Razmotrimo funkciju y=k/y. Grafikon ove funkcije je prava, koja se u matematici naziva hiperbola. Opšti izgled hiperbole prikazan je na donjoj slici. (Grafikon prikazuje funkciju y jednako k podijeljeno sa x, gdje je k jednako jedan.)
Može se vidjeti da se graf sastoji od dva dijela. Ovi dijelovi se nazivaju grane hiperbole. Također je vrijedno napomenuti da se svaka grana hiperbole sve više približava koordinatnoj osi u jednom od smjerova. Koordinatne ose u ovom slučaju nazivaju se asimptote.
Općenito, sve prave linije kojima se graf funkcije beskonačno približava, ali ne dostiže, nazivaju se asimptote. Hiperbola, kao i parabola, ima ose simetrije. Za hiperbolu prikazanu na gornjoj slici, ovo je prava linija y=x.
Sada se pozabavimo dva opšta slučaja hiperbole. Graf funkcije y = k/x, za k ≠ 0, bit će hiperbola, čije se grane nalaze ili u prvom i trećem koordinatnom kutu, za k>0, ili u drugom i četvrtom koordinatnom kutu, viljuška<0.
Glavna svojstva funkcije y = k/x, za k>0
Grafikon funkcije y = k/x, za k>0
5. y>0 za x>0; y6. Funkcija se smanjuje i na intervalu (-∞;0) i na intervalu (0;+∞).
10. Opseg funkcije je dva otvorena intervala (-∞;0) i (0;+∞).
Glavna svojstva funkcije y = k/x, za k<0
Grafikon funkcije y = k/x, za k<0
1. Tačka (0;0) je centar simetrije hiperbole.
2. Osi koordinata - asimptote hiperbole.
4. Opseg funkcije je sve x, osim x=0.
5. y>0 za x0.
6. Funkcija raste i na intervalu (-∞;0) i na intervalu (0;+∞).
7. Funkcija nije ograničena ni odozdo ni odozgo.
8. Funkcija nema ni najveću ni najmanju vrijednost.
9. Funkcija je kontinuirana na intervalu (-∞;0) i na intervalu (0;+∞). Ima prazninu u tački x=0.
1. Linearna frakciona funkcija i njen graf
Funkcija oblika y = P(x) / Q(x), gdje su P(x) i Q(x) polinomi, naziva se razlomkom racionalnom funkcijom.
Vjerovatno ste već upoznati sa konceptom racionalnih brojeva. Slično racionalne funkcije su funkcije koje se mogu predstaviti kao kvocijent dva polinoma.
Ako je razlomka racionalna funkcija količnik dvije linearne funkcije - polinoma prvog stepena, tj. funkcija pregleda
y = (ax + b) / (cx + d), tada se naziva frakciono linearno.
Imajte na umu da u funkciji y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (inače funkcija postaje linearna y = ax/d + b/d) i da je a/c ≠ b/d (inače funkcija je konstanta). Linearno-frakciona funkcija je definirana za sve realne brojeve, osim za x = -d/c. Grafovi linearno-frakcionih funkcija se po obliku ne razlikuju od grafa za koji znate da je y = 1/x. Poziva se kriva koja je graf funkcije y = 1/x hiperbola. Sa neograničenim povećanjem apsolutne vrijednosti x, funkcija y = 1/x neograničeno se smanjuje u apsolutnoj vrijednosti i obje grane grafa se približavaju osi apscise: desna se približava odozgo, a lijeva odozdo. Prave kojima se prilaze grane hiperbole nazivaju se njenim asimptote.
Primjer 1
y = (2x + 1) / (x - 3).
Rješenje.
Odaberimo cijeli broj: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
Sada je lako vidjeti da se graf ove funkcije dobija iz grafa funkcije y = 1/x sljedećim transformacijama: pomak za 3 jedinična segmenta udesno, rastezanje duž ose Oy 7 puta i pomak za 2 segmenta jedinice gore.
Bilo koji razlomak y = (ax + b) / (cx + d) može se napisati na isti način, naglašavajući "cijeli dio". Posljedično, grafovi svih linearno-frakcionih funkcija su hiperbole pomaknute duž koordinatnih osa na različite načine i razvučene duž ose Oy.
Da se napravi graf nekog proizvoljnog razlomka linearna funkcija uopće nije potrebno transformirati razlomak koji definira ovu funkciju. Pošto znamo da je graf hiperbola, biće dovoljno pronaći linije kojima se približavaju njegove grane - asimptote hiperbole x = -d/c i y = a/c.
