Linearne jednadžbe: formule i primjeri. Nejednakosti i njihovo rješavanje

Sistem linearnih jednačina je unija od n linearnih jednačina, od kojih svaka sadrži k varijabli. Napisano je ovako:

Mnogi, kada se prvi put susreću s višom algebrom, pogrešno vjeruju da se broj jednačina nužno mora podudarati s brojem varijabli. U školskoj algebri to se obično dešava, ali za višu algebru to generalno nije tačno.

Rješenje sistema jednačina je niz brojeva (k 1, k 2, ..., k n), koji je rješenje svake jednačine sistema, tj. pri zamjeni u ovu jednačinu umjesto varijabli x 1, x 2, ..., x n daje tačnu numeričku jednakost.

Prema tome, rješavanje sistema jednačina znači pronalaženje skupa svih njegovih rješenja ili dokazivanje da je ovaj skup prazan. Budući da se broj jednačina i broj nepoznatih možda ne poklapaju, moguća su tri slučaja:

1. Sistem je nekonzistentan, tj. skup svih rješenja je prazan. Prilično rijedak slučaj koji se lako otkriva bez obzira na to kojim se metodom rješava sistem.
2. Sistem je konzistentan i određen, tj. ima tačno jedno rešenje. Klasična verzija, poznato još iz školskih dana.
3. Sistem je konzistentan i nedefinisan, tj. ima beskonačno mnogo rješenja. Ovo je najteža opcija. Nije dovoljno naznačiti da “sistem ima beskonačan skup rješenja” – potrebno je opisati kako je ovaj skup strukturiran.

Varijabla x i se naziva dozvoljenom ako je uključena u samo jednu jednačinu sistema, i to sa koeficijentom 1. Drugim riječima, u drugim jednačinama koeficijent varijable x i mora biti jednak nuli.

Ako u svakoj jednačini odaberemo jednu dozvoljenu varijablu, dobićemo skup dozvoljenih varijabli za cijeli sistem jednačina. Sam sistem, napisan u ovom obliku, takođe će se zvati razriješenim. Uopšteno govoreći, jedan te isti izvorni sistem može se svesti na različite dozvoljene, ali nas to za sada ne brine. Evo primjera dozvoljenih sistema:

Oba sistema se rješavaju u odnosu na varijable x 1 , x 3 i x 4 . Međutim, sa istim uspjehom može se tvrditi da je drugi sistem razriješen u odnosu na x 1, x 3 i x 5. Dovoljno je prepisati poslednju jednačinu u obliku x 5 = x 4.

Hajde sada da razmotrimo opštiji slučaj. Neka imamo k varijabli ukupno, od kojih je r dozvoljeno. Tada su moguća dva slučaja:

1. Broj dozvoljenih varijabli r jednak je ukupnom broju varijabli k: r = k. Dobijamo sistem od k jednačina u kojem je r = k dozvoljenih varijabli. Takav sistem je zajednički i određen, jer x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
2. Broj dozvoljenih varijabli r je manji ukupan broj varijable k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Dakle, u gornjim sistemima varijable x 2, x 5, x 6 (za prvi sistem) i x 2, x 5 (za drugi) su slobodne. Slučaj kada postoje slobodne varijable bolje je formulirati kao teorem:

Imajte na umu: ovo je vrlo važna tačka! U zavisnosti od toga kako pišete rezultujući sistem, ista varijabla može biti dozvoljena ili slobodna. Većina tutora višu matematiku Preporučljivo je pisati varijable leksikografskim redom, tj. rastući indeks. Međutim, niste u obavezi da slijedite ovaj savjet.

Teorema. Ako su u sistemu od n jednačina dozvoljene varijable x 1, x 2, ..., x r, a x r + 1, x r + 2, ..., x k su slobodne, tada:

1. Ako postavimo vrijednosti slobodnih varijabli (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), a zatim pronađemo vrijednosti x 1, x 2, ..., x r, dobijamo jednu od odluka.
2. Ako se u dva rješenja poklapaju vrijednosti slobodnih varijabli, onda se poklapaju i vrijednosti dozvoljenih varijabli, tj. rješenja su jednaka.

Šta je značenje ove teoreme? Da bi se dobila sva rješenja riješenog sistema jednačina, dovoljno je izolovati slobodne varijable. Zatim, dodjeljivanje slobodnim varijablama različita značenja, primićemo gotova rješenja. To je sve - na ovaj način možete dobiti sva rješenja sistema. Drugih rješenja nema.

Zaključak: riješeni sistem jednačina je uvijek konzistentan. Ako je broj jednačina u razriješenom sistemu jednak broju varijabli, sistem će biti definitivan; ako je manji, bit će neodređen.

