Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika sjekira 2+bx +c = 0, gdje x– varijabilna, a,b I c– neki brojevi, i a ≠ 0.
Primjer kvadratne jednadžbe:
3x 2 + 2x – 5 = 0.
Evo A = 3, b = 2, c = –5.
Brojevi a,b I c– kvote kvadratna jednačina.
Broj a pozvao prvi koeficijent, broj b – drugi koeficijent, i broj c – besplatni član.
Redukovana kvadratna jednačina.
Poziva se kvadratna jednadžba u kojoj je prvi koeficijent 1 zadata kvadratna jednačina.
Primjeri date kvadratne jednadžbe:
x 2 + 10x – 11 = 0
x 2 – x – 12 = 0
x 2 – 6X + 5 = 0
ovdje je koeficijent at x 2 je jednako 1 (jednostavno je 1 izostavljen u sve tri jednačine).
Nepotpuna kvadratna jednadžba.
Ako je u kvadratnoj jednadžbi sjekira 2+bx +c = 0 barem jedan od koeficijenata b ili c jednaka nuli, onda se takva jednačina naziva nepotpuna kvadratna jednadžba.
Primjeri nepotpunih kvadratnih jednadžbi:
2x 2 + 18 = 0
ovde postoji koeficijent A, koji je jednak -2, je koeficijent c, jednako 18, i koeficijent b ne – jednako je nuli.
x 2 – 5x = 0
Evo A = 1, b = -5, c= 0 (dakle, koeficijent c nedostaje u jednadžbi).
Kako riješiti kvadratne jednačine.
Da biste riješili kvadratnu jednačinu, potrebno je izvršiti samo dva koraka:
1) Pronađite diskriminanta D koristeći formulu:
D=b 2 – 4 ac.
Ako je diskriminanta negativan broj, tada kvadratna jednadžba nema rješenja i proračuni se zaustavljaju. Ako je D ≥ 0, onda
2) Pronađite korijene kvadratne jednadžbe koristeći formulu:
–
b ± √
D
X 1,2 = -----.
2A
Primjer: Riješite kvadratnu jednačinu 3 X 2 – 5X – 2 = 0.
Rješenje:
Prvo, odredimo koeficijente naše jednadžbe:
A = 3, b = –5, c = –2.
Izračunavamo diskriminanta:
D= b 2 – 4ac= (–5) 2 – 4 3 (–2) = 25 + 24 = 49.
D > 0, što znači da jednačina ima smisla, što znači da možemo nastaviti.
Pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe:
–b+ √D 5 + 7 12
X 1 = ----- = ---- = -- = 2
2A 6 6
–b– √D 5 – 7 2 1
X 2 = ----- = ---- = – -- = – --.
2A 6 6 3
1
Odgovor: X 1 = 2, X 2 = – --.
Sažetak lekcije
nastavnici matematike
MBOU Srednja škola br. 2, Vorsma
Kiseleva Larisa Aleksejevna
Tema: „Svedena kvadratna jednačina. Vietina teorema"
Svrha lekcije: Uvođenje koncepta redukovane kvadratne jednadžbe, Vietine teoreme i njene obrnute teoreme.
Zadaci:
edukativni:
Uvesti koncept redukovane kvadratne jednadžbe,
Izvedite formulu za korijene date kvadratne jednadžbe,
Formulirajte i dokažite Vietinu teoremu,
Formulirajte i dokažite teoremu suprotnu Vietinoj teoremi,
Naučiti učenike da rješavaju date kvadratne jednadžbe koristeći teorem inverznu Vietinoj teoremi.
edukativni:
razvoj logičko razmišljanje, pamćenje, pažnja, općeobrazovne vještine, sposobnosti poređenja i generalizacije;
edukativni:
negovanje marljivog rada, uzajamne pomoći i matematičke kulture.
Vrsta lekcije: lekcija o uvođenju novog gradiva.
Oprema: udžbenik algebre izd. Alimova i drugi, sveska, materijali, prezentacija za čas.
Plan lekcije.
Faza lekcije
Sadržaj (cilj) pozornice
vrijeme (min)
Provjera domaćeg
Posao verifikacije
Analiza rada, odgovori na pitanja.
Učenje novog gradiva
Formiranje osnovnih znanja, formulisanje pravila, rešavanje problema, analiza rezultata, odgovaranje na pitanja učenika.