Primjer 2
Pronađite asimptote grafa funkcije y = (3x + 5)/(2x + 2).
Rješenje.
Funkcija nije definirana, za x = -1. Dakle, prava x = -1 služi kao vertikalna asimptota. Da biste pronašli horizontalnu asimptotu, saznajte čemu se približavaju vrijednosti funkcije y(x) kada se argument x poveća u apsolutnoj vrijednosti.
Da bismo to učinili, podijelimo brojilac i imenilac razlomka sa x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Kako je x → ∞ razlomak teži 3/2. Dakle, horizontalna asimptota je prava linija y = 3/2.
Primjer 3
Nacrtajte funkciju y = (2x + 1)/(x + 1).
Rješenje.
Odabiremo "cijeli dio" razlomka:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Sada je lako vidjeti da se graf ove funkcije dobiva iz grafa funkcije y = 1/x sljedećim transformacijama: pomak od 1 jedinice ulijevo, simetričan prikaz u odnosu na Ox i pomak od 2 jedinična intervala gore duž ose Oy.
Domen definicije D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Raspon vrijednosti E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Tačke preseka sa osama: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkcija raste na svakom od intervala domene definicije.
Odgovor: slika 1.
2. Frakcijsko-racionalna funkcija
Razmotrimo frakcionu racionalnu funkciju oblika y = P(x) / Q(x), gdje su P(x) i Q(x) polinomi višeg stepena od prvog.
Primjeri takvih racionalnih funkcija:
y = (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) ili y = (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Ako je funkcija y = P(x) / Q(x) količnik dva polinoma stepena višeg od prvog, tada će njen graf, po pravilu, biti složeniji i ponekad može biti teško tačno ga izgraditi , sa svim detaljima. Međutim, često je dovoljno primijeniti tehnike slične onima s kojima smo se već susreli gore.
Neka je razlomak pravilan (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Očigledno, graf razlomke racionalne funkcije može se dobiti kao zbir grafova elementarnih razlomaka.
Iscrtavanje frakcionih racionalnih funkcija
Razmotrite nekoliko načina za crtanje frakciono-racionalne funkcije.
Primjer 4
Nacrtajte funkciju y = 1/x 2 .
Rješenje.
Koristimo graf funkcije y = x 2 za crtanje grafika y = 1 / x 2 i koristimo metodu "podjele" grafova.
Domena D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Raspon vrijednosti E(y) = (0; +∞).
Nema tačaka preseka sa osovinama. Funkcija je ujednačena. Povećava se za sve x iz intervala (-∞; 0), smanjuje se za x sa 0 na +∞.
Odgovor: slika 2.
Primjer 5
Iscrtajte funkciju y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
Rješenje.
Domena D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) = (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.
Ovdje smo koristili tehniku faktoringa, redukcije i redukcije na linearnu funkciju.
Odgovor: slika 3.
Primjer 6
Iscrtajte funkciju y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
Rješenje.
Područje definicije je D(y) = R. Pošto je funkcija parna, graf je simetričan oko y-ose. Prije crtanja, ponovo transformiramo izraz naglašavajući cijeli broj:
y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1) = 1 - 2 / (x 2 + 1).
Imajte na umu da je odabir cjelobrojnog dijela u formuli frakciono-racionalne funkcije jedan od glavnih pri crtanju grafova.
Ako je x → ±∞, tada je y → 1, tj. prava y = 1 je horizontalna asimptota.
Odgovor: slika 4.
Primjer 7
Razmotrimo funkciju y = x/(x 2 + 1) i pokušajmo pronaći njenu najveću vrijednost, tj. najviša tačka na desnoj polovini grafikona. Da bismo precizno napravili ovaj grafikon, današnje znanje nije dovoljno. Očigledno je da se naša krivulja ne može "popeti" jako visoko, jer imenilac brzo počinje da „prestiže“ brojilac. Pogledajmo može li vrijednost funkcije biti jednaka 1. Da biste to učinili, trebate riješiti jednadžbu x 2 + 1 = x, x 2 - x + 1 = 0. Ova jednadžba nema pravi korijen. Dakle, naša pretpostavka je pogrešna. Da biste pronašli najveću vrijednost funkcije, morate saznati za koje će najveće A jednadžba A = x / (x 2 + 1) imati rješenje. Zamijenimo originalnu jednadžbu kvadratnom: Ax 2 - x + A = 0. Ova jednadžba ima rješenje kada je 1 - 4A 2 ≥ 0. Odavde nalazimo najveću vrijednost A = 1/2. 