I sve bi bilo u redu, ali postavlja se pitanje: kako dobiti riješeno iz originalnog sistema jednačina? Za ovo postoji

Sistemi jednačina su se široko koristili u ekonomskoj industriji sa matematičko modeliranje razne procese. Na primjer, kod rješavanja problema upravljanja i planiranja proizvodnje, logističkih ruta (problem transporta) ili smještaja opreme.

Sistemi jednačina se koriste ne samo u matematici, već iu fizici, hemiji i biologiji, kada se rješavaju problemi određivanja veličine populacije.

Sistem linearnih jednačina su dvije ili više jednačina sa više varijabli za koje je potrebno pronaći zajedničko rješenje. Takav niz brojeva za koji sve jednačine postaju istinite jednakosti ili dokazuju da niz ne postoji.

Linearna jednadžba

Jednačine oblika ax+by=c nazivaju se linearne. Oznake x, y su nepoznanice čija se vrijednost mora pronaći, b, a su koeficijenti varijabli, c je slobodni član jednačine.
Rješavanje jednadžbe iscrtavanjem izgledat će kao prava linija, čije su sve točke rješenja polinoma.

Vrste sistema linearnih jednačina

Najjednostavnijim primjerima smatraju se sistemi linearnih jednadžbi s dvije varijable X i Y.

F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdje su F1,2 funkcije, a (x, y) funkcionalne varijable.

Riješiti sistem jednačina - to znači pronalaženje vrijednosti (x, y) pri kojima se sistem pretvara u pravu jednakost ili utvrđivanje da odgovarajuće vrednosti x i y ne postoje.

Par vrijednosti (x, y), zapisan kao koordinate tačke, naziva se rješenjem sistema linearnih jednadžbi.

Ako sistemi imaju jedno zajedničko rješenje ili ne postoji rješenje, nazivaju se ekvivalentnim.

Homogeni sistemi linearnih jednačina su sistemi čija je desna strana jednaka nuli. Ako desni dio iza znaka jednakosti ima vrijednost ili je izražen funkcijom, takav sistem je heterogen.

Broj varijabli može biti mnogo veći od dvije, tada treba govoriti o primjeru sistema linearnih jednačina sa tri ili više varijabli.

Kada se suoče sa sistemima, školarci pretpostavljaju da se broj jednačina nužno mora podudarati s brojem nepoznanica, ali to nije slučaj. Broj jednačina u sistemu ne zavisi od varijabli, može ih biti koliko god želite.

Jednostavne i složene metode za rješavanje sistema jednačina

Ne postoji opšta analitička metoda za rešavanje ovakvih sistema, sve metode su zasnovane na numeričkim rešenjima. Školski predmet matematike detaljno opisuje metode kao što su permutacija, algebarsko sabiranje, supstitucija, kao i grafičke i matrične metode, rješenja Gaussovom metodom.

Glavni zadatak pri podučavanju metoda rješenja je naučiti kako pravilno analizirati sistem i pronaći optimalni algoritam rješenja za svaki primjer. Glavna stvar nije zapamtiti sistem pravila i radnji za svaku metodu, već razumjeti principe korištenja određene metode

Rješavanje primjera sistema linearnih jednačina programa 7. razreda srednja škola prilično jednostavno i detaljno objašnjeno. U svakom udžbeniku matematike ovom dijelu se posvećuje dovoljno pažnje. Rješavanje primjera sistema linearnih jednačina Gauss-ovom i Cramerovom metodom detaljnije se proučava u prvim godinama visokog obrazovanja.

Rješavanje sistema metodom zamjene

Radnje metode zamjene imaju za cilj izražavanje vrijednosti jedne varijable u terminima druge. Izraz se zamjenjuje u preostalu jednačinu, a zatim se svodi na oblik s jednom promjenljivom. Akcija se ponavlja u zavisnosti od broja nepoznatih u sistemu

Dajemo rješenje za primjer sistema linearnih jednadžbi klase 7 koristeći metodu supstitucije:

Kao što se može vidjeti iz primjera, varijabla x je izražena kroz F(X) = 7 + Y. Rezultirajući izraz, zamijenjen u 2. jednačinu sistema umjesto X, pomogao je da se dobije jedna varijabla Y u 2. jednačini . Rješenje ovaj primjer ne izaziva poteškoće i omogućava vam da dobijete Y vrijednost. Poslednji korak Ovo je provjera primljenih vrijednosti.

Nije uvijek moguće riješiti primjer sistema linearnih jednačina zamjenom. Jednačine mogu biti složene i izražavanje varijable u terminima druge nepoznate biće previše glomazno za dalje proračune. Kada u sistemu ima više od 3 nepoznate, rješavanje zamjenom također nije prikladno.