Savladavanje proučenog gradiva primjenom na rješavanje zadataka po analogiji pod nadzorom nastavnika.
Sumiranje lekcije
Procjena znanja učenika koji su odgovorili. Provjera znanja i razumijevanja teksta pravila metodom frontalnog istraživanja.
Zadaća
Upoznati učenike sa sadržajem zadatka i dobiti potrebna objašnjenja.
Dodatni zadaci
Zadaci na više nivoa koji osiguravaju razvoj učenika.
Tokom nastave.
Organiziranje vremena. Postavljanje cilja lekcije. Kreacija povoljnim uslovima Za uspješne aktivnosti. Motivacija za učenje.
Provjera domaćeg. Frontalno, individualno testiranje i korekcija znanja i vještina učenika.
Jednačina
Broj korijena
Učitelj: Kako možete odrediti broj njegovih korijena bez rješavanja kvadratne jednačine? (odgovori učenika)
Posao verifikacije. Odgovori na pitanja.
Tekst testni rad:
Opcija #1.
Riješite jednačine:
A) 
,
B) 
Ima:
Jedan korijen
Dva različita korena.
Opcija #2.
Riješite jednačine:
A) 
,
B) 
2.Pronaći vrijednost parametra a za koji je jednadžba 
Ima:
Jedan korijen
Dva različita korena.
Testni rad se završava na posebnim listovima papira i dostavlja nastavniku na provjeru.
Nakon predaje rada, rješenje se prikazuje na ekranu.
Učenje novog gradiva.
4.1. Francois Viet- francuski matematičar iz 16. veka. Bio je advokat, a kasnije i savetnik francuskih kraljeva Henrija III i Henrija II.
Jednom je uspeo da dešifruje veoma složeno špansko pismo koje su presreli Francuzi. Inkvizicija ga je zamalo spalila na lomači, optuživši ga da je u zavjeri sa đavolom.
François Vieta se naziva "ocem moderne algebre slova"
Kako su korijeni povezani? kvadratni trinom i njegovi koeficijenti p i q? Odgovor na ovo pitanje daje teorema koja nosi ime “oca algebre”, francuskog matematičara F. Viete, koju ćemo danas proučavati.
Čuvena teorema objavljena je 1591.
4.2 Formulujmo definiciju redukovane kvadratne jednačine.
Definicija. Kvadratna jednadžba oblika 
naziva se smanjenim.
To znači da je vodeći koeficijent jednačine jednako jedan.
Primjer. .
Bilo koja kvadratna jednadžba 
može se svesti na formu . Da biste to učinili, trebate podijeliti obje strane jednačine sa.
Na primjer, jednačina 7H 2 – 12H + 14 = 0 dijeljenjem sa 7 svodi se na oblik
X 2 – 12/7X + 2 = 0
4.3. Izvedite formule za korijene date kvadratne jednadžbe.
a, b, c
a=1, b=p, c=q
Riješi jednačinu X 2 – 14X – 15 =0 (Učenik rješava na tabli)
pitanja:
Imenujte koeficijente p i q (-14, -15);
Zapišite formulu za korijene date kvadratne jednadžbe;
Pronađite korijene ove jednadžbe (X 1 = 15, X 2 = -1)
4.4. formulisati i dokazati Vietin teorem.
Ako su i korijeni jednadžbe , tada su formule važeće, tj. zbir korijena redukovane kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu.
Nakon toga, nastavnik dokazuje teoremu. Zatim, zajedno sa učenicima, donosi zaključak.
Primjer. 
. p =-5,q =6.
Dakle brojevi i su brojevi
pozitivno. Treba naći dva pozitivni brojevi, čiji proizvod
jednako 6, a zbir je jednak 5. =2, =3 su korijeni jednadžbe.
4.5. Primjena Vietine teoreme .
Uz njegovu pomoć možete:
Pronađite zbroj i proizvod korijena kvadratne jednadžbe bez rješavanja,
Poznavajući jedan od korijena, pronađi drugi,
Identifikujte znakove korijeni jednadžbe,
Pronađite korijene jednadžbe bez rješavanja.
4.6. Formulirajmo teoremu inverznu Vietinoj teoremi.
Ako su brojevi p, q, i takvi su da zadovoljavaju relacije, tada su korijeni kvadratne jednadžbe .
Dokaz teoreme suprotne Vietinoj teoremi nosi se kući za jake studente da samostalno uče.