Odgovor: Slika 5, max y(x) = ½.
Imate bilo kakvih pitanja? Ne znate kako da napravite grafove funkcija?
Da dobijete pomoć tutora - registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!
stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.
Odaberemo pravokutni koordinatni sistem na ravni i iscrtamo vrijednosti argumenta na osi apscise X, a na y-osi - vrijednosti funkcije y = f(x).
Funkcija Graf y = f(x) poziva se skup svih tačaka za koje apscise pripadaju domeni funkcije, a ordinate su jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije.
Drugim riječima, graf funkcije y \u003d f (x) je skup svih tačaka u ravnini, koordinata X, at koji zadovoljavaju relaciju y = f(x).
Na sl. 45 i 46 su grafovi funkcija y = 2x + 1 i y \u003d x 2 - 2x.
Strogo govoreći, treba razlikovati graf funkcije (čija je tačna matematička definicija data gore) i nacrtanu krivulju, koja uvijek daje samo manje ili više tačnu skicu grafa (a čak i tada, po pravilu, ne cijelog grafa, već samo njegovog dijela koji se nalazi u završnim dijelovima ravni). U onome što slijedi, međutim, obično ćemo se pozivati na "grafikon", a ne na "skicu grafikona".
Koristeći graf, možete pronaći vrijednost funkcije u tački. Naime, ako je tačka x = a pripada opsegu funkcije y = f(x), zatim da pronađete broj f(a)(tj. vrijednosti funkcije u tački x = a) treba to učiniti. Treba kroz tačku sa apscisom x = a nacrtati pravu liniju paralelnu sa y-osi; ova linija će presijecati graf funkcije y = f(x) u jednom trenutku; ordinata ove tačke biće, na osnovu definicije grafa, jednaka f(a)(Sl. 47).
Na primjer, za funkciju f(x) = x 2 - 2x koristeći graf (slika 46) nalazimo f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, itd.
Funkcijski graf vizualno ilustrira ponašanje i svojstva funkcije. Na primjer, iz razmatranja Sl. 46 jasno je da je funkcija y \u003d x 2 - 2x uzima pozitivne vrijednosti kada X< 0 i na x > 2, negativan - na 0< x < 2; najmanju vrijednost funkcija y \u003d x 2 - 2x prihvata na x = 1.
Za crtanje funkcije f(x) morate pronaći sve tačke ravni, koordinate X,at koji zadovoljavaju jednačinu y = f(x). U većini slučajeva to je nemoguće, jer takvih tačaka ima beskonačno mnogo. Stoga je graf funkcije prikazan približno - sa većom ili manjom tačnošću. Najjednostavniji je metoda crtanja u više tačaka. Sastoji se u činjenici da je argument X dajte konačan broj vrijednosti - recimo, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k i napravite tablicu koja uključuje odabrane vrijednosti funkcije.
Tabela izgleda ovako:
Nakon što smo sastavili takvu tablicu, možemo ocrtati nekoliko tačaka na grafu funkcije y = f(x). Zatim, povezujući ove tačke glatkom linijom, dobijamo približan prikaz grafa funkcije y = f(x).
Međutim, treba napomenuti da je metoda iscrtavanja u više tačaka vrlo nepouzdana. Zapravo, ponašanje grafa između označenih tačaka i njegovo ponašanje izvan segmenta između uzetih ekstremnih tačaka ostaje nepoznato.
Primjer 1. Za crtanje funkcije y = f(x) neko je sastavio tabelu vrednosti argumenata i funkcija:
Odgovarajućih pet tačaka prikazano je na Sl. 48.
Na osnovu položaja ovih tačaka, zaključio je da je grafik funkcije prava linija (na slici 48 prikazana isprekidanom linijom). Može li se ovaj zaključak smatrati pouzdanim? Osim ako ne postoje dodatna razmatranja koja potkrepljuju ovaj zaključak, teško da se može smatrati pouzdanim. pouzdan.
Da bismo potkrijepili našu tvrdnju, razmotrimo funkciju
.