Rješenje primjera sistema linearnih nehomogenih jednadžbi:

Rješenje korištenjem algebarskog sabiranja

Prilikom traženja rješenja za sisteme koristeći metodu sabiranja, oni obavljaju sabiranje član po član i množenje jednačina sa različiti brojevi. Krajnji cilj matematičkih operacija je jednačina u jednoj varijabli.

Primena ove metode zahteva praksu i posmatranje. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi metodom sabiranja kada postoje 3 ili više varijabli nije lako. Algebarsko sabiranje je pogodno za korištenje kada jednadžbe sadrže razlomke i decimale.

Algoritam rješenja:

1. Pomnožite obje strane jednačine određenim brojem. Kao rezultat aritmetička radnja jedan od koeficijenata varijable mora postati jednak 1.
2. Dodajte rezultirajući izraz pojam po član i pronađite jednu od nepoznatih.
3. Zamijenite rezultirajuću vrijednost u 2. jednadžbu sistema da biste pronašli preostalu varijablu.

Metoda rješenja uvođenjem nove varijable

Nova varijabla se može uvesti ako sistem zahtijeva pronalaženje rješenja za ne više od dvije jednačine; broj nepoznatih također ne smije biti veći od dvije.

Metoda se koristi za pojednostavljenje jedne od jednadžbi uvođenjem nove varijable. Nova jednačina se rješava za uvedenu nepoznatu, a rezultirajuća vrijednost se koristi za određivanje originalne varijable.

Primjer pokazuje da je uvođenjem nove varijable t bilo moguće svesti 1. jednadžbu sistema na standardnu kvadratni trinom. Polinom možete riješiti pronalaženjem diskriminanta.

Potrebno je pronaći vrijednost diskriminanta koristeći dobro poznatu formulu: D = b2 - 4*a*c, gdje je D željeni diskriminant, b, a, c su faktori polinoma. U datom primjeru, a=1, b=16, c=39, dakle D=100. Ako je diskriminant Iznad nule, tada postoje dva rješenja: t = -b±√D / 2*a, ako je diskriminanta manje od nule, tada postoji samo jedno rješenje: x= -b / 2*a.

Rješenje za rezultirajuće sisteme nalazi se metodom sabiranja.

Vizuelna metoda za rješavanje sistema

Pogodno za 3 sistema jednačina. Metoda se sastoji u konstruisanju grafova svake jednačine uključene u sistem na koordinatnoj osi. Koordinate tačaka preseka krivih i biće opšta odluka sistemima.

Grafička metoda ima niz nijansi. Pogledajmo nekoliko primjera rješavanja sistema linearnih jednačina na vizuelni način.

Kao što se može vidjeti iz primjera, za svaku liniju su konstruirane dvije tačke, a proizvoljno su odabrane vrijednosti varijable x: 0 i 3. Na osnovu vrijednosti x pronađene su vrijednosti za y: 3 i 0. Tačke sa koordinatama (0, 3) i (3, 0) označene su na grafikonu i povezane linijom.

Koraci se moraju ponoviti za drugu jednačinu. Tačka preseka pravih je rešenje sistema.

Sljedeći primjer zahtijeva pronalaženje grafičkog rješenja za sistem linearnih jednačina: 0,5x-y+2=0 i 0,5x-y-1=0.

Kao što se vidi iz primjera, sistem nema rješenja, jer su grafovi paralelni i ne seku se cijelom dužinom.

Sistemi iz primjera 2 i 3 su slični, ali kada se konstruišu postaje očigledno da su njihova rješenja različita. Treba imati na umu da nije uvijek moguće reći da li sistem ima rješenje ili ne; uvijek je potrebno konstruirati graf.

Matrica i njene varijante

Matrice se koriste za kratka napomena sistemi linearnih jednačina. Matrica je tabela poseban tip ispunjen brojevima. n*m ima n - redova i m - kolona.

Matrica je kvadratna kada je broj kolona i redova jednak. Matrica-vektor je matrica od jednog stupca sa beskonačno mogućim brojem redova. Matrica s jedinicama duž jedne od dijagonala i drugim nultim elementima naziva se identitet.

Inverzna matrica je matrica kada se pomnoži s kojom se originalna matrica pretvara u jediničnu matricu; takva matrica postoji samo za originalnu kvadratnu matricu.

Pravila za pretvaranje sistema jednačina u matricu

U odnosu na sisteme jednačina, koeficijenti i slobodni članovi jednačina zapisuju se kao brojevi matrice, jedna jednačina je jedan red matrice.