4.7. Razmotrite rješenje zadatka 5 na strani 125 udžbenika.
Učvršćivanje naučenog materijala
№ 450 (1)
№ 451 (1, 3, 5) - usmeno
№ 452 (usmeni)
№ 455 (1,3)
№ 456 (1, 3)
Sumiranje lekcije.
Odgovori na pitanja:
Navedite Vietin teorem.
Zašto je potrebna Vietina teorema?
Navedite obrnuto od Vietine teoreme.
Zadaća.
§29 (prije zadatka 6), br. 450(2,4,6); 455(2.4); 456(2,4,6).
Dodatni zadaci.
Nivo A.
Nađi zbir i proizvod korijena jednadžbe:
2. Koristeći inverznu teoremu Vietine teoreme, kreirajte kvadratnu jednačinu čiji su korijeni 2 i 5.
Nivo B.
1. Nađite zbir i proizvod korijena jednadžbe:
2. Koristeći teoremu inverznu Vietinoj teoremi, kreirajte kvadratnu jednačinu čiji su korijeni jednaki i .
Nivo C.
1. Analizirajte dokaz teoreme suprotan Vietinoj teoremi
2. Riješite jednadžbu i provjerite korištenjem inverzne teoreme Vietine teoreme:
Okvirni dijagram lekcije
Faze rada
Sadržaj bine
Organiziranje vremena, uključujući:
postavljanje cilja koji učenici moraju postići u ovoj fazi časa (šta moraju učiniti učenici da bi dalji rad bio efikasan na lekciji)
opis metoda za organizaciju rada studenata početna faza lekcija, priprema učenika za obrazovne aktivnosti, predmet i tema lekcije (uzimajući u obzir stvarne karakteristike razred sa kojim nastavnik radi)
Programski zahtjevi za matematičku pripremu učenika na ovu temu su uvođenje pojma redukovane kvadratne jednačine, Vietine teoreme i njene inverzne teoreme (iz programa za opšteobrazovne ustanove).
Učenici 8. razreda - djeca adolescencija, koju karakteriše nestabilnost pažnje. Najbolji način organizovati pažnju - organizovati nastavne aktivnosti tako da učenici nemaju ni vremena, ni želje, ni mogućnosti da se dugo ometaju.
Na osnovu navedenog, svrha lekcije je rješavanje sljedećih problema:
a) edukativni: uvođenje koncepta redukovane kvadratne jednadžbe, Vietine teoreme i njene obrnute teoreme.
b) razvijanje: razvoja logičkog mišljenja, pamćenja, pažnje, opšteobrazovnih sposobnosti, sposobnosti poređenja i generalizacije;
c) vaspitni: negovanje marljivog rada, uzajamne pomoći i matematičke kulture.
Da bi učenici sagledali nastavu kao logički zaokružen, holistički, vremenski ograničen segment obrazovnog procesa, on počinje postavljanjem obrazloženja zadataka, a završava se sumiranjem rezultata i postavljanjem zadataka za naredne lekcije.
Anketa učenika o domaćim zadacima, uključujući:
utvrđivanje ciljeva koje nastavnik postavlja učenicima u ovoj fazi časa (koji rezultat treba da postignu učenici);
utvrđivanje ciljeva i zadataka koje nastavnik želi postići u ovoj fazi časa;
opis metoda koje doprinose rješavanju postavljenih ciljeva i zadataka;
opis kriterijuma za postizanje ciljeva i zadataka ove faze časa;
utvrđivanje mogućih postupaka nastavnika ako on ili učenici ne ostvare svoje ciljeve;
opis metoda organizacije zajedničke aktivnosti učenike, uzimajući u obzir karakteristike odeljenja sa kojim nastavnik radi;
opis metoda motivisanja (stimulisanja) učeničke aktivnosti učenika tokom anketiranja;
opis metoda i kriterijuma za procenu odgovora učenika tokom ankete.
U prvoj fazi vrši se frontalna, individualna provjera i korekcija znanja i vještina učenika. U ovom slučaju, rješenje se ponavlja kvadratne jednačine i fiksiranje određivanja broja korijena njegovom diskriminatom. Prijelaz je napravljen na definiciju redukovane kvadratne jednadžbe.
U drugoj fazi razmatraju se jednadžbe dva tipa. Da se učenici ne bi umorili od monotonog rada, koriste raznih oblika opcije rada i zadataka, uključeno je više zadataka visoki nivo(sa parametrom).
