanje dividende kao razlika prirodnih brojeva
Ponekad je lakše i praktičnije dividendu predstaviti kao razliku, a ne kao zbir. Ovo može znatno ubrzati i olakšati proces podjele. Kako tačno? Pokažimo to na primjeru.
Primjer 13. Podjela prirodnih brojeva
Podijelite 594 sa 6.
Ako koristimo algoritam iz prethodnog paragrafa, dobićemo rezultat:
594 ÷ 6 = 540 + 54 ÷ 6 = 540 ÷ 6 + 54 ÷ 6 = 90 + 9 = 99.
Međutim, ako se broj 594 predstavi kao razlika 600 - 6, sve postaje mnogo očiglednije. Oba broja 600 i 6) su djeljivi sa 6. Svojstvom dijeljenja razlike prirodnih brojeva dobijamo:
594 ÷ 6 = 600 - 6 ÷ 6 = 600 ÷ 6 - 6 ÷ 6 = 100 - 1 = 99
Rezultat je isti, ali su radnje objektivno lakše i jednostavnije.
Rešimo još jedan primjer koristeći istu metodu. Imajte na umu da je važno biti u stanju pravilno uočiti koju manipulaciju učiniti s brojevima kako biste lakše izvršili podjelu. Recimo čak da u tome ima nekog elementa umjetnosti.
Primjer 14. Podjela prirodnih brojeva
Prisjetimo se tablice množenja i shvatimo: broj 483 može se prikladno predstaviti kao 483 = 490 - 7.
490 ÷ 7 = 70 7 ÷ 7 = 1
Podjelu vršimo:
483 ÷ 7 = (490 - 7) ÷ 7 = 490 ÷ 7 - 7 ÷ 7 = 70 - 1 = 69.
Provjera rezultata dijeljenja
Provjera nikada nije suvišna, pogotovo ako dijelimo velike brojeve. Kako provjeriti da li su prirodni brojevi pravilno podijeljeni? Koristeći množenje!
Da biste provjerili da li je dijeljenje obavljeno ispravno, morate pomnožiti količnik djeliteljem. Rezultat bi trebao biti dividenda.
Značenje ove akcije je vrlo jednostavno. Na primjer, imali smo objekte i podijelili smo ih na b gomile. Svaka gomila je sadržavala predmete. Matematički to izgleda ovako:
Sada kombinirajmo sve b hrpe c predmeta. Rezultat bi trebao biti ista zbirka objekata a.
Pogledajmo test koristeći dva primjera.
Primjer 15. Provjera rezultata dijeljenja prirodnih brojeva
Broj 475 podijeljen je sa 19. Rezultat je bio 25. Da li je podjela urađena ispravno?
Pomnožimo količnik od 25 sa djeliteljem broja 19 i saznamo da li su brojevi pravilno podijeljeni.
25 19 = 475.
Broj 475 je jednak dividendi, što znači da je podjela obavljena ispravno.
Primjer 16. Provjera rezultata dijeljenja prirodnih brojeva
Podijelite i provjerite rezultat:
Dividendu ćemo predstaviti kao zbir uslova i izvršiti podjelu.
1024 ÷ 32 = 960 + 64 ÷ 32 = 960 ÷ 32 + 64 ÷ 32 = 30 + 2 = 32.
Provjerimo rezultat:
32 32 = 1024.
Zaključak: podjela je izvršena ispravno.
Provjera rezultata dijeljenja brojeva dijeljenjem
Metoda verifikacije o kojoj smo gore govorili zasniva se na množenju. Postoji i test podjele. Kako to izvesti?
Provjera rezultata dijeljenja
Da biste provjerili da li je količnik ispravno pronađen, trebate podijeliti dividendu s rezultirajućim količnikom. Rezultat bi trebao biti djelitelj.
Ako se ispostavi drugačije, možemo zaključiti da se negdje uvukla greška.
Pravilo se zasniva na istoj vezi između dividende, djelitelja i količnika kao i pravilo iz prethodnog stava.