Za red matrice se kaže da nije nula ako barem jedan element reda nije nula. Stoga, ako se u bilo kojoj od jednadžbi razlikuje broj varijabli, tada je potrebno unijeti nulu umjesto nepoznate koja nedostaje.

Kolone matrice moraju striktno odgovarati varijablama. To znači da se koeficijenti varijable x mogu upisati samo u jedan stupac, na primjer prvi, koeficijent nepoznate y - samo u drugi.

Prilikom množenja matrice, svi elementi matrice se sekvencijalno množe brojem.

Opcije za pronalaženje inverzne matrice

Formula za pronalaženje inverzne matrice je prilično jednostavna: K -1 = 1 / |K|, gdje je K -1 - inverzna matrica, i |K| je determinanta matrice. |K| ne smije biti jednak nuli, tada sistem ima rješenje.

Determinanta se lako izračunava za matricu dva po dva; potrebno je samo pomnožiti dijagonalne elemente jedan s drugim. Za opciju “tri po tri” postoji formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Možete koristiti formulu, ili se možete sjetiti da morate uzeti po jedan element iz svakog reda i svake kolone kako se brojevi stupaca i redova elemenata ne bi ponavljali u radu.

Rješavanje primjera sistema linearnih jednadžbi matričnom metodom

Matrična metoda pronalaženja rješenja omogućava vam da smanjite glomazne unose pri rješavanju sistema s velikim brojem varijabli i jednačina.

U primjeru, a nm su koeficijenti jednadžbi, matrica je vektor x n su varijable, a b n su slobodni termini.

Rješavanje sistema Gausovom metodom

U višoj matematici Gaussova metoda se proučava zajedno sa Cramer metodom, a proces pronalaženja rješenja sistema naziva se Gauss-Cramerovom metodom rješenja. Ove metode se koriste za pronalaženje varijabli sistema sa velikim brojem linearnih jednačina.

Gaussova metoda je vrlo slična rješenjima zamjenom i algebarskim sabiranjem, ali je sistematičnija. U školskom predmetu se koristi rješenje Gaussove metode za sisteme od 3 i 4 jednačine. Svrha metode je da se sistem svede na oblik obrnutog trapeza. Pomoću algebarskih transformacija i supstitucija, vrijednost jedne varijable se nalazi u jednoj od jednačina sistema. Druga jednačina je izraz sa 2 nepoznate, dok su 3 i 4, respektivno, sa 3 i 4 varijable.

Nakon dovođenja sistema u opisani oblik, dalje rješenje se svodi na sekvencijalnu zamjenu poznatih varijabli u jednačine sistema.

U školskim udžbenicima za 7. razred primjer rješenja Gaussovom metodom opisan je na sljedeći način:

Kao što se može vidjeti iz primjera, u koraku (3) su dobijene dvije jednačine: 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rješavanje bilo koje od jednadžbi će vam omogućiti da saznate jednu od varijabli x n.

Teorema 5, koja se spominje u tekstu, kaže da ako se jedna od jednačina sistema zamijeni ekvivalentnom, onda će i rezultirajući sistem biti ekvivalentan izvornom.

Gaussovu metodu učenicima je teško razumjeti srednja škola, ali je jedan od najjačih zanimljive načine razvijati genijalnost djece koja uče po programu dubinska studija na časovima matematike i fizike.

Radi lakšeg snimanja, proračuni se obično rade na sljedeći način:

Koeficijenti jednačina i slobodnih termina zapisani su u obliku matrice, pri čemu svaki red matrice odgovara jednoj od jednačina sistema. odvaja lijevu stranu jednačine od desne. Rimski brojevi označavaju brojeve jednačina u sistemu.

Prvo, zapišite matricu s kojom ćete raditi, a zatim sve radnje izvedene s jednim od redova. Rezultirajuća matrica se upisuje nakon znaka "strelica" i potrebne algebarske operacije se nastavljaju dok se ne postigne rezultat.

Rezultat bi trebao biti matrica u kojoj je jedna od dijagonala jednaka 1, a svi ostali koeficijenti jednaki nuli, odnosno matrica se svodi na jedinični oblik. Ne smijemo zaboraviti izvršiti proračune sa brojevima na obje strane jednačine.

Ova metoda snimanja je manje glomazna i omogućava vam da vas ne ometaju nabrajanje brojnih nepoznanica.

Besplatna upotreba bilo koje metode rješenja zahtijevat će brigu i određeno iskustvo. Nisu sve metode primijenjene prirode. Neke metode pronalaženja rješenja su poželjnije u određenom području ljudske djelatnosti, dok druge postoje u obrazovne svrhe.