Usmeni rad studenata izmjenjuje se sa pismenim radom koji se sastoji od opravdavanja izbora metode za rješavanje kvadratne jednačine i analize rješenja jednačine.
Jedan od metoda pedagoške podrške je korištenje informacione tehnologije, koji pomažu učenicima različitog stepena pripremljenosti da lakše usvajaju gradivo, stoga se pojedini momenti časa izvode pomoću prezentacije (prikazivanje rješenja samostalan rad, pitanja, zadaća)
Učenje novih stvari edukativni materijal. Ova faza uključuje:
predstavljanje osnovnih odredbi novog nastavnog materijala koji učenici moraju savladati;
opis oblika i metoda prezentacije (prezentacije) novog obrazovnog materijala;
opis osnovnih oblika i metoda organizovanja individualnih i grupnih aktivnosti učenika, uzimajući u obzir karakteristike razreda u kojem nastavnik radi;
opis kriterijuma za određivanje nivoa pažnje i interesovanja učenika za nastavni materijal koji nastavnik izlaže;
opis metoda motivisanja (stimulisanja) obrazovne aktivnosti učenika tokom izrade novog nastavnog materijala
Daje se definicija redukovane kvadratne jednadžbe. Nastavnik zajedno sa učenicima izvodi formule za korijene date kvadratne jednačine, učenici uviđaju važnost nastavnog materijala časa. Analiza formulacije i dokaz Vietine teoreme se također odvija zajedno sa studentima
Takav rad je ujedno i konsolidacija proučavanja novog materijala.
Metode:
vizualni;
praktičan;
verbalni;
parcijalna pretraga
Jačanje edukativnog materijala, predlažući:
postavljanje konkretnog obrazovnog cilja za učenike (koji rezultat treba da postignu učenici u ovoj fazi časa);
utvrđivanje ciljeva i zadataka koje nastavnik sebi postavlja u ovoj fazi časa;
opis oblika i metoda ostvarivanja postavljenih ciljeva prilikom objedinjavanja novog nastavnog materijala, uzimajući u obzir individualne karakteristike učenika sa kojima nastavnik radi.
opis kriterijuma za utvrđivanje stepena do kojeg su učenici savladali novo nastavno gradivo;
opis mogući načini i metode reagovanja u situacijama kada nastavnik utvrdi da neki učenici nisu savladali novo nastavno gradivo.
Pojačavanje nastavnog materijala se dešava prilikom odgovaranja na pitanja i rada sa udžbenikom:
Analiza zadatka br. 5 na strani 125;
Rješenje vježbi
№ 450 (1), 451 (1, 3, 5) – usmeno, 452 (usmeno);
455 (1,3); 456 (1, 3)
Tokom čitavog časa učenici su veoma aktivni, nastavnik ima priliku da intervjuiše sve učenike u razredu, a neke čak i više puta.
Čas je sažet u formi frontalnog anketiranja učenika na sljedeća pitanja:
Koje se jednačine nazivaju redukovanim?
Može li se obična kvadratna jednačina reducirati?
Zapišite formulu za korijene date kvadratne jednadžbe
Navedite Vietin teorem.
Koliki je zbir i proizvod korijena jednadžbe:
Domaći zadatak, uključujući:
postavljanje ciljeva samostalnog rada za učenike (šta učenici treba da rade dok rade domaći zadatak);
utvrđivanje ciljeva koje nastavnik želi postići zadavanjem domaće zadaće;
definisanje i objašnjavanje učenicima kriterijuma za uspešno rešavanje domaćih zadataka.
IN zadaća Od učenika se očekuje da rade u okviru svojih mogućnosti. Jaki učenici rade samostalno i na kraju rada imaju priliku da provjere tačnost svojih rješenja provjeravajući ih rješenjima ispisanim na tabli na početku sljedećeg časa. Ostali učenici mogu dobiti savjet od svojih kolega ili nastavnika. Slabi učenici rade na primjerima i koriste rješenja jednačina o kojima se raspravlja na času. Tako se stvaraju uslovi za rad raznim nivoima teškoće.
U ovom članku ćemo se osvrnuti na rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.