Pogledajmo primjere.
Primjer 17. Provjera rezultata dijeljenja prirodnih brojeva
Da li je tačna jednakost:
Podijelimo dividendu s količnikom:
104 ÷ 8 = 80 + 24 ÷ 8 = 80 ÷ 8 + 24 ÷ 8 = 10 + 3 = 13.
Rezultat je djelitelj, što znači da je dijeljenje obavljeno ispravno.
Primjer 18. Provjera rezultata dijeljenja prirodnih brojeva
Izračunajmo i provjerimo: 240 ÷ 15 = ?
Predstavljajući dividendu kao zbir, dobijamo:
240 ÷ 15 = 150 + 90 ÷ 15 = 150 ÷ 15 + 90 ÷ 15 = 10 + 6 = 16.
Provjerimo rezultat:
240 ÷ 16 = 160 + 80 ÷ 16 = 160 ÷ 16 + 80 ÷ 16 = 10 + 5 = 15.
Podjela je urađena ispravno.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Iako se matematika većini ljudi čini teškom, daleko je od istine. Mnoge matematičke operacije su prilično lako razumljive, posebno ako poznajete pravila i formule. Dakle, znajući tablicu množenja, možete brzo množiti u svojoj glavi.Glavna stvar je stalno trenirati i ne zaboraviti pravila množenja. Isto se može reći i za podjelu.
Pogledajmo podjelu cijelih brojeva, razlomaka i negativnih. Prisjetimo se osnovnih pravila, tehnika i metoda.
Operacija divizije
Počnimo, možda, sa samom definicijom i nazivom brojeva koji učestvuju u ovoj operaciji. To će uvelike olakšati dalje predstavljanje i percepciju informacija.
Dijeljenje je jedna od četiri osnovne matematičke operacije. Njegovo proučavanje počinje u osnovna škola. Tada se djeci pokazuje prvi primjer dijeljenja broja brojem i objašnjavaju se pravila.
Operacija uključuje dva broja: dividendu i djelitelj. Prvi je broj koji se dijeli, drugi je broj kojim se dijeli. Rezultat dijeljenja je količnik.
Postoji nekoliko oznaka za pisanje ove operacije: “:”, “/” i horizontalna traka - pisanje u obliku razlomka, kada je dividenda na vrhu, a djelitelj ispod, ispod linije.
Pravila
Prilikom studiranja jednog ili drugog matematička operacija Nastavnik je dužan da učenike upozna sa osnovnim pravilima koja treba da znaju. Istina, ne pamte ih uvijek onako dobro kako bismo željeli. Zato smo odlučili da vam malo osvježimo sjećanje na četiri osnovna pravila.
Osnovna pravila za dijeljenje brojeva kojih uvijek treba zapamtiti:
1. Ne možete dijeliti sa nulom. Ovo pravilo treba prvo zapamtiti.
2. Možete podijeliti nulu bilo kojim brojem, ali rezultat će uvijek biti nula.
3. Ako se broj podijeli sa jedan, dobijamo isti broj.
4. Ako je broj podijeljen sam sa sobom, dobijamo jedan.
Kao što vidite, pravila su prilično jednostavna i lako pamtljiva. Iako neki mogu zaboraviti tako jednostavno pravilo kao što je nemogućnost ili s njim pobrkati dijeljenje nule brojem.
po broju
Jedan od mnogih korisna pravila- znak kojim se utvrđuje mogućnost dijeljenja prirodnog broja drugim bez ostatka. Tako se razlikuju znakovi djeljivosti sa 2, 3, 5, 6, 9, 10. Razmotrimo ih detaljnije. Oni znatno olakšavaju izvođenje operacija nad brojevima. Također dajemo primjer za svako pravilo dijeljenja broja brojem.
Ova pravila-znakove matematičari dosta koriste.