Proračuni pokazuju da su vrijednosti ove funkcije u tačkama -2, -1, 0, 1, 2 upravo opisane gornjom tablicom. Međutim, grafik ove funkcije uopće nije prava linija (prikazano je na slici 49). Drugi primjer je funkcija y = x + l + sinx; njegova značenja su također opisana u gornjoj tabeli.
Ovi primjeri pokazuju da je u svom "čistom" obliku metoda iscrtavanja u više tačaka nepouzdana. Stoga, za crtanje date funkcije, po pravilu, postupite na sljedeći način. Prvo se proučavaju svojstva ove funkcije, uz pomoć kojih je moguće konstruisati skicu grafa. Zatim se izračunavanjem vrijednosti funkcije u nekoliko tačaka (čiji izbor ovisi o zadanim svojstvima funkcije) pronalaze odgovarajuće točke grafa. I, konačno, kriva se crta kroz konstruisane tačke koristeći svojstva ove funkcije.
Kasnije ćemo razmotriti neka (najjednostavnija i najčešće korištena) svojstva funkcija koje se koriste za pronalaženje skice grafa, ali sada ćemo analizirati neke najčešće korištene metode za crtanje grafova.
Grafikon funkcije y = |f(x)|.
Često je potrebno iscrtati funkciju y = |f(x)|, gde f(x) - datu funkciju. Podsjetimo kako se to radi. Po definiciji apsolutna vrijednost brojevi se mogu napisati
To znači da je graf funkcije y=|f(x)| može se dobiti iz grafa, funkcije y = f(x) kako slijedi: sve tačke grafa funkcije y = f(x), čije ordinate nisu negativne, treba ostaviti nepromijenjene; dalje, umjesto tačaka grafa funkcije y = f(x), sa negativnim koordinatama, treba konstruisati odgovarajuće tačke grafa funkcije y = -f(x)(tj. dio grafa funkcije
y = f(x), koji leži ispod ose X, treba da se reflektuje simetrično oko ose X).
Primjer 2 Iscrtajte funkciju y = |x|.
Uzimamo graf funkcije y = x(Sl. 50, a) i dio ovog grafikona sa X< 0 (leži ispod ose X) se simetrično reflektuje oko ose X. Kao rezultat, dobijamo graf funkcije y = |x|(Sl. 50, b).
Primjer 3. Iscrtajte funkciju y = |x 2 - 2x|.
Prvo crtamo funkciju y = x 2 - 2x. Graf ove funkcije je parabola, čije su grane usmjerene prema gore, vrh parabole ima koordinate (1; -1), njen graf siječe osu apscise u tačkama 0 i 2. Na intervalu (0; 2 ) funkcija poprima negativne vrijednosti, stoga se ovaj dio grafika odražava simetrično oko x-ose. Slika 51 prikazuje graf funkcije y \u003d |x 2 -2x |, na osnovu grafa funkcije y = x 2 - 2x
Grafikon funkcije y = f(x) + g(x)
Razmotrite problem crtanja funkcije y = f(x) + g(x). ako su dati grafovi funkcija y = f(x) i y = g(x).
Imajte na umu da je domen funkcije y = |f(x) + g(x)| je skup svih onih vrijednosti x za koje su definirane obje funkcije y = f(x) i y = g(x), tj. ovo područje definicije je sjecište domena definicije, funkcija f(x ) i g(x).
Neka bodove (x 0, y 1) i (x 0, y 2) pripadaju grafovima funkcija y = f(x) i y = g(x), tj. y 1 = f (x 0), y 2 = g (x 0). Tada tačka (x0;. y1 + y2) pripada grafu funkcije y = f(x) + g(x)(za f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. i bilo koja tačka grafa funkcije y = f(x) + g(x) može se dobiti na ovaj način. Dakle, graf funkcije y = f(x) + g(x) može se dobiti iz grafova funkcija y = f(x). i y = g(x) zamjenom svake tačke ( x n, y 1) funkcionalna grafika y = f(x) dot (x n, y 1 + y 2), gdje y 2 = g(x n), tj. pomjeranjem svake tačke ( x n, y 1) graf funkcije y = f(x) duž ose at po iznosu y 1 \u003d g (x n). U ovom slučaju se razmatraju samo takve tačke. X n za koje su definirane obje funkcije y = f(x) i y = g(x).
Ova metoda crtanja grafa funkcije y = f(x) + g(x) naziva se dodavanjem grafova funkcija y = f(x) i y = g(x)
Primjer 4. Na slici je metodom sabiranja grafova konstruiran graf funkcije
y = x + sinx.