Ali prvo, hajde da ponovimo koje se jednačine nazivaju kvadratnim. Jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je x varijabla, a koeficijenti a, b i c neki brojevi, a a ≠ 0, naziva se kvadrat. Kao što vidimo, koeficijent za x 2 nije jednak nuli, pa stoga koeficijenti za x ili slobodni član mogu biti jednaki nuli, u kom slučaju dobijamo nepotpunu kvadratnu jednačinu.
Postoje tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:
1) Ako je b = 0, c ≠ 0, tada je ax 2 + c = 0;
2) Ako je b ≠ 0, c = 0, tada je ax 2 + bx = 0;
3) Ako je b = 0, c = 0, onda je ax 2 = 0.
- Hajde da shvatimo kako to riješiti jednačine oblika ax 2 + c = 0.
Da biste riješili jednačinu, pomaknite slobodni član od do desna strana jednačine, dobijamo
ax 2 = ‒s. Pošto je a ≠ 0, obje strane jednačine dijelimo sa a, tada je x 2 = ‒c/a.
Ako je ‒s/a > 0, tada jednačina ima dva korijena
x = ±√(–c/a) .
Ako je ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.
Pokušajmo na primjerima razumjeti kako riješiti takve jednadžbe.
Primjer 1. Riješite jednačinu 2x 2 ‒ 32 = 0.
Odgovor: x 1 = - 4, x 2 = 4.
Primjer 2. Riješite jednačinu 2x 2 + 8 = 0.
Odgovor: jednačina nema rješenja.
- Hajde da shvatimo kako to riješiti jednačine oblika ax 2 + bx = 0.
Da bismo riješili jednačinu ax 2 + bx = 0, faktorizirajmo je, odnosno izvadimo x iz zagrada, dobićemo x(ax + b) = 0. Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak na nulu. Tada je ili x = 0, ili ax + b = 0. Rješavanjem jednačine ax + b = 0, dobijamo ax = - b, odakle je x = - b/a. Jednačina oblika ax 2 + bx = 0 uvijek ima dva korijena x 1 = 0 i x 2 = ‒ b/a. Pogledajte kako izgleda rješenje ovakvih jednačina na dijagramu. 
Konsolidirajmo svoje znanje konkretnim primjerom.
Primjer 3. Riješite jednačinu 3x 2 ‒ 12x = 0.
x(3x ‒ 12) = 0
x= 0 ili 3x – 12 = 0
Odgovor: x 1 = 0, x 2 = 4.
- Jednačine trećeg tipa ax 2 = 0 rješavaju se vrlo jednostavno.
Ako je ax 2 = 0, onda je x 2 = 0. Jednačina ima dva jednaka korijena x 1 = 0, x 2 = 0.
Radi jasnoće, pogledajmo dijagram. 
Uvjerimo se prilikom rješavanja primjera 4 da se jednadžbe ovog tipa mogu riješiti vrlo jednostavno.
Primjer 4. Riješite jednačinu 7x 2 = 0.
Odgovor: x 1, 2 = 0.
Nije uvijek odmah jasno koju vrstu nepotpune kvadratne jednačine moramo riješiti. Razmotrite sljedeći primjer.
Primjer 5. Riješite jednačinu
Pomnožimo obje strane jednačine zajedničkim nazivnikom, odnosno sa 30
Hajde da ga smanjimo
5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.
Hajde da otvorimo zagrade
25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.
Dajmo slično
Pomaknimo 99 s lijeve strane jednačine na desnu, mijenjajući predznak u suprotan
Odgovor: nema korijena.
Pogledali smo kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Nadam se da sada nećete imati poteškoća sa ovakvim zadacima. Budite oprezni kada određujete vrstu nepotpune kvadratne jednadžbe, tada ćete uspjeti.
Ako imate pitanja na ovu temu, prijavite se na moje lekcije, zajedno ćemo rješavati probleme koji se pojave.
web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.
Video tutorijal 2: Rješavanje kvadratnih jednadžbi
Predavanje: Kvadratne jednadžbe
Jednačina
Jednačina- ovo je jedna vrsta jednakosti u čijim izrazima postoji varijabla.
Riješite jednačinu- znači pronaći broj umjesto varijable koja će ga dovesti u tačnu jednakost.
Jednačina može imati jedno rješenje, nekoliko rješenja ili nijedno rješenje.
Da biste riješili bilo koju jednačinu, treba je pojednostaviti što je više moguće do oblika:
linearno: a*x = b;
Kvadrat: a*x 2 + b*x + c = 0.