Test djeljivosti sa 2
Najlakši znak za pamćenje. Broj koji se završava parnom cifrom (2, 4, 6, 8) ili 0 uvijek je djeljiv sa dva. Prilično lako za pamćenje i korištenje. Dakle, broj 236 završava se parnom cifrom, što znači da je djeljiv sa dva.
Provjerimo: 236:2 = 118. Zaista, 236 je djeljivo sa 2 bez ostatka.
Ovo pravilo je najbolje poznato ne samo odraslima, već i djeci.
Test djeljivosti sa 3
Kako pravilno podijeliti brojeve sa 3? Zapamtite sljedeće pravilo.
Broj je djeljiv sa 3 ako je zbir njegovih cifara višekratnik tri. Na primjer, uzmimo broj 381. Zbir svih cifara će biti 12. Ovo je tri, što znači da je djeljiv sa 3 bez ostatka.
Hajde da proverimo ovaj primjer. 381: 3 = 127, onda je sve tačno.
Test djeljivosti brojeva sa 5
I ovdje je sve jednostavno. Možete podijeliti sa 5 bez ostatka samo one brojeve koji se završavaju na 5 ili 0. Na primjer, uzmimo brojeve kao što su 705 ili 800. Prvi se završava s 5, drugi s nulom, stoga su oba djeljiva sa 5. Ovo je jedno od najjednostavnijih pravila koje vam omogućava da brzo podijelite jednocifrenim brojem 5.
Provjerimo ovaj znak koristeći sljedeće primjere: 405:5 = 81; 600:5 = 120. Kao što vidite, znak radi.
Deljivost sa 6
Ako želite da saznate da li je broj djeljiv sa 6, onda prvo morate saznati da li je djeljiv sa 2, a zatim sa 3. Ako jeste, onda se broj može podijeliti sa 6 bez ostatka. , broj 216 je djeljiv sa 2, jer se završava parnom cifrom, i sa 3, pošto je zbir cifara 9.
Provjerimo: 216:6 = 36. Primjer pokazuje da je ovaj znak ispravan.
Deljivost sa 9
Razgovarajmo i o tome kako dijeliti brojeve sa 9. Zbir cifara čiji je djeljiv sa 9 podijeljen je ovim brojem. Slično pravilu dijeljenja sa 3. Na primjer, broj 918. Saberimo sve cifre i dobijemo 18 - broj koji je višekratnik 9. Dakle, djeljiv je sa 9 bez ostatka.
Hajde da riješimo ovaj primjer da provjerimo: 918:9 = 102.
Deljivost sa 10
Poslednji znak da znate. Samo oni brojevi koji završavaju na 0 su djeljivi sa 10. Ovaj obrazac je prilično jednostavan i lako pamtljiv. Dakle, 500:10 = 50.
To su svi glavni znaci. Pamteći ih, možete sebi olakšati život. Naravno, postoje i drugi brojevi za koje postoje znakovi djeljivosti, ali smo izdvojili samo glavne.
Tablica podjela
U matematici ne postoji samo tablica množenja, već i tablica dijeljenja. Kada ga naučite, možete lako izvoditi operacije. U suštini, tablica dijeljenja je obrnuta tablica množenja. Sastaviti ga sami nije teško. Da biste to učinili, trebali biste prepisati svaki red iz tablice množenja na ovaj način:
1. Stavite proizvod broja na prvo mjesto.
2. Stavite znak dijeljenja i zapišite drugi faktor iz tabele.
3. Nakon znaka jednakosti zapišite prvi faktor.
Na primjer, uzmite sljedeći red iz tablice množenja: 2*3= 6. Sada ga prepisujemo prema algoritmu i dobijamo: 6 ÷ 3 = 2.
Vrlo često se od djece traži da sama kreiraju sto, razvijajući tako svoje pamćenje i pažnju.
Ako nemate vremena za pisanje, možete koristiti onaj koji je predstavljen u članku.
Vrste podjela
Razgovarajmo malo o vrstama podjela.