Prilikom rješavanja linearnih jednadžbi nastojimo pronaći korijen, odnosno vrijednost varijable koja će jednadžbu pretvoriti u ispravnu jednakost.

Da biste pronašli korijen jednačine koja vam je potrebna ekvivalentne transformacije dovode jednačinu koja nam je data u formu

\(x=[broj]\)

Ovaj broj će biti korijen.

Odnosno, transformiramo jednačinu, čineći je jednostavnijom svakim korakom, sve dok je ne svedemo na potpuno primitivnu jednačinu “x = broj”, gdje je korijen očigledan. Najčešće korištene transformacije pri rješavanju linearnih jednačina su sljedeće:

Na primjer: dodati \(5\) na obje strane jednačine \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Imajte na umu da bismo brže mogli dobiti isti rezultat jednostavnim pisanjem pet na drugoj strani jednačine i promjenom njenog predznaka. Zapravo, upravo tako se radi u školi „prelazak kroz jednake sa promjenom predznaka u suprotno”.

2. Množenje ili dijeljenje obje strane jednačine istim brojem ili izrazom.

Na primjer: podijeliti jednačinu \(-2x=8\) sa minus dva

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Obično se ovaj korak izvodi na samom kraju, kada je jednadžba već svedena na oblik \(ax=b\), a mi dijelimo sa \(a\) da bismo je uklonili s lijeve strane.

3. Korištenje svojstava i zakona matematike: otvaranje zagrada, dovođenje sličnih pojmova, smanjenje razlomaka itd.

Dodajte \(2x\) lijevo i desno

Oduzmi \(24\) sa obje strane jednačine

Ponovo predstavljamo slične pojmove

Sada dijelimo jednačinu sa \(-3\), čime uklanjamo prednji X na lijevoj strani.

Odgovori : \(7\)

Odgovor je pronađen. Međutim, hajde da to proverimo. Ako je sedam zaista korijen, onda bi njegova zamjena umjesto X u originalnu jednadžbu trebala rezultirati ispravnom jednakošću - isti brojevi lijevo i desno. Pokusajmo.

pregled:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Upalilo je. To znači da je sedam zaista korijen originalne linearne jednadžbe.

Ne budite lijeni provjeriti odgovore koje ste pronašli zamjenom, pogotovo ako rješavate jednačinu na testu ili ispitu.

Ostaje pitanje - kako odrediti šta učiniti s jednačinom u sljedećem koraku? Kako to tačno pretvoriti? Podijeliti s nečim? Ili oduzeti? I šta tačno da oduzmem? Podijeliti sa čime?

Odgovor je jednostavan:

Vaš cilj je da jednačinu dovedete u oblik \(x=[broj]\), odnosno na lijevoj strani je x bez koeficijenata i brojeva, a na desnoj strani samo broj bez varijabli. Stoga, pogledajte šta vas sprečava i rade suprotno od onoga što radi ometajuća komponenta.

Da bismo ovo bolje razumjeli, pogledajmo rješenje linearne jednadžbe \(x+3=13-4x\) korak po korak.

Razmislimo: kako se ova jednačina razlikuje od \(x=[broj]\)? Šta nas sprečava? Sta nije u redu?

Pa, prvo, tri smeta, jer na lijevoj strani treba biti samo usamljeni X, bez brojeva. Šta "radi" trojka? Dodano do X. Dakle, da ga uklonite - oduzimati ista tri. Ali ako oduzmemo tri s lijeve strane, moramo ga oduzeti od desne strane kako se jednakost ne bi narušila.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

U redu. Šta te sada sprečava? \(4x\) na desnoj strani, jer bi tamo trebali biti samo brojevi. \(4x\) oduzeto- uklanjamo dodavanjem.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Sada predstavljamo slične pojmove lijevo i desno.

Skoro je spreman. Ostaje samo ukloniti pet sa lijeve strane. Šta to ona radi"? Umnožava se na x. Pa hajde da ga uklonimo divizije.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Rješenje je potpuno, korijen jednadžbe je dva. Možete provjeriti zamjenom.

primeti, to najčešće postoji samo jedan korijen u linearnim jednačinama. Međutim, mogu se pojaviti dva posebna slučaja.

Specijalni slučaj 1 – nema korijena u linearnoj jednadžbi.

Primjer . Riješite jednačinu \(3x-1=2(x+3)+x\)

Rješenje :

Odgovori : bez korijena.

Zapravo, činjenica da ćemo doći do takvog rezultata bila je vidljiva i ranije, čak i kada smo dobili \(3x-1=3x+6\). Razmislite o tome: kako \(3x\) od kojeg smo oduzeli \(1\) i \(3x\) kojem smo dodali \(6\) mogu biti jednaki? Očigledno, nema šanse, jer su radili istu stvar različite akcije! Jasno je da će rezultati varirati.