To jest, sve jednadžbe moraju biti prevedene u standardni oblik prije rješavanja.
Svaka jednačina se može riješiti na dva načina: analitički i grafički.
Na grafu se rješenjem jednadžbe smatraju tačke u kojima graf siječe osu OX.
Kvadratne jednadžbe
Jednadžba se može nazvati kvadratnom ako, kada se pojednostavi, ima oblik:
a*x 2 + b*x + c = 0.
Gde a, b, c su koeficijenti jednačine koji se razlikuju od nule. A "X"- korijen jednačine. Vjeruje se da kvadratna jednadžba ima dva korijena ili da uopće nema rješenje. Rezultirajući korijeni mogu biti isti.
"A"- koeficijent koji stoji ispred kvadratnog korijena.
"b"- stoji pred nepoznatim u prvom stepenu.
"sa" je slobodni član jednačine.
Ako, na primjer, imamo jednačinu oblika:
2x 2 -5x+3=0
U njemu je “2” koeficijent vodećeg člana jednačine, “-5” je drugi koeficijent, a “3” je slobodni član.
Rješavanje kvadratne jednadžbe
Postoji veliki izbor načina za rješavanje kvadratne jednadžbe. Međutim, u školskom predmetu matematike rješenje se proučava korištenjem Vietine teoreme, kao i korištenjem diskriminanta.
Diskriminantno rješenje:
Prilikom rješavanja ovom metodom potrebno je izračunati diskriminanta pomoću formule:
Ako tokom proračuna ustanovite da je diskriminanta manje od nule, to znači da ova jednačina nema rješenja.
Ako je diskriminanta nula, onda jednačina ima dva identična rješenja. U ovom slučaju, polinom se može skupiti koristeći skraćenu formulu množenja u kvadrat zbira ili razlike. Onda riješite ovako linearna jednačina. Ili koristite formulu:
Ako je diskriminant Iznad nule, tada morate koristiti sljedeću metodu:
Vietin teorem
Ako je data jednadžba, to jest, koeficijent vodećeg člana jednak je jedan, onda možete koristiti Vietin teorem.
Dakle, pretpostavimo da je jednačina:
Korijeni jednadžbe se nalaze na sljedeći način:
Nepotpuna kvadratna jednadžba
Postoji nekoliko opcija za dobijanje nepotpune kvadratne jednadžbe, čiji oblik zavisi od prisustva koeficijenata.
1. Ako su drugi i treći koeficijent nula (b = 0, c = 0), tada će kvadratna jednadžba izgledati ovako:
Ova jednačina će imati jedinstveno rješenje. Jednakost će biti tačna samo ako je rješenje jednadžbe nula.
Kvadratna jednadžba - lako riješiti! *U daljem tekstu “KU”. Prijatelji, čini se da u matematici ne može biti ništa jednostavnije od rješavanja takve jednačine. Ali nešto mi je govorilo da mnogi ljudi imaju problema s njim. Odlučio sam da vidim koliko utisaka na zahtjev Yandex daje mjesečno. Evo šta se desilo, pogledajte:
Šta to znači? To znači da oko 70.000 ljudi mjesečno traži ove informacije, kakve to veze ima sa letom, i šta će se dešavati tokom školske godine - biće duplo više zahteva. To nije iznenađujuće, jer oni momci i djevojke koji su davno završili školu i spremaju se za Jedinstveni državni ispit traže ove informacije, a i školarci se trude da osvježe svoje pamćenje.
Uprkos činjenici da postoji mnogo sajtova koji vam govore kako da rešite ovu jednačinu, odlučio sam da dam svoj doprinos i objavim materijal. Prvo, želim da posjetitelji dolaze na moju stranicu na osnovu ovog zahtjeva; drugo, u drugim člancima, kada se pojavi tema “KU”, dat ću link do ovog članka; treće, reći ću vam nešto više o njegovom rješenju nego što se obično navodi na drugim stranicama. Hajde da počnemo! Sadržaj članka:
Kvadratna jednačina je jednačina oblika:
gdje su koeficijenti a,bi c su proizvoljni brojevi, sa a≠0.
U školskom kursu materijal se daje sljedeći obrazac– jednačine su podijeljene u tri klase:
1. Imaju dva korijena.
2. *Imajte samo jedan korijen.
3. Nemaju korijene. Ovdje je posebno vrijedno napomenuti da oni nemaju prave korijene
Kako se izračunavaju korijeni? Samo!