Prilikom crtanja funkcije y = x + sinx pretpostavili smo to f(x) = x, a g(x) = sinx. Da bismo napravili graf funkcije, biramo tačke sa apscisama -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Vrijednosti f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx izračunaćemo na odabranim tačkama i rezultate smestiti u tabelu.
Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili za kontaktiranje s njom.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Lični podaci koje prikupljamo nam omogućavaju da vas kontaktiramo i informišemo o tome jedinstvene ponude, promocije i drugi događaji i nadolazeći događaji.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i komunikacije.
- Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje trećim licima
Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudski nalog, u sudskim postupcima, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo prakse privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.
Dužina segmenta na koordinatnoj osi nalazi se po formuli:
Dužina segmenta na koordinatnoj ravni se traži po formuli:
Za pronalaženje dužine segmenta u trodimenzionalnom koordinatnom sistemu koristi se sljedeća formula:
Koordinate sredine segmenta (za koordinatnu osu se koristi samo prva formula, za koordinatnu ravan - prve dve formule, za trodimenzionalni koordinatni sistem - sve tri formule) izračunavaju se po formulama:
Funkcija je korespondencija forme y= f(x) između varijabli, zbog čega svaka razmatra vrijednost neke varijable x(argument ili nezavisna varijabla) odgovara određenu vrijednost druga varijabla, y(zavisna varijabla, ponekad se ova vrijednost jednostavno naziva vrijednošću funkcije). Imajte na umu da funkcija pretpostavlja jednu vrijednost argumenta X može postojati samo jedna vrijednost zavisne varijable at. Međutim, ista vrijednost at može se nabaviti sa raznim X.
Opseg funkcije su sve vrijednosti nezavisne varijable (argument funkcije, obično X) za koji je definirana funkcija, tj. njegovo značenje postoji. Naznačen je domen definicije D(y). Uglavnom, već ste upoznati s ovim konceptom. Opseg funkcije se inače naziva opsegom dozvoljene vrijednosti, ili ODZ, koji ste već dugo mogli pronaći.
Raspon funkcija- to je sve moguće vrijednosti zavisna varijabla ove funkcije. Označeno E(at).
Funkcija raste na intervalu na kojem veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije. Funkcija Smanjenje na intervalu na kojem veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.
Intervali funkcija su intervali nezavisne varijable u kojima zavisna varijabla zadržava svoj pozitivan ili negativan predznak.
Funkcija nule su one vrijednosti argumenta za koje je vrijednost funkcije jednaka nuli. U tim tačkama grafik funkcije siječe os apscisa (OX osa). Vrlo često, potreba za pronalaženjem nula funkcije znači jednostavno rješavanje jednadžbe. Također, često potreba za pronalaženjem intervala konstantnog predznaka znači i potrebu jednostavnog rješavanja nejednakosti.
Funkcija y = f(x) su pozvani čak X
To znači da su za bilo koje suprotne vrijednosti argumenta vrijednosti parne funkcije jednake. Raspored ravnomjerna funkcija uvijek simetrično u odnosu na y-os y.
Funkcija y = f(x) su pozvani odd, ako je definiran na simetričnom skupu i za bilo koji X iz domena definicije ispunjena je jednakost:
To znači da su za bilo koje suprotne vrijednosti argumenta, vrijednosti neparne funkcije također suprotne. Graf neparne funkcije je uvijek simetričan u odnosu na ishodište.
Zbroj korijena parnog i čudne karakteristike(tačke preseka x-ose OX) je uvek nula, jer za svaki pozitivan korijen X ima negativan korijen X.
Važno je napomenuti da neka funkcija ne mora biti parna ili neparna. Postoje mnoge funkcije koje nisu ni parne ni neparne. Takve funkcije se nazivaju funkcije opšti pogled , i nijedna od gore navedenih jednakosti ili svojstava ne vrijedi za njih.