Specijalni slučaj 2 – linearna jednačina ima beskonačan broj korijena.

Primjer . Riješite linearnu jednačinu \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Rješenje :

Odgovori : bilo koji broj.

To je, inače, bilo primjetno još ranije, u fazi: \(8x+12=8x+12\). Zaista, lijevo i desno su isti izrazi. Koji god X zamijenite, bit će isti broj i tamo i tamo.

Složenije linearne jednadžbe.

Originalna jednačina ne izgleda uvijek odmah kao linearna; ponekad je „maskirana“ kao druga, više složene jednačine. Međutim, u procesu transformacije, maska ​​nestaje.

Primjer . Pronađite korijen jednadžbe \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Rješenje :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Čini se da ovdje postoji x na kvadrat - ovo nije linearna jednadžba! Ali ne žuri. Hajde da se prijavimo
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Zašto je rezultat proširenja \((x-4)^(2)\) u zagradama, a rezultat \((3+x)^(2)\) nije? Jer ispred prvog kvadrata je minus koji će promijeniti sve znakove. A kako ne bismo zaboravili na ovo, rezultat uzimamo u zagrade, koje sada otvaramo.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Predstavljamo slične termine
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Ponovo vam predstavljamo slične.
		Volim ovo. Ispostavilo se da je originalna jednadžba prilično linearna, a X na kvadrat nije ništa drugo do ekran koji nas zbunjuje. :) Rješenje kompletiramo dijeljenjem jednačine sa \(2\), i dobijamo odgovor.

Odgovori : \(x=5\)

Primjer . Riješite linearnu jednačinu \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

Rješenje :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Jednačina ne izgleda linearno, to je neka vrsta razlomaka... Međutim, hajde da se riješimo nazivnika tako što ćemo obje strane jednadžbe pomnožiti zajedničkim imeniocem svih - šest
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Proširite zagradu s lijeve strane
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Sada smanjimo nazivnike
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Sada izgleda kao obična linearna! Hajde da ga završimo.
		Prevođenjem kroz jednake skupljamo X na desnoj strani i brojeve na lijevoj strani
		Pa, podijelimo desnu i lijevu stranu sa \(-4\), dobijamo odgovor

Odgovori : \(x=-1,25\)

U ovom članku ćemo razmotriti princip rješavanja takvih jednadžbi kao što su linearne jednadžbe. Zapišimo definicije ovih jednačina i postavimo ih opšti oblik. Analiziraćemo sve uslove za pronalaženje rešenja linearnih jednačina, koristeći između ostalog i praktične primere.

Imajte na umu da materijal u nastavku sadrži informacije o linearnim jednačinama s jednom promjenljivom. O linearnim jednadžbama u dvije varijable raspravlja se u posebnom članku.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Šta je linearna jednačina

Definicija 1

Linearna jednadžba je jednačina napisana na sljedeći način:
a x = b, Gdje x– varijabilna, a I b- neki brojevi.

Ovu formulaciju koristio je u udžbeniku algebre (7. razred) Yu.N. Makarychev.

Primjer 1

Primjeri linearnih jednadžbi bi bili:

3 x = 11(jednačina sa jednom promenljivom x at a = 5 I b = 10);

− 3 , 1 y = 0 ( linearna jednačina sa promenljivom y, Gdje a = - 3, 1 I b = 0);

x = − 4 I − x = 5,37(linearne jednačine, gdje je broj a napisano eksplicitno i jednako 1 i - 1, respektivno. Za prvu jednačinu b = - 4 ; za drugi - b = 5,37) i tako dalje.

U različitim edukativni materijali Mogu postojati različite definicije. Na primjer, Vilenkin N.Ya. Linearne jednačine takođe uključuju one jednačine koje se mogu transformisati u oblik a x = b prenošenjem pojmova iz jednog dijela u drugi s promjenom predznaka i donošenjem sličnih pojmova. Ako slijedimo ovu interpretaciju, jednačina 5 x = 2 x + 6 – takođe linearni.

Ali udžbenik algebre (7. razred) Mordkovich A.G. daje sljedeći opis:

Definicija 2

Linearna jednačina u jednoj varijabli x je jednačina oblika a x + b = 0, Gdje a I b– neki brojevi koji se nazivaju koeficijenti linearne jednačine.

Primjer 2

Primjer linearnih jednadžbi ovog tipa može biti:

3 x − 7 = 0 (a = 3 , b = − 7) ;

1, 8 y + 7, 9 = 0 (a = 1, 8, b = 7, 9).