Izračunavamo diskriminanta. Ispod ove "strašne" riječi krije se vrlo jednostavna formula:
Formule korijena su sljedeće:
*Ove formule morate znati napamet.
Možete odmah zapisati i riješiti:
primjer:
1. Ako je D > 0, onda jednačina ima dva korijena.
2. Ako je D = 0, onda jednačina ima jedan korijen.
3. Ako D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Pogledajmo jednačinu:
By ovom prilikom, kada je diskriminanta jednaka nuli, školski kurs kaže da je rezultat jedan korijen, ovdje je jednak devet. Sve je tačno, tako je, ali...
Ova ideja je donekle netačna. U stvari, postoje dva korijena. Da, da, nemojte se iznenaditi, dobijate dva jednaka korijena, a da budemo matematički precizni, onda bi odgovor trebao pisati dva korijena:
x 1 = 3 x 2 = 3
Ali ovo je tako - mala digresija. U školi možete to zapisati i reći da postoji jedan korijen.
Sada sljedeći primjer:
Kao što znamo, korijen od negativan broj se ne ekstrahuje, pa se rješenja u u ovom slučaju br.
To je cijeli proces odlučivanja.
Kvadratna funkcija.
Ovo pokazuje kako rješenje izgleda geometrijski. Ovo je izuzetno važno razumjeti (u budućnosti ćemo u jednom od članaka detaljno analizirati rješenje kvadratne nejednakosti).
Ovo je funkcija oblika:
gdje su x i y varijable
a, b, c – dati brojevi, sa a ≠ 0
Grafikon je parabola:
Odnosno, ispada da rješavanjem kvadratne jednadžbe sa “y” jednakom nuli, nalazimo točke presjeka parabole sa x osom. Mogu postojati dvije od ovih tačaka (diskriminanta je pozitivna), jedna (diskriminanta je nula) i nijedna (diskriminanta je negativna). Detalji o kvadratna funkcija Možete pogledatičlanak Inna Feldman.
Pogledajmo primjere:
Primjer 1: Riješi 2x 2 +8 x–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Odgovor: x 1 = 8 x 2 = –12
*Moguće je odmah podijeliti lijevu i desnu stranu jednačine sa 2, odnosno pojednostaviti je. Proračun će biti lakši.
Primjer 2: Odluči se x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Otkrili smo da je x 1 = 11 i x 2 = 11
U odgovoru je dozvoljeno napisati x = 11.
Odgovor: x = 11
Primjer 3: Odluči se x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Diskriminant je negativan, nema rješenja u realnim brojevima.
Odgovor: nema rješenja
Diskriminant je negativan. Postoji rješenje!
Ovdje ćemo govoriti o rješavanju jednadžbe u slučaju kada se dobije negativan diskriminant. Da li znate nešto o tome kompleksni brojevi? Ovdje neću ulaziti u detalje zašto i gdje su nastali i koja je njihova specifična uloga i neophodnost u matematici; ovo je tema za veliki poseban članak.
Koncept kompleksnog broja.
Malo teorije.
Kompleksni broj z je broj oblika
z = a + bi
gdje su a i b realni brojevi, i je takozvana imaginarna jedinica.
a+bi – ovo je JEDAN BROJ, a ne dodatak.
Imaginarna jedinica jednaka je korijenu minus jedan:
Sada razmotrite jednačinu:
Dobijamo dva konjugirana korijena.
Nepotpuna kvadratna jednadžba.
Razmotrimo posebne slučajeve, to je kada je koeficijent “b” ili “c” jednak nuli (ili su oba jednaka nuli). Oni se mogu lako riješiti bez ikakvih diskriminanata.
Slučaj 1. Koeficijent b = 0.
Jednačina postaje:
transformirajmo:
primjer:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Slučaj 2. Koeficijent c = 0.
Jednačina postaje:
Hajde da transformišemo i faktorizujemo:
*Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli.
primjer:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ili x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Slučaj 3. Koeficijenti b = 0 i c = 0.
Ovdje je jasno da će rješenje jednadžbe uvijek biti x = 0.
Korisna svojstva i obrasci koeficijenata.
Postoje svojstva koja vam omogućavaju rješavanje jednadžbi s velikim koeficijentima.