Počnimo s činjenicom da možemo razlikovati dijeljenje cijelih brojeva i razlomaka. Štaviše, u prvom slučaju možemo govoriti o operacijama sa cijelim brojevima i decimale, au drugom - samo o razlomcima. U ovom slučaju, razlomak može biti ili dividenda ili djelitelj, ili oboje u isto vrijeme. To je zbog činjenice da se operacije nad razlomcima razlikuju od operacija nad cijelim brojevima.
Na osnovu brojeva koji učestvuju u operaciji mogu se razlikovati dvije vrste podjele: na jednocifrene i na višecifrene brojeve. Najjednostavnije je dijeljenje jednocifrenim brojem. Ovdje nećete morati vršiti glomazne proračune. Osim toga, tablica podjela može biti dobra pomoć. Dijeljenje drugim - dvo-, trocifrenim brojevima - je teže.
Pogledajmo primjere za ove vrste podjela:
14:7 = 2 (podjela jednocifrenim brojem).
240:12 = 20 (podjela dvocifrenim brojem).
45387: 123 = 369 (podjela trocifrenim brojem).
Posljednji se može razlikovati dijeljenjem, koje uključuje pozitivne i negativne brojeve. Kada radite s ovim posljednjim, trebali biste znati pravila po kojima se rezultatu dodjeljuje pozitivna ili negativna vrijednost.
Prilikom dijeljenja brojeva sa različiti znakovi(dividenda je pozitivan broj, djelitelj negativan ili obrnuto) dobijamo negativan broj. Prilikom dijeljenja brojeva sa istim predznakom (i dividenda i djelitelj su pozitivni ili obrnuto), dobijamo pozitivan broj.
Radi jasnoće, razmotrite sljedeće primjere:
Podjela razlomaka
Dakle, pogledali smo osnovna pravila, dali primjer dijeljenja broja brojem, a sada razgovarajmo o tome kako ispravno izvesti iste operacije s razlomcima.
Iako dijeljenje razlomaka u početku može izgledati kao puno posla, rad s njima zapravo nije tako težak. Dijeljenje razlomka se vrši na isti način kao i množenje, ali s jednom razlikom.
Da biste podijelili razlomak, prvo morate pomnožiti brojnik dividende sa nazivnikom djelitelja i zabilježiti rezultirajući rezultat kao brojnik količnika. Zatim pomnožite nazivnik dividende sa brojnikom djelitelja i zapišite rezultat kao imenilac kvocijenta.
Može se i jednostavnije. Prepišite razlomak djelitelja tako što ćete zamijeniti brojnik sa nazivnikom, a zatim pomnožite rezultirajuće brojeve.
Na primjer, podijelimo dva razlomka: 4/5:3/9. Prvo, okrenimo djelitelj i dobijemo 9/3. Sada pomnožimo razlomke: 4/5 * 9/3 = 36/15.
Kao što vidite, sve je prilično lako i ništa teže od dijeljenja jednocifrenim brojem. Primjere nije lako riješiti ako ne zaboravite ovo pravilo.
zaključci
Dijeljenje je jedna od matematičkih operacija koju svako dijete uči u osnovnoj školi. Jedi određena pravila, koje biste trebali znati, tehnike koje olakšavaju ovu operaciju. Dijeljenje može biti sa ili bez ostatka, može biti dijeljenja negativnih i razlomaka brojeva.
Vrlo je lako zapamtiti karakteristike ove matematičke operacije. Najviše smo sredili važne tačke, pogledali smo više od jednog primjera dijeljenja broja brojem, čak smo razgovarali o tome kako raditi s razlomcima.
Ako želite unaprijediti svoje znanje iz matematike, savjetujemo vam da zapamtite ova jednostavna pravila. Osim toga, možemo vam savjetovati da razvijete pamćenje i mentalne aritmetičke vještine tako što ćete raditi matematičke diktate ili jednostavno pokušavate usmeno izračunati količnik dva slučajna broja. Vjerujte, ove vještine nikada neće biti suvišne.