Ali postoje i primjeri linearnih jednačina koje smo već koristili gore: oblika a x = b, Na primjer, 6 x = 35.

Odmah ćemo se složiti da ćemo u ovom članku linearnom jednadžbom sa jednom promenljivom razumeti napisanu jednačinu a x + b = 0, Gdje x– varijabilna; a, b – koeficijenti. Ovaj oblik linearne jednačine vidimo kao najopravdaniji, jer su linearne jednačine algebarske jednačine prvog stepena. I ostale gore navedene jednačine i jednačine date ekvivalentnim transformacijama u obliku a x + b = 0, definiramo kao jednadžbe koje se svode na linearne jednačine.

Sa ovim pristupom, jednačina 5 x + 8 = 0 je linearna, i 5 x = − 8- jednačina koja se svodi na linearnu.

Princip rješavanja linearnih jednačina

Pogledajmo kako odrediti da li će data linearna jednadžba imati korijene i, ako ima, koliko i kako ih odrediti.

Definicija 3

Činjenica prisutnosti korijena linearne jednadžbe određena je vrijednostima koeficijenata a I b. Zapišimo ove uslove:

• at a ≠ 0 linearna jednadžba ima jedan korijen x = - b a ;
• at a = 0 I b ≠ 0 linearna jednadžba nema korijena;
• at a = 0 I b = 0 linearna jednadžba ima beskonačno mnogo korijena. U suštini in u ovom slučaju bilo koji broj može postati korijen linearne jednadžbe.

Hajde da damo objašnjenje. Znamo da je u procesu rješavanja jednadžbe moguće datu jednačinu transformirati u ekvivalentnu, što znači da ima iste korijene kao i izvorna jednačina, ili da također nema korijen. Možemo napraviti sljedeće ekvivalentne transformacije:

• prenijeti pojam iz jednog dijela u drugi, mijenjajući znak u suprotan;
• pomnožite ili podijelite obje strane jednačine istim brojem koji nije nula.

Tako ćemo transformisati linearnu jednačinu a x + b = 0, pomjerajući termin b s lijeva na desna strana sa promjenom predznaka. Dobijamo: a · x = − b .

Dakle, dijelimo obje strane jednačine brojem koji nije nula A,što rezultira jednakošću oblika x = - b a . Odnosno kada a ≠ 0, originalna jednadžba a x + b = 0 je ekvivalentna jednakosti x = - b a, u kojoj je korijen - b a očigledan.

Kontradikcijom je moguće pokazati da je pronađeni korijen jedini. Označimo pronađeni korijen - b a kao x 1 . Pretpostavimo da postoji još jedan korijen linearne jednadžbe s oznakom x 2 . I naravno: x 2 ≠ x 1, a ovo je zauzvrat, na osnovu definicije jednakih brojeva kroz razliku, ekvivalentno uslovu x 1 − x 2 ≠ 0 . Uzimajući u obzir gore navedeno, možemo stvoriti sljedeće jednakosti zamjenom korijena:
a x 1 + b = 0 i a x 2 + b = 0.
Svojstvo brojčanih jednakosti omogućava da se po članu oduzmu dijelovi jednakosti:

a x 1 + b − (a x 2 + b) = 0 − 0, odavde: a · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0 i dalje a · (x 1 − x 2) = 0 . Jednakost a · (x 1 − x 2) = 0 je netačno jer je to prethodno navedeno a ≠ 0 I x 1 − x 2 ≠ 0 . Nastala kontradikcija služi kao dokaz da kada a ≠ 0 linearna jednačina a x + b = 0 ima samo jedan korijen.

Hajde da opravdamo još dve klauzule uslova koji sadrže a = 0 .

Kada a = 0 linearna jednačina a x + b = 0 biće napisano kao 0 x + b = 0. Svojstvo množenja broja sa nulom daje nam pravo da tvrdimo da bilo koji broj uzet kao x, zamjenjujući ga jednakošću 0 x + b = 0, dobijamo b = 0 . Jednakost vrijedi za b = 0; u drugim slučajevima, kada b ≠ 0, jednakost postaje lažna.

Dakle, kada a = 0 i b = 0 , bilo koji broj može postati korijen linearne jednadžbe a x + b = 0, od kada su ovi uslovi ispunjeni, umjesto toga zamjena x bilo koji broj, dobijamo tačnu brojčanu jednakost 0 = 0 . Kada a = 0 I b ≠ 0 linearna jednačina a x + b = 0 neće imati korijene uopće, od kada se izvršava specificirani uslovi, zamjenjujući umjesto toga x bilo koji broj, dobijamo netačnu brojčanu jednakost b = 0.