Ax 2 + bx+ c=0 jednakost važi
a + b+ c = 0, To
- ako za koeficijente jednačine Ax 2 + bx+ c=0 jednakost važi
a+ c =b, To
Ova svojstva pomažu u odlučivanju određeni tip jednačine
Primjer 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
Zbir kvota je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, što znači
Primjer 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0
Jednakost važi a+ c =b, Sredstva
Pravilnosti koeficijenata.
1. Ako je u jednačini ax 2 + bx + c = 0 koeficijent “b” jednak (a 2 +1), a koeficijent “c” brojčano jednak koeficijentu “a”, tada su njegovi korijeni jednaki
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Primjer. Razmotrimo jednačinu 6x 2 + 37x + 6 = 0.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Ako je u jednačini ax 2 – bx + c = 0 koeficijent “b” jednak (a 2 +1), a koeficijent “c” brojčano jednak koeficijentu “a”, tada su njegovi korijeni jednaki
ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Primjer. Razmotrimo jednačinu 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Ako u jednadžbi ax 2 + bx – c = 0 koeficijent “b” je jednako (a 2 – 1), i koeficijent “c” je numerički jednak koeficijentu “a”, tada su njegovi korijeni jednaki
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Primjer. Razmotrimo jednačinu 17x 2 +288x – 17 = 0.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Ako je u jednačini ax 2 – bx – c = 0 koeficijent “b” jednak (a 2 – 1), a koeficijent c brojčano jednak koeficijentu “a”, tada su njegovi korijeni jednaki
ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Primjer. Razmotrimo jednačinu 10x 2 – 99x –10 = 0.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
Vietin teorem.
Vietina teorema je dobila ime po poznatom francuskom matematičaru Francois Vieti. Koristeći Vietin teorem, možemo izraziti zbir i proizvod korijena proizvoljnog KU u terminima njegovih koeficijenata.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Ukupno, broj 14 daje samo 5 i 9. Ovo su korijeni. Uz određenu vještinu, koristeći prikazanu teoremu, možete odmah usmeno riješiti mnoge kvadratne jednadžbe.
Osim toga, Vietin teorem. zgodno u tome što nakon rješavanja kvadratne jednadžbe na uobičajen način(preko diskriminanta) rezultujući korijeni se mogu provjeriti. Preporučujem da to radite uvijek.
NAČIN TRANSPORTA
Ovom metodom koeficijent “a” se množi slobodnim pojmom, kao da mu je “bačen”, zbog čega se naziva metoda "transfera". Ova metoda se koristi kada se korijeni jednadžbe mogu lako pronaći pomoću Vietine teoreme i, što je najvažnije, kada je diskriminanta tačan kvadrat.
Ako A± b+c≠ 0, tada se koristi tehnika prijenosa, na primjer:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Koristeći Vietinu teoremu u jednačini (2), lako je odrediti da je x 1 = 10 x 2 = 1
Rezultirajući korijeni jednadžbe moraju se podijeliti sa 2 (budući da su dva "izbačena" iz x 2), dobijamo
x 1 = 5 x 2 = 0,5.
Šta je obrazloženje? Pogledaj šta se dešava.
Diskriminante jednačina (1) i (2) su jednake:
Ako pogledate korijene jednadžbi, dobit ćete samo različite nazivnike, a rezultat ovisi upravo o koeficijentu x 2:
Drugi (modificirani) ima korijene koji su 2 puta veći.
Stoga, rezultat dijelimo sa 2.
*Ako prebacimo trojku, rezultat ćemo podijeliti sa 3, itd.
Odgovor: x 1 = 5 x 2 = 0,5
Sq. ur-ie i Jedinstveni državni ispit.
Reći ću vam ukratko o njegovoj važnosti - MORATE MOĆI DA ODLUČITE brzo i bez razmišljanja, morate znati formule korijena i diskriminanata napamet. Mnogi problemi uključeni u zadatke Jedinstvenog državnog ispita svode se na rješavanje kvadratne jednačine (uključujući i geometrijske).
Nešto vredno pažnje!
1. Oblik pisanja jednačine može biti „implicitan“. Na primjer, moguć je sljedeći unos:
15+ 9x 2 - 45x = 0 ili 15x+42+9x 2 - 45x=0 ili 15 -5x+10x 2 = 0.
Morate ga dovesti standardni pogled(da se ne zbunite prilikom odlučivanja).
2. Zapamtite da je x nepoznata veličina i može se označiti bilo kojim drugim slovom - t, q, p, h i drugim.