Linearna funkcija naziva se funkcija koja se može dati formulom:
Grafikon linearne funkcije je prava linija i u opštem slučaju izgleda ovako (dat je primjer za slučaj kada k> 0, u ovom slučaju funkcija raste; za slučaj k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Graf kvadratne funkcije (parabola)
Graf parabole je dat kvadratnom funkcijom:
Kvadratna funkcija, kao i svaka druga funkcija, siječe os OX u točkama koje su njezini korijeni: ( x jedan ; 0) i ( x 2; 0). Ako nema korijena, tada kvadratna funkcija ne siječe os OX, ako postoji jedan korijen, tada u ovoj točki ( x 0; 0) kvadratna funkcija samo dodiruje osu OX, ali je ne siječe. Kvadratna funkcija uvijek siječe osu OY u tački sa koordinatama: (0; c). Raspored kvadratna funkcija(parabola) može izgledati ovako (na slici su prikazani primjeri koji su daleko od iscrpljivanja svih mogući tipovi parabola):
pri čemu:
- ako je koeficijent a> 0, u funkciji y = sjekira 2 + bx + c, tada su grane parabole usmjerene prema gore;
- ako a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Koordinate vrha parabole mogu se izračunati pomoću sljedećih formula. X vrhovi (str- na gornjim slikama) parabole (ili tačke u kojoj kvadratni trinom dostiže svoju maksimalnu ili minimalnu vrijednost):
Y vrhovi (q- na gornjim slikama) parabole ili maksimuma ako su grane parabole usmjerene prema dolje ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), vrijednost kvadratni trinom:
Grafovi drugih funkcija
funkcija snage
Evo nekoliko primjera grafova funkcija snage:
Obrnuto proporcionalna zavisnost pozovite funkciju datu formulom:
U zavisnosti od predznaka broja k grafikon nazad proporcionalna zavisnost mogu imati dva glavne opcije:
Asimptota je prava kojoj se linija grafa funkcije približava beskonačno blizu, ali se ne siječe. Asimptote za grafove inverzna proporcionalnost prikazane na gornjoj slici su koordinatne ose kojima se graf funkcije približava beskonačno blizu, ali ih ne siječe.
eksponencijalna funkcija sa bazom a pozovite funkciju datu formulom:
a graf eksponencijalne funkcije može imati dvije osnovne opcije (također ćemo dati primjere, vidi dolje):
logaritamska funkcija pozovite funkciju datu formulom:
Ovisno o tome da li je broj veći ili manji od jedan a Grafikon logaritamske funkcije može imati dvije osnovne opcije:
Funkcija Graf y = |x| kao što slijedi:
Grafovi periodičnih (trigonometrijskih) funkcija
Funkcija at = f(x) se zove periodični, ako postoji takav broj različit od nule T, šta f(x + T) = f(x), za bilo koga X izvan opsega funkcije f(x). Ako je funkcija f(x) je periodična s tačkom T, zatim funkcija:
gdje: A, k, b su konstantni brojevi, i k nije jednako nuli, takođe periodično sa tačkom T 1, koji je određen formulom:
Većina primjera periodične funkcije su trigonometrijske funkcije. Evo grafikona glavnih trigonometrijske funkcije. Sljedeća slika prikazuje dio grafa funkcije y= grijeh x(cijeli graf se nastavlja neograničeno lijevo i desno), graf funkcije y= grijeh x pozvao sinusoida:
Funkcija Graf y= cos x pozvao kosinusni talas. Ovaj grafikon je prikazan na sljedećoj slici. Od grafa sinusa, nastavlja se beskonačno duž ose OX lijevo i desno:
Funkcija Graf y=tg x pozvao tangentoid. Ovaj grafikon je prikazan na sljedećoj slici. Kao i grafovi drugih periodičnih funkcija, ovaj grafikon ponavlja se neograničeno duž ose OX lijevo i desno.
I konačno, graf funkcije y=ctg x pozvao kotangentoid. Ovaj grafikon je prikazan na sljedećoj slici. Kao i grafovi drugih periodičnih i trigonometrijskih funkcija, ovaj graf se neograničeno ponavlja duž ose OX lijevo i desno.
Uspješna, marljiva i odgovorna implementacija ove tri tačke omogućit će vam da se pokažete na VU odličan rezultat, maksimum onoga za šta ste sposobni.
Pronašli ste grešku?
Ako mislite da ste pronašli grešku u materijali za obuku, pa napišite, molim vas, o tome poštom. Takođe možete prijaviti grešku socijalna mreža(). U pismu navedite predmet (fizika ili matematika), naziv ili broj teme ili testa, broj zadatka ili mjesto u tekstu (stranici) na kojem je, po vašem mišljenju, došlo do greške. Također opišite koja je navodna greška. Vaše pismo neće proći nezapaženo, greška će biti ili ispravljena, ili će Vam biti objašnjeno zašto nije greška.