Sva gore navedena razmatranja daju nam priliku da zapišemo algoritam koji omogućava pronalaženje rješenja bilo koje linearne jednačine:

• prema vrsti zapisa određujemo vrijednosti koeficijenata a I b i analizirati ih;
• at a = 0 I b = 0 jednadžba će imati beskonačno mnogo korijena, tj. bilo koji broj će postati korijen date jednadžbe;
• at a = 0 I b ≠ 0
• at a, različito od nule, počinjemo tražiti jedini korijen originalne linearne jednadžbe:

1. pomjerimo koeficijent b na desnu stranu s promjenom predznaka u suprotan, dovodeći linearnu jednačinu u oblik a · x = − b;
2. podijelite obje strane rezultirajuće jednakosti brojem a, što će nam dati željeni korijen date jednadžbe: x = - b a.

Zapravo, opisani slijed radnji je odgovor na pitanje kako pronaći rješenje linearne jednačine.

Konačno, razjasnimo te jednačine oblika a x = b rješavaju se korištenjem sličnog algoritma s jedinom razlikom što je broj b u takvom zapisu je već prebačen na traženi dio jednačine, a sa a ≠ 0 možete odmah podijeliti dijelove jednačine brojem a.

Dakle, pronaći rješenje jednačine a x = b, koristimo sljedeći algoritam:

• at a = 0 I b = 0 jednadžba će imati beskonačno mnogo korijena, tj. bilo koji broj može postati njegov korijen;
• at a = 0 I b ≠ 0 data jednadžba neće imati korijene;
• at a, nije jednako nuli, obje strane jednačine podijeljene su brojem a, što omogućava pronalaženje jedinog korijena koji je jednak b a.

Primjeri rješavanja linearnih jednačina

Primjer 3

Linearnu jednačinu treba riješiti 0 x − 0 = 0.

Rješenje

Pisanjem date jednačine to vidimo a = 0 I b = − 0(ili b = 0,što je isto). Dakle, data jednadžba može imati beskonačan broj korijena ili bilo koji broj.

odgovor: x– bilo koji broj.

Primjer 4

Potrebno je utvrditi da li jednačina ima korijen 0 x + 2, 7 = 0.

Rješenje

Iz zapisa utvrđujemo da je a = 0, b = 2, 7. Dakle, data jednadžba neće imati korijene.

odgovor: originalna linearna jednadžba nema korijen.

Primjer 5

Zadana je linearna jednačina 0,3 x − 0,027 = 0. To treba riješiti.

Rješenje

Pisanjem jednačine utvrđujemo da je a = 0, 3; b = - 0,027, što nam omogućava da tvrdimo da data jednačina ima jedan korijen.

Prateći algoritam, pomjerimo b na desnu stranu jednačine, mijenjajući predznak, dobijamo: 0,3 x = 0,027. Zatim podijelimo obje strane rezultirajuće jednakosti sa a = 0, 3, a zatim: x = 0, 027 0, 3.

Podijelimo decimalne razlomke:

0,027 0,3 = 27 300 = 3 9 3 100 = 9 100 = 0,09

Dobijeni rezultat je korijen date jednadžbe.

Zapišimo ukratko rješenje na sljedeći način:

0,3 x - 0,027 = 0,0,3 x = 0,027, x = 0,027 0,3, x = 0,09.

odgovor: x = 0,09.

Radi jasnoće, predstavljamo rješenje jednadžbe pisanja a x = b.

Primjer N

Date jednačine su: 1) 0 x = 0 ; 2) 0 x = − 9 ; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . Treba ih riješiti.

Rješenje

Sve date jednačine zapisi odgovaraju a x = b. Pogledajmo ih jedan po jedan.

U jednačini 0 x = 0, a = 0 i b = 0, što znači: bilo koji broj može biti korijen ove jednadžbe.

U drugoj jednačini 0 x = − 9: a = 0 i b = − 9, prema tome, ova jednadžba neće imati korijena.

Na osnovu oblika posljednje jednačine - 3 8 · x = - 3 3 4, zapisujemo koeficijente: a = - 3 8, b = - 3 3 4, tj. jednadžba ima jedan korijen. Hajde da ga nađemo. Podijelimo obje strane jednačine sa a, što rezultira: x = - 3 3 4 - 3 8. Pojednostavite razlomak koristeći pravilo dijeljenja negativni brojevi nakon čega slijedi prijevod mješoviti broj V običan razlomak i dijeljenje običnih razlomaka:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

Zapišimo ukratko rješenje na sljedeći način:

3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 , x = 10 .

odgovor: 1) x– bilo koji broj, 2) jednačina nema korijena, 3) x = 10.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Povratak